斐波那契数列通项公式的推导之欧阳歌谷创编
菲波拉契数列公式
菲波拉契数列公式
这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列.该数列由下面的递推关系决定：F0=0,F1=1
F n+2=F n + F n+1(n>=0)
它的通项公式是Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
补充问题：
菲波那契数列指的是这样一个数列：
1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 －[（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.
该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列前n项和公式的推导
斐波那契数列前n项和公式的推导斐波那契数列，这玩意儿听起来是不是有点神秘兮兮的？其实啊，它就在我们身边，而且特别有趣！咱们先来看看斐波那契数列到底是啥。
简单说，就是从 0 和 1 开始，后面每一项都是前两项的和。
比如 0、1、1、2、3、5、8、13……就这么一直往后走。
那斐波那契数列前 n 项和的公式是咋推导出来的呢？这可得好好琢磨琢磨。
咱们设斐波那契数列的前 n 项和为 S(n) 。
那第一项是 0 ，第二项是1 ，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
咱先试着把前几项的和写出来看看。
S(1) = 0 ，S(2) = 1 ，S(3) = 2 ，S(4) = 4 ，S(5) = 7 。
光这么看好像没啥规律，别急，咱们换个角度。
咱们把斐波那契数列相邻的两项相加，会发现一个有趣的现象。
比如 1 + 2 = 3 ， 2 + 3 = 5 ， 3 + 5 = 8 。
是不是感觉有点意思了？我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙特别积极，一直在那自己琢磨。
我就故意不告诉他答案，让他自己去探索。
结果啊，还真被他琢磨出了一点门道。
咱们继续推导。
咱们设斐波那契数列的第 n 项为 F(n) ，那么前 n 项和 S(n) 就可以表示为：S(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… + F(n) 。
同时，我们还知道 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 。
那我们把 S(n) 写两遍，然后错位相减试试。
S(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… + F(n - 1) + F(n)S(n) = F(2) + F(3) + …… + F(n - 1) + F(n) + F(n + 1)用第二个式子减去第一个式子，得到：0 = F(2) - F(1) + F(3) - F(2) + …… + F(n + 1) - F(n)整理一下，就得到 S(n) = F(n + 2) - 1 。
斐波拿契数列通项公式的推导过程详细解读
斐波那契数列通项公式的推导过程详细解读斐波那契数列是指：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……。
它的特点是每个数字是前两个数字之和。
而斐波那契数列通项公式则是用来表示第n个斐波那契数的数学公式。
在本篇文章中，我将详细解读斐波那契数列通项公式的推导过程，让读者更加深入地理解这一数学概念。
一、斐波那契数列的定义让我们来回顾一下斐波那契数列的定义。
斐波那契数列可以用递归的方式来定义：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n≥2)。
这意味着斐波那契数列的第n个数字等于前两个数字之和。
二、通项公式的推导现在，让我们来推导斐波那契数列的通项公式。
通项公式一般表示为Fn=a^n+b^n (n≥2)，其中a和b是常数。
为了推导斐波那契数列的通项公式，我们可以使用特征方程的方法。
设斐波那契数列的通项公式为Fn=ar^n，其中r是常数。
我们可以得到以下方程：Fn=ar^nFn+1=ar^(n+1)Fn+2=ar^(n+2)将斐波那契数列的定义代入上述方程中，我们可以得到以下关系式：Fn+2=Fn+1+Fnar^(n+2)=ar^(n+1)+ar^n我们将公式整理得到以下形式：ar^(n+2)-ar^(n+1)-ar^n=0我们可以将公式中的r^n提取出来：r^n(ar^2-ar-1)=0由于r^n不可能为0，因此我们可以得到特征方程为：ar^2-ar-1=0解这个方程，我们可以得到r的值，进而求得通项公式。
三、斐波那契数列通项公式的最终结果经过推导，我们可以得到斐波那契数列的通项公式为：Fn = (1/√5) * {[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}这个通项公式就可以用来计算斐波那契数列中任意位置的数字了。
四、个人理解与总结斐波那契数列通项公式的推导过程虽然有些复杂，但经过仔细推导可以得到简洁而美丽的结果。
通过推导过程，我们不仅可以掌握斐波那契数列通项公式的具体形式，还可以更深入地理解数学中的特征方程方法。
斐波那契数列通项公式的推导方法
斐波那契数列通项公式的推导方法斐波那契数列是指数列1,1,2,3,5,8,13,21,...，其中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列通项公式是指可以通过一个数学公式计算出任意一项的值。
在这个问题中，我们将探讨斐波那契数列通项公式的推导方法。
首先，我们可以观察到斐波那契数列的前几项之间的关系。
数列的第一项是1，第二项也是1，我们可以用F(1)和F(2)来表示。
从第三项开始，每一项都是前两项的和，我们可以用F(n)表示第n项。
根据这个关系，我们可以写出以下等式：F(3)=F(1)+F(2)F(4)=F(2)+F(3)F(5)=F(3)+F(4)...F(n)=F(n-2)+F(n-1)接下来，我们使用数学归纳法来证明斐波那契数列的通项公式。
首先，我们假设对于任意的k，都有F(k)=φ^k/√5，其中φ是黄金分割比例，约等于1.618当k=1时，F(1)=φ^1/√5，假设成立。
现在，我们假设对于任意的k，都有F(k)=φ^k/√5成立。
我们来证明对于k+1也成立。
根据斐波那契数列的关系式F(n)=F(n-2)+F(n-1)，我们可以得到：F(k+1)=F(k-1)+F(k)将假设带入上式，得到：F(k+1)=(φ^(k-1)/√5)+(φ^k/√5)=(φ^k*(φ+1))/√5由于φ是黄金分割比例，我们知道φ=(1+√5)/2、将其代入上式，得到：F(k+1)=((1+√5)/2)^k*((1+√5)/2+1)/√5=((1+√5)/2)^k*(3+√5)/(2√5)=((1+√5)/2)^k*(1+√5)/2√5=(1+√5)^(k+1)/(2^(k+1)√5)我们可以看到，F(k+1)也可以用φ的幂次方来表示。
因此，我们可以得出结论，对于任意的n，都有F(n)=φ^n/√5。
有趣的斐波那契数列例子之欧阳术创编
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式通项公式(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，显然这是一个线性递推数列。
方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
∵F(1)=F(2)=1。
∴C1*X1 + C2*X2。
C1*X1^2 + C2*X2^2。
解得C1=1/√5，C2=-1/√5。
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
斐波那契额数列的通项公式
斐波那契额数列的通项公式
斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。
斐波那契数列的通项公式是：
F(n) = (1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 其中，√5表示5的正平方根。
这个公式可以用来求解斐波那契数列中任意一个项的值，不需要递推。
这个公式的推导过程比较复杂，可以用数学归纳法和求解一元二次方程的方法来证明。
但是，这里不再详细阐述。
总之，斐波那契数列的通项公式是一个十分有用和重要的公式，在数学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
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Fibonacci数列通项公式推导
推导 Fibonacci 数列通项公式 的一种初等方法
Wsy,Slyz July.31,2016
推导方法的实质
根据Fibonacci数列的递推式凑成等比 数列的形式
推导过程
众所周知，Fibonacci数列的递推式为 我们强制性凑等比数列，设：
由于这个式子是由递推式变形得到的，所以： 解得
推导过程
于是我们得到
即 ，公比为 是首项(n=2)为 的等比数列
所以：
推导过程
我们再凑等比数列，这几步非常关键，把f(n) 凑成了g(n)-A· g(n-1)的形式：
推导过程
即 是首项为 公比为
的等比数列. 所以根据等比数列通公式：
推导过程
移项，得
几种推导斐波那契数列通项公式的方法
几种推导斐波那契数列通项公式的方法斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的每个元素都是前两个元素之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
在这篇文章中，我将介绍几种推导斐波那契数列通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是最直接的方法，通过不断迭代计算，得到斐波那契数列的通项公式。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 通过迭代计算，求解F(n) = F(n-1) + F(n-2)，直到计算到所需的第n个数；3. 得到通项公式F(n)。
方法二：矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的方法，通过求解矩阵的幂次方，可以得到斐波那契数列的通项公式。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 构造矩阵A = [1 1; 1 0]；3. 求解A的幂次方A^n，其中n为所需的第n个数；4. 得到通项公式F(n) = (A^n)_(1,2)。
方法三：特征根法特征根法是一种利用矩阵的特征值和特征向量来求解斐波那契数列通项公式的方法。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 构造矩阵A = [1 1; 1 0]；3. 求解矩阵A的特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量v1和v2；4. 根据特征值和特征向量的性质，可以得到通项公式F(n) = λ1^n*v1 + λ2^n*v2。
方法四：通项公式法通项公式法是一种直接求解斐波那契数列通项公式的方法，通过对数列进行观察和推理，可以得到通项公式。
具体步骤如下：1. 观察斐波那契数列的前几个数，例如0、1、1、2、3、5、8...；2. 推理数列的规律，发现每个数都是前两个数之和；3. 假设斐波那契数列的通项公式为F(n) = a^n，其中a为常数；4. 代入初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，解得a = (1 + √5) / 2；5. 得到通项公式F(n) = ((1 + √5) / 2)^n。