Fibonacci数列(斐波那契数列)
斐波那契数列
斐波那契数列以费波那西数为边的正方形拼成的长方形费波那西数列（Fibonacci Sequence），又译费波拿契数、斐波那契数列、费氏数列、黄金分割数列。
▪▪▪源起▪第一个月初有一对刚诞生的兔子▪第二个月之后(第三个月初)它们可以生育▪每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子▪兔子永不死去假设在n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。
在n+2 月必定总共有a+b对：因为在n+2 月的时候，所有在n 月就已存在的a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。
表达式为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。
高中的初等数学知识也能求出。
初等代数解法已知▪▪▪首先构建等比数列设化简得比较系数可得:不妨设解得：所以有，即为等比数列。
求出数列{}由以上可得：变形得：。
令求数列{}进而得到{}设，解得。
故数列为等比数列即。
而，故有又有和可得得出表达式性代数解法构建一个矩阵方程设J n为第n个月有生育能力的兔子数量，A n为这一月份的兔子数量。
上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。
而要求的是，A n+1的表达式。
求矩阵的特征值：行列式：-*(1-)-1*1=2--1当行列式的值为0，解得=或=将两个特征值代入求特征矢量得==分解首矢量第一个月的情况是兔子一对，新生0对。
将它分解为用特征矢量表示。
（4）从=可得（5）化简矩阵方程将（4）代入（5）根据3求A的表达式现在在6的基础上，可以很快求出A n+1的表达式，将两个特征值代入6 中(7)(7)即为A n+1的表达式近似值用计算机求解可通过编程观察斐波那契数列。
分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。
第二种是已知序数，求该项的值。
可通过递归递推的算法解决此两个问题。
事实上当n相当巨大的时候，O(n)的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵加速这一技巧。
斐波那契数列 母函数
斐波那契数列母函数斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个用递归的方式定义的数列，通过定义一个公式来递推得到。
数列的第 n 项为 f(n)，f(0) = 0，f(1) = 1，f(i) = f(i-1) + f(i-2)，其中i≥2。
这个序列的前几项为：0、1、1、2、3、5、8、13、21…以此类推。
斐波那契数列在数学上有很多有趣的性质和应用，例如：黄金分割、螺旋形等等。
我们可以将斐波那契数列看作是一种数学对象，可以用一种数学工具——母函数表示。
什么是母函数？母函数是一个常用于组合数学中的数学工具，它可以将一个离散的序列（如组合数、拉格朗日插值多项式等）表示成一个函数形式，以便更方便的进行分析。
母函数在生成函数、离散概率分布、计数问题等方面都有重要的应用。
母函数表达方式我们可以把斐波那契数列表示成一个母函数 F(x) 的形式：F(x) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ + 5x⁵ + 8x⁶ + 13x⁷ + 21x⁸ + …这个式子的含义是什么呢？举个例子：F(3) = 3，表示斐波那契数列里第三个数为 2。
又比如：F(7) = 68，表示斐波那契数列里第七个数为 13。
这个数列的前若干项，用母函数表达式表示如下：F(x) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ + 5x⁵ + 8x⁶ + 13x⁷ + 21x⁸ + …= x + (x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + …) + 2(x⁴ + x⁵ + x⁶ + …)+ 3(x⁵ + x⁶ + …) + 5(x⁶ + …) + 8(x⁷ + …) + 13(x⁸ + …) + …= x + x² F(x) + x³ F(x) + x⁴ F(x) + x⁵ F(x) + x⁶ F(x) + …= x F(x) + x² F(x) + x³ F(x) + x⁴ F(x) + x⁵ F(x) + x⁶ F(x) + …= (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + …) F(x)= 1 F(x) / (1 – x –x²)上述式子就是斐波那契数列的母函数表达式，也可以简称为斐波那契数列生成函数。
用特征方程解斐波那契数列
用特征方程解斐波那契数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个数学概念，它是一系列从第三项开始的数的总和等于他们的前两项的数列，它属于著名的数列之一。
该定义可以表示为：1. F(0)=0,2. F(1)=1,3. F(n)=F(n-1)+F(n-2), 对于 n>1.斐波那契数列中最重要的数字是1。
该数字出现在方程中，每次出现增加了3个新的数字。
斐波那契数列的特点在于它的数字与前面的数字之间的关系：若要计算第n项的数字，只要知道前两项，即可推出第n 项的数字。
例如：F（0）=0F（1）=1F（2）=F（0）+F（1）=1F（3）=F（1）+F（2）=2F（4）=F（2）+F（3）=3因此，只需要将上一次的结果与上两次结果之和，即可计算出斐波那契序列中新结果。
它是一个著名并且重要的数学现象，这也是它非常受欢迎的原因之一。
斐波那契数列也可以用几何想像出来，用一根线段递增的绘制斐波那契序列，首先画出从0开始的断点，0到1绘制半个斐波那契数，然后从1开始绘制一条新的线段，连接另一个断点并从1到2绘制另一半斐波那契数，重复这个步骤直到完成整个斐波那契的绘制。
斐波那契数列对自然界也有重要意义，斐波那契书经常用作古老代数，斐波那契数列在很多领域扮演者重要角色，例如经济学、计算机科学、生物物科等，例如在自然界出现的许多事物，如螺旋管、叶子、水果、花等，都是数学上斐波那契数列现象的典型表示，这也是它受大自然赞扬的一个重要原因。
斐波那契数列就是这样一种有趣的数学现象，它给大家又多种出现的地方，既像出现在自然界的叶子、水果上，也出现在经济学、计算机科学等一系列领域，被大家熟知和广泛使用，它也是数学中一个著名的数列，值得我们去探索其内在的秘密，S开启一段善自知之旅。
斐班那切数列
斐班那切数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个典型的数学问题，也是一个非常有趣的数列。
它是通过前两个数字的和得到下一个数字的一种规律，起始数字常为0和1。
斐波那契数列的定义很简单，就是从1开始，每一项都等于前两项之和，公式表示为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示数列的第n项。
斐波那契数列的前几项依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，以此类推。
可以看出，这个数列是个无限数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列最早是由13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究得出的。
他在其著作《算盘书》中介绍了斐波那契数列，并且用兔子繁殖作为实例来说明这个数列的应用。
斐波那契数列有着许多有趣的性质和应用。
首先，它是一个递归数列，可以通过递归的方式来生成。
其次，斐波那契数列的增长速度非常快，后面的数字会迅速增大。
这也使得它在金融学、自然科学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在金融学中，斐波那契数列出现在黄金分割比例中。
黄金分割比例是一个数学上的常数，被广泛应用在艺术、建筑、美学等领域。
它可以用斐波那契数列的比值逼近得到，即相邻两项的比例会越来越接近黄金分割比例1.618。
在自然科学中，斐波那契数列也有着一些有趣的应用。
例如，它出现在植物的排列方式中。
在一些植物的叶子、花瓣、果实等排列中，可以发现它们的数量往往是斐波那契数列的某一项。
这种规律被称为植物的斐波那契序列。
在计算机科学中，斐波那契数列常常被用来展示递归算法的实现。
由于斐波那契数列的递归定义，可以使用递归算法来计算数列的某一项。
然而，递归算法在计算大量项时会遇到效率问题，结果需要大量的重复计算。
因此，可以使用动态规划等方法来优化算法，避免重复计算。
斐波那契数列还和黄金矩形、黄金螺旋等有着紧密的联系。
黄金矩形是一种长宽比例接近黄金分割比例的矩形，黄金螺旋则是由一系列黄金矩形组成的螺旋形状。
递归求fabonacci数列c语言
递归求fabonacci数列c语言Fibonacci数列，相信大家都不陌生。
大名鼎鼎的斐波那契数列，在数学上和计算机科学领域都有着广泛的应用。
在这里，我们来学习一下如何用C语言递归求解Fibonacci数列。
什么是Fibonacci数列？Fibonacci数列，又称为斐波那契数列，是一个非常著名的数学数列。
它的定义如下：F(0)=0F(1)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2）也就是说，每个数都是前两个数之和。
Fibonacci数列前几项依次为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……递归求解Fibonacci数列在C语言中，Fibonacci数列的递归求解其实非常简单。
我们只需要定义一个函数，在函数体内部递归调用即可。
以下是递归求解Fibonacci数列的C语言代码：```cint Fib(int n){if(n == 0) // 当n等于0时，Fibonacci数列的第一项为0return 0;else if(n == 1) // 当n等于1时，Fibonacci数列的第二项为1return 1;else // 当n大于等于2时，按照公式递归计算return Fib(n-1) + Fib(n-2);}```以上代码中，我们定义了一个名为Fib的函数，接受一个整数类型的参数n。
在函数体内部，我们使用了C语言中的if-else结构，根据n的值判断返回什么值。
当n等于0时，Fibonacci数列的第一项为0，返回0；当n等于1时，Fibonacci数列的第二项为1，返回1；否则，按照公式递归调用Fib函数计算Fibonacci数列的第n项。
在主函数中，我们可以调用Fib函数输出Fibonacci数列的前十项：```cint main(){int n = 10; // 输出Fibonacci数列的前十项for(int i=0; i<n; ++i)printf("%d ", Fib(i));printf("\n");return 0;}```输出的结果如下：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34以上就是用C语言递归求解Fibonacci数列的方法。
斐波那契数列的神奇之处
斐波那契数列的神奇之处斐波那契数列(Fibonacci sequence)起源于20世纪初期，由意大利数学家列奥纳多·斐波那契(L.Fibonacci)发现，并以他的名字来命名。
这个数列由数列中的前两个数0和1开始，后面的每个数都等于前面两个数之和。
数列的前几个数字为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……下面就让我们来探讨一下斐波那契数列的神奇之处。
1. 出现在自然界和人工制品中斐波那契数列不仅仅在数学上有意义，它还出现在自然界和人工制品中。
例如，一些植物的花序和果枝排列，他们的叶子数量、蜂房中蜂窝的排列等等，都符合斐波那契数列的规律。
同样，一些人工制品中也出现过斐波那契数列，比如乐器中的管长或键盘数目等等。
2. 黄金比例与斐波那契数列的关系斐波那契数列与黄金比例有着密切的关系。
所谓黄金比例就是两个数数量之和与较大的数之比等于较大的数之比与较小的数之比相等，这个比例约为1:1.618。
这种比例出现在各个领域，包括艺术、建筑、金融等等。
而斐波那契数列中相邻数之比很接近黄金比例，随着数列长度的增加，这个比例会越来越接近黄金比例。
3. 应用于投资和财务领域斐波那契数列在投资和财务领域有着广泛的应用。
投资者们往往利用这个数列来预测股票市场的走势，以及判断股票是否被高估或低估。
此外，在财务领域中，斐波那契数列也被用来解决各种问题，比如预测银行借贷期限、计算贷款等。
4. 数学问题的研究斐波那契数列一直是数学研究的重点之一。
从初中的数列和级数开始，到高中的函数、极限和导数等等，都与斐波那契数列有关。
这个数列也是数论和组合数学领域中一些基础问题的研究对象，如偏序关系、数的表示问题等等。
5. 算法和计算机编程斐波那契数列在算法和计算机编程中也发挥了重要的作用。
它是许多算法问题的基础，比如欧几里德算法、矩阵求幂算法等等。
此外，在计算机编程中，斐波那契数列也被用来解决一些实际的问题，比如优化代码性能、加密算法等等。
斐波那契十句口诀
斐波那契数列
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
口诀：一三五线有文章，时空坐标能捉庄；格兰威尔八法则，斐波那契内中藏；短期均线是十三，时间之窗不简单；判断品种强弱势，十三均线秤一杆；倘若期价穿十三，并沿该线稳升攀；上升空间将极广，倘若不能则有限。
Fibonacci数列(斐波那契数列)
f e 0 . 4 7 8 2 n 0 . 7 6 2 4 0 . 4 6 6 5 e 0 . 4 7 8 2 n
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2fn1fn ，称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。
猜测： 1 和 2 都是差分方程的解，都是数列
的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fnC 11nC2 2 n ，代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！
因此，差分方程的解为：
n
n
fnC1125 C2125
3.Fibonacci数列的通项公式
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有 生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明， 生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六， 也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心 理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达 到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活 作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时 间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在 动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还 是"生命在于静养"？
根据初始条件 f1 f2 1,可能确定常数 c 1 , c 2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
3.Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列（斐波那契数列）
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1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2
n
n
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数
c1 , c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作 用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大 有好处。现在发现此比值和医学保健、健康 长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的 黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处 不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度 与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均 近似于0.618。
4.自然界中的斐波那契数列
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以 有时人们在时间中并非注意到这个比例，而 特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了 这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本 身就存在有美的性质。
5.练习
借助计算机，求解下列线性差分方程（即求 出数列的通项公式）。
an2 2an1 2an a1 3, a2 8
得到
fn2 fn1 fn n2 n 1 n
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
解得
1
2
1 5 1 2
1 5 2 2
由此可知这两个都是差分方程的解。
3.Fibonacci数列的通项公式
1 和 2 都是差分方程的解，都是数列 猜测： 的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fn C11n C22n ，代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！ 因此，差分方程的解为：
4.自然界中的斐波那契数列
而且，越是接近于这个值，整个形体就越匀 称，越令人觉得完美。人在环境气温22℃－ 24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温 是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰 好是22.4℃－22.8℃，而且在这一环境温度 中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢 水平均处于最佳状态。再如，营养学中强调， 一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配 进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃 病。
3.Fibonacci数列的通项公式
求解得
1 C1 5
1 C2 5
因此得Fibonacci数列的通项公式为：
n n 1 1 5 1 5 fn 2 2 5
4.自然界中的斐波那契数列
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有 生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明， 生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六， 也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心 理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达 到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活 作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时 间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在 动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还 是"生命在于静养"？
设
fn ，则有 gn f n1
5 1 lim gn 0.618 ， n 2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
如何求它的通项呢？（粗略地求） 拟合法
利用excel拟合 先绘制散点图 利用拟合方法拟合
2.观察Fabonacci数列
利用matlab拟合 直接拟合有点难！ 把数列的前20个数取对数，然后再绘散点图， 看看有什么规律？
取对数后散点图 为直线，可以利 用线性回归知识 拟合直线了！
2.观察Fabonacci数列
利用matlab的polyfit(x,y,n)命令拟合得
程序：
f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end y=log(f); p=polyfit(x,y,1)
2.观察Fabonacci数列
p 0.4782n 0.7624
为了能直观了解数列的特性，首先计算出 Fabonacci数列的前20项。 Excel法 Matlab法
2.观察Fabonacci数列
Matlab程序 f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end [1:20;f]'
2.观察Fabonacci数列
Q p ln( f ) f e
p
0.4782n
f e
0.4782 n0.7624
0.4665e
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2 fn1 fn ，称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。 猜测：根据前面的观察，可以猜测 f n 具有 n f 指数形式。不妨设为 n 进行尝试。将 n 代入差分方程：
4.自然界中的斐波那契数列
医学研究已表明，秋季是人的免疫力最佳的 黄金季节。因为7月至8月时人体血液中淋巴 细胞最多，能生成大量的抵抗各种微生物的 淋巴因子，此时人的免疫力强.
4.自然了，如建 处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、 报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕， 以及许多家用器物都是近似这个数比关系构 成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经 把它作为经典法则来应用。有许多美术家运 用它创造了不少不朽的著名。
Fibonacci数列（斐波那契数列）
1. 提出问题
13世纪初,意大利的数学家 Fibonacci(1170-1250)提出了一个有趣的 问题：如果最初有一对刚出生的小兔，两个 月后就成熟，成熟后每月生一次且恰好生一 对（一雌一雄），且出生的小兔都能成活， 则一年后共有多少对兔?
1. 提出问题
4.自然界中的斐波那契数列
从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的 关系同一天休息与工作的比例一样，动四分， 静六分，才是最佳的保健之道. 动静：从辩证 观点看，动和静是一个0.618比例关系，大致 四分动六分静才是较佳养生之法。饮食：医 学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几 乎不生胃病；摄入的饮食以六分粗粮、四分 精食为适宜。从黄金分割律看，结婚的最佳 季节是一年12个月的0.618处，约在7月底至 8月底。
1. 提出问题
越往后就越复杂，最后归纳得
数列{Fn}称为Fibonacci数列.直到1634年， 才有数学家奇拉特发现此数列具有非常简单的 递推关系： F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1. 由于这一发现，此问题引起了人们的极大兴趣， 后来又发现了该数列的更多性质
2.观察Fabonacci数列
4.自然界中的斐波那契数列
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联 系。例如照相机的片窗比例：135相机就是 24X36即2:3的比例，这是很典型的。120相 机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后 期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分 割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会 发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比 例。这可能是受传统的影响，也养成了人们 的审美习惯。