Fibonacci数列(斐波那契数列) ppt课件
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Fibonacci数列斐波那契数列PPT学习教案
猜 指数测形：式根。据不前妨面设的为观察fn， 可n 进以行猜fn尝测试。具将有 代入差n 分方程：
fn2 fn1 fn
得到 n2 n1 n
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3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
2 1
解得
1
1 2
5
2
1 2
5
由此可知这两个都是差分方程的解。
第11页/共26页
也符合也符合06180618的分割的分割2424小时中小时中2323时间是工作与生活时间是工作与生活1313时间时间第19页共26页从辩证观和大量的生活实践证从辩证观和大量的生活实践证明动与静的关系同一天休息明动与静的关系同一天休息与工作的比例一样动四分与工作的比例一样动四分静六分才是最佳的保健之道静六分才是最佳的保健之道
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3.Fibonacci数列的通项公式
求解得
C1
1 5Biblioteka C21 5因此得Fibonacci数列的通项公式为：
fn
1 5
1
2
5
n
1 2
5
n
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4.自然界中的斐波那契数列
设
，则有
，
gn
fn f n 1
lim
n
gn
5 1 0.618 2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。
an
2
a1
2an1 3, a2
2an 8
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2.观察Fabonacci数列
利用matlab的polyfit(x,y,n)命 令拟合得
程序：
f(1)=1;
f(2)=1;
Fibonacci数列(斐波那契数列)
1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2
n
n
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数
c1 , c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作 用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大 有好处。现在发现此比值和医学保健、健康 长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的 黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处 不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度 与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均 近似于0.618。
4.自然界中的斐波那契数列
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以 有时人们在时间中并非注意到这个比例，而 特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了 这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本 身就存在有美的性质。
5.练习
借助计算机，求解下列线性差分方程（即求 出数列的通项公式）。
an2 2an1 2an a1 3, a2 8
得到
fn2 fn1 fn n2 n 1 n
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
解得
1
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
Fibonacci数列(斐波那契数列) ppt课件
因此，差分方程的解为：
n
n
fn
C1
1
2
5
C2
1 2
5
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3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f2 1 ,可能确定常数 c1, c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
，则有
lim
n
gn
5 1 0.618，
2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
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4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
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4.自然界中的斐波那契数列
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联 系。例如照相机的片窗比例：135相机就是 24X36即2:3的比例，这是很典型的。120相 机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后 期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分 割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会 发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比 例。这可能是受传统的影响，也养成了人们 的审美习惯。
学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几
高中数学必修5《斐波那契数列》PPT
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 13 21 34 55 89 144
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
斐波那契数列-课件(PPT-精)PPT共53页
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
斐波那契数列-课件（PPT-精）
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
45、自己的饭量自己知道。——苏联
斐波那契数列-课件（PPT-精）
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
斐波那契数列通项公式的推导方法ppt课件
即 bn =2 bn1 数列{ bn }为等比数列， 其中b1 = a1 +1=2,q=2 bn =2 2n1 = 2n an 2n 1
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
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an
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5
2
1 2
5
由此可知这两个都是差分方程的解。
ppt课件
12
3.Fibonacci数列的通项公式
猜测：1 和 2 都是差分方程的解，都是数列 的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fn C11n C22n ，代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！
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4
2.观察Fabonacci数列
为了能直观了解数列的特性，首先计算出 Fabonacci数列的前20项。
Excel法 Matlab法
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5
2.观察Fabonacci数列
Matlab程序 f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end [1:20;f]'
p 0.4782n 0.7624
Q p ln( f ) f e p
f e0.4782n0.7624 0.4665e0.4782n
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
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10
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2 fn1 fn ，称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。
水平均处于最佳状态。再如，营养学中强调，
一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配
进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃 病。
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19
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有 生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明，
生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，
也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心
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6
2.观察Fabonacci数列
如何求它的通项呢？（粗略地求） 拟合法
利用excel拟合 先绘制散点图 利用拟合方法拟合
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7
2.观察Fabonacci数列
利用matlab拟合 直接拟合有点难！ 把数列的前20个数取对数，然后再绘散点图，
看看有什么规律？
取对数后散点图 为直线，可以利 用线性回归知识 拟合直线了！
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4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作 用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大 有好处。现在发现此比值和医学保健、健康 长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的 黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处 不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度 与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均 近似于0.618。
Fibonacci数列（斐波那契数列）
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1
1. 提出问题
13世纪初,意大利的数学家 Fibonacci(1170-1250)提出了一个有趣的 问题：如果最初有一对刚出生的小兔，两个 月后就成熟，成熟后每月生一次且恰好生一 对（一雌一雄），且出生的小兔都能成活， 则一年后共有多少对兔?
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理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达
到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活 作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时 间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在 动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还 是"生命在于静养"？
猜测：根据前面的观察，可以猜测 fn 具有
指数形式。不妨设为 fn n 进行尝试。将
n 代入差分方程：
fn2 fn1 fn
得到 n2 n1 n
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Hale Waihona Puke 113.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有 2 1
解得
1
1 2
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18
4.自然界中的斐波那契数列
而且，越是接近于这个值，整个形体就越匀 称，越令人觉得完美。人在环境气温22℃－ 24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温 是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰 好是22.4℃－22.8℃，而且在这一环境温度 中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢
2
1. 提出问题
ppt课件
3
1. 提出问题
越往后就越复杂，最后归纳得
数列{Fn}称为Fibonacci数列.直到1634年， 才有数学家奇拉特发现此数列具有非常简单的 递推关系：
F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1. 由于这一发现，此问题引起了人们的极大兴趣，
后来又发现了该数列的更多性质
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3.Fibonacci数列的通项公式
求解得
C1
1 5
C2
1 5
因此得Fibonacci数列的通项公式为：
fn
1 5
1 2
5
n
1
2
5
n
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15
4.自然界中的斐波那契数列
设
gn
fn f n 1
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2.观察Fabonacci数列
利用matlab的polyfit(x,y,n)命令拟合得
程序：
f(1)=1;
f(2)=1;
for i=3:20
f(i)=f(i-1)+f(i-2);
end
y=log(f);
p=polyfit(x,y,1)
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2.观察Fabonacci数列
因此，差分方程的解为：
n
n
fn
C1
1
2
5
C2
1 2
5
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3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f2 1 ,可能确定常数 c1, c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
，则有
lim
n
gn
5 1 0.618，
2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
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4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。