经典高考概率分布类型题归纳
高考概率大题题型归纳
从5名男生和3名女生中任选3人参加竞赛，设事件A为“选到男生人数比女生人数多”，则事件A发生的概率为：A. 3/14B. 5/14C. 10/14D. 11/14（正确答案）甲、乙两人按五局三胜制进行乒乓球比赛，已知甲获胜的概率为0.6，则甲打满5局才获胜的概率为：A. 0.216B. 0.288（正确答案）C. 0.432D. 0.648一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个球，将其中白球的个数记为X，则下列概率等于C(16,1)C(4,1)/C(26,2)的是：A. P(0 < X ≤ 2)B. P(X ≤ 1)（正确答案）C. P(X = 1)D. P(X ≥ 1)设随机变量X服从正态分布N(2,σ²)，若P(X < a) = 0.32，则P(a < X < 4 - a)等于：A. 0.68B. 0.36C. 0.32D. 0.34（正确答案）从长度为2, 3, 4, 5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是：A. 1/4B. 3/4（正确答案）C. 1/2D. 2/3甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4，则两人合作译出密码的概率为：A. 1/12B. 5/12C. 7/12（正确答案）D. 1/2在圆M：(x + 1)² + (y - 3)² = 4内任取一点P，则点P到x轴的距离小于2的概率为：B. 1/4（正确答案）C. 1/6 - √3/πD. √3/π从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有多少对？A. 24B. 18C. 12（正确答案）D. 6设不等式组{ x - 2y + 1 ≥ 0, |x| - y - 1 ≤ 0 } 表示的平面区域为Ω，已知A(1/2,3/2)，B(3,5/2)在Ω内，若在区域Ω内随机取一点Q，则所取点Q满足∠AQB为钝角的概率为：A. 1/6B. 1/8C. 1/9（正确答案）D. 1/12。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。
经典高考概率分布类型题归纳
经典高考概率分布类型题归纳高考真题一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布比照四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布〔主要在于如何分类〕六、综合算法高考真题2021年22、〔本小题总分值10分〕〔相互独立事件〕某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品一等品率为90%，二等品率为10%。
生产1件甲产品，假设是一等品那么获得利润4万元，假设是二等品那么亏损1万元；生产1件乙产品，假设是一等品那么获得利润6万元，假设是二等品那么亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记X〔单位：万元〕为生产1件甲产品与1件乙产品可获得总利润，求X 分布列；（2）求生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率。
【解析】此题主要考察概率有关知识，考察运算求解能力。
总分值10分。
〔1〕由题设知，X可能取值为10，5，2，-3，且××0.9=0.18，××0.1=0.02。
由此得X分布列为：X1052-3P〔2〕设生产4件甲产品中一等品有件，那么二等品有件。
由题设知，解得，又，得，或。
所求概率为答：生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率为0.8192。
〔2021年〕22．〔本小题总分值10分〕〔古典概型〕设为随机变量，从棱长为1正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，值为两条棱之间距离；当两条棱异面时，．〔1〕求概率；〔2〕求分布列，并求其数学期望．【命题意图】此题主要考察概率分布列、数学期望等根底知识，考察运算求解能力.【解析】〔1〕假设两条棱相交，那么交点必为正方形8个顶点中一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有对相交棱，∴==.(2)假设两条棱平行，那么它们距离为1或，其中距离为共有6对，故==,∴随机变量分布列是01P〔2021•江苏〕〔古典概型〕盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球与2个绿球，这些球除颜色外完全一样．〔1〕从盒中一次随机取出2个球，求取出2个球颜色一样概率P；〔2〕从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中最大数，求X概率分布与数学期望E〔X〕．〔2021年〕23．〔本小题总分值10分〕一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部一样．现将口袋中球随机地逐个取出，并放入如下图编号为抽屉内，其中第次取出球放入编号为抽屉．123〔1〕试求编号为2抽屉内放是黑球概率；〔2〕随机变量表示最后一个取出黑球所在抽屉编号倒数，是数学期望，证明：．试题解析：〔1〕编号为2抽屉内放是黑球概率为：．〔2〕随机变量X概率分布为X……P……随机变量X期望为．所以即．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量数学期望一般步骤为：〔1〕“判断取值〞，即判断随机变量所有可能取值，以及取每个值所表示意义；〔2〕“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件概率与公式、独立事件概率积公式，以及对立事件概率公式等)，求出随机变量取每个值时概率；〔3〕“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列性质检验所求分布列或某事件概率是否正确；〔4〕“求期望值〞，一般利用离散型随机变量数学期望定义求期望值，对于有些实际问题中随机变量，如果能够断定它服从某常见典型分布(如二项分布)，那么此随机变量期望可直接利用这种典型分布期望公式()求得．因此，应熟记常见典型分布期望公式，可加快解题速度．一、超几何分布1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C14C33C47＝435，P(X ＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X ＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X ＝8)＝C44C03C47＝135.故所求分布列为X 5 6 7 8 P435183512351352.PM2.5 2.5微米颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2021，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2021年全年每天PM2.5监测数据中随机地抽取10天数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]方米) 频数311113〔1〕从这10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量到达一级概率；〔2〕从这10天数据中任取3天数据．记X 表示抽到PM2.5监测数据超标天数，求X 分布列．【解析】〔1〕记“从10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A ，那么P (A )＝C13·C27C310＝2140.〔2〕依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝Ck 3·C3－k7C310(k ＝0,1,2,3)，所以P (X ＝0)＝C03C37C310＝724，P (X ＝1)＝C13C27C310＝2140，P (X ＝2)＝C23C17C310＝740，P (X ＝3)＝C33C07C310＝1120，因此X 分布列为X123P72421407401120点评：超几何分布上述模型中，“任取 件〞应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件〞. 如果是有放回地抽取，就变成了 重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 假设产品总数很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.3.盒内有大小一样9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出3个球中至少有一个红球概率； (2)求取出3个球得分之与恰为1分概率；(3)设ξ为取出3个球中白色球个数，求ξ分布列． 【解】 (1)P ＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球〞为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球〞为事件C ，那么P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝Ck 3C3－k6C39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ分布列为ξ 0 1 2 3 P5211528314184二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理〞原那么，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院与一家社区医院作为本人就诊医疗机构.假设甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院选择是相互独立. 〔1〕求甲、乙两人都选择A 社区医院概率；〔2〕求甲、乙两人不选择同一家社区医院概率；〔3〕设4名参加保险人员中选择A 社区医院人数为X ，求X 概率分布与数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯概率都是23，出现绿灯概率都是13.记这4盏灯中出现红灯数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时概率； (2)求X 数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯概率都是23，故X ＝2时概率P ＝C24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827.(2)法一 X 所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X ＝k)＝Ck 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴X 概率分布列为X 0 1 2 3 4 P18188188132811681∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83.3.羽毛球 A 队与B 队进展对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜概率都是P.〔1〕假设比赛6局，且P =, 求A队至多获胜4局概率是多少？〔2〕假设比赛6局，求A队恰好获胜 3局概率最大值是多少？(3) 假设采用“五局三胜〞制，求A队获胜时比赛局数分布列与数学期望.解析：〔1〕设“比赛6局，A队至多获胜4局〞为事件A那么==[来源:学。
高考概率大题及答案
高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。
已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。
现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。
2.一批产品某种型号有20%的不合格品。
现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。
首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。
而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。
因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。
假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。
因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。
3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。
现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。
高考真题数学概率题及答案
高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。
在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。
题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。
题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。
解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。
题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。
解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。
通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。
希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。
高考文科数学概率与统计题型归纳与训练
高考文科数学概率与统计题型归纳与训练高考文科数学概率与统计题型归纳与训练近年来，随着高考评价重点的转变，我国高考数学概率与统计所占的比重越来越大，也极大地影响了学生的试题解答，特别是对文科类学生而言。
因此，归纳与训练概率与统计的题型对提升高考成绩非常有效。
一、高考概率与统计试题类型1、概率题：（1）概率概念题：要求判断某事件的可能性大小、求概率大小、比较概率大小，以及用中文描述概率大小等概念性问题。
（2）条件概率及贝叶斯公式：求两事件同时发生的条件概率，用贝叶斯公式求解概率问题。
（3）随机变量和概率分布：讨论正态分布、泊松分布等随机变量的概率分布。
2、统计学题：（1）数据的勘误析：把调查所得原始数据准确地归类编单，以便找出这些数据中蕴含的结论。
（2）图表分析：分析调查对象之间的关系，从折线图、饼形图、柱形图等图表中获取相应的数据。
二、概率与统计的训练方法1、理论思考训练：多看有关概率、统计的权威论文和教材，把基本概念牢牢掌握，把常见的概率公式及统计公式及推导式脱口而出。
2、示范练习：对常考的知识点补充示范练习，可以通过复现例题和大量习题来熟悉该知识点，从而深入理解，提高解题能力。
3、联系模拟考试：利用模拟考试把学过的知识点和技巧联系起来，在试题中能够驾轻就熟地掌握各试题技巧，大大提升实力。
4、强化记忆：记忆知识点、公式要选择相应的方法，通过反复记忆和熟习，把重点内容融会贯通，熟练记忆几个重点的式子和结论有助于考试的取得好成绩。
总之，学习概率与统计，除了要用心去理解之外，还需要不断的训练，把一些重点的知识点、公式强化记忆，加深理解，才能在考试中取得较好的成绩。
高中概率分布练习题及讲解
高中概率分布练习题及讲解一、基础概念题1. 某班级有40名学生，其中男生20名，女生20名。
随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，每次抽取一个球后放回。
求连续抽取三次，至少出现一次红球的概率。
3. 一个骰子掷出数字1的概率是多少？二、条件概率题1. 已知一个事件A发生的概率为0.3，另一个事件B在A发生的条件下发生的概率为0.5。
求事件A和B同时发生的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中20名是男生，30名是女生。
如果从班级中随机抽取一名学生，发现他是男生，那么他是班级中成绩最好的学生的概率是多少？（假设班级中成绩最好的学生是男生的概率为0.4）三、独立事件题1. 一个袋子里有10个球，其中2个是白球，8个是黑球。
如果从袋子中随机抽取一个球，观察颜色后放回，再抽取一次。
求两次都抽到白球的概率。
2. 一个家庭有两个孩子，假设生男生女的概率各为1/2。
求这个家庭有两个男孩的概率。
四、二项分布题1. 一个硬币连续投掷10次，求至少出现5次正面的概率。
2. 一个学生在10次考试中，每次考试通过的概率为0.7。
求这个学生至少通过8次考试的概率。
五、正态分布题1. 一个班级的学生数学成绩服从均值为80分，标准差为10分的正态分布。
求数学成绩在70到90分之间的学生所占的比例。
2. 一个工厂生产的零件长度服从均值为50厘米，标准差为1厘米的正态分布。
求长度在49到51厘米之间的零件所占的比例。
六、泊松分布题1. 一个电话服务中心平均每小时接到4个电话。
求在任意一个小时内接到6个或更多电话的概率。
2. 一个网站平均每分钟有2个访问者。
求在任意一分钟内有5个或更多访问者的概率。
七、综合题1. 一个班级有50名学生，其中30名是男生，20名是女生。
如果随机抽取5名学生，求至少有3名男生的概率。
2. 一个工厂每天生产100个零件，其中每个零件都是合格品的概率为0.95。
求工厂一天中生产的零件中有超过5个不合格品的概率。
(word完整版)高考数学概率大题专项题型
高考概率大题专项题型一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：海洋学院医学院经济学院学院机械工程学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．概率大题专项题型参考答案一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X012346P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P∴EX=0×+100×+200×=．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5所以ξ的分布列为ξ345P数学期望．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设该小组中有n 个女生，根据题意，得解得n=6，n=4（舍去），∴该小组中有6个女生；（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=3）=P（ξ=2）=1﹣∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ=1×12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学海洋学院医学院经济学院院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0123P所以13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X012P．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P（ξ=1）=，P（ξ=0）=，P（ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：ξ10﹣1pEξ=﹣=．…（6分）（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的可能取值为2，﹣2，P（η=2）=α，P（η=﹣2）=β，η的分布列为η2﹣2pαβ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：X12345P所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（4分）（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：X800840880920P…..（13分）17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1﹣（++）×10=，解得a=；∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，p（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为X0123P数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：。
（完整版）经典高考概率分布类型题归纳.doc
（完整版）经典⾼考概率分布类型题归纳.doc经典⾼考概率类型题总结⼀、超⼏何分布类型⼆、⼆项分布类型三、超⼏何分布与⼆项分布的对⽐四、古典概型算法五、独⽴事件概率分布之⾮⼆项分布（主要在于如何分类）六、综合算法⼀、超⼏何分布1.甲、⼄两⼈参加普法知识竞赛，共设有10 个不同的题⽬，其中选择题 6 个，判断题 4 个 . （1）若甲、⼄⼆⼈依次各抽⼀题，计算：①甲抽到判断题，⼄抽到选择题的概率是多少？②甲、⼄⼆⼈中⾄少有⼀⼈抽到选择题的概率是多少？（2）若甲从中随机抽取 5 个题⽬，其中判断题的个数为X，求 X 的概率分布和数学期望.⼆、⼆项分布1.某市医疗保险实⾏定点医疗制度，按照“就近就医、⽅便管理”的原则，参加保险⼈员可⾃主选择四家医疗保险定点医院和⼀家社区医院作为本⼈就诊的医疗机构.若甲、⼄、丙、丁 4 名参加保险⼈员所在的地区附近有A， B，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独⽴的.（1）求甲、⼄两⼈都选择 A 社区医院的概率；（2）求甲、⼄两⼈不选择同⼀家社区医院的概率；（3）设 4 名参加保险⼈员中选择 A 社区医院的⼈数为X，求 X 的概率分布和数学期望．2. 某⼴场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红2 1灯的概率都是 3，出现绿灯的概率都是 3.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 X ，当这排装饰灯闪烁⼀次时：(1)求 X ＝ 2 时的概率；(2)求 X 的数学期望．解 (1)依题意知： X ＝ 2 表⽰ 4 盏装饰灯闪烁⼀次时，恰好有2 盏灯出现红2灯，⽽每盏灯出现红灯的概率都是3，故 X ＝2 时的概率 P ＝ C 22 2 1 2＝ 8k 2 k 1 4－kP(X ＝ k)＝C 4 3 3(k ＝0,1,2,3,4)．∴ X 的概率分布列为X 0 1 2 3 4 P1 8 8 32 16 81 81 81 81 811883216 8 ∴数学期望 E(X) ＝0×8＋1×81＋ 2× 81＋3×81＋ 4× 81＝3.三、超⼏何分布与⼆项分布的对⽐有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取 3 件，若 X 表⽰取到次品的次数，则 P （ X ）＝.辨析：1.有⼀批产品，其中有12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取 3 件，若 X 表⽰取到次品的件数，则P （ X ）＝2. 有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝3.有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝四、古典概型算法1.⼀个均匀的正四⾯体的四个⾯分别涂有 1，2， 3， 4 四个数字，现随机投掷两次，正四⾯体底⾯上的数字分别为 x 1,x 2，记 X=(x 1-2)2+(x 2-2)2.（ 1）分别求出 X 取得最⼤值和最⼩值的概率；（ 2）求 X 的概率分布及⽅差 .2.（ 2012·江苏⾼考）设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正⽅体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ =0；当两条棱平⾏时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异⾯时ξ=1．（ 1）求概率 P （ξ =0）；（ 2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．3.某市公租房的房源位于 A ， B ， C 三个⽚区，设每位申请⼈只申请其中⼀个⽚区的房源，且申请其中任⼀个⽚区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请⼈中：（1）恰有 2 ⼈申请 A ⽚区房源的概率；（2）申请的房源所在⽚区的个数X 的概率分布与期望 .4.设 S 是不等式 x 2－ x － 6≤ 0 的解集，整数 m ， n ∈ S.(1)记“使得 m ＋n ＝ 0 成⽴的有序数组 (m ，n) ”为事件 A ，试列举 A 包含的基本事件；(2)设ξ＝ m 2，求ξ的概率分布表及其数学期望 E(ξ)．解 (1)由 x 2－ x － 6≤ 0，得－ 2≤ x ≤3，即 S ＝{x| － 2≤ x ≤ 3} ．由于 m ， n ∈ Z ， m ，n ∈ S 且 m ＋n ＝ 0，所以 A 包含的基本事件为 (－2,2) ，(2，－ 2)， (－ 1,1)， (1，－ 1) ，(0,0) ．(2)由于 m 的所有不同取值为－ 2，－ 1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2 的所有不同取值为 0,1,4,9，且有 P(ξ＝0) ＝16，21P( ξ＝ 1) ＝＝，2 1P( ξ＝ 4)＝ 6＝3，1P( ξ＝ 9)＝ 6.1 1 1 1 19 所以 E(ξ)＝0× 6＋ 1×3＋ 4× 3＋9×6＝ 6 .5.在⾼中“⾃选模块”考试中，某考场的每位同学都选了⼀道数学题，第⼀⼩组选《数学史与不等式选讲》的有1 ⼈，选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的有 5 ⼈，第⼆⼩组选《数学史与不等式选讲》的有2 ⼈，选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的有 4 ⼈，现从第⼀、第⼆两⼩组各任选 2 ⼈分析得分情况 .(1)求选出的 4 ⼈均为选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的概率；(2)设 X 为选出的 4 个⼈中选《数学史与不等式选讲》的⼈数，求 X 的分布列和数学期望．解 (1)设“从第⼀⼩组选出的 2 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》”为事件 A ，“从第⼆⼩组选出的 2 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》 ” 为事件 B.由于事件 A 、B 相互独⽴，222C 5C 4 2所以 P(A) ＝C 62＝ 3， P(B)＝C 62＝5，所以选出的 4 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的概率为P(A ·B)＝2 24P(A) · P(B)＝ 3×5＝15.(2)X 可能的取值为 0,1,2,3，则42111222C 5C 2·C 4C 5C 4， P(X ＝1)＝2· 2 ＋ 2·2＝，P(X ＝ 0)＝15C 6 C 6C 6 C 645111P(X ＝ 3)＝ C 52· 2＝ .C 6 C 6 452所以 X 的数学期望 E(X) ＝0× 4 ＋1×22＋2×2＋3× 1 ＝1 (⼈ )．15 45 9 45 6.已知甲盒内有⼤⼩相同的 1 个红球和 3 个⿊球，⼄盒内有⼤⼩相同的2 个红球和 4 个⿊球．现在从甲、⼄两个盒内各任取 2 个球．（ I ）求取出的 4 个球均为⿊⾊球的概率；（II ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（III ）设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（ I）设“从甲盒内取出的 2 个球均⿊球”为事件 A ，“从⼄盒内取出的 2 个球为⿊球”为事件B．∵事件 A ， B 相互独⽴，且．∴取出的 4 个球均为⿊球的概率为P（AB ） =P （ A ）P（ B）=．（ II ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为⿊球；从⼄盒内取出的 2 个球中， 1 个是红红， 1 个是⿊球”为事件 C，“从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是⿊球；从⼄盒内取出的 2 个球均为⿊球”为事件D．∵事件 C， D 互斥，且．∴取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P（C+D ） =P （C） +P （ D ） =．（III ）解：ξ可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．由（ I），（ II ）得，⼜，从⽽ P （ξ=2 ） =1P （ξ=0 ） P （ξ=1 ） P （ξ=3 ）= ．ξ的分布列ξ的数学期望．五、独⽴事件概率分布之⾮⼆分布（主要在于如何分）1.开次数的数学期望和⽅差有 n 把看上去⼦相同的匙，其中只有⼀把能把⼤上的打开．⽤它去开上的．抽取匙是相互独⽴且等可能的．每把匙开后不能放回．求开次数的数学期望和⽅差．分析：求 P(k ) ，由知前 k 1次没打开，恰第 k 次打开．不，⼀般我从的地⽅⼊⼿，如1,2,3 ，律后，推⼴到⼀般．解：的可能取1， 2，3，?， n ．P(1)1 ,nP(2) 11n 1 1) (11 ) 1n 1 n 2 11 ;nn 1 n 2n n 1 n 2 nP(k) (1 1) (11 ) (11) (11 ) 1 n 1 n2 n3 n k 111n n 1n 2n k 2 n k 1n n 1 n 2 n k 2 n k 1 n ；所以的分布列：12 ? k ? nP1 1 1 1 nnnnE 112131n 1 n 1 ；nnnn2D(1n 1 2 1n 1 21 n 1 21(k( 3)n )n(nn2nn2221 (12 2232n 2) ( n 1)(1 2 3n) (n 1) 2 nn21 1n(n 1)(2n 1) n( n 1) 2 n( n 1)2 n 2 1n 62 4 122. 射中耗⽤⼦数的分布列、期望及⽅差某射⼿⾏射，每射 5 ⼦算⼀，⼀旦命中就停⽌射，并⼊下⼀的，否⼀直打完 5 ⼦后才能⼊下⼀，若射⼿在某中射命中⼀次，并且已知他射⼀次的命中率0.8，求在⼀中耗⽤⼦数的分布列，并求出的期望 E与⽅差 D（保留两位⼩数）．分析：根据随机量不同的取确定的概率，在利⽤期望和⽅差的定求解．解：耗⽤的⼦数随机量，可以取1， 2， 3， 4， 5．＝ 1，表⽰⼀即中，故概率P ( 1)0.8;＝ 2，表⽰第⼀未中，第⼆命中，故P ( 2) (1 0.8) 0.8 0.2 0.8 0.16;＝ 3，表⽰第⼀、⼆未中，第三命中，故P (3) (1 0.8)2 0.8 0.22 0.8 0.032;＝ 4，表⽰第⼀、⼆、三未中，第四命中，故因此，的分布列为1 2 3 4 5P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016E 1 0.8 2 0.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.00160.8 0.32 0.096 0.0256 0.008 1.25,D (1 1.25)2 0.8 (2 1.25)2 0.16 (3 1.25 )2 0.032 (4 1.25) 2 0.0064 (5 1.25)2 0.00160.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 0.31.3. 在某校组织的⼀次篮球定点投篮训练中，规定每⼈最多投 3 次；在 A 处每投进⼀球得 3 分，在 B 处每投进⼀球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停⽌投篮，否则投第三次 . 某同学在 A 处的命中率 q 1为 0. 25，在 B 处的命中率为q 2，该同学选择先在 A 处投⼀球，以后都在 B 处投，⽤表⽰该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求 q 2的值；（2）求随机变量的数学期望E；（ 3）试⽐较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述⽅式投篮得分超过 3 分的概率的⼤⼩．解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件A，在 B 处投中为事件B，则事件 A，B 相互独⽴，且 P(A)=0. 25，P( A)0.75 ，P(B)= q2，P( B)1q2．根据分布列知：=0时P( ABB )P( A)P( B)P(B)0.75(1 q2 ) 2=0. 03，所以1 q20.2 ，q2=0. 8．（ 2）当=2 时， P1= P( AB B ABB) P(ABB) P( ABB)P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) P( B) =0. 75q2(1 q2)×2=1.5q2(1q2)=0. 24．当=3 时， P2= P( ABB )P( A) P( B)P( B)0.25(1 q2 )2=0. 01，当 =4 时， P 3 = P( ABB) P( A) P( B)P( B) 0.75q 2 2 =0. 48，当 =5 时， P 4 = P( ABB AB)P( ABB ) P( AB)P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) 0.25q 2 (1 q 2 ) 0.25q 2 =0. 24．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望 E 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63 ．（ 3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P(BBBBBB BB)P(BBB ) P( BBB ) P(BB )2(1 q 2 )q 22 q 22 0.896 ；该同学选择（ 1）中⽅式投篮得分超过 3 分的概率为 0. 48+0. 24=0. 72．由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过 3 分的概率⼤．4. 某科技公司遇到⼀个技术难题，紧急成⽴甲、⼄两个攻关⼩组，按要求各⾃单独进⾏为期⼀个⽉的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的⼩组给予奖励．已知这2 些技术难题在攻关期满时被甲⼩组攻克的概率为被⼄⼩组攻3克的概率为3.4（1）设 X 为攻关期满时获奖的攻关⼩组数，求 X 的概率分布及V(X)；（2）设 Y 为攻关期满时获奖的攻关⼩组数的 2 倍与没有获奖的攻关⼩组数之差，求 V(Y).5. 某城市有甲、⼄、丙3 个旅游景点，⼀位客⼈游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6 ，且客⼈是否游览哪个景点互不影响，设表⽰客⼈离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数 f ( x)x 2 3 x 1在区间 [2,) 上单调递增”为事件 A ，求事件 A的概率 .分析：（ 2）这是⼆次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，解：（ 1）分别记“客⼈游览甲景点”，“客⼈游览⼄景点” ，“客⼈游览丙景点”为事件 A1, A2 , A3．由已知 A1 , A2 , A3 相互独⽴， P( A1 ) 0.4, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.6 . 客⼈游览的景点数的可能取值为0，1， 2， 3. 相应的，客⼈没有游览的景点数的可能取值为 3， 2， 1， 0，所以的可能取值为 1， 3．P( 3) P( A1 gA2 gA3 ) P( A1 gA2 gA3 )[P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3) 2 0.4 0.5 0.6 0.24P( 1) 1 0.24 0.761 3所以的分布列为P 0.76 0.24E( ) 1 0.76 3 0.24 1.48（Ⅱ）解法⼀：因为 f ( x) (x 3 )2 19 2 , 所以函数2 4f ( x) x2 3 x 1在区间[ 3, ) 上单调递增，要使 f (x)在 [2, ) 上单调递增，2当且仅当32,即 4 .从⽽ P( A) P( 4 )P( 1) 0.76.2 3 3解法⼆：的可能取值为1， 3.当 1 时，函数 f ( x) x2 3x 1在区间 [2, ) 上单调递增，当 3 时，函数 f (x) x2 9x 1在区间 [2, ) 上不单调递增.所以 P( A) P( 1) 0.76.6.甲、⼄两⼈各进⾏ 3 次射击，甲每次击中⽬标的概率为1，⼄每次击中⽬标22的概率为3.(1)求⼄⾄多击中⽬标 2 次的概率；(2)记甲击中⽬标的次数为 Z ，求 Z 的分布列、数学期望和标准差．解 (1)甲、⼄两⼈射击命中的次数服从⼆项分布，故⼄⾄多击中⽬标2 次的3 2 319概率为 1－C 3 3 ＝27.0 1 3 1 (2)P(Z ＝0)＝C 3 2 ＝8；P(Z ＝1) 1 1 3 3＝C 3 2 ＝ 8； P(Z ＝2) ＝C 32 1 3＝32 8；P(Z ＝3) ＝C 33 1 12 3＝ . 8Z 的分布列如下表：Z 0 1 2 3 P 1 3 3 188881331 3E(Z)＝0× 8＋1×8＋2×8＋3×8＝ 2，D(Z) ＝ 0－ 3 1 3 3 322× ＝，∴ 2 .8 8 88 47.某陶瓷⼚准备烧制甲、⼄、丙三件不同的⼯艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第⼀次烧制合格后⽅可进⼊第⼆次烧制，两次烧制过程相互独⽴．根据该⼚现有的技术⽔平，经过第⼀次烧制后，甲、⼄、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6， 0.4.经过第⼆次烧制后，甲、⼄、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第⼀次烧制后恰有⼀件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格⼯艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与⽅差．解分别记甲、⼄、丙经第⼀次烧制后合格为事件 A 1、A 2、 A 3 .(1)设 E 表⽰第⼀次烧制后恰好有⼀件合格，则P(E)＝ P(A 1 A 2 A 3)＋ P( A 1A 2 A 3) ＋ P( A 1 A 2A 3)＝ 0.5× 0.4× 0.6＋ 0.5× 0.6× 0.6＋0.5× 0.4×0.4＝ 0.38.(2)因为每件⼯艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ＝ 0.3，所以ξ～B(3,0.3) ．故 E(ξ)＝np ＝3× 0.3＝0.9，V( ξ)＝np(1－p)＝ 3× 0.3×0.7＝ 0.63.8.某地最近出台⼀项机动车驾照考试规定；每位考试者⼀年之内最多有 4 次参加考试的机会，如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6， 0.7， 0.8，0.9，求在⼀年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在⼀年内领到驾照的概率 .解：的取值分别为 1， 2， 3，4.1 ，表明李明第⼀次参加驾照考试就通过了，故P （1） =0.6.2 ，表明李明在第⼀次考试未通过，第⼆次通过了，故P(2) (1 0.6) 0.7 0.28.ξ =3，表明李明在第⼀、⼆次考试未通过，第三次通过了，故P(3) (1 0.6) (1 0.7) 0.8 0.096.ξ =4，表明李明第⼀、⼆、三次考试都未通过，故P(4) (1 0.6) (1 0.7) (1 0.8) 0.024.∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为ξ1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.0960.024∴ξ的期望 E ξ=1× 0.6+2 ×0.28+3 ×0.096+4×0.024=1.544. 李明在⼀年内领到驾照的概率为1－ (1－ 0.6)(1－ 0.7)(1 -0.8)(1－ 0.9)=0.9976.9.某先⽣居住在城镇的 A 处 ,准备开车到单位 B 处上班，若该地各路段发⽣堵车事件都是独⽴的，且在同⼀路段发⽣堵车事件最多只有⼀次，发⽣堵车事件的概率，如图． ( 例如：ＡＣＤ算作两个路段：路段Ａ C 发⽣堵车事件的概率为1，路段 CD 发⽣堵车事件的概率为（１）请你为其选择⼀条由Ａ到Ｂ的路线，使得途中发⽣堵车事件的概率最⼩；（２）若记ξ路线ＡＣＦＢ中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ．解： (1)记路段 MN 发⽣堵车事件为MN.因为各路段发⽣堵车事件都是独⽴的，且在同⼀路段发⽣堵车事件最多只有⼀次，所以路线ＡＣ D Ｂ中遇到堵车的概率 P 1 为1－Ｐ ( AC ? CD ? DB )=1－Ｐ ( AC ) ? Ｐ ( CD ) ?Ｐ ( DB )＝１－［１－Ｐ (AC)］［１－Ｐ (CD)］［１－ P(DB)］＝１－914 5 ＝ 3 ； 10 15 6 10同理：路线ＡＣＦＢ中遇到堵车的概率 P ２为1－Ｐ ( AC ? CF ? FB )=239（⼩于3）；800 10路线ＡＥＦＢ中遇到堵车的概率 P 为３1－Ｐ ( AE ? EF ? FB )=91 （⼤于 3 ）30010 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发⽣堵车事件的概率最⼩，只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线ＡＣＦＢ ,可使得途中发⽣堵车事件的概率最⼩.(2) 路线ＡＣＦＢ中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3．Ｐ (ξ＝０ )＝Ｐ ( AC ? CF ? FB )＝561， 800Ｐ (ξ＝ 1)＝Ｐ (AC ? CF ? FB )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ ( AC ? CF ? ＦＢ )＝117 11 ＋ 9 3 11 ＋ 9 17 1 ＝ 637 ，10 20 1210 20 12 10 20 12 2400Ｐ (ξ＝２ )＝Ｐ (AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ (ＡＣ ? CF ? ＦＢ )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? ＦＢ )＝13 11 ＋ 1 17 1 ＋ 9 31 ＝ 77 ， 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400Ｐ (ξ＝ 3)＝Ｐ ( ACCF FB )＝637 ＋２× 77＋３× 3 ＝ 1。
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
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经典高考概率分布类型题归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN经典高考概率分布类型题归纳高考真题一、超几何分布类型 二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法高考真题 2010年22、（本小题满分10分）（相互独立事件）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。
生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。
满分10分。
（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。
由此得X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。
由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。
所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力.【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1的共有6对，故(P ξ==2126C =111, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111--=611. ∴随机变量ξ的分布列是∴6161111111E ξ=⨯=.（2014•江苏）（古典概型）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．解⑴22243229518C C C P C ++==⑵()444914126C P X C ===,()313145364913363C C C C P X C +===()()()11214314P X P X P X ==-=-==所以随机变量X 的概率分布如下表：X 234P111413631126因此随机变量X 的数学期望：E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=209（2017年）23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+．（2）随机变量X 的概率分布为 X 1n11n + 12n + … 1k (1)m n+ P11C C n n nm n--+ 1C C n nnm n-+ 11C C n n nm n-++ …11C C n k nm n --+ …11C C n n m n m n-+-+ 随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+-，即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率； （3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．一、超几何分布1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求的分布列为2.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据．记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的分布列．【解析】（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27C 310＝2140.（2）依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)，所以P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120，因此X 的分布列为P724 2140 740 1120点评：超几何分布的上述模型中，“任取 n 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n 件”. 如果是有放回地抽取，就变成了 n 重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 若产品总数N 很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P(ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P(ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P(ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P5211528314184二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.(2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴X 的概率分布列为X 0 1 2 3 4 P18188188132811681∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83.3.羽毛球A 队与B 队进行对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是P (01)P ≤≤. （1）若比赛6局，且P=23, 求A 队至多获胜4局的概率是多少？（2）若比赛6局，求A 队恰好获胜 3局的概率的最大值是多少？(3) 若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望. 解析：（1）设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A则[]66()1(5)(6)P A P P =-+=5566662221()(1)()333C C ---=2564731729729-=[来源:学。