二次型的几何分类及其应用
二次型的应用
二次型的应用在数学的学习和应用中,二次型的理论是十分重要的.它不仅是代数中的重要理论,更是连接代数与几何的有力桥梁事实上,二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题.学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解,也可以对几何有更为形象的认识.因此,掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的.应用一 二次型理论在二次曲面分类上的应用1. 应用实例例1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型.解 方程左边为一三元二次型,不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++,则f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002023A易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ.由（8）式知所求曲面的标准方程为()()11212121221221=-+zy x 因此,该曲面是单叶双曲面,如图1.图1 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形例2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型.解 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A,0B ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,x U y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则原方程可写为10T T U AU B U +-=A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：21=λ,)11,1,1T Q =；)(12二重-=λ,)21,1,0T Q =-,)31,1,2TQ =-令()123,,0Q Q Q Q ⎫⎪⎪⎪==⎪⎪ 则有)1,1,2(--=diag AQ Q T ,(0,2,0)T B Q d =-作正交变换U QV =,其中111(,,)T V x y z =,则（9）式化为(2,1,1)10T V diag V dV --+-=即01221212121=----y z y x配方,得0)1(2212121=-+-z y x作平移变换12x x =,112+=y y ,12z z =,得02222222=--z y x这就是原曲面方程的标准方程,它表示一个顶点在原点,旋转轴为x 轴的圆锥面,如图2.图2 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形应用二 二次型理论在多元函数极值问题中的应用应用实例例1 求函数32(,)31512f x y x xy x y =+--的极值 解 (,)f x y 的几何描述如图3.图3 的几何图形),(y x f(,)f x y 在2R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yfx f即⎩⎨⎧=-=-+01260153322xy y x 得到四个驻点：（2,1）,（-2,-1）,（2,1）,（-1,-2） .进一步计算得x yfy y x f x x f 6,6,622222=∂∂=∂∂∂=∂∂即63()36x y H X y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵()1262,1612H ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵,故（2,1）是极小值点,此时极值为-28；矩阵126(2,1)612H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭是负定矩阵,故（-2,-1）是极大值点,此时极值为28；矩阵612(1,2)126H ⎛⎫= ⎪⎝⎭,612(1,2)126H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭都是不定矩阵,故（1,2）,（-1,-2）都不是极值点.例2 求函数222(,,)23264f x y z x y z x z y =+++-+的极值.解 (,,)f x y z 在3R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组000fx fy f z⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ 即220440660x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩得到驻点为（-1,-1,1）. 进一步计算得22222,0,0f f fx x y x z∂∂∂===∂∂∂∂∂22220,4,0f f fy x y y z ∂∂∂===∂∂∂∂∂ 22220,0,6f f fz x z y z∂∂∂===∂∂∂∂∂ 即200()040006H X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而()H X 是正定的,所以(,,)f x y z 在（-1,-1,1）点取得极小值,此时极值为-6.(,,)f x y z 的几何描述如图4.图4 ),,(z y x f 的三维切面图应用三 半正定二次型在不等式证明中的应用举例该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件.判断二次型(矩阵)为半正定,从而得到不等式[7].例１ 设,a b R ∈,试证222a b ab +≥.证 要证明的不等式可写成2220a b ab +-≥,所以只需证矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭半正定.由于A 的一阶、二阶主子式分别10>,0A =,所以A 半正定,从而二次型()22(,),2a f a b a b A a b ab b ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭半正定.(,)f a b 的几何描述如图5.图5 ),(b a f 的几何图形例2 已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ,面积为S ,试证222a b c ++≥. 证 利用余弦定理及面积公式,将问题转化为2222(,)2cos sin f a b a b a b ab C C =+++--22222(cos )a b ab C C =+-22224sin()6a b ab C π=+-+其矩阵为22sin()62sin()26C A C ππ⎛⎫-+ ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭由于A 的一阶、二阶主子式分别20>, 22664[1sin ()]4cos ()0A C C ππ=-+=+≥,所以A 半正定,从而二次型(,)f a b 半正定,即结论成立.例3（Cauchy 不等式） 设,(1,2,,)i i a b i n = 为任意实数,则))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a证 记22122112112122121)()(2)()(),(x b x x b a x a x b x a x x f ni i ni i i ni i ni i i ∑∑∑∑====++=+=因为对于任意1x ,2x ,都有0),(21≥x x f ,故关于1x ,2x 的二次型),(21x x f 是半正定的.因此,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即0121112≥∑∑∑∑====ni i ni ii ni ii ni ibb a ba a故得))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a .例4 证明2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n .证 记221211(,,,)()n nT n i i i i f x x x n x x X AX ===-=∑∑ ,其中12(,,,)T n X x x x = ,111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭经过初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n A 00000110~ , 于是A 的特征值为10,,,n n n -,于是A 为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0n f x x x ≥ ,即2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n应用四 二次型在统计中的应用4.1 关于统计距离许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离,在大多数情况下,通常的欧氏距离是不能令人信服的[8].考察p 维变量12(,,,)T n X x x x = 对应p 维空间的点),,,(21p x x x M ,假设M 的位置可以变化,为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性,需要建立统计距离.定义 4.1 设p p B ⨯为正定矩阵,称12(0,)()Td M X BX =为一种距离,对于不同的B 的选择,可得到不同的统计距离.如回归诊断中使用较多的Mahalanabis 距离,Cook 距离等.为考虑问题的方便,考察2(0,)T d M X BX =,而T X BX 为正定矩阵B 的二次型.4.2 二次型在求自由度中的应用在统计学中,自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数.它产生于利用样本量估计参数的时候.实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的.∑ji j i ij x x ,α的秩的大小反映了n 个变量中能自由变动的无约束变量的多少,因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9].例1 求统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度.解∑∑==-=-ni i n i i x n x x x 12212)(21121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i x n x∑∑==-+-=n i j i ni i x x n x n 112)1()11(AXX T其中)(21n x x x X =,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=n n nn n n n n nA 111111111111我们可以通过矩阵的初等变换求得A 的秩为1-n ,所以统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度为1-n .应用五 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域,经常遇到一系列的耦合谐振子问题,因此,研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要,解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦,可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10].质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为2121222212112221212222p p x x m x m m p m p H γλωω+++++=式中λ和γ分别为坐标耦合强度和动力耦合强度,上式的哈密顿量就是一个二次型.H 的矩阵为122112121202120020022002m A m m m γγωλλω⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 关于H ,详细的分析和讨论请参阅参考文献[10].。
第1节 二次型的基本概念(11.23)
3 1 2
X2
Y2
2
⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎜ y1 ⎟ ⎟⎜y ⎟ ⎠⎝ 2⎠
0
θ=π 3
Y1
X1
5 2 1 2 g ( y1 , y2 ) = y1 + y2 = 1 2 2
对于任意给定的二次型 f ( x ) = x T Ax , 是否都存在可 逆 线 性 替 换 x = Cy , 将 其 化 为 只 含 平 方 项 的 如 下 形 式 ：
2 2 ,⋯ , xn 互确定: A 的主对角元依次是 x12 , x2 的系数 ; 而
它的( i , j ) 元是 xi x j 的系数的一半 , 其中 i ≠ j .
推论 设二次型 f = x T Ax = x T Bx , 如果 AT = A 和 BT = B, 则 A = B.
例题
2 f ( x1 , x2 ) = 10 x12 − 6 x1 x2 − 3 x2
引例 在平面解析几何中, 2元 2次方程表示曲线. 例如,
x 2 + y 2 = 1, x 2 + 4 y 2 = 1, x 2 − y 2 = 1 分别表示圆, 椭圆和双曲线.
问题
一般的2元 2次方程 ax 2 + 2bxy + cy 2 = 1 表示的是什么 曲线？
推 而 广 之 , 3元 2次 方 程
Y2 X2
( x1 , x2 ) P ( y1 , y2 )
⎛ x1 ⎞ ⎛ cos θ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ x2 ⎠ ⎝ sin θ
− sin θ ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ cos θ ⎠ ⎝ y2 ⎠
0
Y1
θ
向量的内积与二次型
02
CHAPTER
二次型
二次型的定义
定义
二次型是形式为$f(x, y, z) = ax^2 + bxy + cy^2 + ...$的数学表达式，其中$a, b, c...$是实数。
特点
二次型具有对称性，即$f(x, y, z) = f(y, x, z)$。
意义
二次型在数学、物理和工程等领域有广泛应用，如描 述物体运动轨迹、计算物体受力等。
向量内积在二次型中的应用
1
向量内积可以用于计算向量的长度和夹角，这些 信息在二次型中非常重要，因为它们决定了二次 型的大小和形状。
2
向量内积还可以用于计算向量的外积（叉积）， 外积在二次型中用于确定向量的方向和旋转。
3
在二次型中，向量内积还可以用于判断向量是否 正交（垂直），这对于确定二次型的对称性和正 定性非常重要。
向量的内积与二次型
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 二次型 • 向量的内积与二次型的关系 • 二次型的几何意义 • 特殊二次型
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
内积的几何意义
向量内积表示两个向量在方向上的相似程度，即它们的夹角余弦值。
内积的性质
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角，且$0 leq theta leq pi$。
二次型的几何分类及其应用
二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
第四章3二次型及其标准型4正定二次型
y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
二次型
第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
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二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。
其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。
最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。
在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。
关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。
事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。
学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。
因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。
但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。
本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。
当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。
2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。
定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数22212111222(,,,)n nn n f x x x a x a x a x =+++n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+（1）称为n 元二次型，简称二次型【2】。
当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。
本文仅讨论实二次型。
若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成12,1(,,,)nT n ij iji j f x x x a x xX AX ===∑ （2）其中，111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵也把f 叫做对称矩阵A 的二次型；同时A 的秩也称为二次型f 的秩。
定义2.2 仅含有平方项的二次型222121122(,,,)n n n f y y y d y d y d y =+++ （3）称为二次型的标准形。
对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=n nn n n nnn yc y c y c x y c y c y c x221112121111 （4） 将其化为标准型。
定理 2.1 任意n 元实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =都可经正交变换X PY =化为标准形12221122T n n n f y y y Y Y λλλλλ⎛⎫ ⎪=+++=⎪ ⎪⎝⎭其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值。
例2.1 利用正交变换化二次型1212(,)2f x x x x =化为标准型。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A特征多项式为：()()211111E A λλλλλλ--==-=-+-所以A 的特征值为1,121-==λλ。
当11=λ时，解()10E A x -=得线性无关的特征向量()T1,11=ξ，单位化得T P )1,1(211=。
当12-=λ，解()10E A x --=得线性无关的特征向量()T1,12-=ξ，单位化得T P )1,1(212-=。
令()12,P P P ⎫⎪⎪== 则P 为正交矩阵。
于是，正交变换X PY =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121212121y y x x 化二次型为标准型2221y y f -=二次型变换前后的几何描述如图1。
图1 二次型变换前（左图）、后（右图）3 二次型的分类对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。
依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。
3．1 正定二次型和负定二次型定义3.1.1 设实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有0),,,(21>n c c c f ，称该二次型为正定二次型，且称矩阵A 为正定矩阵。
（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有12(,,,)0n f c c c <，称该二次型为负定二次型，且称矩阵A 为负定矩阵。
二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。
图2 一元、二元正定二次型图3一元、二元负定二次型定理3.1.1 对于实二次型12(,,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ）f 是正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++>=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于零； （vi ） A 的各级顺序主子式皆大于零，即11110,(1,2,,)kk k kk a a A k n a a =>=。
定理3.1.2 对于实二次型=),,(21n x x x f x A x T ，下列条件等价： （i ） f 是负定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++<=;（iii ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iv ） A 的全部特征值皆小于零；（v ） A 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零[3]，即1111(1)(1)0,(1,2,,)kk kk k kk a a A k n a a -=->=。
例3.2.1 判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=524212425A01,01,052221121111>=>=>=A a a a a a根据定理3.1.1，知f 为正定二次型。
f 的几何描述如图4。
图4 f 的三维切面图例3.1.2 判别二次型222(,,)56444f x y z x y z xy xz =---++的正定性。
解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=402062225A080,026,052221121111<-=>=<-=A a a a a a根据定理3.1.2，知f 为负定二次型。
f 的几何描述如图5。
图5 f 三维切面图3．2 半正定二次型和半负定二次型定义3.2.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≥，称该二次型为半正定二次型，且称矩阵A 为半正定矩阵。
（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≤，称该二次型为半负定二次型，且称矩阵A 为半负定矩阵。
二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。
图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）定理3.2.1 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ） f 是半正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d x d x d x d i n +++≥=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于或等于零； （vi ） A 的所有主子式皆大于或小于零。
定理3.2.2 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价[3]：（i ） f 是半负定的；（ii ） 存在实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iii ） A 的全部特征值皆小于或等于零；（iv ） A 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零[3]，即),,2,1(,0)1(1111n r a a a a rrr rr=≥-。
3．3 不定二次型定义3.3.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，如果f 既不是正定的，也不是负定的，则称该二次型为不定二次型。
例3.3.1 判定二次型2222(,),0,0x y f x y a b a b=->>的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。
图7 3,4a b ==时的几何图形例3.3.2 判定二次型(,)f x y xy =的正定性。
解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。
图84 二次型理论在二次曲面分类上的应用4．1 理论分析二次曲面方程的一般形式[4]为2221122331212121232222220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= （5）令)(ij T a A A ==，(,,)T U x y z =，123(,,)T B b b b =，则上述方程可以写为20T T U AU B U c ++= （6）其中(,,)T f x y z U AU =就是一个二次型。