斐波那契数列通项公式的推导
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式用母函数法推导斐波那契数列的通项公式李文捷（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating FunctionLI Wen-jieAbstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.收稿日期：2011-12-27作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
菲波拉契数列公式
菲波拉契数列公式
这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列.该数列由下面的递推关系决定：F0=0,F1=1
F n+2=F n + F n+1(n>=0)
它的通项公式是Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
补充问题：
菲波那契数列指的是这样一个数列：
1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 －[（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.
该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到
如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质一、通项公式：a n = √5〔1+√52〕n - √5〔1−√52〕n二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: a p a q - a u a v = (-1)p +1a u-p a q-u三、a n+1a n−1 - a n 2 = (−1)n (n >= 1, n 属于 N)四、a 2n+1 = a n+12 + a n 2 （n 属于N ）五、a n+12 - a n−12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N)六、a n+m = a n−1a m + a n a m+1 (n >= 1, n 和m 属于N)七、a 2n+2a 2n−1 - a 2n a 2n+1 = 1(n >= 1, n 属于N)八、a m+n 2 - a m−n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1)九、a n−1∗a n+2 - a n ∗a n+1 = (−1)n (n >= 2)十、{f 2n f 2n+1} 有极限且等于黄金分割率√5 −12下面是一篇文章：第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
高中数学数列的通项公式及证明
高中数学数列的通项公式及证明数列是高中数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
数列的通项公式是指能够通过数列中的项数n来表示第n项的公式，它是数列的核心内容之一。
在解题过程中，掌握数列的通项公式及其证明方法是非常重要的。
一、等差数列的通项公式及证明等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
常见的等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
根据等差数列的通项公式，可得an = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
等差数列的通项公式可以通过数学归纳法进行证明。
首先，假设当n=k时，等差数列的通项公式成立，即ak = a1 + (k-1)d。
然后，考虑当n=k+1时，即求第k+1项的值。
根据等差数列的定义，第k+1项可以表示为ak+1 = ak + d。
代入假设的通项公式，可得ak+1 = a1 + (k-1)d + d = a1 + kd。
因此，根据数学归纳法，等差数列的通项公式成立。
二、等比数列的通项公式及证明等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
常见的等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。
根据等比数列的通项公式，可得an = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 162。
等比数列的通项公式可以通过数学归纳法进行证明。
首先，假设当n=k时，等比数列的通项公式成立，即ak = a1 * r^(k-1)。
然后，考虑当n=k+1时，即求第k+1项的值。
根据等比数列的定义，第k+1项可以表示为ak+1 = ak * r。
代入假设的通项公式，可得ak+1 = a1 * r^(k-1) * r = a1 * r^k。
因此，根据数学归纳法，等比数列的通项公式成立。
爬楼梯斐波那契数列通项
爬楼梯斐波那契数列通项
斐波那契数列在爬楼梯问题中应用的通项公式可以通过递归关系或矩阵快速幂等方法得到。
具体如下：
1.递归关系：在最简单的形式下，斐波那契数列由以下递推
关系定义：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n
是台阶数。
这个递归关系意味着到达当前台阶的方法数等于到达前
两个台阶的方法数之和。
2.备忘录策略优化：由于递归算法会进行大量重复计算，我们可以使
用备忘录方法来存储已计算的值，避免重复计算，从而提高效率。
3.矩阵快速幂：对于较大的n值，还可以使用矩阵快速幂来计算斐波
那契数，这在时间复杂度上比直接递归要高效得多。
4.闭合公式：斐波那契数列也有所谓的“闭合”公式（也称为Binet公
式），即F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / √5，其中φ = (1 + √5) / 2
是黄金分割比。
不过这个公式在数值计算时可能会遇到浮点数精度
问题。
5.动态规划：动态规划是解决此类问题的另一种高效方式。
通过自底
向上的方式逐步构建出到达每个台阶的方法数。
6.数据范围考虑：在实际编程中，还需要考虑数据范围和整型溢出的
问题。
对于大数情况，可能需要使用更大范围的数据类型或者采用
其他避免溢出的策略。
综上所述，斐波那契数列在爬楼梯问题中的应用非常广泛，其核心思想是将复杂问题分解为简单的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
这种思想在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
斐波那契数列 通项公式
斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。
这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。
斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。
斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。
它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。
斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。
斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。
它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。
此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。
斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。
总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。
掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。
斐波那契数列求通项公式
斐波那契数列求通项公式斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说啥是斐波那契数列。
它的特点就是从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
比如说最开始的两项是 0 和 1 ，那接下来就是1 、2 、3 、 5 、 8 、 13 ...... 就这么一直往后延伸。
那咱们怎么求出它的通项公式呢？这可得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别积极，一直眨巴着大眼睛，紧紧盯着黑板，那认真的模样简直太可爱了！我在黑板上写下数列的各项数字，然后开始引导他们思考其中的规律。
咱们设斐波那契数列的通项公式为 \(F(n)\) ，为了求出这个通项公式，咱们得用上一些数学方法。
一种常见的方法是利用特征方程。
假设 \(F(n)\) 满足线性递推关系\(F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)\) ，对应的特征方程就是 \(x^2 = x + 1\) 。
解这个方程，能得到两个根 \(x_1\) 和 \(x_2\) 。
接下来，咱们可以设通项公式为 \(F(n) = A \times x_1^n + B \timesx_2^n\) ，其中 \(A\) 和 \(B\) 是需要确定的常数。
然后，咱们可以利用初始条件 \(F(0) = 0\) 和 \(F(1) = 1\) 来确定 \(A\) 和 \(B\) 的值。
把这些都搞清楚，经过一番计算，就能得出斐波那契数列的通项公式啦！其实啊，求出斐波那契数列的通项公式不仅仅是为了得到一个数学结果，更重要的是在这个过程中培养咱们的逻辑思维和解决问题的能力。
就像那次课堂上，孩子们一起思考、一起讨论，虽然过程中也会遇到困难，但是当最终得出答案的时候，他们脸上那兴奋和自豪的表情，让我觉得一切的努力都太值得了！数学的魅力就在于此，一个看似简单的数列，背后却隐藏着如此精妙的规律和方法。
所以啊，同学们，别害怕数学里的这些难题，只要咱们用心去探索，总能发现其中的乐趣和奥秘！相信大家在以后的学习中，遇到类似的问题，也能像求解斐波那契数列通项公式一样，勇往直前，找到答案！。
斐波那契数列通项公式求解
斐波那契数列通项公式求解
解：设a n-αa n-1=β（a n-1-αa n-2）。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x2-x-1=0，解得α=1-√5/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
由此可得
感想：询问老师后知道斐波那契数列的通项公式还有很多解法。
由于所学知识有限，所以使用较为简单的初等代数方法，可以称之为待定系数法，也是数学学习中常用的一种思想方法。
值得注意的是待定系数法解斐波那契数列是构造等比数列而不是等差数列，这也需要通过自己的尝试来得出。
这个公式有一个特别之处，就是公式中带有√5和分数，但无论第一项第二项都是整数，所以想通过观察找规律来得出通项公式基本是不可能的，从中也能看出数学的无尽魅力。