幂函数与二次函数。第九节
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。
本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。
一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。
幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。
它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。
通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。
二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。
二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。
幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
幂函数没有水平渐近线。
指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。
综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。
三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第9课 二次函数、幂函数 文
第9课 二次函数、幂函数(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P54测试7改编)函数f (x )=x 2+2x-3，x ∈[0，2]的值域为 . 【答案】[-3，5]【解析】由f (x )=(x+1)2-4，知f (x )在[0，2]上单调递增，所以f (x )的值域是[-3，5].2.(必修1P47习题9改编)若函数y=x 2+(a+2)x+3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x=1对称，则b= .【答案】6【解析】由二次函数y=x 2+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称，可得-22a +=1，所以a=-4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x=1对称，所以2a b+=1，所以b=6.3.(必修1P44习题3改编)函数f (x )=222-1[0)-2-1(-0)x x x x x x ∈∞∈∞⎧++⎨+⎩，，，，， 的单调增区间是 .【答案】R【解析】画出函数f (x )的图象可知.4.(必修1P89练习3改编)若幂函数y=f (x )的图象经过点193⎛⎫⎪⎝⎭，，则f (25)= .【答案】15【解析】设f (x )=x α，则13=9α，所以α=-12，即f(x)=1 -2x，所以f(25)=15.5.(必修1P73练习3改编)已知幂函数y=(m2-5m+7)·2-6mx在(0，+∞)上单调递增，那么实数m= .【答案】3【解析】由题意得22-571-60m mm⎧+=⎨>⎩，，解得m=3.1.二次函数的三种表示方法：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；(2)两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；(3)顶点式：y=a(x-x0)2+n(a≠0).2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.3.一元二次方程根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0).(1)若f(x)=0在(m，n)(m<n)内有且只有一个实数解，则需满足f(m)·f(n)<0或f(m)=0，另一根在(m，n)内或f(n)=0，另一根在(m，n)内.(2)若f(x)=0在(m，n)(m<n)内有两个实数解，则需满足2-40()0()0-2b acf mf nbm na⎧∆=≥⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，，，.(3)设x 1，x 2为方程f (x )=0的两个实数根，若x 1<m<x 2，则f (m )<0；若m<x 1<n<p<x 2<q ，则需满足()0()0()0()0f m f n f p f q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，，，.(4)若方程f (x )=0的两个实数根中一根小于m ，另一根大于n (m<n )，则需满足()0()0f m f n <⎧⎨<⎩，. (5)若一元二次方程f (x )=0的两个实数根都大于r ，则需满足2-40-2()0b ac br a f r ⎧∆=≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，，.4.幂函数的图象与性质由幂函数y=x ，y=12x ，y=x 2，y=x -1，y=x 3的图象，可归纳出幂函数的性质如下：(1)幂函数在(0，+∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1，1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，+∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，且在(0，+∞)上单调递减.5.五种幂函数的比较 (1)图象比较：(2)性质比较： 函数特征性质 y=xy=x 2y=x 3y=12xy=x -1定义域RRR[0，+∞){x|x ≠0}值域R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增当x∈[0，+∞)时，单调递增；当x∈(-∞，0]时，单调递减增增当x∈(0，+∞)时，单调递减；当x∈(-∞，0)时，单调递减公共点(1，1)【要点导学】要点导学各个击破幂函数的图象与性质例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.(1)y=23 x；(2)y=3-2 x；(3)y=x-2.【思维引导】求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.【解答】(1)要使函数y=23x有意义，只需32x x∈R，所以函数y=23x的定义域是R.又f(-x)=f(x)，所以函数y=23x是偶函数，它在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数.(2)要使函数y=3-2x 有意义，只需y=31x 有意义，即x ∈(0，+∞)，所以函数y=3-2x 的定义域是(0，+∞).由于函数y=3-2x 的定义域不关于原点对称，所以函数y=3-2x 是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.(3)要使函数y=x -2有意义，只需y=21x 有意义，即x ≠0，所以函数y=x -2的定义域是{x|x ≠0}.又f (-x )=f (x )，所以函数y=x -2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.【精要点评】熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础.在函数解析式中含有分数指数幂时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.变式 如果幂函数f (x )=213-22p p x++(p ∈Z )是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式.【解答】因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以-12p 2+p+32>0，即p 2-2p-3<0，所以-1<p<3.又因为f (x )是偶函数且p ∈Z ，所以p=1，故f (x )=x 2.【精要点评】幂函数y=x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凹；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凹.求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>-2x 的解集为(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.【思维引导】由不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)，可先把f(x)表示出来，再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求出a，从而求出f(x)的解析式，最后把其最大值表示出来，求a 的取值范围.【解答】(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-1 5.又a<0，所以a=-1 5.将a=-15代入①得f(x)的解析式为f(x)=-15x2-65x-35.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=212-aa xa+⎛⎫⎪⎝⎭-241a aa++及a<0，得f(x)的最大值为-241 a aa++.由241-0a aaa⎧++>⎪⎨⎪<⎩，，解得a<-2或-2<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(-20).【精要点评】二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.变式 (2015·栟茶中学)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 图象的顶点为(-1，10)，且方程ax 2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f (x )的解析式.【解答】由题意可设f (x )=a (x+1)2+10， 即f (x )=ax 2+2ax+a+10，所以b=2a ，c=a+10. 设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2， 则21x +22x =12，即(x 1+x 2)2-2x 1x 2=12，所以(-2)2-2×10a a =12，解得a=-2，所以f (x )=-2x 2-4x+8.二次函数的图象和性质(最值)微课3 ● 问题提出二次函数的图象与性质的重要应用是求函数的最值，那么利用二次函数的性质求函数的最大(小)值的解题模板是怎样的呢?● 典型示例例3 函数f (x )=2x 2-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g (a ). (1)求g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最大值. 【思维导图】【规范解答】(1)①当a<-2时，函数f (x )的对称轴x=2a<-1，则g (a )=f (-1)=2a+5；②当-2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x=2a∈[-1，1]，则g (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3-22a ； ③当a>2时，函数f (x )的对称轴x=2a>1，则g (a )=f (1)=5-2a.综上所述，g (a )=225-23--2225-2 2.a a a a a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，(2)①当a<-2时，由(1)知g (a )<1；②当-2≤a ≤2时，由(1)知g (a )∈[1，3]；③当a>2时，由(1)知g (a )<1.综合①②③可得g (a )max =3.【精要点评】(1)利用二次函数的性质求函数的最大(小)值，一定要结合图形来分析在何处取得最值，当题目中含有参数时，要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；(2)利用图象求函数的最大(小)值；(3)利用函数单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y=f (x )在x=b 处有最大值f (b )；如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y=f (x )在x=b 处有最小值f (b ).● 总结归纳二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要熟练掌握，特别是含参数的两类问题(定轴动区间、定区间动轴)的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.● 题组强化1.函数y=3+2x-x 2(0≤x ≤3)的最小值为 . 【答案】0【解析】因为y=3+2x-x 2=-(x-1)2+4，所以函数在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减， 所以y=3+2x-x 2(0≤x ≤3)的最小值为y=3+2×3-32=0.2.(2014·泰州中学)已知函数f (x )=x 2+(2a-1)x-3，若函数f (x )在[-1，3]上的最大值为1，则实数a= .【答案】-13或-1【解析】函数f(x)的对称轴为直线x=-2-12a.①当-2-12a≤1，即a≥-12时，f(x)max=f(3)=1，所以6a+3=1，即a=-13，满足题意；②当-2-12a>1，即a<-12时，f(x)max=f(-1)=1，所以-2a-1=1，即a=-1，满足题意.综上，a=-13或-1.3.(2015·南京阶段测试)设函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值为g(t).(1)求g(t)的解析式.(2)作出g(t)的大致图象，并写出g(t)的最小值.【解答】(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8.当t>2时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，所以g(t)=f(t)=t2-4t-4；(第3题)当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=-8；当t+1<2，即t<1时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，所以g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.综上可知，g(t)=22-2-71 -812-4-4 2. t t ttt t t⎧<⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，，，(2)g(t)的大致图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为-8.4.已知13≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.【解答】(1)f(x)=ax2-2x+1=21-a xa⎛⎫⎪⎝⎭+1-1a，由题设知1≤1a≤3.当1≤1a≤2，即12≤a≤1时，M (a)=f(3)=9a-5，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=9a-5-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=9a+1a-6；当2<1a≤3，即13≤a<12时，M(a)=f(1)=a-1，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=(a-1)-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=a+1a-2.所以g(a)=111-232119-6 1.2a aaa aa⎧+≤<⎪⎪⎨⎪+≤≤⎪⎩，，，(2)当13≤a1<a2<12时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1211a a⎛⎫-⎪⎝⎭<0，所以g(a)在1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12；当12≤a1<a2≤1时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1219-a a⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以g(a)在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12. 三个“二次”之间的转换例4已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.(1)若存在x∈R使得f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)存在x ∈R ，使得f (x )<b ·g (x )⇒x 2-bx+b<0的解集不是∅⇒二次函数f (x )=x 2-bx+b 的图象与x 轴有两个交点⇒Δ>0.(2)先结合判别式的符号研究函数y=F (x )的图象，再根据翻折变换研究函数y=|F (x )|在[0，1]上的图象，利用数形结合思想讨论对称轴和零点的位置确定参数m 的取值范围.【解答】(1)存在x ∈R ，f (x )<b ·g (x )⇒存在x ∈R ，使得x 2-bx+b<0⇒(-b )2-4b>0⇒b<0或b>4.故实数b 的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞). (2)F (x )=x 2-mx+1-m 2，Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4.①当Δ≤0，即-≤m≤时，必须2m≤0，则-≤m ≤0. ②当Δ>0，即m<-或m>时，设方程F (x )=0的根为x 1，x 2(x 1<x 2).若2m≥1，则x 1≤0，即212(0)1-0mF m ⎧≥⎪⎨⎪=≤⎩，⇒m ≥2；若2m≤0，则x 2≤0，即202(0)1-0mF m ⎧≤⎪⎨⎪=≥⎩，⇒-1≤m<-. 综上所述，实数m 的取值范围为[-1，0]∪[2，+∞).【精要点评】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称三个“二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关三个“二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.变式(2014·金陵中学)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且f(c)=0，当0<x<c时，恒有f(x)>0.(1)当a=13，c=2时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac=12，求a的值；(3)若f(0)=1，且f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值.【解答】当a=13，c=2时，f(x)=13x2+bx+2，因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(2)=0，所以f(x)=0的一个根为2，设另一个根为x1，则2x1=6，即x1=3.所以f(x)<0的解集为{x|2<x<3}.(2)因为函数f(x)的图象与x轴有两个交点，且f(c)=0，所以f(x)=0的一个根为c，设另一个根为x2，则cx2=ca，即x2=1a.又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，则三个交点分别为(c，0)，1a⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，c)，以三上交点为顶点的三角形的面积S=11-2ca⎛⎫⎪⎝⎭c=8，且ac=12，解得a=18，c=4.(3)当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，所以f(x)在[0，c]上单调递减，且在x=0处取得最大值1.要使f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所以m2-2m+1≥1，即m2-2m≥0，解得m≥2或m≤0，又m>0，所以m的最小值为2.1.(2015·启东中学)已知函数f(x)=x，x∈[-1，8]，函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]，若存在x∈[-1，8]，使f(x)=g(x)成立，则实数a的取值范围是.【答案】3-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞)【解析】分别作出函数f(x)=x，x∈[-1，8]与函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]的图象.当直线经过点(-1，-1)时，a=3；当直线经过点(8，8)时，a=34.结合图象有a≤34或a≥3.2.(2014·南通一中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是.【答案】y=-x2+2x+8【解析】由题意设二次函数表达式为y=a(x+2)(x-4)(a<0)，对称轴为直线x=1，当x=1时，y max=-9a=9，所以a=-1，所以y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.3.(2016·苏州期中)设函数f(x)=2-40--30x xx x⎧>⎨<⎩，，，，若f(a)>f(1)，则实数a的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】当a>0时，f(a)>f(1)⇒2a-4>-2⇒a>1；当a<0时，f(a)>f(1)⇒-a-3>-2⇒a<-1.故实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).4.(2014·镇江期末)已知a∈R，函数f(x)=x2-2ax+5.(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值.【解答】(1)因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，所以2a<x+5x对x>0恒成立.因为x>0时，x+5 x≥25，当且仅当x=5x，即x=5时取等号，所以min5xx⎛⎫+⎪⎝⎭=25，所以2a<25，即a<5.(2)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)].又因为f(x)的值域为[1，a]，所以22()-251(1)1-25f a a af a a⎧=+=⎨=+=⎩，，解得a=2.【融会贯通】融会贯通能力提升(2014·南通调研)设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，求f(x)的最小值.【思维引导】【规范解答】①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2-x+a+1=21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+a+34，其对称轴方程为x=12.………………………………………………………………………2分若a ≤12，则对称轴x=12在区间(-∞，a ]的右侧，f (x )在此区间上单调递减，此时f (x )的最小值为f (a )=a 2+1；……………………………………………………………4分若a>12，则对称轴x=12在区间(-∞，a ]内，此时f (x )的最小值为f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=34+a (7)分②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x-a+1=212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-a+34， 其对称轴方程为x=-12.………………………………………………………………………9分若a>-12，则对称轴x=-12在区间[a ，+∞)的左侧，f (x )在[a ，+∞)上单调递增，此时f (x )的最小值为f (a )=a 2+1.……………………………………………………………11分若a ≤-12，则对称轴x=-12在区间[a ，+∞)内，此时f (x )的最小值为f 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=34-a.综上，当a ≤-12时，f (x )min =34-a ；当-1 2<a≤12时，f(x)min=a2+1；当a>12时，f(x)min=34+a (14)分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第17~18页.【检测与评估】第9课二次函数、幂函数一、填空题1.若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-3m mx是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的值为.2.函数y=2x2-8x+2在区间[-1，3]上的值域为.3.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表：x 112f(x) 122则不等式f(|x|)≤2的解集是.4.若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)= .5.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2，+∞)上是单调增函数，则f(1)的取值范围为.6.若函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是.7.(2014·苏中三市、连云港二调)已知对任意的x∈R，函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是.8.(2015·北京海淀区)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a= .(第8题)二、解答题9.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1，x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值；(2)求证：x1<-1且x2<-1；(3)如果1211010xx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，试求a的最大值.10.设a为实数，函数f(x)=x|x-a|，其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间.11.(2014·盐城一中)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，若f(x)>x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果) 12.已知函数f (x )=ax 2-|x |+2a -1(a 为实常数). (1)若a =1，求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1，2]的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；【检测与评估答案】第9课 二次函数、幂函数1.2 【解析】由题意知m 2-m-1=1，解得m=2或m=-1.当m=2时，m 2-2m-3=-3，f (x )=x -3符合题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，f (x )=x 0不合题意.综上，m=2.2.[-6，12] 【解析】y=2(x-2)2-6，当x=2时，y 取得最小值为-6；当x=-1时，y 取得最大值为12.3.{x|-4≤x ≤4} 【解析】由f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒α=12，故f (|x|)≤2⇒|x 12|≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|-4≤x ≤4}.4.1 【解析】因为f (x 1)=f (x 2)且f (x )的图象关于直线x=-2b a 对称，所以x 1+x 2=-ba ，所以f (x 1+x 2)=f -b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=a ·22b a -b ·b a +1=1.5. [25，+∞) 【解析】由题意知8m≤-2，所以m ≤-16，所以f (1)=9-m ≥25.6. 12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】f (x )=-x 2+(2a-1)|x|+1的图象是由函数f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的图象变化得到的.第一步去除y 轴左侧的图象，保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以2-12a >0，即a>12.7.(2，+∞) 【解析】由题意得f (x )为偶函数.因为f (x )有4个零点，又f (0)=1>0，所以当x>0时，f (x )=x 2-ax+1有2个零点，所以202-40aa ⎧>⎪⎨⎪∆=>⎩，，解得a>2.8.-12 【解析】设y=a (x-x 1)(x-x 2)，由题设知a (t-x 1)(t-x 2)=2.又AC ⊥BC ，利用斜率关系得12-t x ·22-t x =-1，所以a=-12.9.(1)由题意知x 1+x 2=-1a ，x 1x 2=1a ，所以(1+x 1)(1+x 2)=1+(x 1+x 2)+x 1x 2=1-1a +1a =1.(2)令f (x )=ax 2+x+1(a>0)，由Δ=1-4a ≥0，得0<2a ≤12，所以一元二次方程f (x )的对称轴方程x=-12a ≤-2<-1.又f (-1)=a>0，所以f (x )的图象与x 轴的交点都在点(-1，0)的左侧，故x 1<-1且x 2<-1.(3)由(1)知x 1=211x +-1=-221x x +，所以12x x =-21110110x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，，所以-211101111x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以a=121x x =-2221x x +=2211---2x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦+14，故当-21x =12时，a 取得最大值14.10.(1) 当a=0时，f (x )=x|x|，因为定义域为R ，关于原点对称，且f (-x )=-x|-x|=-f (x )，所以f (x )为奇函数.当a ≠0时，因为f (a )=0，f (-a )=-a|2a|，所以f (-a )≠f (a )，f (-a )≠ -f (a )，所以f (x )是非奇非偶函数.(2) 当a=0时，f (x )=220-0x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为-2a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，和(a ，+∞)，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当a<0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，a )和2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，.11.(1)由题意知f (-1)=a-b+1=0，且-2ba =-1，所以a=1，b=2.所以f (x )=x 2+2x+1，单调减区间为(-∞，-1]，单调增区间为[-1，+∞). (2)f (x )>x+k 在区间[-3，-1]上恒成立， 即x 2+x+1>k 在[-3，-1]上恒成立.设g (x )=x 2+x+1，x ∈[-3，-1]，有k<g (x )min . 因为g (x )在[-3，-1]上单调递减， 所以g (x )min =g (-1)=1.所以k<1，即k的取值范围为(-∞，1).12.(1) 当a=1时，f(x)=x2-|x|+1=22-1010x x xx x x⎧+≥⎨++<⎩，，，=2213-0241324x xx x⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++<⎪⎪⎝⎭⎩，，，，所以f(x)的单调增区间为11-022∞⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，f(x)的单调减区间为11--022∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.(2) 由于a>0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a21-2xa⎛⎫⎪⎝⎭+2a-14a-1.①当0<12a<1，即a>12时，f(x)在[1，2]上为增函数，g(a)=f(1)=3a-2；②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，g(a)=f12a⎛⎫⎪⎝⎭=2a-14a-1；③当12a>2，即0<a<14时，f(x)在[1，2]上为减函数，g(a)=f(2)=6a-3.综上，g(a)=16-3041112--144213-2.2a aa aaa a⎧<<⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，，21。
第九节 幂函数-高考状元之路
第九节 幂函数预习设计 基础备考知识梳理1．幂函数的定义 形如 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数．2．幂函数的图像在第一象限中确定12123,,,,-=====x y x y x y x y x y 图像的方法如下：可画出⋅=0x x当10>x 时，按交点的高低，从高到低依次为==y x y ,3,,2x y x =121,-==x y x y当100<<x 时，按交点的高低，从高到低依次为,1-=x y ,2--=x y .,,32x y x y x y ===3．幂函数的性质典题热身1．若函数m m x m y --=2)1(为幂函数，则函数为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数2．若幂函数的图像过点),41,2(则它的单调递增区间是( )),0.(+∞A ),0.[+∞B ),.(+∞-∞c )0,.(-∞D3．设},3,21,1,1{-∈α则使函数a x y =的定义域为R ，且为奇函数的所有a 的值为( ) 3,1.A 1,1.-B 3,1.-c 3,1,1.-D4．幂函数1-=x y 及直线1,1,===x y x y 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数21x y =的图像经过的“卦限”是( )A ．④，⑦B ．④，⑧C ．③，⑧D ．①，⑤5．已知函数322--=m m x y 的图像过原点，则实数m 的取值范围是课堂设计 方法备考题型一 幂函数的定义及其应用【例1】已知函数m xm m x f m ,)1()(352----=为何值时，)(x f(1)是幂函数；(2)在(1)的条件下是),0(+∞上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数． 题型二 幂值的大小比较【例2】比较下列各组值的大小．;3,3)1(7.08.0 ;23.0,21.0)2(33 ;53)4.1(,528.3,521.4)3(-- 3.05,04.0,2.0)4( 题型三幂函数的图像与性质的应用【例3】已知幂函数)()(322⋅∈=--N m x x f m m 的图像关于y 轴对称，且在),0(+∞上是减函数，求满足-<-+3(3)1(m a 3)2m a -的a 的范围， 技法巧点 (1)在(O ，1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴（简记为“指大图低”），在),1(+∞上，幂函数中指数越大，函 数的图像越远离x 轴．(2)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．失误防范1．幂函数的定义域的求法可分五种情况：①a 为零；②a 为正整数；③a 为负整数；④a 为正分数；⑤a 为负分数．2.作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像， 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图像．随堂反馈1．(2011．陕西高考)函数31x y =的图像是 ( )2．(2010．临沂一模)当}3,1,21,1{-∈α时，幂函数x y =⋅的图像不可能经过象限．3．(2010．泰安二模)已知,)3.1()7.0(7.03.1m m <则实数m 的取值范围是高效作业 技能备考一、选择题1．已知点)33,33(M 在幂函数)(x f 的图像上，则)(x f 的表达式为( )3)(.x x f A = 3)(.-=x x f B τx x f C =)(. 21)(.-=x x f D2．已知幂函数r x f =)(的部分对应值如下表：则不等式2|)(|≤x f 的解集是 ( )}0|.{xk x A < }40|.{≤≤x x B }22|.{≤<-x x c }44|.{≤≤-x x D3．已知幂函数x x f =)(的图像经过点),22,2(则)4(f 的值为( )16.A 161.B 21.c 2.D4．设},3,2,1,21,31,21,1,2{---∈a 则使αx y =为奇函数且在),0(+∞上单调递减的a 值的个数为 ( )1.A2.B3.C4.D5．当),1(+∞∈x 时，幂函数a x y =的图像恒在直线x y =的下方，则a 的取值范围是 ( )10.<<αA 0.<αB 1.<αC 1.>αD6．若,01<<-α则( )a a A 2)21(2.0.>> a a B )21(2.02.>>α a a a c 22.0)21(>>⋅ aD 2.0)21(2.>>α二、填空题7．幂函数322)1()(-+--=m m x m m x f 在),0(+∞上为减函数，则=m8．已知幂函数)(32⋅∈=--N m x y h m 的图像与坐标轴不相交，且关于y 轴对称，则m 的值为9．幂函数)(x f y =的图像经过点),81,2(--则满足=)(x f 27的x 的值是三、解答题10．已知幂函数)2*,()(32≥∈=--m N m x x f m m且为奇函数，且在区间),0(+∞上是减函数．(1)求);(x f 比较)2()2()2004(--f f 与的大小．11．已知函数,2)(m x x x f -=且⋅-=27)4(f (1)求m 的值；(2)判断)(x f 在),0(+∞上的单词性，并给予证明．12．已知函数)()(22z k x x f k k ∈=++-满足).3()2(f f <(1)求k 的值并求出相应的)(x f 的解析式；(2)对于(1)中得到的函数),(x f 试判断是否存在q ，使函数x q x qf x g )12(1)(1)(--=在区间[-1，2]上的值域为?]817,4[-若存在，求出q ；若不存在，说明理由，。
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
高考数学复习知识点讲解教案第9讲 二次函数与幂函数
7
[解析] 设.由，得 的图象关于直线对称，则，即①.设的图象与 轴交点的横坐标为,，则由题意得，得 ②.由已知得③.由①②③解得，，， ， .
探究点三 二次函数的图象与性质
例3（1） [2024·江苏南通模拟] 记函数在区间 上的最大值为，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.1
②
（ⅲ）当时，画出的大致图象，如图③④，当 时，，易知当时，，则在 上单调递增，在上单调递减，所以，当时， ，则在上单调递增，所以.所以当 时，.因为，所以综上可知， 的最小值为 .故选A.
③
④
（2） [2024·浙江名校协作体联考] 已知函数在区间 上单调递增，则 的取值范围为( )
变式题（1） [2024·黑龙江省实验中学月考] 函数是幂函数，对任意，，且 ，满足.若，，且，，则 的值( )
B
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 因为函数对任意，，且，满足 ，所以在上单调递减.由 是幂函数，可得，解得或.当时，，在 上单调递增，不满足题意.当时，，在 上单调递减，满足题意，故，且为奇函数.因为，，所以 ，所以，所以，所以 .故选B.
[解析] 当时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当 时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线，依题意知 解得 .
6.已知幂函数，若，则 的取值范围为_______.
[解析] 幂函数在定义域上单调递减，由 ，得解得 .
探究点一 幂函数的图象和性质
例1（1） 已知幂函数,,, 在第一象限内的图象如图所示，则( )
（2） 写出一个满足条件“函数的图象与轴、 轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数: _ ___________________.
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1
幂函数与二次函数9-1
1.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是 ( )
A.f (－2)＜f (0)＜f (2)
B.f (0)＜f (－2)＜f (2)
C. f (0)＜f (2)＜f (－2)
D. f (2)＜f (0)＜f (－2) 2.(2010·海口模拟)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是 ( )
A. f (1)≥25
B.f (1)＝25
C. f (1)≤25
D.f (1)＞25
4． “a ＝1”是“函数 f (x )＝x 2
－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、已知点M )3
3
,
33(在幂函数f （x ）的图像上，则f(x)的表达式为 。
6．函数y ＝（x 2
－2x ）
2
1－的定义域是
7．函数y ＝5
2x 的单调递减区间为
8.已知f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 . 9.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 .
10、已知[]1t t x 5-x 3x x f 2
+∈+=，，）（，若f （x ）的最大值为h （t ）
，写出h （t ）的表达式。
11、若点
(
)
22，在幂函数f （
x ）的图像上，点⎪⎭⎫ ⎝⎛
41,2-，在幂函数g （x ）的图像上，定义 ⎩⎨⎧=）
（）（）（x g x f x h ）
（）（）
（）（x g x f x g x f >≤，试求函数h （x ） 的最大值及单调区间。
12.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.
幂函数与二次函数9-2
1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( ) A ．－2 B ．－1 C .1 D .2
2．若f (x )＝x 2
－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( )
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．与m 有关
3．已知函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是(
)
4.方程x 2
－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________． 5．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)
的图象经过,则
()f x 的表达式为
6.已知函数2
1x x f =）（，且f （2x-1）<f （3x ），则x 的取值范围是 。
7．求下列二次函数的解析式：
(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)； (2)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，且f (x ＋1)－f (x )＝2x .
8．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *
)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11. (1)求a 、c 的值；
(2)若对任意的实数x ∈[12，3
2
]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．
9．已知函数 f (x )＝ax 2
＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2) 时， f (x )>0； 当()()+∞⋃-∞-∈,,x 23时，f (x )<0. (1)求 f (x )在[0,1]内的值域；
(2)c 为何值时，不等式ax 2
＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．。