二次型的正定性及其应用
二次型的正定性与半正定性判定
二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
正定性与半正定性是二次型的两个重要性质，对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为:$$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$a_{ij}$为二次型的系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。
二次型的基本性质有：1. 对称性：$a_{ij} = a_{ji}$2. 齐次性：$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$，其中k 为常数。
3. 定义正定性与半正定性的前提：二次型必须是实二次型，即系数$a_{ij}$为实数。
二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于零。
正定性的判定方法有以下几种常用方式：1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出，通过变换二次型的系数矩阵，可以得到一个对角阵，该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。
- 若正惯性指数为n，则二次型正定；- 若正惯性指数为0，则二次型半正定；- 若正惯性指数非0非n，则二次型不定。
2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法，通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。
- 若所有顺序主子式大于零，则二次型正定；- 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零，则二次型半正定；- 若存在某个顺序主子式小于零，则二次型不定。
三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于等于零。
二次型的正定性
05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。
二次型论文
二次型正定性的判定及应用姓名：李梦媛 学号：1007010326摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用. 关键词：矩阵 实矩阵 正定性 应用一、正定性的普通判别方法1、判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路 具体方法有： (1) 用定义；(2) 正惯性指数p=t (t 正整数)； (3) 与E 合同；(4) 顺序主子式全大于0； (5) 特征值全大于0.2、与判定思路相应的五个定理定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= .定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n .定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 合同.定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零.定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的. 二、新的判定法对于二次型的正定性，一般都是对所对应的矩阵进行研究，并且，所研究的范围也只限定在实对称矩阵或Hermite 矩阵进行讨论，这大大限制了二次型在一般情况下的应用．本文在对一般实方阵正定性研究的基础上，提出了实方阵判定实二次型正定性的理论基础及几种新方法. 1、几个相关定义定义1 设A 是n 阶实方阵，如果对于任意的非零的n 阶实向量 ，都有x T Ax>0， 其中x T表示x 的转置，则把A 称做正定矩阵．定义2 含有n 变量 x 1， x 2，⋯，x n 的二次齐次函数f( x 1， x 2，⋯，x n )：b 11x 12 +b 22x 22 +⋯+b nn x n 2+2b l2x l x 2+2b l3x l x 3+ ⋯+2b n-1,n x n-1x n 称为二次型．取b ij =b ji ，则f=x T Bx ，我们把对称矩阵B 称为二次型f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵B 的二次型．定义3 设有实二次型 f(x)=x T Cx ，如果对于任意的 x ≠0，都有f(x)>0，则称f 为正定二次型，并称对称矩阵C 是正定的．由此可见，研究二次型的正定问题，可以转化为研究二次型所对应的矩阵正定问题．接下来所讲的矩阵、向量如无特别声明，均指实矩阵、实向量．2、 理论基础及应用一般判定实二次型正定性的理论基础是利用了标准型、特征值和主子式的方法．对于给定的二次型对应的矩阵为实方阵，使得对二次型矩阵的判定可以拓展到实方阵中去．本文在此基础之上利用下面的几个定理和推论，采用一般方阵的正定性来判断对称矩阵的正定性．对于实方阵来说，首先具备下面三个性质：性质1 设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价： (1)A 是正定矩阵； (2)A T 是正定矩阵；(3)对任意n 阶可逆矩阵P ，P TAP 是正定矩阵； (4)A+A T 是正定矩阵； (5)A -1是正定矩阵； (6)存在n 阶可逆矩阵P ，使P TAP=diag ﹛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111αα，⋯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11t t αα，1，⋯1﹜其中，α1 ≥0, αt >0 (7)A 的各阶主子矩阵是正定矩阵；性质2正定矩阵的特征值实部为正．下面引入矩阵Hadamard乘积(又称Schur乘积，其定义为：AoB=[aij bij]，A，B∈R(m，n)．Schur乘积定理指出：两个对称正定矩阵的Hadamard乘积仍为对称正定矩阵，这个结果可以推广到一般正定矩阵．性质3 设A是正定矩阵，曰是对称正定矩阵，则AoB也是正定矩阵．证明：因为A是正定矩阵，故A+A T为对称正定矩阵，由Schur乘积定理(A+A T)oB为对称正定矩阵．注意到AoB +(AoB)T =AoB +A T oB=AoB +A T oB=(A+A T)oB，AoB+(AoB)T为对称正定矩阵，从而AoB为正定矩阵．推论1 设A、B是正定矩阵，则AoB +A T oB也是正定矩阵．对于二次型的实对称矩阵来说，要研究正定性，不妨先推广到正规矩阵，对正规矩阵成立的性质，当然对实对称矩阵也适用．所以，判断二次型A正定的方法，以定理的形式给出．定理1 设A为正规矩阵，其特征值实部为正，则A为正定矩阵．证明由文献得到当A为正定矩阵时，存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=diag(Al ，A2，⋯，A s ，⋯，λ2s+l，⋯，λn)，其中A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛jjjjaβ-βα，它具有共轭复特征值(也是A的特征值)α+iβj ，j=1，2，⋯s．而λ2s+1，⋯，λn是A的实特征值由于A的特征值实部为正，故αj>0 j=1，2，⋯，sλj>0 j=2s+1，⋯，n由于Q T(A+A T)Q=diag(2αl ，2αl，⋯，2αs，2αs，2λ2s+1，⋯，2λn)，可见A为正定矩阵．定理2 设A为严格对角占优的正规矩阵，且主对角元全为正，则A是正定矩阵．由Gersgorin圆盘定理，当A的特征值实部为正，而A又是正规矩阵，由定理1知A 是正定矩阵．对于实对称矩阵来说，上述方法显得简单有效．定理3 设A为正规矩阵，是B对称正定矩阵，且AB可交换，则A是正定矩阵的充分必要条件是AB为正定矩阵．证明：首先，由于(AB)(AB)T =(BA)(BA)T=(BA)A T B T =B(AA T)B=B(A T A)B=(BA T)(AB)=(AB)T(AB)可知A 为正规矩阵时，AB 亦为正规矩阵，因B 是对称正定矩阵，故存在对称正定矩阵C ，使B=C 2，这时,C(AB)C -1=C(AC 2)C -1=CAC=C T AC 。
二次型的正定性
二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。
二次型的正定性及正定矩阵
X T AX = CY T ACY = Y T CT AC Y = Y T BY ，
其中 CT AC = B ，由于矩阵 C 可逆，对任意的Y 0 ， 均有 X 0 ，所以 X T AX > 0 ，从而 Y T BY > 0 ，因此 Y T BY 也为正定二次型。
则取Y0 ( 0 ,
, 0, 1 xk
,0,
,
0，)相应0 X0
CY0 0 ，
且
X
T 0
AX 0
d1 02
dk12
dn 02 dk „ 0 ,
这与二次型 X T AX 正定相矛盾。由此：
di 0 , i 1, 2, , n 。
【推论 1】 n 元实二次型正定的充分必要条件是其正
信息系 刘康泽
第 6-5 节 二次型的正定性及正定矩阵
一、基本概念
信息系 刘康泽
【定义】设任意一个 n 元实二次型
f ( x1, x2 , , xn ) X T AX
（1）若对任意的非零向量 X ，有 X T AX > 0 ( 0 )
成立，则称二次型 X T AX 为正定(负定)二次型，称 A 为
f x1, x2, , xn 0 ，
故该二次型是正定的。
d1
由此对角矩阵 D
d2
dn
为正定矩阵充要条件是对角线上的 n 个元素全大于零。
例 2 二次型 f x1, x2 x1 x2 2 是半正定的，
因为 f x1, x2 …0 ，且 f 1, 1 。 0
则 X T AX 正定的充要条件是 di 0 , i 1, 2, , n 。
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
正定二次型的性质与应用论文
河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计正定二次型的性质与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2013届数学B班二〇一三年四月二十八日目录中文摘要、关键字 (2)1 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)1.1 二次型的概念 (3)1.2 二次型的矩阵形式 (3)1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 实正定矩阵的判定方法及证明 (4)2.1 利用定义判定 (4)2.2 利用标准型判定 (4)2.3 利用主子式判定 (8)2.4 其他常用判定 (11)3 实正定矩阵的应用 (15)3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论 (15)3.2 正定矩阵在数学分析上的应用 (17)3.2.1 多元函数的极值问题 (17)3.2.2 正定矩阵在积分中的应用 (19)3.3 正定矩阵在运筹中的应用 (19)3.3.1 具有约束方程的最优化问题 (19)3.4 用正定矩阵来证明不等式 (20)3.5 正定矩阵在几何中的应用 (21)3.5.1二次曲面的标准型 (21)参考文献 (23)英文摘要、关键字 (24)正定二次型的性质及应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师高锁刚作者王敬摘要：本文以矩阵和向量为工具,研究了一种特殊的函数,即二次型。
然而在它的实际应用中许多二次型都是实二次型,其中最重要的一类是正定二次型。
本文主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用,文中给出了实对称正定矩阵的多个判定定理和重要结论,从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具。
全文共分三章,第一章主要叙述二次型及正定二次型、正定矩阵的定义；第二章主要列举说明正定性矩阵的几个判别方法；第三章简单地罗列一些实例来阐述实矩阵正定性的应用。
关键字：正定矩阵正定二次型特征值实对称矩阵1 正定二次型与正定矩阵的概念1.1[1] 二次型的概念设P 是一个数域,ij a ∈P, n 个文字1x ,2x ,…,n x 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122111212...22,...,,++++=n n x x a x x a x a 22322322222...2++++......+2n nn x a +=∑∑==n i nj jiij xx a 11()n j i a a ji ij ,...2,1,,==称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.当ij a 为实数时, f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即),,,(21n x x x f =2221112...n n d x d x d x +++则称f 为标准型. 1.2 二次型的矩阵形式二次型),,,(21n x x x f 可唯一表示成),,,(21n x x x f =T x Ax ,其中12(,,...,)T n x x x x =,()ij n n A a ⨯=为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称A 为二次型的矩阵（A 必是对称矩阵）,称A 的秩为二次型f 的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念设),,,(21n x x x f =Tx Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵）,如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >,则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥,则称f 为半正定二次型,称A 为半正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c <,则称f 为负定二次型,称A 为负定矩阵；如果0),,,(21≤n c c c f ,称f 为半负定二次型,称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型,称A 为不定矩阵.2 实正定矩阵的判定方法及证明2.1 利用定义判定定理1 实对称矩阵A ∈n n R ⨯是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,使0>Ax x T .定理2[2] 实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定矩阵的充分而且必要条件是0>i d , n i ,2,1=.证明：实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定的充要条件是对任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,有T x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 10>x , 令T x )0,,0,1( =,则得01>d ,同理,分别令x 为所有的单位列向量,则可得0>i d ,n i ,,2,1 =,所以定理可证.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的n R x ∈≠0,使二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .证明：因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以存在二次型Ax x T 为正定二次型,其规范形为22221n y y y +++ ,所以正惯性指数为n ,即得二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .所以A 是正定矩阵.2.2 利用标准型判定定理 4 [2] 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 与单位矩阵E合同，即存在实非奇异矩阵C ，使E AC C T =.证明：必要性,因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以矩阵A 对应的二次型Ax x T为正定二次型,可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形22221ny y y +++ ,对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =,所以()EY Y Y AT T Y T T T =,故可证得A 合同于单位矩阵E . 充分性, 若A 合同于矩阵E ,则存在可逆矩阵B ,使得A =T B EB .任意取X≠0, BX Y ==()12,,T n y y y ,则有Y ≠0.于是有Y Y EBX B X AX X T T T T ===22212n y y y ++ >0,定理可以得证.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的所有特征根都大于零.证明：必要性, A 为正定矩阵,若A 的全部特征值n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ. 则存在正交矩阵P 使得有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21成立. 令(),,,,21n P ααα = 则有i i i A αλα=()n i ,,2,1 =,即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量.特别的,取单位特征向量01≠β,即111βλβ=A .于是11111βλβββT T A =01≤=λ,而这与A 为正定矩阵相矛盾,所以A 的全部特征值n λλλ,,,21 都大于0.充分性,A 的特征值为n λλλ,,,21 ,则存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n T AT T AT T λλλ 211则有121-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T T A n λλλ. 任意取0≠X ,则有Y Y X T TX AX X n T T n T T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλ2121, 其中T X Y T T =()0,,,21≠=n y y y ,于是得AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ,即有A 为正定矩.定理6[3] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 是半正定矩阵且0≠A . 证明：必要性, 因为A 是正定矩阵,则A 一定是半正定矩阵,且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由于A 是半正定矩阵可知，i λ()n i ,,2,10 =≥，又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ,故()n i i ,,2,10 =>λ，所以A 是正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆矩阵C ,使得C C A T=.证明：必要性,若A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵C 使得EC C A T =C C T =,其中E 为n 阶单位矩阵.充分性,因为存在实可逆矩阵C ,使得C C A T =,并且有C C A T =EC C T=,其中E 为n 阶单位矩阵.即实对称矩阵A 合同于E ,所以可得A 为正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在实列满秩矩阵n m P ⨯, 使P P A T =.证明：必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵C , 使得C C A T =()()n m n TnnC -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0. 令 =P ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0,则 P P A T =, 其中P 为n m ⨯列满秩矩阵. 充分性,n m P ⨯为实列满秩矩阵,则P P T 为n 阶可逆矩阵, 故对任意的n R X ∈,0≠X , 则由秩m C =, 知,0≠CX 并且有0)(>==PX PX PX P X AX X T T T T ，即A 为正定矩阵.定理9[4] 对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的实n 阶可逆方阵C ,使得AC C T 都是正定的.证明：必要性,首先()TT AC C AC C T =,对任意n R X ∈,0≠X ,由秩n C =,知,0≠CX 由于A为正定矩阵,故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即AC C T 为正定矩阵.充分性,AC C T 正定,则对任意的n R X ∈,0≠X ,由秩C n =,知,0≠TX 并且()()CX A CX T =()0>X AC C X T T ,即可得A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆上三角矩阵R ,使R R A T =.证明：必要性,由于A 是实对称正定矩阵,所以存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.且存在矩阵Q 和R 使得QR P =,其中Q 为n 阶正交矩阵，R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，从而有P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性,因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ,使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 即可证得A 是正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,使得U U A T =.（证明同上）2.3 利用主子式判定定理12 实对称矩阵nn R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.证明：必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,所以存在二次型()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.且对于每个k ,n k ≤≤1令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.对于任意一组不全为零的实数k b b ,,1 ,有()k k b b f ,,1 ∑∑===k i kj j i ij b b a 11=()0,,0,,,1 k b b f .0>所以()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知,k f 的行列式,01111>kkk k a a a a n k ,,1 =. 所以可证得矩阵A 的一切顺序主子式都大于0.充分性, 对n 作数学归纳法.当1=n 时, ().21111x a x f =由条件中011>a ,显然可得()1x f 是正定的. 假设对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元二次型的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 , 于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A ββ1. 由于A 的顺序主子式全大于零,所以1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假设可以知道,1A 是正定矩阵,即存在可逆的1-n 阶矩阵P 使得11-=n T E P A P ,此处1-n E 可代表1-n 阶单位矩阵.令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P C , 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn TT n a P P E αα1. 再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n P E C , 则有2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101P E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a P P E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n P E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n PP a E 001.最后再令21C C C =, ,ααT T nn PP a a -=则有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边同时取行列式,可有a A C =2.因为0>A ,所以0>a . 于是可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 所以矩阵A 可与单位矩阵E 合同,并且可以证得矩阵A 是正定矩阵.定理13 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子式均大于零.证明：必要性, (利用反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,假如可存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则可根据k i A 是k 阶实对称矩阵,并由引理知可存在k 阶正交矩阵P ,使得P P A k T i k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=βββ21 此处k βββ,,,21 为k i A 的特征值.由于k i A <0,且k i A =k βββ 21可知k i A 的特征值k βββ,,,21 中至少有一个小于0.推至一般性,设1β<0,令T Y =()1,0,,0 ,则可有Y ≠0并且k T i Y A Y =1u <0,再令T X =12(,,,)n x x x ,则有当{}12,,,k i i i i ∈ 时,可得i i x y =；当i 为其他时,得0i x =.则有X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,而这与A 为正定矩阵的假设相矛盾.充分性, 假设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 则由于k i A 任意的一个顺序主子式均是A 的一个主子式,所以可知它们都大于0.所以可得k i A 为正定矩阵.定理可以得证.定理14[5] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子矩阵均为正定矩阵.证明：必要性,A 正定, 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,所以k 个主子式都大于零, 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性,若实对称矩阵A 的一切主子矩阵均是正定矩阵,则矩阵A 的一切主子式全都大于零,即可证得A 是正定矩阵.2.4 其他常用判定定理15 若A 是实对称正定矩阵，则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明：由于A 是实对称正定矩阵,则0>A ,所以A 可逆.又因()(),111---==A A A T T所以可得1-A 也是实对称矩阵.设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由A 正定有()n i i ,,2,10 =>λ，1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =，即可得1-A 为正定矩阵.定理16 若A 是实对称正定矩阵，则对于任意的整数m ，m A 都是正定矩阵. 证明：I 当0=m 时，显然是正定矩阵.II 当0<m 时，由于m m -=，则有()mm A A 1-=，且1-A 也是正定矩阵，故只需假定m 为正整数即可.（i ）当m 为偶数时，由于A A T =，并且⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22m Tm m A A A ，所以可得m A 是正定的； （ii ）当m 为奇数时，由于A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵C ，使得C C A T=; 由此可得：2121212122----==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m CA C A AA A A A A A Tm m Tm m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2121m m CA CA T从而m A 是正定矩阵.定理17 若A 是n 阶实对称正定矩阵，则有*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明：已知*A =,1n n R A A ⨯-∈且()(),***==A A A T T又由于A 是正定矩阵，所以0>A .设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则由A 是正定矩阵有()n i i ,,2,10 =>λ,于是有*A 的n 个特征值11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零，即可证得*A 也是正定矩阵.定理18 实对称正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵. 证明：设实对称矩阵A 是正定矩阵，矩阵B 与矩阵A 合同，即存在可逆矩阵P ，使有AP P B T =成立，由于A 是正定矩阵，可知对于任意的n 维非零列向量X , 即nR X ∈≠0,有0>AX X T ,所以令PX Y =，则有0≠PX ，有0)()(>=CX A CX BY Y T T ，所以矩阵B 是正定矩阵，所以定理可得证.定理19 任意两个同阶实对称正定矩阵的和还是正定矩阵,更一般地,正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵.证明：设A 、B n n R ⨯∈ 都是正定矩阵,同时又可设0,>b a , 因而对于任意的n R x ∈≠0, 可有0)(>+=+Bx bx Ax ax x bB aA x T T T .所以对于任意的两个同阶的正定矩阵的和仍是正定矩阵.而多于两个矩阵时，可以按照相同的方式进行处理, 并且可以利用数学归纳法给出具体的证明：（1）当2=n 时，由上可知命题结论成立；（2）假设当1+<k n 时有命题结论成立,以下可以证明1+=k n 时命题结论仍成立. 设121,,,+k k A A A A 是同阶的正定矩阵,并且有0,,,,121>+k k b b b b .下证1111+++++k k k k A b A b A b 也为正定矩阵.因而可得对于任意的n R x ∈≠0 有0)(11111111>+++=+++++++x A x b x A x b x A x b x A b A b A b x k T k k T k T k k k k T ,此式中的每一项均为正.所以可以得到当1+=k n 时, 结论成立.综合以上的（1）、（2）可知,对于一切的自然数n ,正定矩阵的正线性组合也仍为正定矩阵.定理20 对于任何的实对称矩阵A ,必存在实数0,0>>βα,使得A E α+与A E +β都是正定矩阵.证明：实对称矩阵A 的所有的特征根都是实数,所以不妨记其中一个绝对值最大的特征根为ολ,只要取οβλ>,则可有A E +β是正定矩阵.假设Q 是正交矩阵,使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n TAQ Q λλ 1则AQ Q EQ Q Q A E Q T T T +=+ββ)(=ββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1n βλβλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭由于0i βλ+>()1,2,,i n = ,可得A E +β也是正定矩阵.而当取1αβ=时,则有0α>,()1E A E A αββ+=+也是正定矩阵,于是定理可以得证.定理21 若A 、B 都是实对称矩阵,并且BA AB =,则AB 也必为正定矩阵. 证明：易知AB 的特征根均大于零,且有当AB BA =时,可有AB BA A B AB T T T ===)(,所以AB 又是对称矩阵,从而可得AB 是正定的.定理22 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充分而且必要条件是1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵.证明：当1A 可逆时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E 0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T 必要性, 若A 正定,那么1A 也正定,11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E P 0211, 则P 可逆,所以AP P T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21123100A A A A A T 为正定矩阵,因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T--都为正定矩阵.充分性,由于1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵,且两个正定矩阵的和也是正定矩阵，可知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211231A A A A A T 为正定矩阵. 又可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TP 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-P ,即可证得A 为正定矩阵.定理23 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在正交的向量组n ααα,,,21 使得.2211Tn n T T A αααααα+++=证明：必要性,因为A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q ,使得Q Q A n T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ 21,T n Q ),,(21βββ =, 令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =为正交向量组, 则可得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,Tn n T T A αααααα+++= 2211= )(21T n TT ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ααα 21 T T T = （T 为正交矩阵）, 显然可证得A 是正定矩阵.3 正定矩阵的应用3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论例 3.1 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵,A 是正定阵,证明：存在实可逆阵T ,使T B A T )(+'为对角阵.证 由于A 是正定阵,从而合同于单位阵E ,即可知存在实可逆阵Q ,使E AQ Q ='. 而BQ Q '仍是实对称矩阵,从而存在正交阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''n P BQ Q P λλ 1)(,其中n λλ,,1 是BQ Q '的特征值,若令QP T =,则可有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+'n T B A T λλ11)(1 . 例 3.2 设B 为n 阶实对称矩阵,且正定. A 为m n ⨯实矩阵, T A 为A 的转置矩阵.试证：BA A T 为正定矩阵的充分而且必要条件是秩m A =)(.证 充分性 因为BA A BA A T T T =)(.0,1≠∈∀⨯x R x n ,由秩m A =,知()n j i a a ji ij ,...2,1,,==,而A 为正定阵,故0)()()(>=Ax B Ax x BA A x T T T ,此即BA A T 为正定阵.必要性 利用反证法.若秩m A <,则有0=Ax 有非零实数解0x 存在,即00=Ax ,但00≠x ,并且由BA A T 为正定矩阵,可知)()()(00000Ax B Ax x BA A x T T T=< ①另一方面,因为00=Ax ,所以m A =.0)()(00=Ax B Ax T ②由于①、②矛盾,故秩m A =)(.例 3.3 设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶半正定矩阵,求证: A B A B +≥+,当且仅当0B =或n 1=时等号成立.证 由A 0>可知,存在n 阶的可逆矩阵P ,使得T P BP n E =成立,所以有()T T n P A B P E P BP +=+,且T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 是半正定矩阵,设T P BP C ==()ij C ,则可有Tn E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和,1,2,,i n = .而又因为0T C P BP =≥,并且它的所有主子式都是非负的,因此可得T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此可得A B A B +≥+当0B =或1n =时，显然有A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时，易知T P BP C =0n n ⨯≠,于是可得至少有一个ij c ≠0,此时C 的一阶主子式ii c ,jj c 均不能为零,否则00ijijc c =2ij c -0<,这与C 是半正定矩阵矛盾.于是1c 0>,进一步可有T n E P BP +1>n c +,从而得A B A B +≥+成立.3．2 正定矩阵在数学分析上的应用3.2.1 多元函数的极值问题例3.4 求函数321232221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值.解 因为2211123x x x f +=∂∂，212212x x x f +=∂∂，2233+=∂∂x x f，令01=∂∂x f ，02=∂∂x f，03=∂∂x f ，得驻点T x )1,0,0(0-=，T x )1,144,24(1--=.又)(x f 的各二阶偏导数为12126x xf =∂∂，12212=∂∂∂x x f ，2312=∂∂∂x x f ，2222=∂∂xf ，0322=∂∂∂x x f ，2232=∂∂xf ，得（黑塞）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x x H .在点0x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0x H ，而)(0x H 的顺序主子式：0det 1=H ,0144212120det 2<-==H ,0296)(det det 03<-==x H H ,因此)(0x H 不定，0x 不是极值点.在点1x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1x H ，而)(1x H 的顺序主子式：0144det 1>=H ，014421212144det 2>==H ， 0280220212212144det 3>==H ， 故)(1x H 为正定矩阵，T x )1,144,24(1--=为极小值点，极小值为6913)1,144,24()(1-=--=f x f .3.2.2 正定矩阵在积分中的应用例3.5 证明：椭球体331j 11ij i j i a x x ==Ω=∑∑：的体积等于1/24/3,Aπ-其中()33ijA a ⨯=是正定矩阵.证明 A 是正定矩阵，∴∃正交矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321λλλAT T T，0>i λ，)3,2,1(=i 为A 的特征值 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---131211λλλB 作变换TBY y y y TB x x x X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321，则此变换的Jacobi 行列式为2121321)(--=====AB B T TB J λλλ13312321j 13()ij iji x a x xx x x A x x ==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑=Y Y BY B Y ATBY T B Y AX X TTT T T T T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==321λλλ 1/212312312311T T X AX Y Y dx dx dx dx dx dx Ady dy dy -Ω≤≤∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1/24/3Aπ-3.3 正定矩阵在运筹中的应用3.3.1 具有约束方程的最优化问题例 3.6 某地区计划明年修建公路x 百公里和创建工业园区y 百公顷，假设收益函数为xy y x f =),(，受所能提供的资源（包括资金、设备、劳动力等）的限制，x 和y 需要满足约束条件369422≤+y x ，求使),(y x f 达到最大值的计划数x 和y .解 由于约束方程369422=+y x 刻画的不是坐标平面上单位向量的集合，我们需要做变量变换.将这个约束方程写成1)2()3(22=+yx ， 再设31x x =，22yx =，即13x x =，22x y =，则约束方程可以写成 12221=+x x ，而目标函数变成2121216)2)(3()2,3(x x x x x x f ==.现在的问题就成为求216)(x x x F =在1=x x T下的最大值，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x .设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0330A ，则 Ax x x F T =)(，A 的特征值是3±.属于31=λ的单位特征向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121.由此得，当211=x ，212=x 时，)(x F 取得最大值3，即当12.22331≈==x x 百公里，41.1222≈==x y 百公顷时，收益函数),(y x f 去的最大值3.3.4 用正定矩阵来证明不等式例3.7 证明不等式2224222x y z xy xz ++>-（其中,,x y z 是不全为零的实数）证明 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--++=z y x z y x xz xy z y x f 301051111),,(2235222则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=301051111P 的各阶顺序主子式为 01>，045111>=--，0731051111>=----， 所以P 是正定矩阵00,0x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴∀≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有0f >故可得原不等式成立.3.5 正定矩阵在几何中的应用3.5.1二次曲面的标准型 例3.8 在3R 中化简二次方程03828322620828102222=-++-+-++-z y x zx yz xy z y x ，并判断其曲面形状.解 二次项相应的对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410421410141A .A 的特征多项式为)18)(18)(9(+--=-λλλλI A ，特征值为91=λ，182=λ，183=λ，对应的单位特征向量构成的正交矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12221222131P .令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x P z y x ，方程化为 0938316343222222=-'-'+'-'-'+'z y x z y x ， 配方得1)34(2)31(2)31(222=+'-+'+-'z y x .令31-'=x X ，31+'=y Y ，34+'=z Z ，得122222=-+Z Y X ，故原方程表示的曲面为单叶双曲面.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,2003.[2] 线性代数/余长安编著.—武汉：武汉大学出版社,2010.1[3] 胡跃进.广义正定矩阵的一个不等式[J],阜阳师范学院学报（自然科学版）,2001.18（1）：10-11.[4] 张禾瑞,郝丙新. 高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,1983.[5] 钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）[M],北京:中央民族大学出版社,2002.Properties and Applications of positive definite quadratic form Summary: Based on the matrix and vector tool, we study a kind of special function, quadratic form. However many quadratics in practical application are real quadratic form, with one of the most important class being positive definite quadratic form. This paper focuses on the positive definiteness and application of the real matrix. This paper presents several discrimination methods of the real symmetric positive definite matrix and important conclusions, which allow people to make better use of this tool in the positive definite matrix. The paper is divided into three chapters, the first chapter mainly describes the definition of the quadratic, positive definite quadratic form and the positive definite matrix; the second chapter cited several matrix discrimination method of the description positive definiteness; the third chapter simply list some examples to illustrate the application of the positive definiteness of a real matrix.Keyword: positive definite quadratic form positive definite matrixcharacteristic value necessary and sufficient condition real symmetric matrix。
二次型及其规范型
二次型及其规范型二次型是数学中重要的概念，广泛应用于代数、线性代数以及物理学等领域。
本文将介绍二次型的基本定义、性质以及规范型的概念和应用。
一、二次型的定义和性质在线性代数中，我们称一个关于n个变量的多项式函数为一个二次型。
一个二次型可以表示为如下形式：$Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$其中，$a_{ij}$是一个常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$是n个变量。
二次型具有以下性质：1. 对称性：如果$a_{ij} = a_{ji}$，则二次型称为对称二次型；2. 非负定性：当二次型对于所有的非零向量$x$都有$Q(x) > 0$时，称其为正定二次型；当$Q(x) \geq 0$，但存在非零向量$x_0$使得$Q(x_0) = 0$时，称其为半正定二次型；3. 定性：二次型的正负定性与其矩阵的特征值有关，正定二次型对应的特征值全为正数，半正定二次型对应的特征值非负。
二、规范型的定义和性质在研究二次型时，我们常常希望将其化为一个标准的形式，这就是规范型。
规范型的特点是尽可能简单且易于研究。
对于任意的n维实二次型，我们可以通过合同变换将其化为规范型。
合同变换是指对矩阵进行相似变换，即通过矩阵的乘积将一矩阵转化成与之相似的另一矩阵。
具体而言，对于对称矩阵$A$，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = \Lambda$，其中$\Lambda$为对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。
规范型的具体形式取决于原始二次型的特征值分布。
根据特征值的正负，规范型可以分为以下几种情况：1. 正定二次型的规范型为$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$；2. 负定二次型的规范型为$-x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2$；3. 除了以上两种情况外，还有其他特征值组合形式的规范型。
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毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华目录摘要 (1)前言 (2)1 二次型的概念 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (3)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)3 二次型的应用 (9)3.1 多元函数极值 (9)3.2 线性最小二乘法 (13)3.3 证明不等式 (15)3.4 二次曲线 (18)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (19)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。
通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrixand its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, HuainanNormal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 1 二次型的概念定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式22212111121213131122223232211(,,...,)22...22...2......n nn n n n n nn n ij i ji j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x ===++++++++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.1.1 二次型的矩阵形式二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T n x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩. 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念定义1.2 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵. 定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2 二次型的正定性一些判别方法及其性质定理2.1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理 2.2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>.定理2.3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全大于零. 定理2.4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理2.5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C ,使C C A T =.即E A 与合同.推论2.1 若A 为正定矩阵,则0||>A .定理2.6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为22122221r p p z z z z z ---++++则：(1)f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r =(即负定二次型,其规范形为22221n z z z f ----= )(2)f 半正定的充分必要条件是.n r p <=(即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22221 )(3)f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22221 ) (4)f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即22122221r p p z z z z z f ---+++=+ )定义2.1 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式)1(21212221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i kk k k k k ≤<<<≤称为A 的一个k 阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211n k a a a a a a a a a A kkk k k k k==称为A 的k 阶顺序主子式.定理2.7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.证明：必要性 设二次型∑∑===n i nj j i ij n x x a x x x f 1121),,,(是正定的．对于每个k ，1≤k ≤n ，令∑∑===k i kj j i ij k k x x a x x x f 1121),,,( ，则对于任意一组不全为零的实数kc c c ,,,21 ，有 ∑∑==>==k i kkj j i ij k k c c f c c a c c c f 111210)0,,0,,,(),,,( ． 因此),,,(21kk x x x f 是正定的．由推论5.4.1，k f 的矩阵的行列式 n k k k A ,,1,02121 =>⎪⎪⎭⎫⎝⎛． 故矩阵A 的顺序主子式全大于零．充分性 对n 作数学归纳法．当n =1时，21111)(x a x f =，由条件011>a ，显然有)(1x f 是正定的．假设充分性的论断对于n -1元二次型已经成立，那么对n 元情形，令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----n n n n n n n a a a a a a A ,111,11,11,1111, α， 则矩阵A 分块为⎪⎭⎫⎝⎛'=nn a A A αα1． 由A 的顺序主子式全大于零知道1A 的顺序主子式也全大于零．因此，由归纳假定，1A 是正定矩阵，即有n -1阶可逆矩阵G ,使11n G A G E -'=．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001G C ，则1111000101n n n n n A E G G G C A C a G a αααα-''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 再取1201n E G C α-'-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11121120101n n n n n E G E E G C C A C C G a G αααα---''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫''= ⎪ ⎪ ⎪''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100n n n E a G G αα-⎛⎫= ⎪''-⎝⎭,令C =C 1C 2，a =a nn -α'GG 'α．则有11.C C a ⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A两边取行列式，得a A C =||||2．由于|A |>0，因此a >0．显然111111111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同．所以A 是正定矩阵，故二次型),,,(21n x x x f 正定．注：(1)若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵.(2)A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵A 是半正定（半负定）的;b.A 的所有主子式大于（小于）或等于零；c.A 的全部特征值大于（小于）或等于零.例2.1 设M 是n 阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M 为正定阵，其中I 是单位矩阵.证明：矩阵正定的充要条件:对任意x 不等于0向量,有0>MX X T ，MX X X TX X M TI X T T T +=+)(， 在所有的X 中选一个X,使MX X T 的值最小,MAX MX X T -=,其中MAX>0，而这时对应的X X T 的值为K,且K 肯定大于0.又K,MAX 都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>0，即MX X X TX X M TI X T T T +=+)(>0故TI+M 正定.例 2.2 考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f 为正定二次型.解:利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，A 的顺序主子式为110∆=>； 22144λλλ∆==-；23114214484(1)(2)124λλλλλλ-∆=-=--+=--+-.于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0∆>∆>，有2240λ∆=->，可知，22λ-<<；由34(1)(2)0λλ∆=--+>,可得12<<-λ,所以，当12<<-λ时,f 正定.例2.3 已知A-E 是n 阶正定矩阵，证明1E A --为正定矩阵.分析：只要证明1E A --的特征值全大于零即可 证明:由A E -正定知A是实对称矩阵，从而，111()()TT T E A E A E A ----=-=-即1E A --也是实对称矩阵.设A 的特征值为k λ（k=1,2,…,n ）,则A-E 的特征值为3 二次型的应用 3.1 多元函数极值在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决定义3.1.1 设n 元函数12()(,,)n f X f x x x =在12(,,,)T n n X x x x R =∈的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记12()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭, ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x =处的梯度.定义3.1.2 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.定义3.1.3 222211212222212()()()()()()()()n i j n nn n nf X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎛⎫∂ ⎪==⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪⎪∂∂∂∂∂⎝⎭称为函数12()(,,)n f X f x x x =在点n X R ∈处的黑塞矩阵.显然()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.定理3.1.1 (极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点000012(,,,)Tn X x x x =处存在一阶偏导数，且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=.定理3.1.2 (极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且000012()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭则:(1) 当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值; (2) 当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值;(3) 当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值. 应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.例3.1.1 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值.解:先求驻点，由220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩得1,1,1x y z =-=-=所以驻点为0(1,1,1)P --. 再求(Hessian)黑塞矩阵因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,所以200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.当然，此题也可用初等方法222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值6-，结果一样.定理3.1.3 设n 元实函数12(,,,)nf xx x 在点P 0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数12(,,,)n f xx x 在点P 0近旁有性质：1）若XA X '正定，则P 0为极小点；2）若XAX '负定，则P 0为极大点；3）若XA X '不定，则P 0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P 0性质有待研究余项R 的性质来确定.特别当是二次函数时，R=0，只要XAX '半正（负）定，则P 0为极小（大）点.例3.1.2 求函数22l n ()z x y x y =+的极值.解：222222l n ()x xy z y x y x y'=+++ 222222l n ()y x y z x x y x y'=+++ 解方程组00xy z z ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，易得，01,10x x y y ==±⎧⎧⎨⎨=±=⎩⎩，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=e y e x 2121222222222222()2(3),()()x x y y x y x y x y x y z z x y x y ++''''==++ 44222222()l n ()()x y y x x y z z x y x y +''''==+++ 于是，xxxy yx yy z z A z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，经计算得(20||02A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭正定；20||02A A -⎛⎫== ⎪-⎝⎭ 负定； (1,0)(0,1)02||20A A ±±⎛⎫== ⎪⎝⎭不定.故在点(1,0)±，点(0,1)±，Z 不取极值；在,(点，Z 取极小值，1=-2z e极小；在,(点，Z 取极大值，1=2z e极大. 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设n 元二次型AX X X f T=)( Tn x x x X )),...,,((21=，则f 在条件112=∑=ni i x 下的最大（小）值恰为矩阵A 的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函数3131********),,(x x x x x x x x x f +-= 在1),,(232221T 321=++=X X =X x x x x x x T 满足条件的最小值. 解：先对二次型，作正交变换Y =X X X =X Q )(T A f 将其化为标准形式332211y y y λλλ++,然后在条件1232221T =++=Y Y =Y Y =X X y y y Q Q T T T 下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011101110A ， 它的特征多项式2)1)(2(-+=-λλλA E .对于特征值1=λ，求得两个线性无关的特征向量TT )1,0,1(,)0,1,1(-；再用Schmidt 正交化方法，得两个单位正交的特征向量TT)62,61,61(,)0,21,21(32-==ξξ取正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==62031612131612131),,(321ξξξQ 则有)1,1,2(T-=diag AQ Q . 对二次型X X =X A f T)(做正交变换Y =X Q ，得.2)()(232221T y y y AQ Q f T ++-=Y Y =X )1(相应地，条件1232221T =++=X X x x x 化为 1232221=++=Y Y =Y Y y y y Q Q T T T . )2( 于是原题意化为对)1(式的三元二次其次函数在满足条件)2(时求其最小值.此时，显然有22)(232221232221-=++≥++-=X y y y y y y f 又当)0,0,1(),,(321±==Y Ty y y 时2-=f ，所以f 满足条件)2(的最小值2min -=f ，而且它仅在T )0,0,1(1=Y 和T )0,0,1(2-=Y 处取得最小值.回到变元T x x x ),,(321=X ，则),,(321x x x f 在TQ )31,31,31(111==Y =X ξ和TQ )31,31,31(222-==Y =X ξ处取得最小值. 最后再介绍一个有用的定理： 定理3.1.3 设A 为n 阶正定矩阵Tn x x x X ),...,,(21=与Tn c c c ),...,,(21=∂实向量，β为实数，则实函数βα++=x Ax x x f TT 2)(当α1--=A x 时取得最小值ααβA T -.证明:[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11x A x f T Tβαα，由A 正定，∴1-A 存在（对称）而⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ααβαβααα111001010A A A E A A E T T n T T n，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----1010111A E A E T nT nαα，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1001011x A A A E x f T T n T ααβα其中，α1-+=A X Y ，A 正定，故⇔α1--=A X ，所以)(x f 取得最小值ααβA T -.3.2 线性最小二乘法 众所周知，线性方程组11112211211222221122+0+0+0s s s s n n ns s n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++-=⎧⎪++-=⎪⎨⎪⎪++-=⎩………………………………………可能无解. 即任何一组12,s x x x ……都可能使得11221(+)ni i i s s ii y a x a x a x b ==++-∑…不等于0，我们设法找到00012,s x x x ……，使得y 最小，这样00012,sx x x ……称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.若记A 为上述方程组的系数矩阵，12(,,)Tn B b b b =…….于是，使得y 值最小的X 一定是方程组A A XA B''=的解，而其系数矩阵A A '是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n ，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解. 例3.2.1 已知某种材料在生产过程中的废品率y 某种化学成分x 有关,下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值我们想找出y 对x 的一个近似公式.解:把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势近于一条直线,因此我们决定选取x 的一次式ax+b 来表达,当然最好能选到适当的a,b 使得下面的等式3.6a+b-1.00=0 3.7a+b-0.9=0 3.8a+b-0.9=0 3.9a+b-0.81=04.0a+b-0.60=0 4.1a+b-0.56=04.2a+b-0.35=0都成立,实际上是不可能的.任何a,b 代入上面各式都发生些误差,于是想找到a,b 使得上面各式的误差的平方和最小,即找a,b 使(3.6a+b-1.00)2+(3.7a+b-0.9)2+(3.8a+b-0.9)2+(3.9a+b-0.81)2+(4.0a+b-0.60)2+(4.1a+b-0.56)2+(4.2a+b-0.35)2最小,这里讨论的是误差的平方即二乘方,故称为最小二乘法,用最小二乘法解.易知A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12.411.410.419.318.317.316.3,B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35.056.060.081.09.09.000.1.最小二乘解a,b 所满足的方程就是A T A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a -A T B=0. 即为⎩⎨⎧=-+=-+.012.573.270675.193.2775.106b a b a解得a=-1.05,b=4.81.(取三位有效数字)3.3 证明不等式其证明思路是:首先构造二次型, 然后利用二次型正（半）定性的定义或等价条件,判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵,从而得到不等式.例3.3.1求证：xz xy yz z y x 24239222-->++（其中z y x ,,是不全为零的实数）.证明：设二次型xz xy yz z y x z y x f 24239),,(222++-++=，则f 的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=311112129A ， 因为，A 的各阶顺序主子式为：099>=；051229>=，所以，A 正定，从而0>f （因为z y x ,,是不全为零的实数），即xz xy yz z y x z y x f 24239),,(222++-++=0>.（其中z y x ,,是不全为零的实数）,结论得证.例3.3.2（Cauchy 不等式）设,(1,2,,)i ia b i n =为任意实数,则 11112211211222221122000121122112+0+0+0,(+)(,,)s s s s n n n s s n s ni i i s s i i T n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x y a x a x a x b B b b b A A X A B=++-=⎧⎪++-=⎪⎨⎪⎪++-=⎩=++-=''=∑………………………………………………………….证明:记22222121211221111(,)()()2()()nnnni i i i i i i i i i f x x a x b x a x a b x x b x =====+=++∑∑∑∑，因为对于任意12,x x ,都有12(,)0f x x ≥, 故关于12,x x 的二次型12(,)f x x 是半正定的.因而定理2.7的注意知,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即211211nnii ii i nni ii i i aa b a b b ====≥∑∑∑∑，故得222111()()()nnni i ii i i i a b a b ===≤⨯∑∑∑.例3.3.3 证明：2211()nniii i nxx ==≥∑∑证明：记221211(,,,)()nnn iii i fx x x n x x X A X =='=-=∑∑,其中 12111111(,,,),111nn n X x x x A n ---⎛⎫⎪--- ⎪'== ⎪⎪---⎝⎭,将矩阵A 的第2,3,…,n 列分别加到第一列,再将第2,3,…, n 行减去第1行,得A ～011000n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,于是A 的特征值为0,,,,n n 由定理可知, A 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0nfx x x ≥,即 2211()nnii i i n xx ==≥∑∑,结论得证.例3.3.4 设,,αβγ是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,,x y z ,都有2222c o s2c o s2c o s x y z x y x z y z αβγ++≥++.证明：记222()2c o s 2c o s 2c o s f X X A X x y z x y x z y z αβγ'==++---，其中1c o s c o s (,,),c o s 1c o s ,,c o s c o s ()c o s c o s 1X x y zA αβαγαβγπγαββγ--⎡⎤⎢⎥'==--++==-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.对A 做初等行变换得:A ～1cos cos 0sin sin 000αβαβ--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,于是A 的特征值为0,1,sin α,从而得二次型()f X 是半正定的,即对于任意实数,,x y z ,()f X 0≥,得证. 例3.3.5 设A 为n 阶半正定矩阵,且A 0≠,证明1A E +>.证明：设A 的全部特征值为(1,2,,)i i n λ=,则A E +的全部特征值为 1i λ+(1,2,,)i n =.因为A E +为实对称矩阵,所以存在正交矩阵T ,使得121111n A E T T λλλ-+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,由于A 为半正定矩阵，且0A ≠，则A E +是半正定的，且其中至少有一个00i λ>，同时至少有一个等于0.故01(1)11ni i i A E λλ=+=+≥+>∏，结论得证.以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型,从而证明不等式.使用这种方法简单方便.3.4 二次曲线事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状.例3.5.1 判断二次曲线0222422=+--+x xy y x 的形状.解：设x xy y x y x f 2224),(22+--+=，令xz xy z y x z y x g 2224),,(222+--+=，则)1,,(),(y x g y x f =.对),,(z y x g 实施非退化线性替换：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=z z z y y z y x x 1113,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=111111334z z z y y z y x x 则2121213103),,(z y x z y x g -+=，从而03103)1,,(),(2121=-+==y x y x g y x f .即11091032121=+y x ，故曲线0222422=+--+x xy y x 表示椭圆. 结论二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用。