斐波那契数列、走台阶问题
(完整版)斐波那契数列、走台阶问题
走台阶问题如：总共100级台阶（任意级都行），小明每次可选择走1步、2步或者3步，问走完这100级台阶总共有多少种走法？解析：这个问题本质上是斐波那契数列，假设只有一个台阶，那么只有一种跳法，那就是一次跳一级，f(1)=1；如果有两个台阶，那么有两种跳法，第一种跳法是一次跳一级，第二种跳法是一次跳两级,f(2)=2。
如果有大于2级的n级台阶，那么假如第一次跳一级台阶，剩下还有n-1级台阶，有f(n-1)种跳法，假如第一次条2级台阶，剩下n-2级台阶，有f(n-2)种跳法。
这就表示f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案f(n)=f(n-1)+f(n+2)斐波那契数列斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)递推数列显然这是一个线性。
数学定义：递归斐波纳契数列以如下被以的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）由兔子生殖问题引出、生物 (计算科学)特性：这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
特别指出：第1项是0，第2项是第一个1。
代码：public class Test { static final int s = 100; //自定义的台阶数static int compute(int stair){ if ( stair <=0){ return0; } if (stair ==1){ return1; } if (stair ==2){ return2; } return compute(stair-1) + compute(stair-2);//return 递归进行计算 --->递归思想进行数据计算处理在斐波那契数列中后一项的值等于前两项的和 } public static void main(String args[]) { System.out.println("共有" + compute(s) + "种走法"); } }return compute(stair-1) + compute(stair-2);在return子句中调用调用compute函数由斐波那契数列特性得到最后的值分值拆分。
高中数学中的斐玻那契数列问题
高中数学中的斐波那契数列问题小结作者简介：任所怀，男，山西省原平市原平一中数学教师。
生于1973年9月10日，主要致力于中学数学教学研究，联系邮箱：rsh73910@解：b猜想二：1232343,8a a a a a a +==+==，于是猜想：53464513,21a a a a a a =+==+=。
这两种猜想，哪一个正确？就必须从已知进行推理分析。
对于n （3)n ≥个从上而下的正方形要着黑色或白色，所有黑色正方形互不相邻的着色方案n a 种，可分为两类：第一类：最上面的正方形着白色。
此时下面的1n -个正方形的着色方案则有1n a -种；第二类：最上面的正方形着黑色。
此时与它相邻的正方形必着白色，而余下的n-2个正方形的着色方案有2n a -种。
于是由加法原理得12(3)n n n a a a n --=+≥显然是猜想二是正确的。
这一高考题的背景显然是斐波那契数列，跟这一问题类似的还有登台阶问题。
问题四：有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?解：设按规定登n 阶台阶的走法有n a 种，则11a =，22a =。
当3n ≥时，登n 阶台阶的走法可分为两类：第一类：第一步登一级台阶，则余下的1n -级台阶有1n a -种走法；第二类：第一步登两级台阶，则余下的2n -级台阶有2n a -种走法。
由加法原理得12n n n a a a --=+。
于是数列{}n a 是一个斐波那契数列，这一问题也就迎刃而解。
说到这里，我们会发现，高中数学中对于斐波那契数列问题的解决不约而同地都用到了分类计数原理。
所以对于斐波那契数列的研究只要我们找对研究的方向，并不会超出高中数学范围，相反通过这样不同于等差等比数列问题的研究，更能加强学生对基本原理的应用能力，从而增加其创新能力。
斐波那契数列-爬楼梯-大数问题
斐波那契数列-爬楼梯-⼤数问题在你⾯前有⼀个n阶的楼梯，你⼀步只能上1阶或2阶。
请问计算出你可以采⽤多少种不同的⽅式爬完这个楼梯。
这个问题乍⼀看就是简单的斐波那契数列问题，但是当楼梯数量到达⼀定数量后，例如 39，此时基本数据类型 int 或 long 都会溢出。
所以需要解决⼤数的问题。
public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int target = sc.nextInt();int[] list = { 0, 1, 2 };if (target < 3) {System.out.println(list[target]);return;}String jumpNOne = "2";// 最后只跳⼀步String jumpNTwo = "1";// 最后跳两步String jumpN = "0";// 统计跳 target 个台阶的⽅案for (int i = 3; i <= target; i++) {jumpN = bigData(jumpNTwo, jumpNOne);jumpNTwo = jumpNOne;jumpNOne = jumpN;}System.out.println(jumpN);} ⼤数问题：// s2 >= s1public static String bigData(String s1, String s2) {String result = "";// 记录相加结果int flag = 0;// 记录是否有进位int i = s1.length() - 1;// 记录s1 的最后⼀位，也就是个位数int j = s2.length() - 1;// 记录s2 的最后⼀位，也就是个位数int temp = 0;while (i >= 0 || j >= 0) {// s2 ⼀定⽐ s1 ⼤，所以可能存在 s2 ⽐ s1 多⼀位if (i < 0) {//temp = s2.charAt(j) - '0' + flag;result = new Integer(temp).toString() + result;flag = 0;} else {temp = (s1.charAt(i) - '0') + (s2.charAt(j) - '0') + flag;flag = temp / 10;temp = temp % 10;result = new Integer(temp).toString() + result;}i--;j--;}if(flag == 1)result = "1" + result;return result;}。
1.生活中的“斐波那契数列”
2014年温州市小学数学小课题评比学校：苍南县钱库小学成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭指导教师：***生活中的“斐波那契数列”——台阶中的数学一、问题的提出周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢？会不会有什么规律呢？于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。
二、研究过程1.从最简单的做起该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友，做合作伙伴。
我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。
”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。
1个台阶（1种）2个台阶（2种）3个台阶（3种）4个台阶（5种）……后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达：楼梯台阶数及方法楼梯上法表示一个台阶（1种）（1）二个台阶（2种）（1，1）（2）三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1）四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2） 5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢？我们想用这个方法继续进行进去，我尝试着：六个台阶（13种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）七个台阶（21种）（1，1，1，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，2）（1，1，1，1，2，1）（1，1，1，2，1，1）（1，1，2，1，1，1）（1，2，1，1，1，1）（2，1，1，1，1，1）（1，1，1，2，2）（1，1，2，2，1）（1，2，2，1，1）（2，2，1，1，1）（1，2，1，1，2）（1，2，1，2，1）（1，2，2，1，1,）（2，1，1，1，2）（2，1，1，2，1）（2，1，2，1，1）（2，2，2，1）（2，2，1，2）（2，1，2，2）（1，2，2，2）……2.整理数据，发现规律这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大，而且很容易出现遗漏或重复。
爬楼梯斐波那契数列通项
爬楼梯斐波那契数列通项
斐波那契数列在爬楼梯问题中应用的通项公式可以通过递归关系或矩阵快速幂等方法得到。
具体如下：
1.递归关系：在最简单的形式下，斐波那契数列由以下递推
关系定义：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n
是台阶数。
这个递归关系意味着到达当前台阶的方法数等于到达前
两个台阶的方法数之和。
2.备忘录策略优化：由于递归算法会进行大量重复计算，我们可以使
用备忘录方法来存储已计算的值，避免重复计算，从而提高效率。
3.矩阵快速幂：对于较大的n值，还可以使用矩阵快速幂来计算斐波
那契数，这在时间复杂度上比直接递归要高效得多。
4.闭合公式：斐波那契数列也有所谓的“闭合”公式（也称为Binet公
式），即F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / √5，其中φ = (1 + √5) / 2
是黄金分割比。
不过这个公式在数值计算时可能会遇到浮点数精度
问题。
5.动态规划：动态规划是解决此类问题的另一种高效方式。
通过自底
向上的方式逐步构建出到达每个台阶的方法数。
6.数据范围考虑：在实际编程中，还需要考虑数据范围和整型溢出的
问题。
对于大数情况，可能需要使用更大范围的数据类型或者采用
其他避免溢出的策略。
综上所述，斐波那契数列在爬楼梯问题中的应用非常广泛，其核心思想是将复杂问题分解为简单的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
这种思想在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
有趣的斐波那契数列例子
斐波那契数列斐波那契的发明者，是数学家（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了和数学理论的人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在、、、和研究。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式通项公式(见图)（又叫“比内公式”，是用表示的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，显然这是一个递推数列。
方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
∵F(1)=F(2)=1。
∴C1*X1 + C2*X2。
C1*X1^2 + C2*X2^2。
解得C1=1/√5，C2=-1/√5。
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示5）。
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
小学数学 上楼梯问题专项解析
列昂纳多”。1202 年，他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯
数学理论的欧洲人。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。上
面的上楼梯问题可改编为如下两个问题。
例 2.有 8 根 火 柴 ，如 果 规 定 每 步 只 能 从 中 取 1 根 或 2 根 ，最 后 把 这 8
答：从 1 层走到 11 层，一共要登 170 级台阶。 2.从 1 楼走到 4 楼共要走 48 级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那 么从 1 楼到 6 楼共要走多少级台阶？
解：每一层楼梯的台阶数为： 48÷（4-1）=16（级） 从 1 楼到 6 楼共走：6-1=5（个）楼梯 从 1 楼到 6 楼共走：16×5=80（级）台阶
8.铁路旁每隔 50 米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从 第一根电线杆起到经过第 37 根电线杆共用了 2 分钟，火车的速度是每秒多少米？
3/6
参考答案及思路
1.有一幢楼房高 17 层，相邻两层之间都有 17 级台阶，某人从 1 层走到 11 层，一共要登多少级台阶？
解：从 1 层走到 11 层共走：11-1=10（个） 从 1 层走到 11 层一共要走：17×10=170（级）
分析要求晶晶从第层需要走多少级台阶必须先求出每一层楼梯有多少台阶还要知道从一层走到312层楼梯那么每一层楼梯有36218级台阶而从615层楼梯这样问题就可以迎刃而解了
中小学数学 上楼梯问题专项提升
一、规律解析 一个看似简单的问题：上楼梯中的数学。请问叶子从 1 楼到 3 楼上了几段楼 梯？这个问题看似特别简单，但其实蕴含着很重要的数学思想。 大部分小朋友看见问题就说出了答案是 3 段，但是如果仔细想想，就会发现 哪里出了错。从 1 楼到 2 楼只爬了一段楼梯，从 2 楼到 3 楼又爬了一段楼梯，所 以总共爬了两端楼梯。其实上楼梯问题它的本质依然是两端植树问题，以楼层开 始，以楼层结束，所以楼层数要比段数多 1。 这样一道题目：如果每上一层楼梯需要 1 分钟，那么从一层上到四层需要多 少分钟？如果你的答案是 4 分钟，那么你就错了.正确的答案应该是 3 分钟。为 什么是 3 分钟而不是 4 分钟呢？原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是 四层楼梯。 例.某人要到一座高层楼的第 8 层办事，不巧停电，电梯停开，如从 1 层走 到 4 层需要 48 秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？ 分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要 知道从 4 楼走到 8 楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要： 48÷（4-1） =16（秒）， 从 4 楼走到 8 楼共走 8-4=4（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。 解：上一层楼梯需要： 48÷（4-1） =16（秒）从 4 楼走到 8 楼共走： 8-4=4 （层）楼梯还需要的时间： 16×4=64（秒） 答：还需要 64 秒才能到达 8 层。 例：晶晶上楼，从 1 楼走到 3 楼需要走 36 级台阶，如果各层楼之间的台阶 数相同，那么晶晶从第 1 层走到第 6 层需要走多少级台阶？ 分析 要求晶晶从第 1 层走到第 6 层需要走多少级台阶，必须先求出每一层 楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到 6 层需要走几层楼梯。从 1 楼到 3 楼有 3-1=2 层楼梯，那么每一层楼梯有 36÷2=18（级）台阶，而从 1 层走到 6 层需要 走 6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了。 解：每一层楼梯有： 36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从 1 层走到 6 层需要 走： 18×（6-1） =90（级）台阶。
关于爬楼梯问题的斐波那契数列
关于爬楼梯问题的斐波那契数列最多只能跨3个台阶：要上15个台阶，⼀个⼜多少种⽅法？理解如下：到n台阶 ⾛法(⼀步到位，2步到位，3步到位...) 选择1 1 12 2；11 23 3；12,21；111 44 13,31,22,；112,211,121；1111 75 23,32；113,311,131,122,212,221;1112,1121,1211,2111；11111 13....所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)1// ⾮递归2 #include <iostream>3using namespace std;4int main()5 {6int f1=1,f2=2,f3=4,fn;7int n;8 cout<<"输⼊n=";9 cin>>n;10if(n <= 0) return -1;11else if(n==1) {cout<<f1; return0;} //很有必要复习下if else语句啊12else if(n==2) cout<<f2;13else if(n==3) cout<<f3;14else15 {16for(int i=4; i<=n;i++)17 {18 fn =f3+f2+f1;19 f1=f2;20 f2=f3;21 f3=fn;22 }23 cout<<fn;24 }25return0;26 }⽅法2：1// Note:Your choice is C++ IDE2 #include <iostream>3using namespace std;45long f1 = 1;6long f2 = 2;7long f3 = 4;8long fn = 0;9long fibonacci(int n)10 {11if(n<=0) return -1;12if(n==1) return1;13if(n==2) return2;14if(n==3) return4;1516for(int i = 4; i <= n; i++)17 {18 fn =f3+f2+f1;19 f1=f2;20 f2=f3;21 f3=fn;22 }23return fn;24 }25int main()26 {27int n;28 cout<<"输⼊n=";29 cin>>n;30 cout <<"f("<<n<<")="<<fibonacci(n)<<endl;31return0;32 }突然想起⼤⼀时⽼师说的兔⼦问题，f(n)=f(n-1)+f(n-2);⽼师好像也讲了⼀个爬楼梯，她说那个是最多可以跨2个台阶，所以计算和兔⼦是⼀样的表达式，只有两项相加，这个是最多3个台阶，所以3项相加；⼜想起⽼师说的那个什么梵塔问题，64个盘⼦，如果你放了63个，我放最后（最底的）⼀个就⼀步；63 有⼈放了62个，我放最后（最底的那个）⼀个也就是1步；1// Note:Your choice is C++ IDE2 #include <iostream>3using namespace std;456void hanoi(int n, char a, char b, char c)7 {8if(n==1) //⼀个盘⼦，直接从a到c9 cout<<a<<" to "<<c<<endl;10else11 {12 hanoi(n-1,a,c,b);//将n-1个盘⼦从a柱⼦(借助c)移动到b13 cout<<a<<" to "<<c<<endl;//最底的盘⼦从a到c14 hanoi(n-1,b,a,c);//n-1个盘⼦到了最终的位置15 }16 }17int main()18 {19char a='a',b='b',c='c';20int n;21 cout<<"输⼊n=";22 cin>>n;23 hanoi(n,a,b,c);24return0;25 }到这⾥，⼜想起⼈⼯智能课上的⽤宽度优先和⼴度优先解决寻路问题，现在印象中只有9宫格轮序变为给定模式那个。
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走台阶问题
如：
总共100级台阶（任意级都行），小明每次可选择走1步、2步或者3步，问走完这100级台阶总共有多少种走法？
解析：
这个问题本质上是斐波那契数列，假设只有一个台阶，那么只有一种跳法，那就是一次跳一级，f(1)=1；如果有两个台阶，那么有两种跳法，第一种跳法是一次跳一级，第二种跳法是一次跳两
级,f(2)=2。
如果有大于2级的n级台阶，那么假如第一次跳一级台阶，剩下还有n-1级台阶，有f(n-1)种跳法，假如第一次条2级台阶，剩下n-2级台阶，有f(n-2)种跳法。
这就表示f(n)=f(n-
1)+f(n-2)。
将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案f(n)=f(n-1)+f(n+2)
斐波那契数列
斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
递推数列显然这是一个线性。
数学定义：
递归斐波纳契数列以如下被以的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）
由兔子生殖问题引出、生物 (计算科学)
特性：
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
特别指出：第1项是0，第2项是第一个1。
代码：
public class Test { static final int s = 100; //自定义的台阶数static int compute(int
stair){ if ( stair <= 0){ return0; } if (stair == 1){ return1; } if (stair == 2){ return2; } return compute(stair-1) + compute(stair-2);
//return 递归进行计算 --->递归思想进行数据计算处理
在斐波那契数列中后一项的值等于前两项的和 } public static void
main(String args[]) { System.out.println("共有" + compute(s) + "种走法"); } } return compute(stair-1) + compute(stair-2);
在return子句中调用调用compute函数
由斐波那契数列特性得到最后的值
分值拆分。