必修52303等差数列的前n项和的最值问题
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五：2.3.2 等差数列前n项和的性质(优秀课件)
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则
S6＝( C )
A．12 B．18 C．24 D．42
题型 2 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 2】 在等差数列{an}中，若 a1＝25，S17＝S9，则 Sn 的 最大值为________． 思维突破：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解．
Байду номын сангаас
和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的
性质求最值．
【变式与拓展】
3．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6
项为正，第 7 项为负． (1)求数列的公差； (2)求前 n 项和 Sn 的最大值； (3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值．
解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，
解析：方法一：由 S17＝S9，得 17 9 25×17＋ 2 (17－1)d＝25×9＋2(9－1)d. 解得 d＝－2. n ∴Sn＝25n＋2(n－1)· (－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质，知：当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
方法二：先求出 d＝－2.∵a1＝25>0， 1 n≤132， a ＝ 25 － 2 n － 1 ≥ 0 ， n 由 得 an＋1＝25－2n≤0， n≥121. 2 ∴当n＝13时，Sn有最大值169.
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列前n项和的最值问题
总结规律
3
最后我们回到开始的问题： 最后我们回到开始的问题：在等差数列 中， 到开始的问题
1.若首项负，公差正，则前 1.若首项负，公差正，则前 n 项和有最
值
2.若首项正，公差负，则前 2.若首项正，公差负，则前 n 项和有最
值 环节 7： 理解思考 跃跃欲试 首尾呼应
3.若首项正，公差也正，则前 3.若首项正，公差也正，则前 n 项和有最
5.设等差数列 已知， 5.设等差数列 {a n } 的前 项和为 S n ，已知， a1 > 0 ，
3a 4 = 7a 7 ，求当 为何值时， S n 最大。 为何值时， 最大。
请一位同学总结本课的内容： 请一位同学总结本课的内容： 总结： 总结： 1.知识上： 知识上： 知识上 2.规律上： 2.规律上： 规律上 3.思想方法上： 3.思想方法上： 思想方法上 环节 6： 听总结
课题： 项和的最值问题（ 徐春生） 课题：等差数列前 n 项和的最值问题（海外 徐春生） 教学目标 使学生能进一步掌握等差数列的基本公式 基本公式。 1. 使学生能进一步掌握等差数列的基本公式。 2. 使学生能用函数思想处理数列问题，使学生进一步巩固数形结合思想方法，增强 使学生能用函数思想处理数列问题，使学生进一步巩固数形结合思想方法， 解决数列综合问题的能力。 解决数列综合问题的能力。 通过及时反思，总结经验，并加以应用，使学生获得成功的体验， 3. 通过及时反思，总结经验，并加以应用，使学生获得成功的体验，从而提高学习 积极性。 积极性。 教学重点 使学生能用函数思想处理数列问题。 使学生能用函数思想处理数列问题。 教学难点 函数思想在数列中的应用 教学方法 启发式, 启发式,探究式数学 教具准备 多媒体 教学过程: 教学过程: 复习： 学生在卷子上回答前三题） I.复习： 学生在卷子上回答前三题） （ 等差数列通项公式： 1. 等差数列通项公式： 等差数列性质： 2. 等差数列性质：如果 m+n=p+q 则 3. S n = （对称形式） ； 对称形式） （对称形式 = （函数形式） ； 函数形式） （函数形式 环节 1： ： 填写答案 纠正错误 为本课顺 利进行提供 知识保障 学生活动 设计意图及 说明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题 变式题:等差数列{an}中,首项a1>０,S3 = S11, 问:这个数列的前几项的和最大？
解: 由S3=S11得 d<0,则d/2＜0
则Sn的图象开口向下,如图 Sn 所示 又S3=S11
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
n 3 11 7 2
n
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
等差数列的前n项的最值问题
例1 已知等差数列5,
42, 7
34, 7
L 的前n项和为Sn，求使
得Sn最大的序号n的பைடு நூலகம்.
分析:等差数列的前n项和公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
Sn可以看成关于n的函数,即在二次函数
y
d 2
x2
(a1
d )x 2
的自变量 x 取正整数时的函数值.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得
n n
15 2 13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
解:由题意知:等差数列的首项a1=5,公差为
5
d
7
所以
Sn
5n
n(n 1) 2
(
5) 7
5 n2 75 n
配方
14 14
5 (n 15)2 1125
14 2 56
所以,当n取与7.5最近的整数即7或8时,Sn取最大值.
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
方法1:由Sn
d 2
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
n2
(a1
d )n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法二:求出an, 用单调性
当d 0时,Sn有最小值; 当d 0时,Sn有最大值.
一、Sn An2 Bn,配方，看对称轴
二、a1 若a1 0, d
00,,d则数 列0,的S前n有面若最干项大an值 0,aann100
所以图象的对称轴为
n 3 11 7 2
n
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
(0 a1 a2 a3 L an an1 L )
(2)若a1 0, d 0,则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 L an 0 a n1 L )
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 L an 0 an1 L ）
a1
若a1 0,
0,
d
d 0, Sn有最小值
0,则数列的前面若干项an 0,
aann100
所以将这些项相加即得Sn的最小值;
（a1 a2 a3 L an 0 a n1 L ）
两个特例 (1)若a1 0, d 0,则a1是Sn的最大值.