斐波那契数列通项公式的推导方法.
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式用母函数法推导斐波那契数列的通项公式李文捷（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating FunctionLI Wen-jieAbstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.收稿日期：2011-12-27作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质一、通项公式：a n = √5〔1+√52〕n - √5〔1−√52〕n二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: a p a q - a u a v = (-1)p +1a u-p a q-u三、a n+1a n−1 - a n 2 = (−1)n (n >= 1, n 属于 N)四、a 2n+1 = a n+12 + a n 2 （n 属于N ）五、a n+12 - a n−12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N)六、a n+m = a n−1a m + a n a m+1 (n >= 1, n 和m 属于N)七、a 2n+2a 2n−1 - a 2n a 2n+1 = 1(n >= 1, n 属于N)八、a m+n 2 - a m−n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1)九、a n−1∗a n+2 - a n ∗a n+1 = (−1)n (n >= 2)十、{f 2n f 2n+1} 有极限且等于黄金分割率√5 −12下面是一篇文章：第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
斐波那契数列解题技巧
斐波那契数列解题技巧斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学领域中一道著名的难题。
它的定义如下：第一个数和第二个数均为1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
例如：1, 1, 2, 3, 5, 8，以此类推。
本文将介绍斐波那契数列的解题技巧及其应用。
斐波那契数列的通项公式为：F(n) = (1 / sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5)) / 2)^n - ((1 - sqrt(5)) / 2)^n]。
通过这个公式，我们可以快速计算出斐波那契数列的任意一项。
此外，斐波那契数列还具有以下性质：从第三项开始，每一项与前一项的比值趋近于黄金分割比例0.618。
在求解斐波那契数列时，有多种方法可供选择。
以下列举四种常见方法：1.迭代法：通过不断迭代计算，求出斐波那契数列的每一项。
这种方法简单易懂，但计算速度较慢，适用于小范围数值计算。
2.递归法：利用斐波那契数列的定义，编写递归函数来求解。
这种方法在计算过程中会产生大量重复计算，效率较低，但在某些场景下可以简化代码。
3.矩阵求幂法：将斐波那契数列表示为矩阵形式，通过矩阵求幂来计算。
这种方法具有较高的计算效率，适用于大规模数值计算。
4.循环迭代法：在迭代法的基础上，采用循环结构提高计算速度。
这种方法结合了迭代法和递归法的优点，适用于一般场景。
斐波那契数列在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域，斐波那契数列可以用于预测价格走势；在计算机科学领域，斐波那契数列可用于查找最优路径；在生物学领域，斐波那契数列可以用于研究生物种群的增长规律。
此外，斐波那契数列还有一些拓展问题，如：寻找斐波那契数列的规律，预测未来项；研究斐波那契数列的数列极限；探讨斐波那契数列与其他数列的关系等。
总之，斐波那契数列是一道具有丰富内涵的数学问题。
通过掌握解题技巧，我们能更好地应对与之相关的题目。
同时，了解斐波那契数列的应用场景，能使我们更好地将其运用到实际问题中。
关于斐波那契数列的性质的简单证法及其推广和应用
关于斐波那契数列的性质的简单证法及其推广和应用
斐波那契数列是一种十分有名的数列，它可以通过以下公式定义：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
斐波那契数列有三个主要的性质：（1）它是一个等比数列，称为斐波那契数列的比率；（2）它是一个自相似的数列，每一项都是它的前两项之和；（3）它的后n项的和等于
Fn+2减去1。
证明斐波那契数列的性质，首先要证明它是一个等比数列，即F(n)/F(n-1)是一个常数，
也就是斐波那契数列的比率，因为F(n)/F(n-1)=F(n-1)/F(n-2)=φ，所以得证。
其次要证明斐波那契数列是一个自相似的数列，因为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，所以得证。
最后要证明斐
波那契数列的后n项的和等于Fn+2减去1，这可以从公式F(n)=F(n-1)+F(n-2)推出，F(n-1)是F(n)和F(n-2)的和，F(n-2)也是F(n)和F(n-3)的和，因此F(n-1)+F(n-2)=FN+FN-3，
把它继续推导出F(n)+F(n-1)+F(n-2)=FN+2-1，因此得证。
斐波那契数列的这些性质不仅仅对斐波那契数列有效，它也可以推广到其他数列。
例如，
求解斐波数列时，我们也可以把它看作是一种等差数列，用它的性质可以简化求解问题的过程。
斐波那契数列的性质还可以应用于许多实际的工程项目中。
在科学计算中，它常常被用来进行存储内容和检索操作，这大大降低了检索数据所需要的内存空间大小；在数学形式中，它可以用来表示某一定性关系。
综上所述，斐波那契数列的性质可以简单证明，并且可以推广应用到各种数列，在工程科学计算中也有广泛的应用。
爬楼梯斐波那契数列通项
爬楼梯斐波那契数列通项
斐波那契数列在爬楼梯问题中应用的通项公式可以通过递归关系或矩阵快速幂等方法得到。
具体如下：
1.递归关系：在最简单的形式下，斐波那契数列由以下递推
关系定义：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n
是台阶数。
这个递归关系意味着到达当前台阶的方法数等于到达前
两个台阶的方法数之和。
2.备忘录策略优化：由于递归算法会进行大量重复计算，我们可以使
用备忘录方法来存储已计算的值，避免重复计算，从而提高效率。
3.矩阵快速幂：对于较大的n值，还可以使用矩阵快速幂来计算斐波
那契数，这在时间复杂度上比直接递归要高效得多。
4.闭合公式：斐波那契数列也有所谓的“闭合”公式（也称为Binet公
式），即F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / √5，其中φ = (1 + √5) / 2
是黄金分割比。
不过这个公式在数值计算时可能会遇到浮点数精度
问题。
5.动态规划：动态规划是解决此类问题的另一种高效方式。
通过自底
向上的方式逐步构建出到达每个台阶的方法数。
6.数据范围考虑：在实际编程中，还需要考虑数据范围和整型溢出的
问题。
对于大数情况，可能需要使用更大范围的数据类型或者采用
其他避免溢出的策略。
综上所述，斐波那契数列在爬楼梯问题中的应用非常广泛，其核心思想是将复杂问题分解为简单的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
这种思想在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。
在数学中，有几种方法可以求解这类问题。
一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。
这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。
k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。
解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。
二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。
该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。
解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。
利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。
三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。
该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。
斐波那契数列通项公式求解
斐波那契数列通项公式求解
解：设a n-αa n-1=β（a n-1-αa n-2）。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x2-x-1=0，解得α=1-√5/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
由此可得
感想：询问老师后知道斐波那契数列的通项公式还有很多解法。
由于所学知识有限，所以使用较为简单的初等代数方法，可以称之为待定系数法，也是数学学习中常用的一种思想方法。
值得注意的是待定系数法解斐波那契数列是构造等比数列而不是等差数列，这也需要通过自己的尝试来得出。
这个公式有一个特别之处，就是公式中带有√5和分数，但无论第一项第二项都是整数，所以想通过观察找规律来得出通项公式基本是不可能的，从中也能看出数学的无尽魅力。
数学-以斐波那契数列为背景的高中数学问题
这就产生了斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和.用递推公式表达表达就是：12211n n na aa a a++==⎧⎨=+⎩斐波那契数列通项公式为n nna⎡⎤⎥=−⎥⎝⎭⎝⎭1.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …实标生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则357920211a a a a a ++++++是斐波那契数列{}n a 中的第__________项.答案：2022解析：由题意得357920212357920214579202167920212020202120221.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=+++++=++++==+=2.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐波那契数列{}n a 中, 12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈ .用n S 表示他的前n 项和,若已知2020S m = ,那么2022________.a =答案：m +1解析：()12211,1n n n a a a a a n N *++===+∈123234345,,a a a a a a a a a ∴+=+=+=201920202021202020212022,a a a a a a +=+=以上累加得：1234202020212222a a a a a a ++++⋯⋯++3420212022a a a a =++⋯⋯++12320202022220221a a a a a a m a m ∴+++⋯⋯+=−=∴=+3.“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足: 12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥,记其前n 项和为n S ,则6543( )S S S S +−−=A.8 B.13 C.21 D.34答案：C解析：【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值.【详解】()12121,1,3,n n n a a a a a n n *−−===+≥∈N 1n a −+++1n a −+++)21n a a −++++1n a a −+++2=1n a +−21n a −++=2n a a ++=31242323a a a a a a =+==+=，5346455,8a a a a a a =+==+= 65436453S S S S S S S S ∴+−−=−+−6554855321a a a a =+++=+++=故选C.4.若数列{}n F 满足,则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ,则( ) A.26571F F F =+ B.681S F =−C.135910F F F F F +++= D.2222123678F F F F F F +++=答案：BC解析：()1212,A.11,3,n n n F F F F F n n N *−−===+>∈3214325436547658769871098226576576868132, 3,5, 8,13, 2134, 55,64,166, 1 ,A B.1123520, 120, B ;C.F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S F S F F F F ∴=+==+==+==+==+==+==+==+=∴=+=≠+=++++=−=++故错误；=-1故正确591022221236222278123678125133455;D.114925641041321273,, .C F F F F F F F F F F F F F FD ++=++++==+++=+++++==⨯=∴++++≠.故确故错误正5.斐波那契数列，又称黄分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合,小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变,都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的数学之美,在数学上斐波那契数列{}n a 一般以递推的方式被定义:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则( )A.1055a = B .2211n n n a a a ++−=C. 1n n a +⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列 D.设1n n na b a +=,则112n n n n b b b b +++−<−答案：ABC解析：12213A.1,,n n n a a a a a a ++===+开始各项依次为：则从102, 3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,,55,;a ⋯⋯=因此正确()222211111B.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++−+−=+−=−由222111n n n n n n a a a a a a ++−+−=−=⋯⋯可得：22132121 1.;a a a =−=⨯−=因此正确211111C.22n n n n n a a a a a ++++−+=++11111,222n n n n a a a a ++⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭21a +2111,,;22n n a a ++⎧⎫⎪⎪∴+⎨⎬⎪⎪⎩⎭数列是等比数列因此正确11211D.,n n n n n n n n n a a a b b b a a a +++++=−=−由则212111n n n n n n n a a a a a a a ++++−==12121,n n n n b b a a ++++−=同理可得：20,n n a a +>>由斐波那契数列的单调性可得：11211,.ABC.n n n n a a a a +++>因此因此不正确故选6.(多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列现将斐波那契数列记为{}n a ,12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥, 边长为斐波那契数a n 的正方形所对应扇形面积记为b n , (n ∈N *),则( )A.223 (3)n n n a a a n −+=+≥B. 123201920211a a a a a ++++=+C.()20202019201820214b b a a π−=⋅ D. 123202*********4b b b b a a π++++=⋅答案：AD解析：123,n n n a a a n −−=+≥由（递推公式）可得211212 n n n n n n n n a a a a a a a a ++−−−=+=+=−()221123A 3n n n n n n n a a a a a a n a +−−−+=++−=≥正确所以.故选项12313421,,,a a a a a a a ==−=−类似的有:11122(2),,1,n n n n n n a a a n a a a a +−++=−≥+−=−迭加可得123201920211B ;a a a a a +++⋯+=+故错误，故选项错误2112,,44n n n n n n b a b b a a ππ−+−=−=由题意可知，扇形面积为故()2020201920182021C ;4b b a a π−⋅=则错，故选项错误误121212223221(3),,,n n n a a a n a a a a a a a a −−=+≥==−由可得222211121,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−+=−+++=迭加可得2123202020202021n n b a b b b b a a ππ=+++⋯+=⋅所以又.D AD.错误，故选故选项7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列，并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列说法正确的是( ) A.20211g = B.12320212696g g g g ++++=C.22221232020201920212f f f f f f ++++= D. 222123222022210f f f f f f −+−=答案：ABD解析：123451,1,2,3,1,g g g g g =====由已知得67891011120,1,1,2,3,1,0,,g g g g g g g ======={}6.n g 所以数列是以为周期的周期函数2021A ,202163365,1,A g =⨯+=对；故于选项因为所以选项正确1232021B ,g g g g ++++对于选项336(112310)(11231)2696,B ;=⨯++++++++++=故选项正确1221C ,,n n n f f f f f ++==+，对于选项()2211222312321,,f f f f f f f f f f f ∴==−=−()233423432,,f f f f f f f f =−=−()2112121,n n n n n n n n f f f f f f f f ++++++=−=−22221232020f f f f ++++所以()()()()122312343220192020201920182020202120202019f f f f f f f f f f f f f f f f f f =+−+−++−+−20202021,C ;f f =故错误()22222232122232221D ,,f f f f f f f f =−=−对于选项因为()22121222021222120,f f f f f f f f =−=−22212322202221212322232221202221222120f f f f f f f f f f f f f f f f f f −+−=++−+所以()20212221232223202321232223f f f f f f f f f f f f f =+−+−=+222322230,D .ABD.f f f f =−=故正确故选8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 2na a ++=2211223n n n na a a +++=22223233n na a a a a a +++=+++224na a ++1n n a a +=称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论确的是() A.68a = B.954S =C.135********a a a a a ++++= D.22212201920202019a a a a a +++=答案:ACD解析：{}A ,61,1,2,3,5,8,A ;n a 对于选项数列的前项为故正确()81234256420192020201813520192020135201921221212231232B ,112358132154,B ;C ,,,,,:2020D ,,n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=+++++++===−=−⋯⋯=−++++=++++=+==−=−对于选项故错误对于选项由项；可得故是斐波那契数波列对于选项,斐的那契数列总有中第则()()21334234232220182018201920172018201920172018201920192020201920182222123201920192020,,,,D ;:A ,CD.,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−=−⋯⋯=−=−=−++++=故正确故选312n a ++=是奇数时等于第n+12, 当 n1.半径为1的两个圆12,O O外切,l是它们的一条外公切线,作312O O O l和、、均相切，作234,O O O l和、、均相切……,作11n n nO O O l+−和、、均相切,求8O的半径.解析：111,,,n n n n nO R l O S l O l O R O S P Q−+−⊥⊥作作过的平行线、于、111,n n n n nO M O R M O M PQ O P O Q−++⊥==+作于，则1nO Q+==因为1,n nO P O M+==同理==可得1112(2),1,n n n na a a a n a a+−==+≥==令则且3124235346452,3,5,8a a a a a a a a a a a a =+==+==+==+=75686713,21a a a a a a =+==+=,8228111.21441r a ===所以2.(2012上海)已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==.若20102012a a =, 则2011a a +=__________.解析：2010201020121,,,1a t a a t t t ===+设由得解得则：()201020082200811,,.12k a t a t a k N a *====∈+则同理123579111123581,,,,,,,1235813n n a a a a a a a a +=======+又则2011813a a +故。
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3、概括斐波那契数列的
特征，写出递推关系
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
其规律是从第三项起，每一项都是前 两项的和．用递推公式表达就是：
a1 a2 1 an 2 an 1 an
4、斐波那契数列
通项公式的发现与证明
1680年意大利──法国学者卡西尼发现该数列的某个 重要关系式。
思路一：用计算、猜想、证明的方法(略)
思路二：对递推式变形得：
a n a n1 a n1 a n2
这是等差数列的性质， 故{ an }是等差数列， 其中公差 d=3-1=2，
an = a1 +(n-1)d=2n-1
三、斐波那契数列通项 公式的推导方法
设 a n 2
Байду номын сангаас
pa n1 q(a n1 pa n) ………(1)，
a1 1 练习 ：数列{ an }满足 ，求数列{ an }的通项公式。 n a n 1 3a n 2
n1 n a x 3( x 解：设 n1 2 2 ) ，易得 x=1， an
n n 1 再设 bn = a n 2 ，则 bn 1 = a n1 2 ，
二、设计问题，发现公式 的推导方法
a1 1 问题一 已知数列{ a n}满足 a n 3a n1 2(n 2)
求数列{ a n }的通项公式。
a1 1 问题二 已知数列{ a n }满足 a n 2a n1 1(n 2)
数列{ b n }满足： bn = （2）求数列{
n 1
上式当 n=1 时也成立， a n = 2 3
n 1
1 n N
(证略)
问题二的解答 思路： b n = a n +1=（2 a n 1 +1）+1=2（ a n 1 +1）=2 b ， 构造法 n 1 即 b n =2 b n 1 数列{ b n }为等比数列， 其中 b1 = a1 +1=2,q=2
利用转化思想
求斐波那契数列的通项公式
象山县第三中学
谢刚伟
一、与斐波那契有关的事实
1、斐波那契和“兔子问题”
意大利数学家(约1170约1250年)，12、13世 纪欧洲数学界的代表人 物，生于比萨。他的书 保存下来的共有5种。 最重要的是《算盘书》 （1202年完成，1228年 修订），其中最耐人寻味 的是，这本书出现了中国 《孙子算经》中的不定方 程解法。另一个「兔子问 题」也引起了后人的极大 兴趣 。这数列与后来的 「优选法」有密切关系。
an
+ 1；
（1）求证：数列{ b n }为等比数列；
a n }的通项公式。
问题一的解答 思路一：
a 2 =3×1+2=5， a 3 =3×5+2=17，
a 4 =3×17+2=53，
…无法继续下去。
思路二： a 2 =3×1+2=3+2，
a 3 =3×（3+2）+2= 32 3 2 2 ，
概括出这类数列的一般特征和解法： 概括出这类数列的一般特征和解法
a1 a 数列{ an }特征： a n ca n1 d (c 0且c 1, d 0)
d 解法：设 an + x = c ( an1 + x)，则 c x－x = d， x = ； c 1 d d 令 bn = an + ，则 bn 1 = an1 + ，代入得 bn =c an ， c 1 c 1 d { bn }为等比数列，最后求得 bn =（a+ ） c n1 ， c 1 d d n 1 an =（a+ ） c － c 1 c 1
bn 1 =3 bn { bn }为等比数列，其中 b1 =a1 +2=3,q=3， bn = 3 an = 3
n n
-2
n
a1 1 问题三 ：已知数列{ an }满足 a 2 3 , 求a n 。 a 2a a (n 3) n 1 n2 n
bn =2 2
n 1
=2
n
an 2 n 1
问题一思路三：设 b n = a n +1，则 bn 1 = an1 +1， bn =3 bn 1
{ bn }为等比数列，其中 b1 = a1 +1=2,q=3，
bn =2 3 n 1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
a 4 =3×（ 32 3 2 2 ）+2= 33 32 2 3 2 2 ，
………… 猜想：
a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
=3
n 1
n 1 2 1 3
1 3
1 n 2
=2 3
「兔子问题」： 假定一对大兔子每 一个月可以生一对小兔子，而小兔 子出生后两个月就有生殖能力．问 从一对大兔子开始，一年后能繁殖 成多少对兔子？
这就产生了斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34…
2、介绍斐波那契数列的应用
和植物生长的有趣现象
它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许 多分支中有广泛应用。 数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出 树木生长的问题：如果一棵树苗在一年以后 长出一条新技，然后休息一年．再在下一年 又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这 个规律长出新枝．那么第1年它只有主干1枝， 第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5 年有8枝等等. 每年的分枝数顺次组成的数列 符合斐波那契数列（除第一项外） 植物生长的螺旋现象等
a a
n 1
n 1
a n (1)
2
n
1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式
n n 1 1 5 1 5 an 5 2 2
19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表 达式，现在称为之为比内公式。1963年美国还创 刊《斐波那契季刊》来专门研究斐波那契数列。