高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程

斐波那契数列

斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

定义

斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........

自然中的斐波那契数列

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

通项公式

递推公式

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时

通项公式推导

方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

x2=x+1

解得

，

.

则

∵

∴

解得

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数r，s .

使得

则r+s=1，－rs=1

n≥3时，有

……

联立以上n-2个式子，得：

∵

，

上式可化简得：

那么

……

（这是一个以

为首项、以

为末项、

为公比的等比数列的各项的和）。

，

的解为

则

方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）

设

得

构造方程

解得

，所以

由(1)(2)式得

化简可得

方法四：母函数法。

对于斐波那契数列{a n}，有a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n>2时)

令S(x)=a1x+a2x+…+a n x n+...

那么有S(x)*(1-x-x2)=a1x+(a2-a1)x2+…+(a n-a n-1-a n-2)x n+...=x 因此S(x)=

.

不难证明1-x-x2=-(x+

)(x+

)=(1-

*x)(1-

*x).

因此S(x)=

*[x/(1-

*x)-x/(1-

*x)].

再利用展开式1/(1-x)=1+x2+…+x n+…

于是就可以得S(x)=b1x+b2x2+…+b n x n+…其中b n=

*[(

)n - (

)n].

因此可以得到a n=b n=

*[(

)- (

)]

与黄金分割

关系

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

越到后面，这些比值越接近黄金比.

证明

两边同时除以

得到：

。

若

的极限存在，设其极限为x，

则

。

所以

。

由于

解得

所以极限是黄金分割比。

特性

平方与前后项

从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。

如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

与集合子集

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

奇数项求和

偶数项求和

平方求和

隔项关系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]

两倍项关系

f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)

其他公式

应用

生活斐波那契

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

合并图册(2张)

斐波那契数与植物花瓣3………………………

百合和蝴蝶花5……………………

蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………

翠雀花13………………………

金盏和玫瑰21……………………

紫宛34、55、89……………雏菊

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

黄金分割

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值

0.6180339887..…

杨辉三角

将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

公式表示如下：

f⑴=C(0,0)=1。

f⑵=C(1,0)=1。

f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。

f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。

f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。

f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。

f⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。

……

f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

矩形面积

斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。

斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式：

质数数量

斐波那契数列的整除性与质数生成性

每3个连续的数中有且只有一个被2整除，

每4个连续的数中有且只有一个被3整除，

每5个连续的数中有且只有一个被5整除，

每6个连续的数中有且只有一个被8整除，

每7个连续的数中有且只有一个被13整除，

每8个连续的数中有且只有一个被21整除，

每9个连续的数中有且只有一个被34整除，

.......

我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是质数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

斐波那契数列的质数无限多吗？

尾数循环

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

11235,83145,94370,77415,61785,38190,

99875,27965,16730,33695,49325,72910…

进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。自然界中“巧合”

斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……

其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。

斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部

这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。

数字谜题

三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：

现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。影视作品中的斐波那契数列

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如

黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列

斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，

斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1

卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11

F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11

F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31

斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。

而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。

广义斐波那契数列

斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。

佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).

据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。

当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。

当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。

当p=2，q=-1时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。

具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。

当f1=1，f2=2，p=2，q=0 时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……

相关数学

排列组合

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

它的运算就是右边的矩阵(1,1)乘以矩阵(F(n),F(n-1))，右边的矩阵(1,0 ) 乘以矩阵(F(n),F(n-1))，得到：

F(n+1)=F(n)+F(n-1)

F(n)=F(n)

可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义

设矩阵A=第一行（1，1）第二行（1，0）迭代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) *（F(2)，F(1))T= A^(n)*(1,1)T

这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。

另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)* A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。

因此可以用递归的方法求得答案。

数列值的另一种求法：

F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]

其中[ x ]表示取距离x 最近的整数。

斐波那契弧线

斐波那契弧线，也称为斐波那契扇形线。第一，此趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%，50%和61.8%的无形垂直线交叉。

斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。

要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范围而改变，因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。