高等数学基础综合练习题精选及答案

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高数基础真题答案及解析

高数基础真题答案及解析高等数学作为大学中的一门重要课程，对于学生的学术发展和综合素质的提高起着重要作用。

而对于很多学生来说，高等数学往往被认为是一门难以掌握的学科。

在应对高等数学考试时，学生们常常遇到真题的解答和分析过程不清晰的问题。

因此，解决这一问题就变得尤为重要。

下面，我们将提供一些高数基础真题的答案及解析，希望能帮助到广大学生更好地学习和掌握这门课程。

一、单变量函数的极限与连续性在高等数学的学习中，单变量函数的极限与连续性是非常重要的内容之一。

以下是一道典型的高数基础真题：问题：求极限 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$。

解析：对于这道题，我们可以通过因式分解化简来求解。

首先，我们将分子进行因式分解，得到 $\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$。

接着，我们发现分子和分母都有 $(x-2)$ 这一因子，所以我们可以将其约去，得到 $\lim_{x\to2}(x+2)=4$。

因此，原极限的结果为4。

通过这道题，我们可以看出单变量函数的极限与连续性是一个典型的应用题。

在答题过程中，我们需要注意因式分解和约去公因式的技巧，这将对我们解决类似问题时非常有用。

二、导数与微分导数与微分是高等数学中的另一核心内容。

以下是一道与导数相关的高数基础真题：问题：已知函数 $f(x)=5x^3-3x^2+2x-1$ 在 $x=2$ 处的导数为5，求 $f'(2)$ 的值。

解析：对于这道题，我们需要根据导数与原函数之间的关系来求解。

由导数定义可知，导数表示的是函数在某一点处的斜率。

根据题意，已知函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处的导数为5，即 $f'(2)=5$。

因此，我们可以得到这一导数值与原函数的关系式。

对原函数$f(x)=5x^3-3x^2+2x-1$ 进行求导，得到 $f'(x)=15x^2-6x+2$。

由于$f'(2)=5$，我们可以将 $x$ 替换为2，解方程得到 $15\times2^2-6\times2+2=5$，最终得到 $f'(2)=5$。

高数基础考试题库及答案

高数基础考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x+1答案：B4. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. x^e + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. -3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的极值点为______。

答案：x=-1或x=22. 函数y=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)3. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有______。

答案：最大值和最小值4. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为______。

答案：05. 微分方程dy/dx=2x的通解为______。

答案：y=x^2+C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。

计算f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-2，因此最大值为0，最小值为-2。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)。

解：将分子分母同时除以x^3，得到lim(x→∞) [(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x-5/x^2)]，当x趋向于无穷大时，极限值为1/1=1。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是减函数。

高等数学基础综合练习题及答案

《高等数学基础》期末复习题一．选择题1．函数2sin(4)2()22x x f x x k x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩在2x =连续，则常数k 的值为（）。

A ．1 ；B ．2 ；C ．4- ；D ．4 2．下列函数中（）的图像关于y 轴对称。

A ．cos x e xB ． cos(1)x +C ．3sin x xD ． xx+-11ln 3．下列函数中（）不是奇函数。

A ．sin(1)x -；B ．x x e e --；C ．x x cos 2sin ；D ． ()2ln 1x x ++ 4．当0x →时，（）是无穷小量。

A ．sin 2x x B ．1(1)x x + C. 1cos x D ．1sin x x5．函数()sin 4f x x =，则 0()lim x f x x→=（）。

A ． 0 ； B ．4 ； C ． 14； D ．不存在6．函数()ln f x x =，则 2()(2)lim 2x f x f x →-=-（）。

A ． ln 2 ； B ．1x ； C ． 12； D ． 27. 设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（）。

A ． 0x x =是)(x f 的极小值点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点；C ．0x x =是)(x f 的驻点；D ． 0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（）。

A ．1dx d x x= B ． 222x x e dx de --=- C ．3313x x e dx de --=- D ．1ln 33dx d x x= 9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是（）A.)())((x f dx x f ='⎰B.)()(x f dx x f dx d ba=⎰ C. c x f dx x f +='⎰)()( D. )()()(a f b f x f d ba -=⎰ 10．曲线x y e x =-在(0,)+∞内是（）。

高等数学基础(1)综合练习参考答案

高等数学基础（1）综合练习参考答案一．选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.D9.C 10.C 11.C 12D 13B 14A 15D 16B 17D 18B 19A 20B 21C 22B 23A 24A二．填空题1. x <-1≤4 2． x x x f 2)(2+= 3．奇函数原点 4. )(0x f 5．可去或第一类 6．0=x 7.1 8．ek 21=9.010．12742-x11．)0,(-∞∈x 12.x =-113.（1，2） 14. a 为实数 b ＝615．k ＝116．3,1-==b a 17. (1) c x +cos (2) x sin (3)c x F +-)32(2118． 1 19．1三．计算题 1．求极限解：（1）原式＝22521152lim221=+-=+++-→x x x x（2）原式＝)11)(2()11)(11(lim22221++--+++--+-→x x x x x x x x x61)11)(1)(2()1(lim21=++--+-=→x x x x x x x（3）eee x x x x xxx xx ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→∞→2322332131lim2131lim（4）原式＝1)11ln(lim 1lnlim =+=++∞→∞→xx x xxx x（5）原式＝])11)(11()11(2sin )31[(lim 1++-++++-→x x x x x x x=4])11(2sin )31[(lim 3)3(31+=+++----→exx x x xx(6)原式＝278)3(22325-=-（7）原式=2211211lim 21...41211lim 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→∞→n n n n(8)原式＝11lim 111lim 1arctan 2lim2222=+=-+-=-+∞→∞→+∞→x x xx x x x x x π（9）原式＝1ln 21lim1ln 121limln )1(ln lim21121-++-=-++-=-+-→→→x x x x x xx x x xx x x x x x x x2311ln 14lim1-=+++-=→x x x（10）原式＝2)2(lim223=→xx x x (无穷小量替换)2．解：1)1)(()1(lim)(11lim22+++-+=+-++∞→∞→x x b ax x b ax x x x x011)()1(lim2=+-++--=∞→x bx b a x a x由条件知，必有⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a 3．解：9lim 11lim lim 2===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→aaax x xx xx e e e x a x a a x a x ，所以3ln =a ．4．解：当y 在0=x 处连续知：)0()(lim 0f x f x =→k xx x x =⋅-⇒→s i n c o s 1limk x x xx =⇒→s i n .2lim221=⇒k5．解：（1）由于-→0l i m x 1)0(=f ，+→0limx b f =)0(又)(lim 0x f x →存在等价于-→0lim x =)0(f +→0lim x )0(f ，所以，1=b ，a 可为任意实数；（2）)(x f 在0=x 处连续等价于-→0limx =)0(f +→0lim x )0(f )0(f =，又a f =)0( 所以1==b a ．6．证明：设12)(-=xx x f ，因 1)0(-=f ，1)1(=f由零点存在定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=ξf ，即有10<<ξ,使12=ξξ．7．解：切点为)1,12(-π，则斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k⇒切线方程为)12(11+-⋅=-πx y 即22+-=πx y8．求下列函数的导数或微分（1）解：2312621)2ln(xx xex ey xx+++++-='--⇒ dxxx xex edy xx]3132)2ln([2+++++-=--（2）解：两边对x 求导y y y y x '+='⋅+⋅+1)21()cos(2⇒1)cos(2)cos(122-++-='=y x y y x y dxdy（3）解：xx y sin cos =' ⇒ x xx xx y 22222cscsin1sin cossin-=-=--=''（４）解：22ln 1ln 11ln arcsin 2xx x xx x x x y -⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛='xx xx x x ln arcsinln )ln 1(22⋅-⋅-=（5）解：两边取对数得：x x y sin ln ln = 两边对x 求导：x xx x y ycos sin 1sin ln 1⋅⋅+=')cot sin (ln x x x y dxdy y +=='dx x x x x dy x)cot sin (ln )(sin +=（6）解：两边对x 求导02)1(2='⋅--'+⋅+y xy y y e yx ⇒yx yx exy yey ++--='22把0=x 代入原方程得：0=y把0=y 代入上述方程得：1)0(-='y（7）解：221arctan2221)1(112ln 2)1(21xxx x x x y x-⋅+⋅++⋅-+='⇒dxxx xdy x]212ln )1(1[1arctan2222⋅+-+-=（8）解：)1(31)3ln(ln )1(--+-⋅-⋅='--xax a a y xx⇒dx xax a ady xx]3)3ln(ln [-+-⋅⋅-=--（9）解：021)(='⋅-+'+y y y x y e xy⇒xyxy xey yedxdy -+=219．解：设矩形与椭圆在第一象限的交点为),(y x ，则矩形面积为：xy S 4=又因为y x ,满足16422=+yx⇒ )61(442yy S -=⇒)61(426244)61(4422yy yyS -⋅-+-='令0='S ⇒⎩⎨⎧==23x y ⇒矩形边长为32,2210．. )1)(3(39632+-=--='x x x x y)1(6-=x y ),(y x 则所求面积为： xy S 2=又因为y x ,满足21x y -= )1(22x x S -=⇒⇒ )2(2)1(22x x x S -⋅+-='令0='S ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3233y x⇒ 最大矩形面积为9342==xy S12．解:设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为brVr a r C ⋅⋅⋅⋅+⋅=222πππ则总造价为3223,0b Va h aVbr C ⋅=⋅=⇒='ππ令.,3223时总造价最小高为因此当底半径bVa h aVbr ⋅=⋅=ππ13．证明：对任意的x 有)0(01111222≠>+=+-='x xxx y所以函数x x y arctan -=单调增加，证毕14.法一：设)1ln()(x x x f +-=，则在],0[x 上满足拉格朗日中值定理条件，存在一点x <<ξξ0,，使)(0)0()(/ξf x f x f =--即,1111)1ln(ξξξ+=+-=+-xx x )0(x <<ξ由0>x ，01>+ξξ，即,0)1ln(>+-xx x )1ln(x x +>⇒法二：,01111)(>+=+-='xxx x f 当),0(+∞∈x 时)(x f ⇒单调增加)0()(f x f >⇒又因为0)(0)0(>⇒=x f f )1ln(x x +>⇒15．计算不定积分（1）xxde x x d e x 11111:⎰⎰-=-=原式解x de e xxx 1111⎰+-=ce e xx x ++-=111brV a r C ⋅-⋅⋅='222π由,2rV h ⋅=π（2）⎰⋅+=+==-tdttttxtx21:2112令原式解ctt++=2323cxx+-+-=12)1(3223（3）xdxlnln21:⎰-=原式解)ln2()ln2(21xdx---=⎰-cx+--=21)ln2(2（4）xdxxsin)sin1(sin:2⎰+=原式解)sin1()sin1(1)sin1(sin112xdxxdx++-++=⎰⎰cxx++++=sin11)sin1ln(（5）⎰+⋅=2)(1:xxedxe原式解＝earctan（6）dxx))32(52(⎰-=原式cxx+-=32ln)32(5216．计算定积分（1）⎰-=202sinsin41:πxdx原式解⎰++-⋅=2sin)sin21sin21(41πxdxx2sin2sin2ln41πxx-+=3ln41=（2）⎰⋅=π02sin2:xdx原式解⎰+=2)(1xxededxx x x ⎰-⋅=ππ02sin202sin242-=π（3）⎰=20sin 2:πxdxx 原式解02)sin cos (2πx x x +-=2=（4）)1(:2212-+--=⎰-+-x x d ex x原式解0212-+--=x xe31---=ee（5）⎰+=32)2(2x dex 原式dxe e x xx⎰-+=322203)2(2236e =17. 解：dx x x x S ⎰--=32)4(03]3123[32x x -=29=18．由题意知：xy y y )1(+=' ⇒⎰⎰-=+xdx y y dy )1(⎪⎭⎪⎬⎫=+-=+⇒1)1(ln ln 1lny c x yy21ln ln =⇒c xyy 211=+⇒19．]2[121c dx e xe e y dx xdx +⎰⋅⎰=---⎰]2[2c dx exee xxx +⋅=-⎰)22(c e xe e xxx+-=⎭⎬⎫=+-=1)0()22(y c e xee xxx3=⇒c xx e e x y 3)1(22+-=⇒20．解：特征方程为042=+λ i i 2,221-==⇒λλxc x c y 2sin 2cos 21+=⇒2cos42ππx +=21. 解：特征方程为0652=+-λλ⇒3,221==λλxxec ec y 3221+=⇒-设特解x Ae y =*由待定系数法得A =1xxxe ec e c y y y ++=+=-3221*⎩⎨⎧=='1)0(0)0(y y 1,121-==⇒c cxxxe eey +-=⇒3222．解：特征方程为0232=++λλ⇒2,121-=-=λλ对应的齐次方程的通解：xxec ec y 221---+=设x B x A y sin cos *+=代入原方程得：x x B x A x B x A x B x A sin 3)sin cos (2)cos sin (3sin cos =+++-+--⇒ 103,109=-=B A⇒ x x y cos 109sin 103*-= ⇒ x x ec e c y x x c o s 109sin 103221-++=--。

《高等数学练习题》全部答案

《高等数学》第一章综合练习题（一）参考答案一、填空题1．函数()ln =--142y x x 的定义域为{1,2,3,4}x x R x Î¹且。

提示：即解不等式组40ln 2020x x xì-¹ï-¹íï-¹î，可得1,2,3,4x ¹2．设函数)(x f 的定义域为]11[，-，则)13(2++x x f 的定义域为[3,2][1,0]--- 。

提示：即解不等式：21311x x -£++£。

3．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(sin )f x 的定义域为[2,2]k k p p p +。

提示：即解不等式0sin 1x ££。

4．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为3[2,2]22k k p p p p ++。

提示：即解不等式1cos 0x -££5．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为1[0,tan 1]2。

提示：即解不等式0arctan 21x ££，可得02tan 1x ££6．函数arcsin ln2x y x =+的定义域为(1,1]-。

提示：即解不等式组11ln 2020x x x -££ìï+¹íï+>î，可得11x -<£7．若极限223lim 2x x x a b x®-+=-，则=a 2 ，b =1-。

提示：要使此极限存在，则22lim (3)0x x x a ®-+=，即20a -=，所以2a =；又222232(2)(1)lim lim lim (1)122x x x x x x x x xx®®®-+--==-=---，所以1b =-。

高等数学基础题及答案

一、单项选择题（每小题4分，共28分）1.设，则r(A)= （ D ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 2.已知当（ A ）时，函数为无穷小量．3.当时，下列变量为无穷小量的是（ A ）．A ．B ．C ．D ．4.若，则f (x ) =（ C ）A ．B ．-C ．D ．-5.函数的定义域是（ D ） A ．B ．C ．D ．且6.以下结论或等式正确的是（ C ）A ．若均为零矩阵，则有B ．若，且，则C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若，则7.线性方程组解的情况是（ D ）A . 有无穷多解B . 只有0解C . 有唯一解D . 无解二、填空题（每小题4分，共20分） 1.dx e x 2-．2.函数的原函数是 C x +-2cos 213若函数，则62-x4已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = q q 45412+-5曲线在处的切线斜率是21 三、计算题（每小题5分，共30分）1．已知，求．解：2cos sin 2ln 2)cos ()2()(x xx x xxx y x x ++='-'='2．已知，求．解：xx x x x x x x x f x x x x x 1cos 2sin 2ln 21)(sin 2sin )2()(ln )sin 2()(++=+'+'='+'='3．设，求．解：由xxx y -+=2cos sin 33，得 32232322322233333cos 3cos sin 3cos 3)(cos sin )(cos cos )(sin xx x x x x x x x x x x d d x y=+='-'== 所以 dx xx d y 322cos 3= 4.计算积分．解：原式21)0cos 21(2cos 2102cos 21222=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππx 5．计算解：原式C x+=1cos6．解：原式C x x dxx +-=-=⎰221)2(2四、线性代数计算题（10分）设矩阵A =，求逆矩阵．解：02≠=A ，知A 可逆。

高等数学学习指导及练习(下)基础题答案1(1)

高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章空间解析几何与向量代数8.4 基础题8.4.1 第8章练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章多元函数微分法及其应用9.4 基础题9.4.1 第9章练习1一、选择题 1．函数z =）。

高等数学基础习题集(含答案)

x 0
x[ ] 1 ；同理可得 lim x[ ] 1 ，因此， lim x[ ] 1 ，证毕. 夹逼准则可得 lim
x 0 x 0
1 x
1 x
1 x
13、设 a1 2, an 1
1 1 (an ), n 1, 2,..., 证明： lim an 存在. n 2 an
(1) 对于任意的 x (0, ) ，有 f ( x) (2) 对于任意的 x ( , 0) ，有 f ( x) 【解题思路】用极限的局部保号性即可.
【详解】由保号性，存在 0 ，当 0 x 0 时，
则 f ( x) f (0) 0 ，故 f ( x) f (0) ；同理，若 x ( , 0) ，则 f ( x) f (0) .
x2 , x0, （C） f ( x) 2 x x, x 0.
x 2 x, x 0, （D） f ( x ) 2 x 0. x ,
【解题思路】按题目给出的分段函数，直接将自变量用 x 代替. 【详解】由于 x 0 时， x 0 ，故 f ( x) x x ，同理可得 x 0 时函数表达式.选 D.
高等数学基础练习题
第一章
1、设 f ( x)
函数、极限、连续
则（）
x2 ,
2
x x,
2 ( x x), x 0.
x0,
（B） f ( x )
( x 2 x), x 0, x2 , x 0.
4、设 1 x(cos x 1), 2 小量按照从低阶到高阶的排序是
x ln(1 3 x ), 3 3 x 1 1 .当 x 0 时，以上 3 个无穷

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试卷代号：7032上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题1．函数2sin(4)2()22x x f x x k x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩在2x =连续，则常数k 的值为（）。

A ．1 ；B ．2 ；C ．4- ；D ．42．下列函数中（）的图像关于y 轴对称。

A ．cos xe x B ． cos(1)x + C ．3sin x x D ． xx+-11ln 3．下列函数中（）不是奇函数。

A ．sin(1)x -；B ．xxe e --； C ．x x cos 2sin ； D ．(ln x4．当0x →时，（）是无穷小量。

A ．sin 2x x B ．1(1)x x + C . 1cos x D ．1sin x x5．函数()sin 4f x x =，则 0()lim x f x x→=（）。

A ． 0 ； B ．4 ； C ． 14； D ．不存在6．函数()ln f x x =，则 2()(2)lim 2x f x f x →-=-（）。

A ． ln 2 ； B ．1x ； C ． 12； D ． 27. 设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（）。

A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（）。

A=． 222x x e dx de --=- C ．3313xx edx de --=- D ． 1ln 33dx d x x=9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是（）A.)())((x f dx x f ='⎰B.)()(x f dx x f dx d ba=⎰ C. c x f dx x f +='⎰)()( D. )()()(a f b f x f d b a-=⎰ 10．曲线xy e x =-在(0,)+∞内是（）。

A ．下降且凹；B ．上升且凹；C ．下降且凸；D ．上升且凸 11．曲线321233y x x x =-+在区间()2,3内是（）。

A ．下降且凹 B ．上升且凹 C ．下降且凸 D ．上升且凸 12．下列无穷积分为收敛的是（）。

A.sin xdx +∞⎰ B. 02xe dx -∞⎰ C.012x e dx --∞⎰ D.1+∞⎰ 13．下列无穷积分为收敛的是（）。

A.21x dx +∞⎰B.1+∞⎰C. 21x dx +∞-⎰ D. 21xe dx +∞⎰14．下列广义积分中（）发散。

A ．121x dx +∞-⎰； B ．311dx x+∞⎰； C ．211dx x +∞⎰； D ． 321x dx +∞-⎰ 15．设函数)(x f 的原函数为()F x ，则211()f dx x x =⎰（）。

A ． ()F x C +； B ．1()F C x -+； C ．1()F C x +； D ．1()f C x+16．下列广义积分中收敛的是（）二．填空题1．函数()f x =的定义域是。

2．函数3y x =-的定义域是。

3．函数ln(1)y x =+的定义域是。

4．曲线2x y e -=在点M 处的切线斜率为22e --，则点M 处的坐标为。

7. 设2()1f x x =-，则='))((x f f 。

8. 设()f x 的一个原函数是sin 2x ，则=')(x f 。

9．已知()()F x f x '=，则2(1)xf x dx -=⎰。

10． 11(x x dx -=⎰ 。

11．131(cos 1)x x dx -+=⎰。

12．02cos xd t t dt dx ⎰= 。

13．设sin 0()xtF x e dt -=⎰，则()2F π'= 。

14．设()F x 为()f x 的原函数，那么(cos )sin f x xdx =⎰ 。

15．设2(1)0()x t F x e dt --=⎰，那么(1)F '= 。

三．计算题1、求极限1241lim 41xx x x -→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭2、求极限4121lim 23x x x x -+→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭3、求极限43lim32xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭4、求极限0x →5、求极限2x → 6、求极限0x →7、设函数(cos xy x e =-，求dy 。

8、设函数1)y x =+，求dy9、设函数(2ln 2y xx =，求dy 。

10、设函数31cos 2x y x+=，求dy 。

11、设函数321xxy e =+，求dy 。

12、设函数221x e y x -=+，求dy 。

13、设函数sin 21cos x y x =+，求dy 。

14、计算不定积分 2sin 2x x dx ⎰15、计算不定积分 2cos 3x x dx ⎰ 16、计算不定积分 23xx e dx -⎰四、应用题1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。

2、求由抛物线2y x =与直线2y x =-所围的面积。

2y x =4、求由抛物线22y x =-与直线y x =所围的面积。

yx2y x=-2y x =2y x x=-y x =xy-1 23y y x=22y x =-x5、求由抛物线2y x =与直线6y x =-所围的面积。

6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。

7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。

9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

yx6y x=-2y x =-1 234试卷代号：7032上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题答案一．选择题1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6. C 7. C 8．C 9．B 10． B 11．A 12．B 13．C 14．A 15．B 16．A二．填空题1．34x << 2．13x x ≥-≠且 3．150x x -<≤≠且4．()21,e - 5．()1ln 222y x -=- 6． 2sin 2(cos 2)xf x dx '- 7. 241x - 8. 4sin 2x - 9． 21(1)2F x C -+10．23 11．0 12．2cos x x -13．1e - 14． (cos )F x C -+ 15．1 三．计算题1、求极限1241lim 41xx x x -→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解：121212414122lim lim lim 1414141xxxx x x x x x x x ---→∞→∞→∞-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝e2、求极限4121lim 23x x x x -+→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解：414141212344lim lim lim 1232323x x x x x x x x x x x -+-+-+→∞→∞→∞-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝8e3、求极限43lim 32xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭解： 4432lim lim 13232x xx x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭83e -=4、求极限0x →解：0033lim 22x x x x→→==--5、求极限20x →解：223003lim 232x x x x x →→⋅-==- 6、求极限0x →解：002lim 12x x xx →→-==- 7、设函数(cos xy x e =-，求dy 。

解：3cos 22xy xex =-()31cos cos cos cos 221cos cos 22sin 3sin 3xxx xx x y x e x e x e x xe x dy e x xe x dx'⎛⎫'''=+-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭8、设函数1)y x =+，求dy 。

)cos(31)cos(31)1)1)y x x x x '''=++=+-+解：1)1)dy x x dx ⎫=+-+⎪⎭9、设函数(2ln 2y xx =，求dy 。

解： 522ln 2y x x x =-5222()ln 2(ln 2)()y x x x x x ''''=+-22ln 22x x x x =+-3252ln 22dy x x x x dx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭10、设函数31cos 2x y x+=，求dy 。

解：()()()()231cos 231cos 2cos 2x x x x y x ''+-+'=()()23cos 2231sin 2cos 2x x xx ++=()()23cos 2231sin 2cos 2x x xdy dx x ++=11、设函数321xxy e =+，求dy 。

()()()()()()()()3333223333232121216112161x x x xx x xxx x e x e e xe y ee exe dy dxe ''⋅+-⋅++-'==+++-=+解：12、设函数221xe y x -=+，求dy 。

()()()()()()()()22222222222222112111211xxxxe x e x x x e y x x x x e dy dxx ----''⋅+-⋅+-++'==++-++=+解：13、设函数sin 21cos xy x=+，求dy 。

解：()()()()2sin 21cos sin 21cos 1cos x x x x y x ''+-⋅+'=+()()()22cos 21cos sin 2sin 1cos x x x x x +-⋅-=+()()22cos 21cos sin 2sin 1cos x x x xdy dx x ++⋅=+14、计算不定积分 2sin2x x dx ⎰2:x 解 2x 2 0+ — + sin2x 2cos 2x - 4-sin 2x 8cos 2x 2sin 2x x dx ⎰＝-+++22cos 8sin 16cos 222x x xx x C 15、计算不定积分 2cos3x x dx ⎰2:x 解 2x 2 0+ — +cos 3x 3sin 3x 9cos 3x - 27sin 3x - 2cos 3x x dx ⎰23sin 18cos 54sin 333x x x x x c =+-+16、计算不定积分 23x x e dx -⎰解： 2x 2x 2 0+ — + 3xe-313xe-- 319xe- 3127xe --223333223927xx x xx x x e dx e e e c ----=---+⎰四、应用题1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。