2021高等数学基础作业答案
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3.解: 《髙等数学基础》作业丄参考贅案第1章 函 数 第2章极限与连续/(2)—2,/(0) = 0,/ ⑴"之.2x —1 ------ >0, x x^O.•.函数y = lg 红丄的定义域为(-8, 0)ol-,+oo I.如图，梯形ABCD 为半圆o 的内接梯形，ABDDC, AB=2R,高DE=x连接OD,则DDEO 为直角三角形，OD=R, QE=^J R 2-X 2, DC = IOC= 2^R 2-x 2,梯形的面积S=gr ＞E （DC+AB ）=［（27?+2保 一/） +兀2）,（其中0＜兀＜人）X sin 3x 2x 3 3“ sin3x “ 2x 34.解：原式=lim -------------------- =—lim -------- lim ------- =—io 3X sin 2x 2 2 3x sin 2x 2解：原式=lim 沁•丄 = 31im 沁Jim 丄" XTO 3x cos 3x “To 3X XTOCOS 3兀二、填空题1.(3,+8);2.—X ； 3.? ； 4.e;5.兀=0 ；6.无穷小量.一、单项选择题1.C2. C3.B4. C5. D6. C7. A三、计算题2.解: 要使ig2口 有意义，必须X 5.X+1解：原式=lim —(x-1) = lim — xT-isin(x + l) xT-isi _¥ + ]———・lim(x-1) = -2sin(x + l)工*+ x 2解：原式=limXT Olimx 2 •smx+ x 2 +1 • sin x(5)解：/ = --—^―——2x sinx-(lnx-x 2)cosx sin x x 丿1-2x 2 x 2 - In x = -------------- H ---------- T ----- COS X• • 2xsmx sin x（6）解：二 4兀3 — cos 兀In 兀一 *m 兀.8.解：原式=limXT8 x+3x-1x+39.解：原式=lim XT 4 (x-4)(x-2) (x —4)(x —1) = i im £z^ = Z XT4 X -1 3 第三章 导数与微、 单项选择题 l.B 2.D 3. A 4.D 5. C 二、填空题 21nx+511. 0；2.；3.—；x24. y —1 = 0；5. 2%2X(in x+1)；6.三、计算题 1.求下列函数的导数；/：(W ： 3 —x^e 2、 y 丿 C 3 込+3 /,・•・ (2)解： y = ----- ——2xlnx + x 2 • —= ----- ——2xlnx+xsin x x sin xxIn 2x(21nx-l).1cosx + 2x)-3x ln3(sinx+x 2)J⑵解：y - 1 •(cosx ) cos x ( 12 (3)解：y = X x - X 1I 7 J(4)解：y =2 sin x-(sinx) =2sinx-cos x =sin 2x.(8)解：= e x tan x + e x------- + — COS X X x ( 1)1—c tan x -\ ------ - — H —.V COS X) X 2.求下列函数的导数;/：(1)解：V 二”・(石)-~—j=e^.(5) 解：/ = cosx 2 -(x 2) = 2xcos x (6) 解：)/二—sine" •(/) = -e x -sin e x ・(7) 解：y = n sin n_1 x-cosx-cos nx +sin n x (-sinnx)-n =n sin n_1 x• (cosxcos nx-sin x sin nx) - nsin M_1 x-cos(n + l)x (8) 解:/ = 5sinx -In5 (sin x) = 5sinx cosxIn5. (9)解:y =严空容打=—sin 兀严二 3.在下列方程中，y = y(x)是由方程确定的函数，求;/：(1) 解:/cosx+ y(-sinx) = e 2y - 2y\ y(cosx-^2y ) = ysin x,⑺解：y'\2smx ----- = -tanx cosxZ 7 -1ysinx 「•y=-cosx-^ 丿(2)解：/ = -sin y- /Inx+ C0S ,xa • i x , cosy(l + smylnx)y = -------- ,x.,_ cos yx(l + sin yin x)(3)解：ysiny = p两边求导，得，.丄,1y smy + ycosy y =—,.,= 12(siny+ycosy)(4)解：y=i+—=i+—.y y(5)解丄+ e y -y' = 2y- /,x1(6)解：2y y =e x sin y + e x・cosy[ly-e x cosy)y = e siny,, e x sin y・•・y = ----------- .2y-e x cosy(7)解:e y -y=e x-3y2 -y,("+3b)y = k/ b-(8)解:y = 5x ln5 + 2y ln2-y,(l-2y ln2)/ = 5r ln5,,5Tn5.•- y = .1-2524.求下列函数的微分芳:(1)解：y' = — esc2 x-cot2 x esc x = - esc x(cotx + esc x), dy = y dx —一esc x (cot x + esc x) dx.— sin x 一 cos xln x.(c 、心 / r sin x - xcos xln x 2 解:v y = 2 ------------- --- ---------- = ------------- -- ---------sin x xsin x , sin x -兀cos xln x . ay = --------------- -- ------- ax. x sin x (3) 解：T y f = 2 sin % cos x = sin 2x, dy = sin 2xdx. (4)解:・.・ y - sec 2 e x • e x = e x sec 2 x, dy = e x sec 2 xdx.5. 求下列函数的二阶导数:(2)解：y = 3Tn3, = 3X In 2 3.⑶解：y=-,X“ 1(4)解:/ = sinx + xcosx,^ = cosx + (cosx-xsinx) = 2cosx-xsin x.四、证明题证：由题设，有/ （一兀）=一 / （兀）,••• [/（—X ）]' = [_八尢）]'' 即/'（-兀）（- 1）= -厂（兀）， 厂（-兀）=厂（兀） /.厂（X ）是偶函数.《髙等数学基础》、作业3参考答案'第四章导数的应用一、单项选择题1. D2. D3. A4.C5. C6. A二、填空题1.极小值；2. 0；3. (-00,0)；4.(0,+8)；5. /(a)；6. (0,2).三、 计算题1•解：令# =（兀-5『+ 2（兀+1）（兀一5） = 3（兀一 5）（兀一1） = 0, 得：x x = l,x 2 =5.(i)解:y=^=2 I 2 丿 432列表如下・・・函数y的单调增区间为（-汽1）,（5,+-）,单调减区间为（1,5）. 当x二1时，函数取得极大值32；当x二5时，函数取得极小值0.2.解：令# = 2兀一2 = 2（兀一1） = 0,得兀=1.当兀丘［0,1）时,y <0；当兀w（1,3］时,y >0.・・・函数y = / _ 2兀+3在区间［0,3］上的极值点为兀=1.又・・・y（O）= 3,y（l） = 2,y（3）= 6,・・・函数y = X2-2X+3在［0,3］上的最大值为6,最小值为0.3解设所求的点P（兀,y）,|PA| = d,则尸=2x,（x> 0）〃=J（x_2）2 +（y _0『=y/x2 -4x + 4 + 2x = A/X2-2X +4令F__ ：x_2 _ 兀_］2A/X2— 2x+4 yj — 2x+4得兀二］易知，兀=1是函数d的极小值点，也是最小值点.此时,y2 = 2x1 = 2, y = ±V2,・・・所求的点为P（1,V2）或4.解：如图所示，圆柱体高/z与底半径厂满足A2 + r2 = £2I圆柱体的体积公式为rV = 7rr2h L L将/ =L2-7Z2代入得V二兀①一代）h求导得令宀°得靑L ,并由此解出r伞.即当底半径吕,高"晅厶时’圆柱体的体积3答mg・•・R= £最大.5.解：设圆柱体半径为R,高为h,则h = " ,S 夷面和=2兀Rh + 27rR 2 - 2匕 + 27T R 2 TT R2表面积 R 令& = 4历7?—学=0 得R =R-\171当Refo 30时，S'<0,当RwI 工是函数S 的极小值点，也是最小值点. 2龙此时h=淫.\ 714Vh = 3——时表面积最大.V 716.角军：设长方体的底边长为兀米，高为h 米.则 由62.5 = x 2/z 得 h —62?x250用料的面积为：S — %2 + 4x/z = x 2 ，（兀＞0）x令 S‘ = 2;r -2^ = 0 得 x 3 = 125, x = 5x易知，兀=5是函数S 的极小值点，也是最小值点. 答：当该长方体的底边长为5米，高为2. 5米时用料最省。
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高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
(完整版)高等数学课后习题答案-20211108152903
高等数学课后习题答案第一部分：导数与微分1. 题目：求函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x + 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。
解答思路：我们需要求出函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $。
根据导数的定义，我们可以通过对函数进行求导来得到导数表达式。
然后，将 $ x = 2 $ 代入导数表达式中，即可得到 $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的导数值。
具体步骤如下：对 $ f(x) $ 进行求导，得到 $ f'(x) $ 的表达式。
将 $ x = 2 $ 代入 $ f'(x) $，得到 $ f'(2) $ 的值。
2. 题目：求函数 $ g(x) = e^x \sin x $ 在 $ x = 0 $ 处的导数。
解答思路：同样地，我们需要求出函数 $ g(x) $ 的导数 $ g'(x) $。
由于 $ g(x) $ 是两个函数的乘积，我们需要使用乘积法则来求导。
然后，将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，即可得到 $ g(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。
具体步骤如下：对 $ g(x) $ 使用乘积法则求导，得到 $ g'(x) $ 的表达式。
将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，得到 $ g'(0) $ 的值。
3. 题目：求函数 $ h(x) = \frac{x^2 1}{x + 1} $ 在 $ x =0 $ 处的导数。
解答思路：对于这个题目，我们需要使用商法则来求导。
我们需要求出函数 $ h(x) $ 的导数 $ h'(x) $。
然后，将 $ x = 0 $ 代入$ h'(x) $，即可得到 $ h(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。
具体步骤如下：对 $ h(x) $ 使用商法则求导，得到 $ h'(x) $ 的表达式。
2021年全国大学高等数学考试及答案解析
2021年全国大学高等数学考试试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ）()()()()()()()()()()()()A PB A P B A B P B A P B AC P B A P B AD P B A P B A ><><（8）设12,(2)n X X X n ⋅⋅⋅≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）()()22221122221()()2()()()()ni n i ni i A X B X X C X X D n X μχχχμχ==----∑∑服从分布服从分布服从分布服从分布二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (1) 20ln cos lim_________.x xx →=(2)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(3)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(4) 幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________（5）设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为_________（6）设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX=_________三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(2)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(3)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.（4）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2f(x)(x)，g(x)xB.2f(x)x，g(x)x2x1C.3f(x)lnx，g(x)3lnxD.f(x)x1，g( x) x1⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.yx⒊下列函数中为奇函数是（B）．2A.yln(1x)B.yxcosxC.xa xayD.yln(1x) 2⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.yx1B.yxC.2yxD. y 11,,xx⒌下列极限存计算不正确的是（D）．2x A.lim12xx2 B.limln(1x)0x0sinx C.lim0xx1 D.limxsin0xx⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．A. s inxxB.1xC.x 1sinln(x2)D.x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。
A.limf(x)f(x0)xxB.f(x)在点x0的某个邻域内有定义C.limf(x)f(x0)xx0 D.limf(x)limf(x)xxxx00二、填空题2x9⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是．{xx3或x3}x3⒉已知函数f(x1)xx，则f(x)．xx⒊11xlim．2(1)ex2xx(1x),x0⒋若函数f(x)，在x0处连续，则k．exk,x0⒌函数x1,x0y的间断点是．x0 sinx,x0⒍若limf(x)A，则当xx0 x x时，f(x)A称为．无穷小量0三计算题⒈设函数f(x)xex ,, xx求：f(2),f(0),f(1)．解：f(2)2f(0)0f(1)1e e点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
即正确选择某段函数。
⒉求函数y2x1lglg的定义域．x2x1解：欲使函数有意义，必使lg0x，2x1即：1x亦即：2x1x解得函数的定义域是：x1点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
2021年国开电大《高等数学基础》第一次作业答案
2021年国开电大《高等数学基础》第一次作业答案高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2x x a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=fe ef ==1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
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第一章 函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tan B 。
y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】A. +arctan y x x = B 。
cos y x =C. arcsin y x =D 。
sin y x x =⋅4. 下列函数中,定义域是[,+]-∞∞，且是单调递增的是【 】A. arcsin y x =B. arccos y x =C 。
arctan y x = D. arccot y x =5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)πB. (,)22ππ- C 。
[,]22ππ- D 。
(,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】A. arcsin y x = B 。
高等数学基础教材课后答案
高等数学基础教材课后答案1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 常用极限和极限运算法则2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义与基本性质2.2 高阶导数与导数的计算2.3 微分的概念与运算3. 第三章：微分中值定理与导数应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与泰勒公式3.3 极值与最值的判定3.4 应用题：切线与法线、曲率与弧长4. 第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表与积分方法4.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法5. 第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的求导5.4 高阶导数与泰勒展开5.5 一元函数与多元函数的导数比较6. 第六章：多元函数的极值与条件极值6.1 多元函数的极值判定与求解6.2 条件极值的求解6.3 隐函数的极值7. 第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 广义积分的概念与性质7.3 三重积分的概念与计算7.4 曲线积分的概念与计算8. 第八章：无界区域上的积分8.1 狄利克雷条件8.2 无界闭区域上的积分8.3 圆周率的计算9. 第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的解法与应用9.2 高阶常微分方程的解法9.3 变量分离与恰当方程9.4 拉普拉斯变换与常系数线性微分方程10. 第十章：偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念10.2 分离变量方法与特征线法10.3 热传导方程与波动方程10.4 边界值问题与最值问题以上为《高等数学基础教材》课后习题答案的大致内容。
对于每个章节的习题，下面是一些示例题目及其解答作为参考：【第一章：函数与极限】习题1：已知函数f(x)=3x^2+2x-1，求f(-2)的值。
解答：将x=-2代入f(x)，得到f(-2)=3*(-2)^2+2*(-2)-1=13。
习题2：证明函数f(x)=x^3+2x^2-3x+5是奇函数。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (14)
2021届高考数学基础得分题集及答案（14）1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案：D解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 答案：D解析：∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴m ≤2＋12＝52，故选D.3．[2017·甘肃兰州高三诊断]定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e (e 为自然对数的底数)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <c D ．a <c <b答案：A解析：当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，解得f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象上的点距离直线x ＝1越近，函数值越大，又log 28＝3，所以log 28>2－1e >2>1，得f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f (log 28)，故c <a <b .4．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2) >e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2) <e x 2f (x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 答案：A解析：设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ， 由题意g ′(x )>0， 所以g (x )单调递增， 当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)ex 2，所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)． 5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,2)答案：A解析：对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x<0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．6．已知函数f (x )＝x ＋1ax 在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(0,1]D ．(－∞，0)∪[1，＋∞) 答案：D解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax 2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a ≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x <－1时，x 2>1，则有1a ≤1，解得a ≥1或a <0.7．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案：(－3，－1)∪(1,3)解析：因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)；由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)．由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.8．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． 答案：(0,1)解析：函数的定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．9．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立． 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎨⎧g (－1)≤0g (1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.[冲刺名校能力提升练]1．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3]答案：A解析：∵f (x )＝12x 2－9ln x ， ∴f ′(x )＝x －9x (x >0)， 当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上函数f (x )是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.2. f (x )，g (x )(g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案：C解析：f (x )g (x )是奇函数，∵当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，则f (x )g (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．又f (－3)＝0，则有f (－3)g (－3)＝0＝f (3)g (3)，可知f (x )g (x )<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选C.3．[2017·河北衡水中学月考]已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 答案：D解析：令g (x )＝f (x )e x，则g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )e x ′＝f ′(x )e x －f (x )(e x )′e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f (1)e 1<f (0)1，f (2 016)e 2 016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．4．[2017·河北“五个一”名校联盟一模]已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则平面区域⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，f (2a ＋b )≤1的面积是( )A ．2B ．4C ．5D ．8答案：B解析：由导函数的图象可知，函数f (x )在[－2,0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，∵a ≥0，b ≥0，∴2a ＋b ≥0. 又f (4)＝1，f (2a ＋b )≤1， ∴f (2a ＋b )≤f (4)， ∴0≤2a ＋b ≤4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，0≤2a ＋b ≤4，画出图象如图所示，图中阴影部分的面积为S ＝12×2×4＝4，故选B.5．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0，当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数．若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )>0，所以当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)．。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (37)
2021届高考数学基础得分题集及答案（37）1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：B解析：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案：A解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此只有直线过AB 的中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.3．[2017·山东泰安模拟]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14答案：D解析：作出不等式组对应的区域△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.4．[2017·河北唐山一模]若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －5≤0，则yx 的最大值是( )A.32 B ．1 C ．2 D ．3答案：C解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，yx 表示区域内的点与原点连线的斜率，由图知直线AO 的斜率最大，所以yx 的最大值为2－01－0＝2，故选C.5．[2017·湖南株洲模拟]已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12 B.13 C ．1 D ．2答案：A解析：如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点(1，－2a )处取得最小值，由2×1－2a ＝1，解得a ＝12.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 答案：C解析：依据线性约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，注意到y ＝kx －3过定点(0，－3)．∴斜率的两个端点值为－3,3，两斜率之间存在斜率不存在的情况， ∴k 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故选C.7．[2017·河北衡水中学一调]已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，设OA→与OB →的夹角为θ，则tan θ的最大值为( )A.12 B.47 C.34 D.94 答案：C解析：作为可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －3＝0，得C (1,2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得D (2,1)．由图知(tan θ)max ＝2－121＋1＝34.8．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案：D解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．答案：4解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4. 10．[2017·河北石家庄模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．答案：(0,1)解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)．作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．11．[2017·湖南衡阳二模]点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1(k >0)的最大距离为22，则实数k ＝________.答案：±1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的区域为△BCD (如图所示)，直线kx －y －1＝0过定点A (0，－1)，由图象可知点D (0,3)到直线kx －y －1＝0的距离d 最大，此时d ＝|－3－1|k 2＋1＝22，解得k ＝±1.12．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x＝________.答案：13解析：画出线性约束条件所表示的区域，如图中阴影部分所示．作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.[冲刺名校能力提升练]1．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10] C ．[2,9] D ．[10，9]答案：C解析：区域M 如图中的阴影部分所示，其中点A (1,9)，点B (3,8)．由图可知，要使函数y ＝a x (a >0，a ≠0)的图象过区域M ，需a >1. 由函数y ＝a x 的图象特征知，当图象经过区域的边界点A (1,9)时，a 取得最大值，此时a ＝9;当图象经过区域的边界点B (3,8)时，a 取得最小值，此时a 3＝8，即a ＝2.综上，a 的取值范围为[2,9]．2．[2014·山东卷]已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2答案：B解析：解法一：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．解法二：把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－25|52＝4.3．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个实根分别是x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，则b －2a －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(0,1)∪(1,2) D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案：B解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2b >0，1＋a ＋2b <0，4＋2a ＋2b >0，在直角坐标系aOb 中画出可行域D (画图略)，它是以A (－1,0)，B (－2,0)，C (－3,1)为顶点的三角形内部区域(不含边界)，b －2a －1的几何意义为D 内的点P (a ，b )与定点Q (1,2)连线的斜率，显然k CQ <k BQ <k AQ ，即b －2a －1的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.4．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}答案：B解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.5．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．答案：3解析：画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋5y 得，y ＝－15x ＋z5.故目标函数在点P 处取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋1，m m ＋1， 代入目标函数得4＝1m ＋1＋5m m ＋1，解得m ＝3.6．[2017·福建福州三月质量检查]已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 成等差数列，则实数z 的最大值是________．答案：3解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为4x ，z,2y 成等差数列，所以z ＝2x ＋y ，联立⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，y ＝x ，解得A (1,1)，所以z max ＝3.7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案：6解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0.经平移可知，目标函数z＝x ＋y在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值．而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域，如图中阴影部分所示．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。
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2020年高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(⒉求函数xx y 12lglg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使012lg >-xx ， 即：112>-xx 亦即：x x >-12解得函数的定义域是：1>x⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=则梯形的面积2)22(22xR x R s +-=)0()(22R x x R x R <<+-=⒋求xxx 2sin 3sin lim0→．解：原式=23112322sin lim 33sin lim2300=⨯=⨯→→x x x xx x ⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：原式=2121)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 111-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x⒍求xxx 3tan lim 0→．解：311133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=⨯⨯=⨯=⨯=→→→→x x x x x x x x xx x x x⒎求xx x sin 11lim 20-+→．解：原式=010sin 1lim11limsin )11()11)(11(lim202220=⨯=⨯++=++++-+→→→xx x x xx x x x x x ⒏求xx x x )31(lim +-∞→． 解：原式=333131-+→∞⎪⎭⎫⎝⎛+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x lim x x =33343343-+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x lim x x=33341341-∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x lim x lim x x x =3341+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim=443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =4-e⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=3212lim )1)(4()2)(4(lim44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。
解：先看函数在分段点1-=x 处的情况，∵011)1()(limlim 11=+-=+=---→-→x x f x x 1)(lim lim 11-==++-→-→x x f x x∴)()(lim lim 11x f x f x x +--→-→≠，故)(lim 1x f x -→不存在。
∴1-=x 为函数)(x f 的间断点。
再看函数在分段点1=x 处的情况，∵1)(limlim11==--→→x x f x x1)2()(211lim lim =-=++→→x x f x x ∴)()(lim lim 11x f x f x x +-→→=，故1)(lim 1=→x f x 。
又因为1)1(1===x x f所以)1()(lim 1f x f x =→故1=x 是函数)(x f 的连续点。
函数)(x f 在连续区间是：),1()1,(+∞-⋃--∞。
高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim0（B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（A ）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设xx x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d xx 5ln 2+⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21． ⒋曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程是1=y ．⒌设xx y 2=，则='y ()2ln 22+x xx．⒍设x x y ln =，则=''y x1． （三）计算题⒈求下列函数的导数y '：点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。
⑴xx x y e )3(+=解：xx x xxe e x e x e e x y 323)3(232123++='+='=)323(2123++x x e x⑵x x x y ln cot 2+=解：)ln 2sin cos cos sin sin ()ln sin cos (222x x x x x x x x x x x x x y ++--='+=' =x x x x ++-ln 2sin 12 ⑶xx y ln 2=解：x x x x x x x y 22ln )1ln 2(ln ln 2-=-='⑷32cos xx y x+= 解：6233)2(cos )2ln 2sin (xx x x x y x x ⋅+-+-=' =423cos 322ln sin x x x x x xx ⋅--⋅+-⑸x x x y sin ln 2-=解：xx x x x x x y 22sin )(ln cos sin )21(---=' =xx x x x x x 222sin )cos(ln sin )21(---⑹x x x y ln sin 4-=解：)sin ln (cos 43x x x x x y +⨯-=' =xx x x x sin ln cos 43-⨯-⑺xx x y 3sin 2+= 解：xx x x x x x y 223)(sin 3ln 33)2(cos +-+='=xx x x x 3)(sin 3ln 2cos 2+-+ ⑻x x y xln tan e +=解：x xe x e y x x1)cos tan (2++=' =x xx x e x 1cos )1cos (sin 2++ ⒉求下列函数的导数y '：这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。
设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
⑴xy e=解：xxexe y xx221=⋅='⑵x y cos ln = 解：x xxy tan cos sin -=-='⑶x x x y =解：因为87814121x x x x y =⋅⋅=所以 8187-='x y⑷x y 2sin =解：因为x x x y 2sin cos sin 2=⋅=所以 )211()(313221x x x y ++='-⑸2sin x y =解：22cos 22cos x x x x y =⋅='⑹xy e cos =解：='y xx e e ⋅-sin=xx e e sin - ⑺nx x y ncos sin =解：)(cos sin cos )(sin '⋅+'='nx x nx x y nn=n nx x nx x x n n n ⋅-⋅+⋅⋅-)sin (sin cos cos sin 1=)sin sin cos (cos sin 1nx x nx x x n n --⑻xy sin 5=解：设xu y usin 5==x u u y y '⋅'='=x x xu cos 55ln cos 5ln 5sin ⋅⋅=⋅ 注：因只有一次复合，也可直接计算。