用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
生成函数推导斐波那契
生成函数推导斐波那契
斐波那契数列是指由数学家莱昂纳多·斐波那契创立的一种十分有趣的数学序列。
该序列从第三项起按以下规律产生：第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契序列的函数推导公式为：fn=fn-1+fn-2，其中f0=0，f1=1。
一般上，函数推导是指从一定知识和方法出发，按照一定顺序推导出一个函数表达式，以用数学方法说明一个问题结果时思维和计算的过程。
斐波那契数列的函数推导则是从我们熟知的斐波那契数列的递推规律出发，根据其规律去推导出斐波那契数列的函数推导式。
推导斐波那契数列的函数推导式从第三项开始，从斐波那契数列的递推规律可以得到：f2=f1+f0，即第三项的值等于前两项的和；
接下来再将这一递推规律推广，就可以得到：f3=f2+f1，即第四项的值等于前面三项之和；
同理，如此便可以延伸出更多的递推规律，从而得出斐波那契数列的函数推导公式：fn=fn-1+fn-2，其中f0＝0，f1＝1。
斐波那契数列的函数推导公式是一个非常简单的推导式，但由此公式却可以得到十分有趣的斐波那契数列。
斐波那契数列应用非常广泛，它出现在许多不同于数学的领域，它也被用于计算机编程，以解决计算机中的各种复杂问题。
由此可见，推导斐波那契数列的函数推导式具有非常重要的意义。
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式用母函数法推导斐波那契数列的通项公式李文捷（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating FunctionLI Wen-jieAbstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.收稿日期：2011-12-27作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
总结：生成函数（斐波那契通项公式推导）
总结：⽣成函数（斐波那契通项公式推导）⽣成函数总结前⾔形式幂级数先讲讲什么是幂级数叭幂级数是指级数的每⼀项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的 (x−a) 的n(n∈N) 次⽅。
⽐如A(x)=∑i≥0a i(x−x0)i它与多项式不同的⼀点在于多项式只有有限项的系数是⾮零的。
接着讲形式幂级数其意思就是：对于我们⽣成的这个多项式来说，其中的变量x只是作为⼀个符号⽽已，只是⼀个形式，它的取值并不重要，我们关⼼的只是它所携带的信息⽽已。
好惨⼀变量……就⽐如在最简单的⽣成函数⽅案统计问题中，其指数就是我们要求的⽅案，⽽其系数就是答案。
后⾯讲⽣成函数的时候会细讲。
⽣成函数⽣成函数可以分为很多种，但是⽤的最⼴泛的还是普通⽣成函数和指数⽣成函数。
普通⽣成函数Ordinary Generating Function,OGF：普通⽣成函数。
定义为形式幂级数：F(x)=∑n≥0a n x n封闭形式每次计算都要写⼀长串的多项式或者写⼀个 ∑，太⿇烦了，有没有更好的⽅法？⾃然是有的，我们发现：对于序列<1,1,1,…>的普通⽣成函数F(x)=∑n≥0x n，有F(x)⋅x+1=F(x)解得F(x)=11−x，所以我们可以⽤这个来代替原来琐碎的 ∑并简化运算。
真是天⾐⽆缝⼜⼗分扯淡这种⽅法⽤的⾮常多，尤其是在求通项公式的时候，⽐如求斐波那契和卡特兰数的通项公式时就会⽤到。
⼆项式定理但是我们将⼀个多项式变成封闭形式之后就⽆法得到第n项的系数了啊。
但是没有关系，我们可以⽤⼆项式定理将其展开。
Generalized Binomial Theorem:⼴义⼆项式定理：(x+y)α=∞∑k=0αk xα−k y k ()() Processing math: 100%其中αk为⼴义⼆项式系数（其实就是实数域下的组合数）αk=αk_k !=α(α−1)…(α−k +1)k !,α∈R,k ∈Nαk_ 表⽰ α 的 k 次下降幂，即 α(α−1)…(α−k +1)。
数列的通项公式和求和公式如何推导
数列的通项公式和求和公式如何推导一、数列的通项公式推导在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。
每个数列都有一个通项公式，它能够用来计算数列中第n项的数值。
下面我将详细介绍数列通项公式的推导过程。
1. 等差数列的通项公式推导：等差数列是指数列中相邻两项之间的差始终相等。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a1 + (n-1)d该关系式可以推导如下：首项a1加上项数减一n-1与公差d的乘积。
2. 等比数列的通项公式推导：等比数列是指数列中相邻两项之间的比例始终相等。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a1 * r^(n-1)该关系式可以推导如下：首项a1乘以公比r的n-1次幂。
3. 斐波那契数列的通项公式推导：斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a(n-1) + a(n-2)该关系式表示，每一项等于其前一项与前两项之和。
二、数列的求和公式推导除了通项公式，数列还有求和公式，用来计算数列中一定范围内的数值之和。
下面我将详细介绍数列求和公式的推导过程。
1. 等差数列的求和公式推导：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则可以得到如下求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)该公式可以推导如下：首项a1与末项an的和乘以项数n再除以2。
2. 等比数列的求和公式推导：设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则可以得到如下求和公式：Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)该公式可以推导如下：根据等比数列前n项和与首项、公比的关系推导出来。
3. 斐波那契数列的求和公式推导：由于斐波那契数列没有固定的求和公式，所以求解斐波那契数列的前n项和时通常需要运用其他方法，如递推等。
通过以上推导过程，我们可以得到数列的通项公式和求和公式。
斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导在数学的奇妙世界里，斐波那契数列就像一颗璀璨的明珠，吸引着无数数学家和数学爱好者的目光。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… ，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
那么，如何推导出斐波那契数列的通项公式呢？让我们一起来探索这个有趣的过程。
为了推导斐波那契数列的通项公式，我们先设斐波那契数列的第 n项为＼（F_n\），则有＼（F_0 ＝ 0\），＼（F_1 ＝ 1\），并且＼（F_n ＝ F_{n 1} ＋ F_{n 2}＼）（＼（n ＼geq 2\））。
我们可以尝试使用一些数学方法来解决这个问题。
一种常见的方法是使用特征方程。
对于斐波那契数列的递推关系＼（F_n ＝ F_{n 1} ＋ F_{n 2}＼），我们可以假设通项公式为＼（F_n ＝ r^n\）。
将其代入递推关系中，得到＼（r^n ＝ r^｛n 1} ＋ r^｛n 2}＼），两边同时除以＼（r^｛n 2}＼），得到＼（r^2 ＝ r ＋ 1\）。
这就是斐波那契数列的特征方程。
解这个方程，使用求根公式可得：＼＼begin{align}r&＝＼frac{1\pm\sqrt{5}｝｛2}＼＼＼end{align}＼我们记＼（r_1 ＝＼frac{1 ＋＼sqrt{5}｝｛2}＼），＼（r_2 ＝＼frac{1 ＼sqrt{5}｝｛2}＼）。
接下来，我们假设斐波那契数列的通项公式为＼（F_n ＝ A ＼cdot r_1^n ＋ B ＼cdot r_2^n\）。
因为＼（F_0 ＝ 0\），＼（F_1 ＝ 1\），所以我们可以得到方程组：＼＼begin{cases}A ＋B ＝ 0 ＼＼A ＼cdot r_1 ＋B ＼cdot r_2 ＝ 1＼end{cases}＼由＼（A ＋ B ＝ 0\），可得＼（A ＝ B\），将其代入＼（A ＼cdot r_1 ＋ B ＼cdot r_2 ＝ 1\）中：＼＼begin{align}A ＼cdot r_2 ＋ A ＼cdot r_1 ＆＝ 1 ＼＼A(r_1 r_2) ＆＝ 1＼end{align}＼因为＼（r_1 r_2 ＝＼sqrt{5}＼），所以＼（A ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＼），＼（B ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＼）。
高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。
通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
) 注：此时通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：x²=x+1解得，.则∵∴解得方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s .使得则r+s=1，－rs=1n≥3时，有……联立以上n-2个式子，得：∵，上式可化简得：那么……（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。
Fibonacci数列通项公式推导
推导 Fibonacci 数列通项公式 的一种初等方法
Wsy,Slyz July.31,2016
推导方法的实质
根据Fibonacci数列的递推式凑成等比 数列的形式
推导过程
众所周知，Fibonacci数列的递推式为 我们强制性凑等比数列，设：
由于这个式子是由递推式变形得到的，所以： 解得
推导过程
于是我们得到
即 ，公比为 是首项(n=2)为 的等比数列
所以：
推导过程
我们再凑等比数列，这几步非常关键，把f(n) 凑成了g(n)-A· g(n-1)的形式：
推导过程
即 是首项为 公比为
的等比数列. 所以根据等比数列通公式：
推导过程
移项，得
斐波那契数列的通项公式
斐波那契数列的通项公式
斐波那契数列的通项公式是一个非常有趣且具有深刻数学内涵的概念。
在数学领域中，斐波那契数列是一个无穷序列，其前两项是0和1，之后的每一项都是前两项的和。
具体而言，斐波那契数列可以表示为
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)。
斐波那契数列的通项公式可以用数学公式来表示，通常写作Fn = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ是黄金分割比例（约为1.6180339887）。
斐波那契数列的通项公式的推导过程是相当复杂和有趣的。
数学家
们通过数学归纳法、矩阵运算、特征方程等方法来证明和推导这个公式。
而这个公式的出现，极大地简化了斐波那契数列的计算过程，使
得我们能够更加便捷地求解斐波那契数列中任意一项的数值。
除了通项公式之外，斐波那契数列还有许多重要的性质和应用。
例如，斐波那契数列在自然界、金融领域、计算机算法等方面都有着广
泛的应用。
斐波那契数列的规律和特点也受到许多数学爱好者和专家
的关注和研究。
总的来说，斐波那契数列的通项公式是一个非常重要且有趣的数学
概念。
它不仅具有深刻的数学内涵，还有着广泛的应用价值。
通过深
入研究和理解斐波那契数列的通项公式，我们可以更好地认识和探索
数学世界的奥秘。
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李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷
（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）
摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.
关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03
Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating Function
LI Wen-jie
Abstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.
收稿日期：2011-12-27
作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
递推是数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题需要较高的数学能力，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。
新教材将数列的相关内容放在高一阶段，并明确给出“递推公式”的概念，如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。
新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题的现状来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨。
我们认为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。
递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法[13]-等求解方法。
我们受齐次线性微分方程的母函数解法的启发,利用母函数,力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法。
1. 母函数
母函数又称生成函数、发生函数，可以帮助我们解决很多问题，例如一些简单的组合数学问题。
母函数更为有用的应用在于解常系数其次线性递推公式. 定义1：利用给定数列12,,n a a a + 所构造的函数：
2012()n n F x a a x a x a x =+++++
称为序列12,,,n a a a 的母函数.
芜湖职业技术学院学报2012年第14卷第1期
注：（1）母函数是形式幂级数,不必关心其收敛性
,x
只是一个形式变量;
（2）对有限序列12,,n a a a ,也可以定义母函数（120,0,n n a a ++== ）.
定义2 称由递推关系12(,,,)n k n k n k n a f a a a ++-+-= 所确定的数列{}n a 为递推数列.
2.斐波那契数列通项公式的母函数法求解
斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，这是意大利数学家斐波那契在1202年所写的一本数学书《珠算的书》中所提出的生兔子问题。
现实中，还有一些问题也可以转化为关于斐波那契数列的问题。
例如，一个人想登上十八阶台阶，如果规定每步只能跨上一级或两级，共有多少种不同的走法？登上一级台阶只有一种走法，登上两级台阶有两种走法，登上三级台阶则有三种走法。
设n F 表示登上n 级台阶的走法数，n=1，2，3...，由于登上第n 级台阶，最后一步可以从第1n -级台阶跨一级而达到，也可以从第n-2 级台阶跨两级而达到，所以有
⎩⎨⎧==∈≥+=--2
,1),3(2121F F N n n F F F n n n 这就是斐波那契数列的递推公式，这是一个带有初值的递推数列。
这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，值得一提的是，斐波那契数列有许多重要而有趣的应用。
例如，优选法中的分数法正是基于此数列；大自然中植物的叶序、菠萝中的鳞状花萼、蜜蜂进蜂房的方式数、艺术上的黄金分割点等都与斐波那契数列有着密切的联系。
八百多年来，斐波那契数列以其无穷的魅力和广泛的应用，吸引着无数数学家的目光和兴趣。
但是，在这个数列诞生之后的三百年的时间里，一直有一个问题困扰着数学家们，那就是关于这个数列的通项公式问题。
这一问题直到16世纪才由法国数学家比内(binet)用第二数学归纳法推出[2]:
1111()]22n n n F ++=- 这一结果揭示了一个十分有趣的事实，用“无理数”来表示“有理数列”的通项公式，而恰恰相反于用有理数的无穷级数来表示无理数，这正是这一数列的通项公式最初难以求出来的原因。
文[4]利用特征方程法给出了这个数列通项公式的一种简单
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
[2] 王俊邦,罗振生. 趣味离散数学[M]. 北京: 北京大学出版社,1998.
[3] 张顺燕. 数学的源与流[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.
[4] 宋庭武. 用特征方程推导斐波那契数列的通项公式[J]. 安庆师范学院学报:自然科学版, 2010,29(4):91-93.。