小学奥数 斐波那契数列典型例题
(完整版)小学奥数斐波那契数列典型例题
拓展目标：一：周期问题的解决方法（1）找出排列规律，确定排列周期。
（2）确定排列周期后，用总数除以周期。
①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个②如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。
例1：（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829÷=，所以第18个数是2．（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．二：斐波那契数列斐波那契是的有关兔子的问题：假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。
一年内没有发生死亡。
那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对斐波那契数列（兔子数列）1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …你看出是什么规律：。
【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】【巩固】（1）2，2，4，6，10，16，（），（）（2）34，21，13，8，5，（），2，（）例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有个偶数？个奇数？第2004个数是数（奇或偶）？【解析】120÷3=40 2004÷3=668【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？例2：（10秒钟算出结果！）（1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=（2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！巩固：34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584==例3：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …（1）这列数中第2013个数的个位数字是几？分析：相加，只管个位,发现60个数一循环个位数F1 - F30:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 61 7 8 5 3 8 1 9 0F31-F60:9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 49 3 2 5 7 2 9 1 0F61-F81:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 2013 = 60*33 + 33,第33个个位为8巩固：这列数中第2003个数的个位数字是几？（2）这列数中第2003个数除以5的余数是几？规律：发现20个数一循环、。
斐波那契数列 小学数学 测试题
一、填空题
1. 有8级台阶，小明从下向上走，若每次只能跨过一级或两级，他走上去可能有________种不同方法．
二、解答题
2. 斐波那契数列定义如下：前两个数都是1，从第三个数起，每个数是前面两个数的和。
于是其中前面几个数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…
（1）求其中第2002个数被4除的余数。
（2）如果在前n个数中有2002个是4的倍数，问n应是多少？
3. 已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项时6765，那么它的前18项的和是多少？
4. 学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？
5. 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。
一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。
这在生物学上称为“鲁德维格定律”。
那么十年后这棵树上有多少条树枝？。
奥数兔子数列规律题目
奥数兔子数列规律题目奥数兔子数列规律：在奥数中，有一种有趣的兔子数列，也被称为斐波那契数列。
这个数列从 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项的和。
即：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……说起这兔子数列，就像是一场神奇的数字魔法秀！想象一下，兔子们在一个神秘的数字花园里快乐生活。
最开始有一对小兔子，一个月后它们长大了但还没生宝宝。
又过了一个月，这对大兔子生下了一对小兔子，此时花园里就有两对兔子了，一对大的，一对小的。
再一个月过去，原来的大兔子又生了一对小兔子，而之前的小兔子也长大变成了大兔子但还没生宝宝。
就这样，兔子的数量按照一定的规律不断增加。
兔子数列里的数字就像一群调皮又聪明的小精灵，它们手拉手排着队，每个数字都知道自己的位置和使命。
前面的数字像是勇敢的先锋队，为后面的数字开辟道路；后面的数字则像是充满活力的追随者，紧紧跟随着前面数字的脚步。
在生活中，兔子数列的应用可不少呢！比如植物的生长，有些花朵的花瓣数量就遵循着兔子数列的规律。
像百合花一般有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，而雏菊可能就有 8 片、13 片花瓣。
再看看艺术领域，一些著名的画作和建筑设计中也藏着兔子数列的身影。
比如一些螺旋形状的图案，其线条的比例和兔子数列有着微妙的联系。
还有更神奇的，科学家们发现，兔子数列在自然界的一些现象中也起着作用。
比如蜜蜂家族的繁衍，就有着类似的规律。
总之，兔子数列就像是一把神奇的钥匙，能打开许多未知世界的大门。
它让我们看到了数字背后隐藏的美妙秩序和规律。
了解了兔子数列，我们就能更加敏锐地发现生活中那些看似平常却又充满奇妙规律的现象。
如果你对这些神奇的规律充满好奇，不妨去阅读《从一到无穷大》这本书，或者登录果壳网，那里有更多有趣的科学知识等待着你去探索。
说不定，下一个发现神奇规律的人就是你哟！。
斐波那契数列培优专项练习
斐波那契数列培优专项练习
介绍斐波那契数列
斐波那契数列是一个非常经典的数学问题，它是由Leonardo Fibonacci在13世纪提出的。
这个数列的特点是，每个数字都是前两个数字之和。
数列的开始通常为0和1，然后后续的数字就是前面两个数字之和。
主要目标
本次培优专项练的主要目标是帮助参与者更好地理解和运用斐波那契数列。
练内容
练1：计算斐波那契数列
请编写一个程序，能够计算出给定位置的斐波那契数列的值。
要求程序能够根据用户输入的位置，输出对应位置的斐波那契数。
练2：绘制斐波那契数列曲线
请编写一个程序，能够将前n个斐波那契数列的值绘制成曲线图。
要求程序能够根据用户输入的n值，输出对应的斐波那契数列
曲线图。
练3：斐波那契数列应用
请尝试解决下面的问题：
1. 在斐波那契数列中，每个数字除以它的前一个数字，得到的
结果趋向于哪个数？请编写一个程序，能够计算出这个数的近似值。
2. 斐波那契数列中，每个数字除以它前面两个数字之和，得到
的结果会趋向于哪个数？请编写一个程序，能够计算出这个数的近
似值。
3. 斐波那契数列的前n项之和为多少？请编写一个程序，能够
计算出这个和的值。
总结
通过这次培优专项练习，参与者将能够更好地理解和应用斐波那契数列。
编写计算斐波那契数列的程序、绘制斐波那契数列曲线以及解决斐波那契数列相关问题的能力将得到提高。
希望这次练习能够帮助大家更好地掌握斐波那契数列的知识。
综合算式专项练习数列的应用问题
综合算式专项练习数列的应用问题数列是数学中常见的概念，它是按照一定的规律排列的一组数。
在实际应用中，数列经常被用来描述和解决各种问题。
本文将重点介绍数列的应用问题，并提供一些综合算式的专项练习。
一、斐波那契数列斐波那契数列是一个神奇的数列，它的前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如描述兔子繁殖、植物生长等。
下面是一个斐波那契数列的应用问题：问题：兔子繁殖问题。
开始时，一对兔子（一公一母）放养在一个围栏里，请问第10个月共有多少对兔子？解析：根据题目描述，第1个月有1对兔子，第2个月也有1对兔子。
从第3个月开始，每个月的兔子对数都是前两个月兔子对数之和。
我们可以用数列来表示，设第n个月兔子对数为An。
则有如下递推关系：An = An-1 + An-2。
根据递推关系，我们可以计算出前几个月的兔子对数如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。
所以第10个月共有55对兔子。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
等差数列在日常生活中也有很多应用，如计算等差数列的和可用于预算和财务管理。
下面是一个等差数列的应用问题：问题：购物问题。
小明每天购物，他从第一天起每天花费10元，且每天的花费都比前一天多5元。
请问，到第30天，小明一共花费了多少元？解析：根据题目描述，小明每天的花费构成了一个等差数列。
设第n天的花费为An，第一天的花费为A1。
根据题目要求，可得递推关系：An = A1 + (n-1) * 5。
代入题目信息，第一天花费10元，即A1 = 10，共花费到第30天，即n = 30。
带入递推关系，可以计算出小明一共花费了10 + (30-1) * 5= 155元。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
等比数列在生活中也有很多应用，如描述一种倍增或倍减的现象。
下面是一个等比数列的应用问题：问题：细菌繁殖问题。
递推公式的典型例题
以下是几个典型的递推公式例题及解析：
例1：斐波那契数列
斐波那契数列是一个典型的递推公式应用，其定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n≥2）。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
解析：
根据递推公式，我们可以计算出斐波那契数列的前几项：F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = 1 + 0 = 1
F(3) = 1 + 1 = 2
F(4) = 2 + 1 = 3
F(5) = 3 + 2 = 5
F(6) = 5 + 3 = 8
F(7) = 8 + 5 = 13
F(8) = 13 + 8 = 21
F(9) = 21 + 13 = 34
例2：等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为：a_n = a_1 + (n-1) * d，其中a_1 是首项，d 是公差。
解析：
用这个公式，我们可以计算出等差数列的第n项。
例如，
对于首项a_1 = 5，公差d = 3 的等差数列，第5项a_5 可以这样计算：a_5 = 5 + (5-1) * 3 = 5 + 4 * 3 = 5 + 12 = 17。
例3：等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_1 是首项，r 是公比。
解析：
用这个公式，我们可以计算出等比数列的第n项。
例如，对于首项a_1 = 2，公比r = 3 的等比数列，第5项a_5 可以这样计算：a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162。
斐波那契数列蜂巢型例题
斐波那契数列蜂巢型例题斐波那契数列与蜂巢型结构相结合的问题可以有很多有趣的例子。
这里有一个简单的例子：问题描述：假设有一个蜂巢形状的斐波那契数列，每一层的蜂巢数量是前两层的蜂巢数量之和。
第一层有1个蜂巢，第二层有2个蜂巢，以此类推。
求第n层蜂巢的数量。
解题思路：这个问题可以通过求解斐波那契数列的通项公式来解决。
斐波那契数列是一个典型的递推数列，其通项公式为：F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / √5其中，φ = (1 + √5) / 2 是黄金分割比。
在这个问题中，我们需要求解第n层蜂巢的数量，即求解斐波那契数列的第n项。
通过将n代入通项公式，我们可以得到第n层蜂巢的数量。
代码实现：以下是一个使用Python实现的代码示例：python复制代码import mathdef fibonacci(n):phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2 # 黄金分割比return (math.pow(phi, n) - math.pow(-1/phi, n)) / math.sqrt(5)# 计算第n层蜂巢的数量n = 10 # 例如求第10层的蜂巢数量bee_hives = fibonacci(n)print("第", n, "层蜂巢的数量为：", int(bee_hives))这个代码示例使用了Python的math库来计算黄金分割比和指数函数。
通过调用fibonacci函数并传入第n层（例如第10层），我们可以得到该层的蜂巢数量。
在示例中，我们计算了第10层的蜂巢数量，并将其打印输出。
斐波那契数列
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
变式训练1 一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边，它每次只能跳0.5米或1米，这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法?变式训练2 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法?假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能有生殖能力。
问：从一对大兔子开始，如果所有兔子都不死，一年后能繁殖成多少对兔子？这就产生了斐波那契数列：如果一对兔子每月生一对兔子；一对新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？先看前几个月的情况：第一个月有一对刚出生的兔子，即F(1)=1；第二个月，这对兔子长成成年兔，即F(2)=1；第三个月，这对成年兔生出一对小兔，共有两对兔子，即F(3)=2；第四个月，成年兔又生出一对小兔，原出生的兔子长成成年兔，共有三对兔子，即F(4)=3；第五个月，原成年兔又生出一对小兔，新成年兔也生出一对小兔，共有五对兔子，即F(5)=5；……以此类推，可得每个月的兔子对数，组成数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，其中的任一个数，都叫斐波那契数。
题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，称为成年兔子；新生的兔子不能生殖；新生兔子一个月就长成成年兔子。
求的是成年兔子与新生兔子的总和。
每月新生兔对数等于上月成年兔对数。
每月成年兔对数等于上个月成年兔对数与新生兔对数之和。
最后得关系式：F(1)=F(2)=1；F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)。
法国数学家比内(Binet)证明了通项公式为2、斐波那契数列的性质斐波那契数列有很多有趣的性质，归纳如下：性质1：相邻的斐波那契数之平方和(差)仍为斐波那契数。
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拓展目标：
一：周期问题的解决方法
（1）找出排列规律，确定排列周期。
（2）确定排列周期后，用总数除以周期。
①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个
②如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。
例1：
（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？
这个数列的周期是2，1829
÷=，所以第18个数是2．（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列的周期是3，16351
÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．二：斐波那契数列
斐波那契是
的有关兔子的问题：
假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。
一年内没有发生死亡。
那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
斐波那契数列（兔子数列）
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
你看出是什么规律：。
【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】
【巩固】
（1）2，2，4，6，10，16，（），（）
（2）34，21，13，8，5，（），2，（）
例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有个偶数？个奇数？第2004个数是数（奇或偶）？
【解析】120÷3=40 2004÷3=668
【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？
例2：（10秒钟算出结果！）
（1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=
（2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=
数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11 倍！
巩固：34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584== 例3：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
（1）这列数中第2013个数的个位数字是几？
分析：相加，只管个位,发现60个数一循环
个位数
F1 - F30:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1
7 8 5 3 8 1 9 0
F31-F60:9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3
2 5 7 2 9 1 0
F61-F81:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6
2013 = 60*33 + 33,第33个个位为8
巩固：这列数中第2003个数的个位数字是几？
（2）这列数中第2003个数除以5的余数是几？
这个数列中的每一项除以5的余数
规律：发现20个数一循环、。