次函数和幂函数知识点

图像定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a对称性图像关于直线x ＝－b2a成轴对称图形3. 幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RR R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减[难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2． 幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．(2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．1． 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]解析 f (x )的图像的对称轴为x ＝1－a 且开口向上， ∴1－a ≥3，即a ≤－2.2． (课本改编题)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．答案 [1,2]解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2，y max ＝f (0)＝3.当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0，m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.3． 若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不经过原点，则实数m 的值为________．答案 1或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合．4． (人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为____________． 答案 2，12，－12，－2解析 可以根据函数图像是否过原点判断n 的符号，然后根据函数凸凹性确定n 的值． 5． 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m 2，且只有一条对称轴，所以－m2＝ 1，即m ＝－2.例2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈?0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是____________． 答案 (－∞，－3]解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]． 题型三 二次函数的综合应用例3若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图像过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1，f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图像过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )， ∴g (x )＝－x 2＋2x .(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ， 当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ2?1＋λ?＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1.∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]． 题型四 幂函数的图像和性质例4已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3 (m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m3<(3－2a )－m3的a 的取值范围． 思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值． 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图像关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，一定是原点.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤0，x 2， x >0，若f (α)＝4，则实数α等于 ( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，得α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2． 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )A ．3B ．2或3C ．2D ．1或2答案 C解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ?1?＝1，f ?b ?＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.3． 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 ( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0. ∵abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a>0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴x ＝－b2a<0，B 错误．4． 设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]， 所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为____________．答案 y ＝12(x －2)2－16． 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]解析 f (x )的图像的对称轴为x ＝1－a 且开口向上， ∴1－a ≥3，即a ≤－2.7． 当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限．答案 二、四解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图像经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图像经过第一象限．三、解答题(共22分)8． (10分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a <0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15(x －1)(x －3)．9． (12分)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]若存在，求a 的值；若不存在，说明理由． 解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是______________． 答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40解析 设二次函数的解析式为f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49 (a <0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，∴a ＝－4，故f (x )＝－4x 2－12x ＋40.5． 若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________．答案 0<a ≤14解析 令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a ，结合图像有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0?图像与x 轴有交点?，f ?5?>0?图像与x 轴交点在x ＝5的右侧?，?无需考虑对称轴，因为对称轴方程x ＝112>5?.∴0<a ≤14.6． 已知函数f (x )＝x 12，给出下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；③若0<x 1<x 2，则x 2f (x 1)<x 1f (x 2)；④若0<x 1<x 2，则f ?x 1?＋f ?x 2?2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.则所有正确命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，f (x )＝x 12是增函数，f (1)＝1，当x >1时，f (x )>1，①正确； 对于②，f ?x 2?－f ?x 1?x 2－x 1>1，可举例(1,1)，(4,2)，故②错；对于③，f ?x 1?－0x 1－0<f ?x 2?－0x 2－0，说明图像上两点x 1，x 2到原点连线的斜率越来越大，由图像可知，③错；对于④，f ?x 1?＋f ?x 2?2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，根据图像可判断出④正确．三、解答题7． (13分)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ；。