数列的通项公式字数教案
求数列通项公式(教案)
数列地通项公式教学目标:使学生掌握求数列通项公式地常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列地通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列地通项公式地方法. 教学时数:2课时.教 法:讨论、讲练结合.第一课时一．常用方法与技巧：（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊地函数.（2）运用好公式： 11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩快速练习:1.写出下面数列通项公式（记住）：1,2,3,4,5,…=n a ______________.1,1,1,1,1,…=n a ______________.1,-1,1,-1,1,…=n a ______________.-1,1,-1,1,-1,…=n a ______________.1,3,5,7,9,…=n a ______________.2,4,6,8,10,…=n a ______________.9,99,999,9999,…=n a ______________.1,11,111,1111,…=n a ______________.1,0,1,0,1,0,…=n a ______________. 2.求数列地通项公式地常用方法:(1).观察归纳法. 利用好上面地常用公式.(2).叠加法:例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式例2.11{}1,n n n a a a a n -==+数列中，，求数列 .n a 通项公式(3)叠乘法:1n 1{}12,n n a a a a -==例3.数列中，，求数列.n a 通项公式1n 1{}1131,n n a a a a -=+=+例4.数列中，，（）求数列.n a 通项公式(4).构造成等差或等比数列法:1n 1{}121,n n a a a a -==+例5.数列中，，求数列.n a 通项公式11n 1{}121n n n a a a a a --==+例6.数列中，，，求数列.n a 通项公式三.巩固提高1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 地值是 A.19 B.20 C.21 D .22 1n 1{}1(2n-1),n n a a a a -==+2.数列中，，求数列 _____.n a =通项公式3.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =． 3.已知数列{}n a 地11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a =．5.已知数列{}n a 地首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a =．6.已知数列{}n a 地11a =，1(2)1n n a nn a n -=≥+， 则35a a +=．_____.n a =7.已知1111,(2),(1)n n a a a n n n -=-=≥-求数列{n a }通项公式n a .第二课时快速练习: 填空：1.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=(2)n ≥ 则n a =．2.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=+(2)n ≥ 则n a =．3.数列{}n a 满足:11=a 且113--+=n n n a a (2)n ≥ 则n a =．4.数列{}n a 满足:11=a 且113n n n a a --=⋅(2)n ≥， 则n a =．二．求数列地通项公式地常用方法 (5) 活用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n例7.已知数列{}n a 地前n 项和21()2n S n n =+，则n a =．例8.已知数列{}n a 地前n 项和21()12n S n n =++,则n a =．例9. 已知数列{}n a 地前n 项和32n n S =+, 则n a =．11{}1(2),.n n n n a a a S n a -==≥例10.数列满足，且求三．巩固提高1.已知数列{}n a 地前n 项和32n n S =⋅，则n a =．2.数列{}n a 地前n 项和n S 满足：1)1(log 2+=+n S n ， 求.n a3.若n s 是数列{}n a 地前n 项和，2n S n 且=，则{}n a 是 A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等比数列，而且也是是等差数列D.既不是等比数列又不是等差数列4.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 1).写出数列{}n a 地前5项; 2).求数列{}n a 地通项公式.3).若1,,{}.n n n n n b a c nb c n =+=n 求的前项和S5.已知数列{}n a 地首项15,a =前n 项和为n S ,且*125()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．教学目标:使学生掌握数列前n 项求和地常用方法，培养学生地逻辑分析能力和创新能力.教学重点:掌握运用公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法、累加（累积）法等对数列进行求和.教学难点:将数列转化为等差或等比数列求和，及错位相减法.教学时数:3课时.教 法:讨论、讲练结合. 一.知识回顾（一）数列求和地常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列地数列.2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{}n a 是各项不为0地等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘地数列等.3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0地等比数列.4.倒序相加法:类似等差数列前n 项和公式推导方法.5.分组求和法、6.累加（乘）法等 （二）.常用结论1).1(1)1232nk n n k n =+=++++=∑L 2).21(21)135(21)nk n n n =-=++++-=∑L3).2222211123(1)(21)6nk k n n n n ==++++=++∑L4).111)1(1+-=+n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n二.课前热身1.已知数列{}n a 地通项公式为31n a n =-,求数列{}n a 地前n 项和n S .2.已知数列{}n a 地通项公式为n a =3n ,求数列{}n a 地前n 项和n S .三.思考与归纳思考1. 对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).2313521,,,,,.2222nn n -L L n 求数列的前项和S2).求数列{}n n 2⋅地前n 项和3).设n n n a 21⋅=，则=n s ______________.思考2. 对下列数列求和，并小结求和方法与思路：1).已知数列}{n a 地通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项地和；2).已知数列}{n a 地通项公式为n a =，求前n 项地和． 3).1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+L .思考3.对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).已知数列{}n a 地通项221n n a n =+-，则它前n 项地和n S =.2).22111()()()_________.n n x x x y y y+++++=L3).12(235)(435)(235)_____.n n ----⨯+-⨯+-⨯=L4).2(1)(2)()n a a a n -+-+-=L ___________ 思考4. 解下列各题，并小结解题方法与思路： 1.已知等比数列{}n a 地首项为1a ，公比为q ，请证明它地前n 项和公式为：11(1)(1)(1)1n n na q s a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩2.已知等比数列{}n a ，1231(1)(2)2n n nT na n a n a a a -=+-+-+⋅⋅⋅++，已知11T =，24T =.（1）求数列{}n a 地首项和公比； （2）求数列{}n T 地通项公式3.已知数列{}n a 满足⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1公比为31地等比数列1).求n a 地表达式.2).如果n n a n b )12(-=,求{}n b 地前n 项和n s3.数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈1).求数列{}n a 地通项公式；2).设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；巩固练习1.设等差数列{}n a 地公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论中正确地是 （ ）A.)1(3--=n n na S n nB.13(1)n S na n n =+-C.1(1)n S na n n =+-D.)1(-+=n n na S n n2.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-132,,,,1n x x x x 地前n 项之和是 A.x x n --11B.x x n +--111C.x x n +--211D.以上均不正确3.数列{}n a 前n 项地和b S n n +=3(b 是常数),若这个数列是等比数列，那么b 为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.14.等比数列{}n a 中,已知对任意自然数n ，12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ,则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=A.2)12(-nB.)12(31-nC.14-nD.)14(31-n5.求和：111112123123n++++=+++++++L L .6.数列11111,2,3,4,392781L 地前n 项和是.7.数列=-+⋅⋅⋅++++=-132)12(7531n n q n q q q s8. 数列{}n a 满足12a =，12n n n a a +=+，则通项公式n a =，前n 项和n S =.9.2222222210099654321-++-+-+-Λ＝.10.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++L L L 地通项公式n a =， 前n 项和n S =.11.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数地等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=. 1).求{}n a ，{}n b 地通项公式；2).求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭地前n 项和n S ．12.已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=，1).求数列{}n a 地通项公式；2).令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 地公式.。
高中数学数列通项教案
高中数学数列通项教案教学内容：高中数学-数列的通项公式教学目标：1. 理解数列的概念和基本性质；2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够根据题目给出的数列，求出其通项公式；4. 能够利用数列的通项公式解决实际问题。
教学准备：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。
教学步骤：一、引入1. 引导学生回顾数列的定义和性质。
2. 提问：什么是数列？数列有哪些特点？二、讲解等差数列的通项公式1. 概念：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
2. 通过例题讲解如何求等差数列的通项公式。
三、讲解等比数列的通项公式1. 概念：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
2. 通过例题讲解如何求等比数列的通项公式。
四、综合练习1. 老师出示一些题目，让学生尝试求解数列的通项公式。
2. 学生互相讨论，互相纠错。
五、拓展应用1. 老师出示实际问题，让学生利用数列的通项公式解决问题。
2. 学生展示解题过程并与老师讨论。
六、总结1. 总结本节课学习的内容，强调数列通项公式的重要性。
2. 鼓励学生多做练习，掌握数列的应用技巧。
七、作业布置1. 布置相关数列通项公式的练习题，加深学生对知识点的理解。
2. 鼓励学生独立思考和解题。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握等差数列和等比数列的通项公式，并且能够应用数列的通项公式解决实际问题。
在教学过程中，要注重引导学生思考、独立解题，培养其数学思维和解决问题的能力。
同时，要及时检查学生的学习情况，帮助他们解决学习难题，确保教学效果。
数列通项公式总结教案
数列通项公式总结教案数列通项公式总结教案一、教学目标(一)知识与技能1.使学生掌握数列的通项公式的概念、求法及应用；2.帮助学生理解数列通项公式的意义和求解方法，培养学生的推理能力和应用能力；3.使学生掌握数列通项公式与前n项和公式之间的关系，培养学生的转化思想。
(二)过程与方法1.经历探究过程，发现数列通项公式的规律；2.学习观察、猜想、证明等数学方法，培养学生的数学思维能力；3.通过数列通项公式与前n项和公式的联系，培养学生的转化思想和分析问题的能力。
(三)情感态度价值观1.通过数列通项公式的探究过程，培养学生的数学探究精神和学习兴趣；2.帮助学生理解数列在现实生活中的应用，培养学生的数学应用意识；3.通过学生之间的合作与交流，培养学生的合作精神和创新思维。
二、学情分析(一)知识基础学生已经学习了数列的概念、分类、表示法及前n项和的求法等基础知识，对数列的通项公式和前n项和公式有初步的了解。
(二)学习能力学生在前面知识的学习过程中，已经具备了一定的观察、猜想、推理和证明等数学能力，能够自主探究一些简单的数列问题。
通过对数列通项公式的探究，学生能够进一步锻炼自己的数学思维能力。
(三)个性差异学生的数学基础和学习能力存在差异，对数列通项公式的理解和掌握程度也会有所不同。
因此，需要针对不同层次的学生设计不同难度的问题和练习，以满足不同层次学生的学习需求。
三、重点难点(一)教学重点1.数列通项公式的概念和求解方法；2.数列通项公式与前n项和公式之间的关系；3.数列的应用。
(二)教学难点1.数列通项公式的证明方法；2.数列通项公式与前n项和公式的综合应用；3.数列的应用题目的分析和求解方法。
四、教学环节与内容(一)导入新课通过复习数列的概念和前n项和的求法等基础知识，为学习数列通项公式做好准备。
同时，通过展示一些具体的数列例子，引导学生观察其中的规律和特点，激发学生的探究欲望和学习兴趣。
(二)探究新知1.数列通项公式的概念和求解方法探究通过具体的例子，引导学生观察数列中每一项与项数n之间的关系，总结出数列通项公式的定义。
数列的通项教学设计
6.1.2 数列的通项
【教学目标】
1. 理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式．
2. 了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项．
3. 培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力．
【教学重点】
数列的通项公式及其应用．
【教学难点】
根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式．
【教学方法】
本节课主要采用例题解决法．通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系．通过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基础．
【教学过程】。
数列求通项公式教学设计
数列求通项公式教学设计数列求通项公式教学设计教学目标：1.知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法，包括利用公式、累加法、累乘法和构造法，并能够灵活运用。
2.能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养学生观察、辨析、运用的综合思维能力，掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想，提高学生数学素质。
3.情感目标：通过本节的研究，进一步培养学生的辨证唯物主义观点，即实践、认识、再实践。
教学重点和难点：重点：数列通项公式的基本求法。
难点：复杂问题的化归转化。
教学方法和教学手段：教学方法：引导发现法，注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力。
教学手段：多媒体辅助教学。
教学过程：一、创设情境，引出课题：数列在历年的高考中都占有非常重要的地位，每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。
因此，本节课旨在总结归纳数列通项公式的基本求法，提高学生对数列的研究重视，提高研究的积极性。
二、启发诱导、总结方法：1.回顾上节课讲过的公式法和累加法，给出练题目，引导学生自主做题，并让一位学生黑板演示。
教师引导学生分析例题题干，总结特点：“明确数列是用何种求和方法”。
通过多媒体展示同类的练，让学生巩固方法及解题过程。
2.引出“累乘法求通项”，回忆等比数列定义及通项公式的推导过程，利用类比的方法引导学生自己总结累乘法所适合的结构类型：已知数列相邻两项之比。
给出例题让学生分析叙述解题过程。
例如：已知数列{an}，满足an+1=an×2n，且a1=1，求该数列的通项公式。
教师引导学生类比累加法，思考解题方法，并逐步给出答案，引导学生怎样分析解决问题。
给出练题目，例如：已知数列{an}，满足an+1=an/n+1，且a1=2，求该数列的通项公式。
练题目：1.已知数列{an}满足an+1=an+2n，且a1=1，求该数列的通项公式。
2.已知数列{an}满足(n+2)an+1=(n+1)an，且a1=3，求该数列的通项公式。
数学教案数列与数列的通项公式
数学教案数列与数列的通项公式教案：数列与数列的通项公式引言：数列是数学中的重要概念，它能够描述一系列有规律的数值排列。
数列通常通过递推公式或递归关系来定义。
本教案将重点介绍数列的概念、性质以及如何求解数列的通项公式。
一、数列的概念与分类（长度：约400字）数列是一组有序的数按照一定规律排列所得的结果。
可以通过数列的通项公式来表示，也可以通过递推关系或直接列举数值的方式来表示。
根据数列的特点，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差减数列三种类型。
- 等差数列：数列中相邻两项之间的差是固定的，常用通项公式表示为an = a1 + (n-1)d。
- 等比数列：数列中相邻两项之间的比是固定的，常用通项公式表示为an = a1 * r^(n-1)。
- 等差减数列：数列中相邻两项之间的差在递减的趋势，常用通项公式表示为an = a1 - (n-1)d。
二、等差数列的求和公式（长度：约400字）等差数列求和是数列的重要应用之一，可以通过求和公式快速计算等差数列的前n项和。
等差数列的求和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项。
在等差数列的求和公式中，n/2表示项数的一半，(a1 + an)表示首末两项之和。
通过该公式，我们能够高效地求解等差数列的前n项和，节省时间与精力。
三、等比数列的求和公式（长度：约400字）等比数列也有相应的求和公式，可以通过公式求解等比数列的前n 项和。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
在等比数列的求和公式中，(1 - r^n) / (1 - r)表示一个与公比和项数有关的系数，通过该系数我们能够计算得到等比数列的前n项和。
四、等差减数列的通项公式（长度：约400字）等差减数列是数列的一种特殊类型，可以通过通项公式来表示。
等差减数列的通项公式为an = a1 - (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
数列求通项公式教学设计
数列求通项公式教学设计教学设计：数列求通项公式一、教学目标：1.知识与技能：（1）理解什么是数列。
（2）掌握数列的基本概念和性质。
（3）能够通过观察数列的规律，找到数列的通项公式。
2.过程与方法：（1）通过观察和分析数列的规律，培养学生归纳总结的能力。
（2）通过讲解、举例和练习相结合的方式，培养学生发现问题、解决问题的能力。
二、教学重难点：1.教学重点：（1）数列的概念和性质。
（2）数列的通项公式。
2.教学难点：（1）数列的观察与规律发现。
（2）数列求通项公式的方法和技巧。
三、教学过程：1.导入（5分钟）教师出示几组数字，让学生观察并思考这些数字有什么规律。
通过学生的回答，引出数列的概念和意义。
2.探究（20分钟）（1）什么是数列？教师给出数列的定义，即按照一定规律排列的一列数字。
并重点强调数列要有序、有规律。
（2）数列的基本概念和性质教师讲解数列的基本概念，包括首项、公差、项数等。
并通过几个例子，让学生理解数列的性质，如等差数列的性质。
（3）观察数列规律，找出通项公式教师出示几个数列，让学生观察并找出它们的规律。
通过学生的讨论和分析，引导学生思考如何找到数列的通项公式。
教师可以使用图表、图像等方式辅助学生的观察和总结。
3.讲解（15分钟）（1）数列的通项公式教师讲解什么是数列的通项公式，即通过项数n来表示数列的通项，如an = a1 + (n-1)d。
（2）求等差数列的通项公式教师以等差数列为例，详细讲解如何求解等差数列的通项公式，并通过具体的例子进行讲解和演示。
（3）求等比数列的通项公式教师以等比数列为例，详细讲解如何求解等比数列的通项公式，并通过具体的例子进行讲解和演示。
4.拓展（15分钟）（1）进一步练习教师出示更多的数列，让学生通过观察和分析找出数列的通项公式。
（2）数列应用问题教师出示一些与数列相关的应用问题，让学生运用数列的通项公式解决实际问题。
5.结束（5分钟）教师布置相关的作业和预习内容，总结本节课的重点和难点，并鼓励学生复习巩固所学知识。
高中数学必修五《数列通项公式》优秀教学设计
《数列通项公式》教学设计【教学目标】 一、知识目标：1. 解决形如a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)通项公式的确定。
2．通过学习让学生掌握和理解a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型的通项公式的求法。
二、能力目标：在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出数列通项公式，培养学生类比思维能力。
通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
利用学案导学，促进学生自主学习的能力。
三、 情感目标：通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。
【教学重点】通过学习让学生能够熟练准确的确定掌a n+1=pa n +q, a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型的通项公式 并能解决实际问题。
【教学难点】1.如何将a n+1=pa n +q 转化为我们学过的两个基础数列（等差和等比）。
2.理解和掌握a n+1–a n =f(n), a n+1∕a n =f(n)此类型数列通项公式确定的数学思想方法。
【教学方法】探索式 启发式 【教学过程】 一．引入：1、等差、等比数列的通项公式？2、 如何解决a n+1=pa n +q 型的通项公式？3、 如何解决a n+1–a n =f(n)型的通项公式？4、如何解决a n+1∕a n =f(n)型的通项公式？二．新授内容：考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n ＝________..答案 (1)(－1)n 1n （n ＋1） (2)2n ＋1n 2＋1考点二 由S n 与a n 的关系求a n【例2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.∵a 1＝4不适合此等式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 (2)(－2)n －1 规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示. 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A.2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案 (1)B (2)4n －5考点三 由数列的递推关系求通项公式 [微题型1] 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的形式【例3－1】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则它的一个通项公式为a n ＝________.解析 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 2n ＋1－3规律方法 形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.[微题型2] 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的形式【例3－2】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.解析 由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.答案n （n ＋1）2＋1 规律方法 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. [微题型3] 形如a n ＋1＝a n ·f (n )的形式【例3－3】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.解析 法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n .答案 1n规律方法 把形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. 【训练3】 (1)(2016·合肥一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n ＋23a n，则a n ＝________.解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足). (2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.答案 (1)3×2n －1－2 (2)n （n ＋1）2课堂总结：[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.三．总结：形如a n+1=pa n +f(n)此类数列通项公式的求法，可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。
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数列的通项公式字数教案
内容预览：目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入(P110) 1.堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 2.正整数的倒数 3. 4.-1
的正整数次幂：-1,1,-1,1,… 5.无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列 1.数列的定义：按一定次序排列的一列数(数列的有序性) 2.名称：项，
序号，一般公式，表示法 3.通项公式：与之间的函数关系式如数列1：数列2：数列4： 4.分类：递增数列、递减数列;常数列;摆动数列; 有穷数列、无穷数列。
5.实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的
有限子集{1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，
通项公式即相应的函数解析式。
6.用图象表示：― 是一群孤立的点例一 (P111
例一略) 三、关于数列的通项公式……
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祝语：把祝福化作清风，吹落一地的花瓣，每一片花瓣，都融入我深深的思念，每一天的关怀，每一声的问候，都是我在祝你拥有绚丽多彩，快乐幸福的每一天。