古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系

(1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧

∧

∧

+=a x b y

??

???????

-=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y

x n y x x x y y x x b n

i i n

i i i n i i n i i i ,)())((1

2

21

121 例题分析

例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系：

x （百万元）

2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40

6

50

70

（1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。

针对练习

1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

（1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3）

3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数

24

34

39

51

63

若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）

A. 6y x =+

B. 42y x =+

C. 260y x =-+

D. 378y x =-+

知识点二：概率 一、随机事件概率：

事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。

确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0）

（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；

（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n

m

A P ≈

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一

② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况

③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定

性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率

④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具

体的统计的结果

⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

二、概率的基本性质： 基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；

（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，

则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P

② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用 ③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和（概率加法公式）

互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为：A 互斥事件和对立事件的区别：

① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集

合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集

② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件

④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集

⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+

⑦一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧

()()

A P A P -=1

三、概率的概型：

古典概型：① 所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型。

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n

1

，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n

m A P = ③古典概型的解题步骤； 1、求出总的基本事件数；

2、求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）= 总的基本事件个数包含的基本事件数A

几何概型：1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：

P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A ；

（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的面积成正比，而与其形状无关。 例题分析

例2：从含有两件正品a,b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 . （1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回.

解：(1) 每次取出不放回的所有结果有（a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件，其中恰有臆见次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为

3

2

64 （2）每次取出后放回的所有结果：（a,a),（a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c) 共有9个基本事件, 其中恰有臆见次品的事件有4个,所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为9

4

针对练习

1、一箱内有十张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )

A.

1

3

B.

35

C.

25

D.

14

2．从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400

的概率是( )．

A．2/5 B、2/3 C．2/7 D．3/4

3．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．

A．1/4 B．1/9 C．1/6 D．1/12

4．在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )．A．5/6 B．4/5 C．2/3 D．1/2

巩固练习

1、下列事件(1)物体在重力作用下会自由下落; (2)方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根; (3)某传呼台每天某一时段内收到传呼次数不超过10次; (4)下周日会下雨，其中随机事件的个数为( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．

A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球

C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球

3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．

A．60％B．30％C．10％D．50％

4．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )．

A．0.65 B．0.55 C．0.35 D．0.75

5、若连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，则点P落在区域

+

-y

-

x内的概率是

|2

2

|

|2

|≤

A.

36

11

B.

6

1

C.

4

1

D.

36

7 二、填空题：

6.对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发

生的”，⑤“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由小到大排列为(填序号) 。

7．在10000张有奖明信片中，设有一等奖5个，二等奖10个，三等奖l00个，从

中随意买l 张．

(1)P(获一等奖)= ，P(获二等奖)= ，P(获三等奖)= ． (2)P(中奖)= ，P(不中奖)= ．

8．同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率是 ．

三、解答题：

9． 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：

(1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少?

10．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：

(1)3个全是红球的概率． (2)3个颜色全相同的概率． (3)3个颜色不全相同的概率． (4)3个颜色全不相同的概率．

11．某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

(1)求年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率；

(2)求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．

12．抽签口试，共有10张不同的考签．每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回．考生王某会答其中3张，他是第5个抽签者，求王某抽到会答考签的概率．

提高题

13、已知一元二次方程x2+ax+b2=0,

（1）若a是从区间[0，3]任取的一个整数，b是从区间[0，2]

任取的一个整数，求上述方程有实数根的概率。

（2)若a 是从区间[0，3]任取的一个实数，b 是从区间[0，2]任取的一个实数，求上述方程有实数根的概率。

四、作业布置。

1、一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是多少?

古典概型和几何概型

一选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。）

1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是

Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的

2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是 A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7

3．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有一个红球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球

4．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是

A ．4030

B ．4012

C ．30

12 D ．以上都不对

5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是

A ．81

B ． 83

C ． 85

D ． 8

7

6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B P

A ．A 与

B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A Ｄ． A 不包含B

7．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于

A.21

B. 32

C.53

D.5

2

8. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为

A.157

B.15

8

C.53

D.1

9. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为

A.2251

B.3001

C.450

1

D.以上全不对

10. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.

A.2

1 B.31 C.4

1 D.不确定

11. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是

A.

101 B.91 C.111 D.81 12. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.

A.2511

B.2491

C.2501

D.252

1

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分、

13.在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.

14.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为_________.

15. 从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概

率是_________.

16. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字.（1）2个数字都是奇数的概率为_____；（2）2个数字之和为偶数的概率为____.

13)

49 14) 14 15) 1225 16) 518 49

三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共2个大题，共20分） 17. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率. .

18. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.

17)解：在AB 上截取AC ′=AC ，于是

P （AM ＜AC ）=P （AM ＜C A '）

=2

2

=='AB AC AB C A . 答：AM 的长小于AC 的长的概率为

2

2

. 解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤6，1≤y ≤6}中的元素一一对应.因为S 中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.

（1）记“点数之和出现7点”的事件为A ，从

图中可看到事件A 包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，

2），（4，3），（3，

4），（2，5），（1，6），所以P （A ）=

6

1366=. （2）记“出现两个4点”的事件为B ，则从图中可看到事件B 包含的 基本事件数只有1个：（4，4）.所以P （B ）=36

1

.

A

B

C

C '

M