高中数学人教A版选择性必修第三册同步练习：6.2.1排列(带答案)详解+解析点睛
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第六章 6.2.1 排列 6.2.2 排列数
应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.
因此不同的安排方法有 A35 =5×4×3=60(种).
(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有 A312 =12×11×10=1 320(种)
不同的获奖情况.
规律方法 对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置的情况
是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整
数1到n的连乘积,叫做 n的阶乘 ,用 n! 表示.于是,n个元素的全排列数
A
=n!
公式可以写成
.另外,我们规定,
.
0!=1
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
*,m≤n)表示共有m个数相乘.(
(1)排列数 A(m,n∈N
(3)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列.( × )
2.如何判断一个具体问题是不是排列问题?
提示 (1)首先要保证元素互异性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,
否则不是排列问题.
(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无
序则不是排列.
而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化
(2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的排法有
A22 × A66 种,故甲、乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66 =3 600(种).
(方法二 插空法)将其余 5 人全排列,有A55 种排法,5 人之间及两端共有 6 个
位置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26 种排法.故共有A55 × A26 =3 600(种)排法.
高中数学第六章计数原理 排列课后提能训练新人教A版选择性必修第三册
第六章 6.2.1A 级——基础过关练1．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数,一个为根指数．上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】排列与顺序有关,故②④⑤是排列．2．(多选)下面问题中,不是排列问题的是( )A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B ．从40人中选5人组成篮球队C ．从100人中选2人抽样调查D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合【答案】BCD 【解析】选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B 、C 、D 只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关．3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的不同结果有( )A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个【答案】C 【解析】不同结果有4×3＝12(个)．4．从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a ,b ,共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C 【解析】 lg a －lg b ＝lg a b,从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ,b ,共有5×4＝20(种),其中lg 13＝lg 39,lg 31＝lg 93,故其可得到18种结果． 5．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．24 【答案】B 【解析】可组成下列四位数：1 012,1 021,1 102,1 120,1 201,1 210,2 011,2 101,2 110,共9个．6．某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．【答案】1 560 【解析】根据题意,得40×39＝1 560,故全班共写了1 560条毕业留言．7．8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有________种不同的种法(用数字作答).【答案】1 680 【解析】将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．8．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示________种不同的信号．【答案】15 【解析】第1类,挂1面旗表示信号,有3种不同方法；第2类,挂2面旗表示信号,有3×2＝6(种)不同方法；第3类,挂3面旗表示信号,有3×2×1＝6(种)不同方法．根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．9．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．10．10个人走进只有6把不同椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐一人,共有多少种不同的坐法？解：10个人坐6把不同的椅子,每个人有6种选择,故有610种不同的坐法．B级——能力提升练11．(多选)下列选项是排列问题的是( )A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C．从a,b,c,d中选出3个字母D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出两个数字组成一个两位数【答案】AD 【解析】由排列的定义知AD是排列问题．12．从1,2,3,4中,任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,则组成不同点的个数为( )A．2 B．4C．12 D．24【答案】C 【解析】本题相当于从4个元素中取2个元素的排列,即4×3＝12.13．从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人1本,则送法种数为( )A．5 B．10C．20 D．60【答案】C 【解析】从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人一本,是一个排列问题,由排列的定义可知共有5×4＝20(种)不同的送法．14．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学,每名同学至多1张,并且票必须分完,那么不同的分法的种数为( )A．54B．45C．5×4×3×2 D．5【答案】D 【解析】由于参观票只有4张,而人数为5人,且每名同学至多1张,故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学,有5种选法．又因为4张参观票是相同的,不加以区分,所以不同的分法有5种．15．从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列,它们分别是__________________________________________．【答案】12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 【解析】画出树状图如下：可知共12个,它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed.16．5个小朋友站成一圈,不同的站法一共有______种．【答案】24 【解析】将5个小朋友编为1～5号,因为12345,23451,34512,45123,51234围成一个圈后,就是一个排列,所以按5个小朋友对应5个位置算出的排列数还需“÷5”,即5×4×3×2×1÷5＝24.17．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站,双线铁路全长1 318公里,途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市,设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站,计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解：对于两个火车站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同,因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此,结果应为从21个不同元素中,每次取出2个不同元素的排列数21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．C级——探究创新练18．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次,共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区,8支来自南部赛区,为增加比赛观赏度,各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后,再进行一场总冠军赛,共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛,对应于从16支球队任取两支的一个排列,比赛的总场次是16×15＝240.(2)由(1)中的分析,比赛的总场次是8×7×2＋1＝113.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品习题课件 第六章 6.2 排列与组合6.2.1 排列
2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两
本书必须相邻，则不同的摆放方法有( A )
A.24种
B.36种
C.48种
D.60种
[解析]第1步，甲、乙两本书必须摆放在两端，有2种不同的摆放方法；
天最多值一班，则值班当天不同的排班种类为( C
A.12
B.18
C.24
)
D.144
[解析]由题意，4名志愿者参加社区志愿工作，每天早、中、晚三班，每班1人，每
人每天最多值一班，
∴值班当天不同的排班种类为 × × = .故选C.
6.现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，
24
4.一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有____种轮流次序.
[解析]可以先从4个班中任选1个班做讲座，然后从剩下的3个班中任选1个班做讲座，
从剩下的2个班中任选1个班做讲座…根据分步乘法计数原理，故有
× × × = （种）结果.
B级 关键能力提升练
5.某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班1人，每人每
共有4 × 3 × 2 = 24个，分别为
1 234，1 243，1 342，1 324，1 432，1 423，
2 134，2 143，2 314，2 341，2 413，2 431，
3 124，3 142，3 214，3 241，3 412，3 421,
4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321.
第2步，丙、丁两本书视为整体与其他两本排列，有 × × × = （种）不同的
高中数学选择性必修三 6 2 1 排列及排列数(精练)(含答案)
6.2.1 排列及排列数（精练）【题组一 排列数】1（2020·新疆）已知2132n A =，则n =（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】∵2132n A =，∴(1)132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =，或11n =- (不合题意，舍去)；∴n 的值为12. 故选：B.2．设m ∈N *，且m ＜25，则（20﹣m ）（21﹣m ）…（26﹣m ）等于（ ） A ．726m A - B ．726m C -C ．720m A -D ．626m A -【答案】A【解析】根据题意，（20﹣m ）（21﹣m ）…（26﹣m ）()()72626!19!mm A m --==-，故选：A ．3．（2021·江苏常州·高二期末）（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ） A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +-C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A ---【答案】ABD【解析】对于A ，如果个位是0，则有49A 个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有113488A A A ⋅⋅个无重复数字的偶数，所以共有41139488A A A A +⋅⋅个无重复数字的偶数，故A 正确；对于B ，由于13438898A A A A ⋅=-，所以4113414394889498()A A A A A A A A +⋅⋅=+-，故B 正确； 对于C ，由于5441099A A A -≠，所以4143541439498109498()()A A A A A A A A A +-≠-+-，故C 错误；对于D ，由于541433411310959889488()41A A A A A A A A A A ---==+⋅⋅，故D 正确. 故选：ABD .4．（2020·山东莱州一中）下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn n A A n m+=- 【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C, !m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C.5．（2020·靖远县第四中学）若532m m A A =，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】由532m m A A =，得(1)(2)(3)(4)2(1)(2)m m m m m m m m ----=--，且5m ≥所以(3)(4)2m m --=即27100,5m m m -+=∴=或2(5m m =≥舍去）. 故选：A6．（2020·海南枫叶国际学校）设*a N ∈，28a <，则等式()()()35282935ma a a a A ---⋅⋅⋅-=中m =______ ． 【答案】8 【解析】()()()()3535343336m a A a a a a m -=---⋅⋅⋅--，2836a a m ∴-=--，解得：8m =.故答案为：8.7．（2020·江苏宿迁·高二期中）已知2247n n A A -=，那么n =________.【答案】7【解析】∵2247n n A A -=，∴()()()1745n n n n -⨯--=，5n ≥，化为：()()31070n n --=，解得7n =，故答案为：7.8．（2021·江苏）已知111095mn A =⨯⨯⨯⨯，则mn 为__________.【答案】77【解析】已知(1)(2)(1)11109mn A n n n n m =⨯-⨯-⋯⨯-+=⨯⨯⋯，5⨯，11n ∴=，15n m -+=，7m ∴=，则77mn =.故答案为：77．9．（2021·浙江余姚中学）已知则20!133n A +=，则n =________；计算323n nn A +A =+________.【答案】12 726【解析】(1)()()20!11133,2n A n n n +=+-=≥，即()()213212110n n n n --=-+=，所以12n =；(2)由题可知，323333n n n n n n +≤≥⎧⎧⇒⇒=⎨⎨≤≤⎩⎩，所以3632363654321321726n n n A +A =A +A +=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=故答案为：(1). 12 (2). 72612．（1）解不等式288A 6A x x -<； （2）解方程4321A 140A x x +=.【答案】（1）8(2)3【解析】（1）由288A 6A x x -<，得()()8!8!68!10!x x <⨯--，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12，① 又∴2<x ≤8，②由①②及x ∈N *得x ＝8. （2）因为2143x x +≥⎧⎨≥⎩，，所以x ≥3，*x N ∈，由4321A 140A x x +=得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2).化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得x 1＝3，2234x =(舍去). 所以方程的解为x ＝3. 【题组二 排队问题】1．（2020·江西九江一中）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有55120A =种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有323461272A A=⨯=种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为7231205P==.故选：C.2．（2020·灵丘县豪洋中学）5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（）A．12种B．10种C．15种D．9种【答案】A【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：23 232132112A A⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A3．（2021·河南））三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A．72种B．108种C．36种D．144种【答案】D【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A种方法，再与另一个男生排列，则有22A种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A=种.故选：D．4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A=种，故选：D.5．（2020·湖南永州·高三月考）某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（ ） A ．320种 B ．360种 C ．370种 D ．390种【答案】B【解析】由题意分步进行安排：第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有46A 种排法； 第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.故不同的安排方法共有4616543360A ⨯=⨯⨯⨯=种.故选：B.6．（2020·重庆）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法. A ．24 B ．120 C ．240 D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.7．（2021·河南）某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种 B ．156种 C ．188种D ．240种【答案】A【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，故选A. 8．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．9．（2021·甘肃兰州一中）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 【答案】60【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)． 10（2020·北京高二期末）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有______种.(用数字作答) 【答案】42【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种，②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.11．（2020·江苏省太湖高级中学）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求： （1）两名教师必须排中间，有多少种排法？（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？ 【答案】（1）48种；（2）144种.【解析】解：（1）先排教师有22A 种方法，再排学生有44A 种方法， 则242422448A A ⋅=⨯=，答：两名教师必须排中间，共有48种排法. （2）24243624144A A ⨯⋅=⨯=，答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法. 12．（2021·防城港市防城中学）5个男同学和4个女同学站成一排 （1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？ （2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ （4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；（2）43200；（3）302400；（4）2880. 【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为646417280A A =；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：545643200A A =；（3）根据题意可得排法为：33257325302400C A A A =；（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法54542880A A =.13．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（理））一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 【答案】（1）48；（2）36；（3）108.【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法424248A A =；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为233336A A =；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有53253212012108A A A -=-=． 14（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）3男3女共6个同学排成一行． （1）女生都排在一起，有多少种排法？ （2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？ 【答案】（1）144；（2）144；（3）24【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有44A 种排法，又3名女生内部有33A 种排法，所以共有44A ⋅33A 144=种排法.（2）女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙， 任取其中3个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有33A ⋅34A 144=种排法.（3）先选2个女生排在男生甲、乙之间，有23A 种排法，又甲、乙有22A 种排法，这样就有23A ⋅22A 种排法，然后把他们4人看成一个整体（相当于一个男生）， 这一元素以及另1名男生排在首尾，有22A 种排法， 最后将余下的女生排在中间，有1种排法，故总排法为23A ⋅222224A A ⋅=种排法，【题组三 数字问题】1．（2020·江苏高二期中）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .2．（2021·龙港市第二高级中学）用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________. 【答案】72【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有55120A =个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有333336A A ⨯=个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有232312A A ⨯=个； 故符合条件的有120123672--=； 故答案为：72．3．（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中）由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个； 【答案】18；【解析】因为第一个数字不能为0，所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则一共有13333618A A =⨯=种排法.故答案为：18.4．（2020·南开大学附属中学高三月考）由123456、、、、、组成没有重复数字且13、都不与5相邻的六位偶数的个数是________ 【答案】108【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为22323A A ⨯⨯;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为22223A A ⨯⨯;从而所求排列数为222232223233108.A A A A ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=5．（2021·康保衡水一中联合中学）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ． 【答案】72【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有4424A =种排法，由分步乘法计数原理得，由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472⨯=个.故答案为：72. 6（2020·湖北武汉为明学校）用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个. 【答案】10【解析】解：个位是0，有336A =个；个位不是0，有2224A =个，故共有6410+=个．故答案为：10.7．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列. （1）45312是这个数列的第几项？ （2）这个数列的第71项是多少？ （3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960. 【解析】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A = 2开头的五位数有：4424A = 3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=.8．（2021·黄梅国际育才高级中学高二期中（理））用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数． 【答案】（1）30；（2）20. 【解析】（1）偶数分为二类：若个位数0，则共有2412A =个；若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有23318⨯⨯=个； 所以，符合条件的三位偶数的个数为121830+=； （2）“凹数”分三类：若十位是0，则有2412A =个；若十位是1，则有236A =个； 若十位是2，则有222A =个；所以，符合条件的“凹数”的个数为126220++=．。
人教A版选择性必修第三册6.2.1排列学案
6.2排列与组合6．2.1排列知识点排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个________．特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个________．答案：排成一列排列全排列[重点理解](1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．(2)只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列．(3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质：有序．(4)判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，在安排这m个元素时是有序还是无序，有序就是排列问题，无序就不是排列问题．(5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有：字典排序法、树形图法、框图法．[自我排查]1．(2021·浙江杭州高二检测)已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题．故选B.2．(2021·浙江杭州高二检测)三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种答案：C解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式．故共有6种不同的传递方式．3．由1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数分别是________．答案：123,132,213,231,312,321解析：用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．课堂篇·重点难点要突破研习1 排列的概念[典例1]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组去种菜；(3)选10人组成一个学习小组；(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(5)某班40名学生在假期相互通信．思路点拨：判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．解：(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(2)(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．(4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(5)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中，(1)(4)(5)属于排列问题．[巧归纳]1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[练习1]下列问题中属于排列问题的是()A．从10个人中选出2人去劳动B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛C．从班级内30名男生中选出5人组成一个学习小组D．从数字5,6,7,8中任取2个不同的数做log a b中的底数与真数答案：D解析：A.从10个人中选出2人去劳动，与顺序无关，故错误；B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；C．从班级内30名男生中选出5人组成一个学习小组，与顺序无关，故错误；D．从数字5,6,7,8中任取2个不同的数做log a b中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确．故选D.研习2 排列的列举问题[典例2](教材P16例2改编)写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．思路点拨：(1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．[巧归纳]利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1．适用范围：“树形图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．2．策略：在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[练习2]某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是() A．24 B．22C．20 D．12答案：D解析：分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语；语文、外语、数学；数学、语文、外语；数学、外语、语文；外语、语文、数学；外语、数学、语文共6种排法，所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．课后篇·基础达标延伸阅读1．(2021·安徽蚌埠第三中学高二月考)算筹是在珠算发明以前我国独创的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示：如果把5根算筹以适当的方式全部放入三个格子中，那么可以表示的三位数的个数为()A．46 B．44C．42 D．40答案：B解析：按每一位数上算筹的根数分类，一共有15种情况：(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)，由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2，故5根算筹能表示的三位数的个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.故选B.2．(2021·四川绵阳高二期末)由1,2,3,4这四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是________．(用数字作答) 答案：12解析：由题意，1,2,3,4这四个数组成的没有重复数字的四位数，其中能被2整除，先排个位数字，从2和4中任意一个排在个位数上，共有2种排法，剩余的3个数字，共有3×2×1＝6(种)排法，由分步乘法计数原理可得，共有2×6＝12(种)不同的排法，即四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是12个．故答案为12.3．(2021·贵州高二期末(理))用0,2,4,6,8这五个数字，可以组成________个三位正整数．答案：100解析：百位不能为0，有4种选法，十位有5种选法，个位有5种选法，所以共有4×5×5＝100(种)选法．故答案为100.4．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解：大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.[误区警示]重复计数与遗漏计数[示例]6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法共有________种．[错解]错解一：分步完成，第一步，安排第一排的2人，有6×5＝30(种)排法；第二步，安排中间一排的2人，有4×3＝12(种)排法；第三步，余下的2人排在最后一排．由分步乘法计数原理可知，不同排法共有30×12＝360(种)．错解二：分步完成，第一步，安排第一排的2人，有6×5＝30(种)排法；第二步，安排中间一排的2人，有4×3＝12(种)排法；第三步，安排余下的2人，有2×1＝2(种)排法．因为排在第一排、中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有3×2×1＝6(种)排法．由分步乘法计数原理可知，不同排法有30×12×2×6＝4 320(种)．错解一中错在第三步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置．错解二中错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了．[错因分析]排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考虑进去了，切忌重复或遗漏．[正解]16个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有6×5×4×3×2×1＝720(种)．[答案]720。
新教材人教A版选择性必修第三册 6.2.1 排列 作业
20212022学年新教材人教A版选择性必修第三册 6.2.1 排列作业一、选择题1、6名同学排成一排，其中甲乙两人必需排在一起的不同排法有〔〕A．240种 B．360种 C．720种 D．120种2、中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数〞合称“六艺〞.“礼〞，主要指德育；“乐〞，主要指美育；“射〞和“御〞，就是体育和劳动；“书〞，指各种历史文化学问；“数〞，数学.某校国学社团开展“六艺〞课程讲座活动，每艺支配一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数〞必需排在前三节，且“射〞和“御〞两门课程相邻排课，那么“六艺〞课程讲座不同排课挨次共有〔〕A．120种B．156种C．188种D．240种3、学校突然停电了，寝室里面漆黑一片，有3个同学的校服〔同一型号〕都混乱地丢在了一个人的床上，那么他们中至少有一人摸到自己的校服的概率为〔〕A． B． C． D．4、将写有1，2，3，4，5的5张卡片分别放入标有1，2，3，4，5的5个盒子内，每个盒里放且只放1张卡片，那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内的放法数等于〔〕A．42 C. 785、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出挨次，最前只能排甲或乙，最终不能排甲，那么不同的排法共有( )A． 192种 B． 216种 C． 240种 D． 288种6、一个正方形花圃，被分为5份A、B、C、D、E，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两局部种植不同颜色的花,那么不同的种植方法有〔〕．A．24 种B．48 种C．84 种D．96种7、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有〔〕A．36个B．72 C．48 D．608、某海编队将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱除舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，那么舰艇安排方案的方法数为()A．72 B．324C．648 D．1 2969、由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是〔〕A．12 B．10 C．8 D．1410、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，假如要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18 C． 24 D．3211、6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必需摆放在两端，丙、丁两本书必需相邻，那么不同的摆放方法有〔〕种A．24B．36C．48D．6012、现有10名同学排成一排，其中4名男生，6名女生，假设有且只有3名男生相邻排在一起，那么不同的排法共有〔〕A．6267A A种B．3247A A种C．362367A A A种D．362467A A A种二、填空题13、将5个数学竞赛名额安排给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，那么不同的安排方案和数有__________.14、某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译？导游？礼仪？司机四项不同工作,假设其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,那么不同的选派方案共有________种.15、在一个正六边形的6个区域栽种欣赏植物,如图,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。
人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册课后习题 第6章 6.2 第2课时 排列的应用
第2课时排列的应用课后·训练提升基础巩固1.将3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则不同的分法种数是( )A.1 260B.120C.240D.720答案:D解析:相当于3个元素排10个位置,有A103=720种不同的分法.2.要从A,B,C,D,E这5个人中选出1名组长和1名副组长,但A不能当副组长,则不同的选法种数是( )A.20B.16C.10D.6答案:B解析:不考虑限制条件有A52种选法,若A当副组长,有A41种选法,故A不当副组长,有A52−A41=16种选法.3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加某诗词大会的现场录制,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为( )A.6B.12C.24D.48答案:B解析:根据题意,要求小明的父母都与他相邻,即小明坐在父母中间,将三人看成一个整体,有2种排法,将这个整体与爷爷和奶奶全排列,有A33=6种排法,则有2×6=12种不同的排法,故选B.4.某电视台一节目收视率很高,现要连续插播4个广告,其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是商业广告,且2个商业广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )A.8种B.16种C.18种D.24种答案:A解析:分三步完成:第一步,排最后一个位置的商业广告,有A21种;第二步,在前两个位置选一个排另一个商业广告,有A21种;第三步,余下的两个位置排公益宣传广告,有A22种.根据分步乘法计数原理,不同的播放方式共有A21A21A22=8种,故选A.5.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{a n},则a72等于( )A.1 543B.2 543C.3 542D.4 532答案:C解析:分三类:第1类,首位是1的四位数有A43=24个;第2类,首位是2的四位数有A 43=24个; 第3类,首位是3的四位数有A 43=24个. 依据分类加法计数原理,首位小于4的所有四位数共有3×24=72个. 由此得a 72=3542.6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A.210个 B.300个 C.464个 D.600个答案:B解析:由于组成没有重复数字的六位数,个位数字小于十位数字的数与个位数字大于十位数字的数一样多,故有5A 552=300个.7.(多选题)A,B,C,D,E,F 六个人并排站在一起,则下列说法正确的有( )A.若A,B 两人相邻,则有120种不同的排法B.若A,B 不相邻,则共有480种不同的排法C.若A 在B 左边,则有360种不同的排法D.若A 不站在最左边,B 不站在最右边,则有504种不同的排法 答案:BCD解析:对于A,若A,B两人相邻,需要将A,B看成一个整体,与其他四人全排列,有A22A55=240种不同的排法,A错误;对于B,若A,B不相邻,先将其他4人排成一排,排好后,有5个空位,将A,B安排在空位中,有A44A52=480种不同的排法,B正确;对于C,不考虑限制条件,6人排成一排有A66=720种不同的排法,其中A在B左边和A在B右边的情况一样,则A在B左边的排法有1×720=360种,C正确;对于D,不考虑限制条件,6人排成一排有A66=720种2不同的排法,A站在最左边的排法有A55=120种,B站在最右边的排法有A55=120种,A站在最左边且B站在最右边的排法有A44=24种,则有720-120-120+24=504种不同的排法,D正确.故选BCD.8.5个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排法有种.答案:72解析:由题意得甲、乙两人相邻共有A22A44种排法,则甲、乙两人之间至少有一人共有A55−A22A44=72种排法.9.用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数?解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第1类:0在个位时有A53个;第2类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个有A41种,十位和百位从余下的数字中选,有A42种,于是有A41A42个;第3类:4在个位时,与第二类类似,也有A41A42个.根据分类加法计数原理,共有四位偶数A53+A41·A42+A41A42=156个. (2)五位数中是5的倍数的数可分为两类:个位数上的数字是0的五位数有A54个;个位数上的数字是5的五位数有A41A43个.故满足条件的五位数的个数共有A54+A41A43=216个.(3)比1325大的四位数可分为三类:第1类:形如2,3,4,5的数,共A41A53个;第2类:形如14,15,共A21A42个;第3类:形如134,135,共A21A31个.根据分类加法计数原理,无重复数字且比1325大的四位数共有A41A53+A21A42+A21A31=270个.能力提升1.某单位安排7名员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7名员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班,丙不在10月1日值班,丁不在10月7日值班,则不同的安排方案共有( )A.504种B.960种C.1 108种D.1 008种答案:D解析:由题意知,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有A22A66=1440种,其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有A22A55=240种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有A22A55=240种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有A22A44=48种.因此满足题意的方案共有1440-2×240+48=1008种.2.3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,可以得到不同的三位数的个数为( )A.30B.48C.60D.96答案:B解析:“组成三位数”这件事,分两步完成:第一步,确定排在百位、十位、个位上的卡片,即为3个元素的一个全排列A33;第二步,分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种方法.根据分步乘法计数原理,可以得到A33×2×2×2=48个不同的三位数.3.安排6名歌手演出的顺序时,要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数是( )A.180B.240C.360D.480答案:D解析:先将6名歌手全排列有A 66种顺序,甲、乙、丙的顺序有A 33种,乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,丙乙甲,4种顺序,因此不同排法的种数共有4×A 66A 33=480种.4.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,则共有 种参赛方案. 答案:240解析:方法一:从人(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类: 第1类,甲不参赛,有A 54种参赛方案;第2类,甲参赛,可优先将甲安排在第二棒或第三棒,有2种方法,再安排其他3棒,有A 53种方法,此时有2A 53种参赛方案.根据分类加法计数原理,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A 54+2A 53=240种.方法二:从位置(元素)的角度考虑,可分两步完成:第一步,优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人,有A 52种方法;第二步,其余两棒从剩余4人中选,有A 42种方法.根据分步乘法计数原理,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A 52A 42=240种.方法三(排除法):不考虑甲的约束,6个人占4个位置,有A64种安排方法,剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A53种,因此甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A64-2A53=240种.5.6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法数为.答案:24解析:把3个空位看作一个元素,与3辆汽车共有4个元素全排列,故停放的方法有A44=4×3×2×1=24种.6.某学校为贯彻“科学防控”理念,实行“佩戴口罩,不邻而坐”制度(每两个同学不能相邻).若该学校的教室一排有10个座位,安排4名学生就座,则不同的安排方法共有种.答案:840解析:因为6个空位可产生7个空,则这4名学生可用插空法就座,因此共有A74=840种不同的安排方法.7.高一年级某班的语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天,每门课一节,上午四节,下午两节,数学课必须在上午,体育课必须在下午,数、理、化三门课中任意两门不相邻,但上午第四节和下午第一节不叫相邻,则不同的排法种数为多少?解:分两类:第1类,数学课在上午第一节或第四节共A21种排法,体育课在下午共A21种排法,理、化课安排在上午一节,下午一节有2A22种排法,其余两门在剩下的位置安排共A22种.根据分步乘法计数原理,共有A21×A21×2A22×A22=32种排法.第2类,数学课安排在上午第二节或第三节,共A21种排法,体育课安排在下午有A21种排法,理、化课安排在上午一节和下午一节,共A22种排法,其余两门在余下的位置安排共A22种排法.根据分步乘法计数原理,共有A21×A21×A22×A22=16种排法.综上,根据分类加法计数原理,排法种数为N=32+16=48.8.4个男同学,3个女同学站成一排.(1)男生甲必须排在正中间,有多少种不同的排法?(2)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?(3)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?(4)其中甲、乙两名同学之间必须有3人,有多少种不同的排法?解(1)男生甲位置确定,只要让其余6人全排列有A66=720种排法.(2)(捆绑法)先让3个女生“捆绑”成一个整体,内部排序有A33种,再把女生看成一个整体,与其余的男生排列有A55,共有A33A55=720种排法.(3)先把4个男生全排列有A44种排法,再把3个女生安排到4个男生排列形成的5个空里,有A44A53=1440种排法.(4)先把甲、乙排好顺序有A22种排序,再从余下的5人中选出3人排在甲乙中间,有A53种,最后把甲乙及中间的3人看成一个整体,和其余的2人看成3个整体进行排序,有A33种,因此共有A53A22A33=720种排法.。
精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第六章 6.2.1 排列
§6.2排列与组合6.2.1排列学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．解(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题：(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、画树形图写排列例2将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解树形图(如图)：由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.反思感悟树形图的画法(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止．跟踪训练2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．三、简单的排列问题例3(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．反思感悟对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．跟踪训练3(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为()A．15 B．30 C．12 D．36答案 B解析对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)．(2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．答案 6解析共有3×2×1＝6(种)不同的排法．1．(多选)下面问题中，不是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案BCD解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B．甲乙丙、乙丙甲C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D．甲乙、甲丙、乙丙答案 C解析从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为() A．5 B．10 C．20 D．60答案 C解析不同的送书种数为5×4＝20.4．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法．答案 1 680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．1．知识清单：(1)排列的定义：顺序性．(2)“树形图”法列举排列．(3)排列的简单应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：排列的定义不明确．1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有()A．加法B．减法C．乘法D．除法答案BD解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD. 2．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为()A．20 B．15 C．10 D．5答案 A解析由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.3．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为()A．2 B．4 C．12 D．24答案 C4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A．6 B．4 C．8 D．10答案 B解析列树形图如下：故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．5．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案 A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法．6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．答案60解析由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．答案20解析从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法．9．写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．10．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？解(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果；第二步，得十位数字，有5种不同结果；第三步，得个位数字，有4种不同结果．故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．11．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为() A．9 B．12 C．15 D．18答案 B解析本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个符合题意的四位数．12．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为()A．54B．45C．5×4×3×2 D．5答案 D解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．13．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种答案 C解析若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．14．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．答案336解析从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案．15．用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(1)三位数________个；(2)无重复数字的三位数________个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数________个．答案(1)900(2)648(3)144解析(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数．(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种)．由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种)．16．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．解如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．。
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高中数学人教A版选择性必修第三册同步练习：6.2.1排列（带答案）详解+解
析点睛
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分
得分
一、xx题
（每空xx 分，共xx分）
第 1 题
(多选题)从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列问题中是排列问题的是( )
A．相加可得多少个不同的和？
B．相除可得多少个不同的商？
C．作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？
D．作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
【答案解析】
BD
解析：A中，∵加法满足交换律，∴A不是排列问题；B中，∵除法不满足交换律，如≠，∴B是
排列问题；若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有ab，a，b的大小一定；在双曲线－＝1中不管ab还是ab，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故C不是排列问题，D是排列问题．故选BD.
.
第 2 题
由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数有( )
A．9个B．12个
C．15个D．18个
【答案解析】
评卷人得分
B
本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个．故选B.
第 3 题
元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其他一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )
A．6种B．9种
C．11种D．23种
【答案解析】
B
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树形图表示为：
由此可知共有9种送法．故选B.
第 4 题
要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名班长和1名副班长，则不同的选法种数是( )
A．20B．16 C．10D．6
【答案解析】
A
解析：先从5个人中任选1名当班长有5种选法，再从剩下4个人中任选1名当副班长有4种选法，共有5×4＝20(种).故选A.
.
第 5 题
某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A．8种B．16种C．18种D．24种
【答案解析】
A
解析：可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有2种．第三步，余下的两个排公益宣传广告，有2种，根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有8种．故选A.
第 6 题
世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲，乙，丙，丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为( )
A．12种B．10种C．8种D．6种
【答案解析】
D
解析：因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6种，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6种．故选D.
第 7 题
利用1，2，3，4这四个数字，可以组成________个没有重复数字的三位数．
【答案解析】
24
解析：本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故不同排法有4×3×2＝24(种)，即可以组成24个没有重复数字的三位数．
第 8 题
一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有________种排法．
【答案解析】
720
解析：一天的课程表排法共有：
6×5×4×3×2×1＝720(种).
第 9 题
在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有________种不同的试种方案．【答案解析】
11
解析：画出树形图，如图所示：
由树形图可知，共有11种不同的试种方案．
第 10 题
写出下列问题的所有排列：
(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，共有多少种不同的排列方法．
(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票．
.
【答案解析】
(1)按三个位置依次安排，如图：
故所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种．
(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．
第 11 题
若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值，这些方程表示不同直线的条数为( )
A．15B．18 C．32D．36
【答案解析】
B
解析：从不含0的5个数中任取两个数，共有20种，其中如果选中2，3与4，6则为重复的两条，2，4和3，6也为重复的两条，所以有不同的直线20－4＝16种，当选中0时，只能表示两条不同的直线x＝0和y＝0，由加法原理知共有16＋2＝18条不同直线．故选B.
第 12 题
若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5
这5个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．80个B．40个C．20个D．10个
【答案解析】
C
解析：十位数只能是3，4，5.
当十位数为3时只有；132，231，共2个；
当十位数是4时有：142, 143, 241, 341，243，342，共6个；
当十位数是5时有：
152，153，154, 251, 253, 254, 351, 352, 354，451，452，453，共12个，故共有2＋6＋12＝20个．故选C.
第 13 题
在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1a2，a3a2，a3a4的排列个数是________．
【答案解析】
5
解析：首先注意a1位置的数比l 解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，第一位大学生有5种选择，第二位大学生有4种选择，第三位大学生有3种选择，根据分步乘法计数原理可知不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种).
第 15 题
从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数．
(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
.
【答案解析】
(1)能组成18个不同的三位数．组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步；选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数．
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132, 201, 203, 210, 213，230，231, 301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：201, 210, 230，231, 301, 302, 310, 312.
第 16 题
用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个；
(2)可以排出多少个不同的三位数．
.
【答案解析】
(1)三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果，
第二步，得十位数字，有5种不同结果，
第三步，得个位数字，有4种不同结果，故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个).
(2)三位数中每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个). .。