11级《高等数学A一》试卷A参考答案

1
内蒙古工业大学２００7——２００8学年第一学期
《高等数学A一》期末考试参考答案及评分标准（A）
（课程代码：高等数学A一）
试卷审核人： 斯日古楞 考试时间： 2008.1.10
注意事项：１. １.本试卷适用于07级多学时本科生使用。
２.本试卷共6页，满分100分。答题时间120分钟。
班级： 姓名： 学号：
题号 一 二 三 四 五 六 总分
评分

一、填空题（具体要求。本大题共5道小题，每小题3分，
共15分）
1．)sin11sin(lim0xxxxx= 1 .

2. 设C为大于1的常数.已知31)1(0dxxxc，则C= 23 .

3.函数321)(xxf在1,1上不能有罗尔定理的结论,其原因是由于)(xf不
满足罗尔定理 )0(f 不存在 的条件.

4.曲线弧)0(sinxxy上 2 点处的曲率半径最小.
5.dttept0 21p .)0(p

得分 评卷人
2

二、选择题（具体要求。本大题共5道小题，每小题3
分，共15分）

1.1x是11)(2xxxf的( D )间断点.
A. 无穷 B. 跳跃 C. 振荡 D. 可去
2. 若aadxxfdxxxf0202,)(21)(则（ A ）

A.4. B.2. C. 21 D.1.
3.设时，则当0,275)(xxfxx( B )
A.)(xf与x是等价无穷小量 B. )(xf与是同阶但非等价无穷小量；
C. )(xf是比x高阶的无穷小量； D. )(xf是比x低阶的无穷小量。
4．对于不定积分dxxf)(，在下列等式中正确的是 D .
（A）)(])([xfdxxfd； （B）)()(xfdxxdf；
（C）)()(xfdxxf； （D）)()(xfdxxfdxd.
5. 设偶函数)(xf有连续二阶导数,且0,0)0(xf则( B )

得分 评卷人
3

A.不是)(xf的驻点 B.一定是)(xf的极值点
C.一定不是)(xf的极值点 D.不能确定是否为)(xf的极值点
三、计算题（具体要求。本大题共4道小题，每小题7分，
共28分）

1. 求极限)ln11(lim1xxxx
解 xxxxxxxxxxln)1(1lnlim)ln11(lim11………………………….2分

=xxxxxxxxxln21limln)1(lnlim11………………………………5分
=21…………………………………………………………….7分
2. 设函数)(xyy由方程13)sin(yxxy所确定，求)0(y
解 03))(cos(yyxyxy…………………………………3分

xyxxyyycos(1)cos(3……………………………………………5分
1)0(y……………………………………………………6分
2)0(y…………………………………………………….7分
4

3.求不定积分dxxx2ln11
解 xdxdxxxlnln11ln1122…………………….3分
=xlnarcsin………………………………………….7分

4.设0,20,122)(xexxxxfx ,求51)1(dxxf
解 42151)()1(dttfdxxfxt……………………………….2分
=40021222dtttdtet……………………………………4分

=
)236(233102te
t
………………………………6分

=31622e…………………………………………………7分
四、解答题（具体要求。本大题共4道小题，每小题6
分，共24分）

1.讨论函数0,00,sin1)(2xxxxxf 在0x处的连续性与可导性.
解
)0(0sin1lim)(lim200fxxxfxx




得分 评卷人
5

)(xf
在0x处连续……………………………………………3分
x
fxffx)0()(lim)0(0






...............................4分

=xxxx20sin1lim………………………………………………5分
=1
)(xf
在0x处可导………………………………………….6分
2.求dtexxfxt02)(在0x处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式.
解 2222)2(4)()1(2)()(220xxxxtexxxfexxfxedtexf
………………………………………………3分
2)0(0)0(0)0(fff
…………………………………4分
2
)2(32)(22exxf
………………………………………6分

3. 一物体由静止开始运动,其初速度1)0(v,在时刻t的加速度为222tt,
求该物体的运动方程.

解 13223)22()(Ctttdttttv……………2分

123)(11)0(31ttttvCv
……………………3分
2
2
343
312)123
()()(CttttdttttdttvtS


……5分

tttttSCS2342312)(00)0(
……………….6分
6

4.已知函数22)1(2)(xxxf,试求:
(1).)(xf的单调区间;
(2). )(xf的凹凸区间及拐点;
(3).曲线)(xfy的水平及铅直渐近线.
解 (1)3)1(4)(xxxf
单减；时，)(),1()0,(xfx
单增。时，)()1,0(xfx
…………………………………………..2分

(2)4)1(84)(xxxf
为凸函数时，)()21,(xfx
为凹函数时，)(),1()1,21(xfx
拐点为），（221………………………………………………4分
(3)
是水平渐近线2,2)(limyxf

x


是铅直渐近线1,)(lim1xxf

x


………………6分
7

五、证明题（具体要求。本大题共2道小题，每小题5
分,共10分）

1.证明:当.2tansin20xxxx时，
证明 设xxxxf2tansin)(
则2seccos)(2xxxf…………………………………1分
0)coscos2(sin)(33xxxxf
………………………………2分
0)0()(0)(fxfxxf时，当单增，
………………3分
0)0()(0)(fxfxxf时，当单增，
………………4分
.2tansinxxx
……………………………………………5分
3. 证明:若对于ba,内所有的x有Mxf)(, 则)()()(abMafbf.

证明 由拉格朗日中值定理))(()()(abfabafbf………2分
MfMxf)(,)(
……………………………………4分

)()()(abMafbf
………………………………………5分

得分 评卷人
8

六、应用题（具体要求。本大题共1道小题，共8分）
设直线)10(xaxy与抛物线2xy所围图形的
面积为1S，它们与直线1x所围图形的面积为2S，

（1）试确定a的值使21SS达到最小；
（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积.

解 (1)aadxxaxS03216)(…………………………………1分

623
1)(3122aa
dxaxxSa


…………………………….2分

323
1)(321aa
SSay

2
121
)(2aaay得
…………………………………3分

02)21(y
达到最小。时，当21SS21a
…………………………4分
(2)dxaxxdxxax1212421042)()(V……………6分
=3012151………………………………………8分

得分 评卷人