等差数列的前n项和性质
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等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和具有一系列重要性质。首先，前n项和公式Sn=n/2*(a1+an)或Sn=na1+n(n-1)d/2揭示了等差数列和的内在规律，其中d为公差。当数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn时，数列{an}是等差数列；若Sn＝An2＋Bn＋C，且C=0时，数列{an}也是等差数列。此外，等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，+ak，ak+1+ak+2+…+a2k等，它们也构成等差数列。在探讨Sn，S2n，S3n关系时，我们发现S3n＝3(S2n－Sn)。同时，对于等差数列中的偶数项和S偶与奇数项和S奇，存在关系S偶－S奇＝nd。最后，在特定条件下，如a1＞0且d＜0时，等差数列的前n项和Sn存在最大值，该最大值出现在数列项由正转负的临界点。
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
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05
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
等差数列前n项和性质
公式应用
计算等差数列前n项和
利用等差数列前n项和公式， 可以快速计算出等差数列的前 n项和，避免了逐项相加的繁 琐过程。
判断等差数列的性质
通过等差数列前n项和公式， 可以推导出等差数列的一些性 质，如等差中项、等差数列的 和与项数的关系等。
解决实际问题
等差数列前n项和公式在实际 问题中有着广泛的应用，如计 算存款利息、求解物理问题等 。通过灵活运用公式，可以简 化问题求解过程。
等差数列求和与数学归纳法
数学归纳法是一种证明等差数列前n项和性质的有效方法。 通过数学归纳法，可以证明等差数列前n项和公式的正确性 ，以及推导其他相关性质。
06
总结与展望
总结等差数列前n项和性质
• 等差数列前n项和公式：等差数列前n项和S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。该公式用于计 算等差数列前n项的和。
等差数列是数列中的一种特殊情况，学生可以将 所学的知识和方法拓展到等比数列和其他类型的 数列中，加深对数列的理解和掌握。
掌握等差数列的求解方法
在学习等差数列的过程中，学生需要掌握各种求 解方法，如直接代入法、待定系数法、配方法等 。通过不断练习，提高解题速度和准确性。
结合实际问题进行应用
数列在现实生活中有着广泛的应用，如分期付款 、人口增长、物理运动等问题。建议学生结合实 际问题，运用所学的等差数列知识进行求解和分 析，提高解决实际问题的能力。
若两个等差数列的前n项和分别为S_n和T_n，且S_n/T_n=k（k为 常数），则这两个数列的公差之比为k。
对未来学习的建议
深入学习等差数列的性质
除了前n项和性质外，等差数列还有许多其他重 要的性质，如通项公式、中项性质等。建议学生 深入学习这些性质，并理解它们之间的联系和应 用。
高中数学同步课件 等差数列前n项和的性质
法四 设数列{an}的公差为 d，
∵Sn＝na1＋n（n2－1）d， ∴Snn＝a1＋d2(n－1)， ∴数列Snn是等差数列，其公差为2d， ∴S101000－S1100＝(100－10)·2d，且S111100－S101000＝(110－100)·d2，
代入已知数据消去 d，解得 S110＝－110.
∴S110＝110a1＋110×（2110－1）·d＝110×1100909＋110×2 109×－5110 ＝－110. 法二 ∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90.
∴a11＋a100＝－2.
又 a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
设数列{an}的公差为d. 依题意有a151＋a1＋d＋1a5×12＋144dd＝＝17，5，解得ad＝1＝1－，2， ∴Sn＝na1＋n（n2－1）d＝－2n＋n（n2－1）＝n2－2 5n.
(2)求Tn的最小值.
法一 由(1)知 Sn＝n2－2 5n，∴Snn＝n－2 5. 设 bn＝Snn＝n－2 5， 则 bn＋1－bn＝（n＋21）－5－n－2 5＝21， ∴数列{bn}是公差为21的等差数列， 首项 b1＝S11＝a1＝－2.
角度3 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n性质的应用
例2
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝100，S100＝10，求 S110.
法一 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 则1100a01a＋1＋101×00（×12（0－21001） －d1＝ ）d1＝00， 10，
解得a1＝1100909， d＝－5110.
角度4 奇数项和、偶数项和问题
等差数列的前n项和性质
2、3 等差数列的
前n项和的性质(二)
学习目标
1、熟练掌握等差数列的求和公
式（重点）。
2、灵活应用求和公式与性质解
决问题（难点）。
预习导航
1、等差数列定义及公式:一般地,如果一个数列从第2项起,
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列
就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用
注：Sn,S2n,S3n不一定成等差数列,这一点要切记!
(2)若项数为2n,则
S偶-S奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+d+…+d=nd,
(1 + 2-1 )
奇
2
2
=
=
=
.
偶
(2 + 2 ) 2+1 +1
2
-14-
(3)若项数为2n-1,则
50
-16-
1 099
代入 ①,得 a1=
,
100
110×109
则 S110=110a1+
2
1 099 110×109
11
=110×
+
× 100
2
50
1 099-109×11
=110×
= −110.
100
故此数列的前 110 项之和为-110.
-17-
解法二设此等差数列的前n项和为Sn=an2+bn.
(4)若等差数列{bn}的前n项和为Tn,则有
(2-1)(1 + 2-1)
2 1 + 2-1
2-1
2
前n项和的性质(二)
学习目标
1、熟练掌握等差数列的求和公
式（重点）。
2、灵活应用求和公式与性质解
决问题（难点）。
预习导航
1、等差数列定义及公式:一般地,如果一个数列从第2项起,
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列
就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用
注：Sn,S2n,S3n不一定成等差数列,这一点要切记!
(2)若项数为2n,则
S偶-S奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+d+…+d=nd,
(1 + 2-1 )
奇
2
2
=
=
=
.
偶
(2 + 2 ) 2+1 +1
2
-14-
(3)若项数为2n-1,则
50
-16-
1 099
代入 ①,得 a1=
,
100
110×109
则 S110=110a1+
2
1 099 110×109
11
=110×
+
× 100
2
50
1 099-109×11
=110×
= −110.
100
故此数列的前 110 项之和为-110.
-17-
解法二设此等差数列的前n项和为Sn=an2+bn.
(4)若等差数列{bn}的前n项和为Tn,则有
(2-1)(1 + 2-1)
2 1 + 2-1
2-1
2
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
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②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，
的变形形式：Sn=
dn2 2
（a1
d2）n或Sn=An2+Bn.
2.依据等差数列的性质得到的结论.
（1）当n为奇数时，Sn= n a n 1；
2
（2）S n
n
=a1+（n-1）d2
.
【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解
题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【例1】已知等差数列{an}.
(1)a1= 5 , a15= 3 , Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
6
2
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15=
5 6
+(15-1)d=
3 2
, ∴d=
1 6
.
又Sn=na1+n
n 2
1· d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
n（
n×（1）-５）＝
2
5 n2 1 n． 22
答案： 5 n 2 1 n
d
1 1 0 10 9 91 1 =0 -11 0 19 0 .(1 1)
1 0 0 2 5 0
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差
数列,设其公差为D,前10项和为10S10+1
0
2
9·D=S100=10
方法三：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，
故a13+a14=0
…………………………………………9分
∵d=-2＜0,a1＞0,∴a13＞0,a14＜0.
故n=13时，Sn有最大值169.
∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
a a
n n
得0
1＜ 0
2255（ 22nn＜解01）得 0,
n n
13 1
……2………………9分
＞ 12 1 2
即121＜n 又13n1∈. N*
2
2
∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×251+3（123 1）×（-2）
=169.
…………………………………………12分
【思考】
等差数列前n项和的有关计算
【名师指津】 1.等差数列前n项和的应用
（1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、 Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知 三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方
程（组）求解.
（2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式
【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn 的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最 大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得 an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项.
【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得
求S110.
【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和
为Sn,则Sn=na1+n
n 2
1
d
.
由已知得
10a1
109 2
d
100,①
100a1
10099 2
d
10,②
①×10-②,整理得d= 1 1代, 入①,得a1=
50
1 099 . 100
∴S110=110a1+110
2
109
D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22)=-120.
∴S110=-120+S100=-110.
【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63， 前n项和为286，求项数n.
【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数
列项数（下标）Leabharlann “等和”性质：25×17+1（7 17 1=）2d 5× 9 （9 9…1…）d…, …………3分
2
2
解得d=-2，………………………………………………6分
∴Sn=25n+n （
n 2
×1）（-2）=-（n-13）2+169，
………9分
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. ……12分
方法二：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
S19＝（ ）
（Ａ）55 （Ｂ）95
（Ｃ）100 （Ｄ）不能确定
【解析】选Ｂ．S19＝1（ 9a12a19） ＝ 1（ 9 ＝a9325．a17）
3.已知数列{an}的通项an＝-５n＋２，则其前ｎ项和
Sn＝_______．
【解析】an+1-an＝-５，∴{an}是等差数列．a1＝-３，
ｄ＝-５，∴Sn＝-３ｎ＋
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（ 6a1a6） ＝6＝ （ 340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
Sn= n（ a1an） n（ a来m 求an 得m . 1 ）
2
2
【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.
而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所
以a1+an=n2（2a，12 a n）
所以Sn=
=11n=286，所以n=26.故所求的项数为26.
（2）由已知，得S8=8a1a88解4得a8a8,=39,
2
2
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质.
(1)项数（下标）的“等和”性质：
S nna1 2 annam 2 an m 1
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；