高考数学专题：独立事件及随机变量的概率分布
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
2023新高考数学专题 概率(知识点讲解)
2023新高考数学专题概率(知识点讲解)
以下为2023年新高考数学中概率知识点讲解，包括概率、数学期望和独立事件的定义与计算，以及确定性现象与随机现象的概念等。
一、概率的定义和性质
1. 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。
2. 样本点：构成样本空间的元素，即e中的每个结果，称为样本点。
3. 频数：事件a发生的次数。
4. 频率：频数/总数。
5. 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这
个值就是概率。
概率的特点有：非负性、规范性和可列可加性。
6. 概率性质：p（空集）=0，有限可加性，加法公式：p（a+b）=p（a）
+p（b）-p（ab）。
7. 条件概率：a事件发生条件下b发生的概率p（ba）=p（ab）/p（a）。
8. 独立事件：设 a、b是两事件，如果满足等式p（ab）=p（a）p（b）则称事件a、b相互独立，简称a、b独立。
二、数学期望的含义和计算
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学期望又简称期望。
若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ为ξ的数学期望或平均数、均值。
数学期望的计算方式如下：
1. 当0=a时，bE=,即常数的数学期望就是这个常数本身。
2. 当1=a时, bEbE+=+ξξ), 即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与常数的和。
以上内容仅供参考，建议查阅新高考数学专题复习资料获取更全面和准确的信息，以适应新高考的题型变化。
第十二章 第4讲 独立事件及随机变量的概率分布.pptx
P
5 2 10 8 9 9 81 81
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考点聚焦突破
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规律方法 求离散型随机变量X的概率分布的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概 率分布. 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时， 要注意应用计数原理、古典概型等知识.
③若 A 与 B 相互独立，则 A 与B－，A－与 B，A－与B－也都相互独立.
④若P(AB)＝P(A)P(B)，则___A_与__B_相__互__独__立____.
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(3)二项分布 ①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试 验中发生的概率都是一样的.
P(A)＝AA12A52 13＝130.
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(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝AA2225＝110， P(X＝300)＝A33＋AC1253C31A22＝130， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－130＝160.
X
01234
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的概率分布为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
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规律方法 (1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验， 以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变 量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
第60讲 独立事件及随机变量的概率分布(解析版)
第60讲：独立事件及随机变量的概率分布一、课程标准1、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列．2、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3、理解随机变量的概率分布，掌握0－1分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题二、基础知识回顾1. 事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，1－p n－k(k＝0，1，2，…，n)．事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k()2. 随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．3. 离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表的概率分布列，的概率分布，P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的概率分布．(2)离散型随机变量概率分布的性质①p i≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1．4. 常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为其中p ＝P(X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件“X ＝r ”发生的概率为P(X ＝r)＝C r M C n －r N －M C n N，r ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布．(3)二项分布X n5. (1)明确随机变量X 取哪些值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)列成表格．三、自主热身、归纳总结1、某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值是( )A. 3 B . 4 C . 5 D . 6 【答案】B【解析】由题意可得，1－C 0n ·⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，求得⎝⎛⎭⎫12n <0.1，∴n ≥4.故选B .2、某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )A .725 B . 25 C . 1225 D . 1425【答案】D【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以P 1＝56×45×35＝25，第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以P 1＝56×45×(1－35)×35＝425.所以该选手能进入第四关的概率为56×45×35＋56×45×⎝⎛⎭⎫1－35×35＝1425.故选D .3、某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A.15 B.25 C.35 D.710【答案】D【解析】从5名干部中随机选取2人有C 25＝10(种)选法，其中只选中A 没选中B 有C 13＝3(种)选法，只选中B 没选中A 有C 13＝3(种)选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝710，故选D. 4、(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )A.35 B.45 C.720 D.1320【答案】D【解析】依题意，从口袋中任取3个球，共有C 36＝20(种)不同的取法，①当取得三个球颜色相同，则有C 33＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有C 13C 12C 11＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－1＋620＝1320.5、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率是___．第5题图【答案】18【解析】设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯泡甲亮应为事件ACB －.由题设知A ，C ，B －之间彼此独立，且P(A)＝P(B －)＝P(C)＝12，所以P(AB －C)＝P(A)P(B －)P(C)＝18.四、例题选讲考点一 互斥事件、对立事件概率公式的应用例1、某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【解析】(1)易知P (A )＝11 000，P (B )＝1100，P (C )＝120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . 因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.变式1、某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.则P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. 变式2、A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．【解析】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C 班抽8个，故抽样比k ＝20100＝15，故C 班有学生8÷15＝40人． (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能的．当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P ＝2＋3＋3＋3＋440＝38.方法总结：考点二 相互独立事件例2 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．【解析】(1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球有C 2n ＝n (n －1)2(种)结果，从袋中任取2个球共有C 27＝21(种)结果．由题意知17＝n (n －1)221＝n (n －1)42，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)， 即袋中原有3个白球．(2)记“取球2次即终止”为事件A .则P (A )＝C 14C 13A 27＝27.(3)记“甲取到白球”为事件B .“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5.因为甲先取，所以甲只能在第1次，第3次和第5次取球．所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝C 13C 17＋A 24C 13A 37＋A 44C 13A 57＝37＋635＋135＝2235.变式1、一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η＝1的概率． 【解析】(1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(ABC －)＋P(AB －C)＋P(A －BC)＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34×23×12＝14.所以该网民至少购买2种商品的概率为P ＝1124＋14＝1724.答：该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0，1，2，3.由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，又P(η＝0)＝P(A －B －C －)＝14×13×12＝124，故P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.答：η＝1时的概率为14.变式2、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的概率分布．【解析】(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则A ＝A 1·A 2，所以P(A)＝P(A 1·A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.设A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X ＝0)＝P(B 1·B 2·A 3)＝P(B 1)P(B 2) P(A 3)＝18，P(X ＝2)＝P(B －1·B 3)＝P(B －1)P(B 3)＝14，P(X ＝1)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝2)＝1－18－14＝58，所以X 的概率分布如下表：方法总结： (1)确定每个事件是相互独立的；(2)确定每个事件会同时发生；(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积． 考点三 离散型随机变量的概率分布例3 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3个球所得分数之和，求X 的概率分布．【解析】(1)X 的可能取值为3，4，5，6.P(X ＝3)＝C 35C 39＝542，P(X ＝4)＝C 25C 14C 39＝1021，P(X ＝5)＝C 15C 24C 39＝514，P(X ＝6)＝C 34C 39＝121.故X 的概率分布如下：变式、从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率； (2)求X 的概率分布及数学期望．【解析】(1)记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48.X 是奇数的个数是28，所以P(A)＝2848＝712，即X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.当X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X ＝9)＝648＝18.所以X 的概率分布如下表：所以E(X)＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254.方法总结：离散型随机变量概率分布的求法：(1)写出X 的所有可能取值(注意准确理解X 的含义，以免失误)． (2)利用概率知识求出X 取各个值的概率．(3)列表并检验，写出概率分布． 考点四 超几何分布与二项分布例4 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X 的概率分布，并求至少有一个红球的概率．【解析】由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P(X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528.同理P(X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P(X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P(X ＝3)＝C 33C 38＝156. 所以X 的概率分布如下表：所以至少有一个红球的概率为P(X ≥1)＝1－528＝2328.例5 从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．【解析】由题意知ξ～⎝⎛⎭⎫3，25，则P ()ξ＝0＝ C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125，P ()ξ＝1＝C 13⎝⎛⎭⎫251⎝⎛⎭⎫352＝54125，P ()ξ＝2＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫351＝36125，P ()ξ＝3＝ C 33⎝⎛⎭⎫253＝8125.所以ξ的概率分布如下表：变式1、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的概率分布．【解析】(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)＝C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝18. (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ，∵乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝532，乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝532，所以P(B)＝P 1＋P 2＝516. (3)设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7，P(X ＝4)＝2C 44⎝⎛⎭⎫124＝18， P(X ＝5)＝2C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝14， P(X ＝6)＝2C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝516， P(X ＝7)＝2C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝516. 所以比赛局数X 的概率分布如下表：方法总结：求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M ，N ，n ，k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．利用二项分布解决实际问题的关键在于，在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．五、优化提升与真题演练1、（2020·合肥一六八中学测试题）如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是（ ）A ．0．729B ．0．8829C ．0．864D ．0．9891【答案】B【解析】电流能通过12,A A 的概率为0.90.90.81⨯=，电流能通过3A 的概率为0.9，故电流不能通过12,A A 也不能通过3A 的概率为()()10.8110.90.019--=，所以电流能通过系统123,,A A A 的概率为10.0190.981-=，而电流能通过4A 的概率为0.9，所以电流能在,M N 之间通过的概率为()10.0190.90.8829-⨯=，故选B ．2、（2020·山东青岛二中开学考试）掷一枚硬币两次，记事件A =“第一次出现正面”，B =“第二次出现反面”，则有（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．()()()⋃=+P A B P A P B C ．A 与B 互斥 D ．1()2P AB =【答案】A【解析】对于选项A ，由题意得事件A 的发生与否对事件B 的发生没有影响，所以A 与B 相互独立，所以A 正确．对于选项B ，C ，由于事件A 与B 可以同时发生，所以事件A 与B 不互斥，故选项B,C 不正确． 对于选项D ，由于A 与B 相互独立，因此1()()()4P AB P A P B ==，所以D 不正确． 故选A ．3、（2020·江苏省南京外国语高三期末）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD【解析】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题；B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题.故选：ACD.4、（2020·河北易县中学高三月考）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________. 【答案】25. 【解析】记“第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ， 则1()2P A =，1()5P AB =， 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为()2()()5P AB P B A P A ==.故答案为255、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A ．游客至多游览一个景点的概率14B ．()328P X == C ．()1424P X == D ．()136E X =【答案】ABD【解析】记该游客游览i 个景点为事件i A ，0,1i =， 则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3211321211511113232224P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⋅⋅-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以游客至多游览一个景点的概率为()()0115124244P A P A +=+=，故A 正确； 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4;()01(0)24P X P A ===， ()15(1)24P X P A ===，213211(2)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭2232113113228C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；23211(3)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭33311713224C ⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3211(4)3212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误；数学期望为：1597()012324242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯2134246+⨯=，故D 正确， 故选：ABD.6、（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资） 【解析】（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ,则13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭, 因此()1213121241=33279P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①当1n =时,设该企业每月的实际获利为1Y 万元, 若X 0=,则1123135Y =⨯-=； 若1X =,则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =,则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=； 若3X =,则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=；又()030312803327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()33312133327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此时,实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ②当2n =时,设该企业每月的实际获利为2Y 万元, 若X 0=,则2123234Y =⨯-=； 若1X =,则2122+81230Y =⨯⨯-=； 若2X =,则2121+82226Y =⨯⨯-=； 若3X =,则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=；28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在1n =与2n =之中选其一,应选用2n =。
高考数学：专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列课件
本 讲 栏 目 开 关
解析 设 AC＝x，CB＝12－x，
所以 x(12－x)<32，所以 x>8 或 x<4 4＋4 2 又因为 0<x<12，所以 P＝ 12 ＝3.
考点与考题
0≤x≤2， 3.(2012· 北京)设不等式组 0≤y≤2
第二讲
表示的平面区域为 D， 在区域 D
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本 讲 栏 目 开 关
解析 分别从两个集合中各取一个数共有 15 种取法，其中满足 b>a 3 1 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P＝15＝5.
题型与方法
第二讲
(2)学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画 4 条直 线 x＝0，x＝5，y＝－2，y＝1 围成矩形，再画 2 条曲线 y＝log2x，y ＝log2(x－3)， 2 条直线 y＝－2， 称 y＝1 和 2 条曲线 y＝log2x， y＝log2(x
本 讲 栏 目 开 关
回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
解 (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i＝
1,2,3,4)，
4 3 2 则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ， 5 5 5 1 P(A4)＝5，
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
ξ P
0 3 8
1 7 16
2 1 6
3 1 48
3 7 1 1 5 所以 E(ξ)＝0×8＋1×16＋2×6＋3×48＝6.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求出概率.
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变
【高三数学】二轮复习：专题五 第2讲 概率、随机变量及其分布
1
感染的,于是假定他受 A 和 B 感染的概率都是2.同样也假定 D 受 A,B 和 C
1
感染的概率都是3.在这种假定下,B,C,D 中恰有两人直接受 A 感染的概率是
(
)
1
A.6
1
B.3
1
C.2
2
D.3
(2)(2021·河北张家口一模)某大学进行“羽毛球”“美术”“音乐”三个社团选拔.
三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是
B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛
结束后甲得4分的概率为(
1
6
A.
1
3
B.
)
1
2
C.
2
3
D.
(2)(2021·山东泰安三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数
[例2-4](2021·江苏苏州中学园区校月考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七
场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,
客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概
率是
.
1
次的概率为2,现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过 500 次,则其能够
循环充电超过 1 000 次的概率是(
3
A.4
2
B.3
)
1
C.2
1
D.3
高考数学专题《概率与统计》解读含答案解析
重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。
概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。
取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。
解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案理(最新整理)
第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。
6,则a－b＝( ）X0123P0。
1a b0。
1A．0.2C．0。
8 D．－0。
8B［由0。
1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。
8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。
1＝1。
6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。
3,b＝0.5，则a－b＝－0。
2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。
5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。
4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。
6 B．0.7C．0.8 D．0。
9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。
4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。
]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。
错误!B。
错误!C。
14D。
错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。
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1,2，…，n)．
2. 离散型随机变量
随机变量 ，常用字母 X，Y，ξ，η，… 随着试验结果变化而变化的变量称为_____________ 离散型随机变量 表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为___________________.
P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 达简单，也用等式______________________________ 表示 X 的概率分布．
(2) 离散型随机变量概率分布的性质 pi≥0(i＝1,2，…，n) ①_______________________ ；
p1＋p2＋…＋pn＝1 ②______________________ .
3. 离散型随机变量的概率分布及其性质 (1) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
概率分布列 ，简称为 X 的__________ 概率分布 ，有时为了表 称为离散型随机变量 X 的_____________
( 第 4 题)
5. (选修 2－3P54 例 1 改编)某班级有男生 12 人、 女生 10 人， 现选举 4 名学生分 别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员，则至少有 2 名男生当选的概率为 103 ________ 133 ．
【解析】把选出的 4 人中男生的人数记为 X，显然随机变量 X 满足超几何分布， 所求事件的概率可以表示为 P(X≥2)，则 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝
2 3 1 4 0 C2 C C C C C 103 12 10 12 10 12 10 ＋ C4 ＋ C4 ＝133. 4 C22 22 22
知识梳理 1. 事件的相互独立性
P(A)P(B) (1) 定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_____________ ，那么称事件 A 与
4. 常见离散型随机变量的概率分布 (1) 两点分布： 若随机变量 X 服从两点分布，即其概率分布为 1 p 1－p ____ P ______ X 0
P(X＝1) 称为成功概率． 其中 p＝_____________
(2) 超几何分布： 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品， 则事件“X＝r”
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第十三章
算法、统计与概率
独立事件及随机变量的概率分布
栏 目 导 航
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激活思维 1. (选修 2－3P45 知识改编)一袋中装有 5 只完全相同的白球，编号为 1,2,3,4,5.
3,4,5 现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数的可能取值为____________ ． 1 3 2. (选修 2－3P48 练习 3 改编)若随机变量 X 的概率分布如下表， 则 p＝________.
1 5 1 2 1 【解析】P 2<X<2 ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝15＋15＝5.
4. (选修 2－3P60 例 2 改编)如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关开 1 1 8 或关的概率都是2，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率是________ ．
【解析】设“a 闭合”为事件 A，“b 闭合”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则灯泡甲亮应为事件 AC B .由题设知 A， 1 C，B 之间彼此独立， 且 P(A)＝P( B )＝P(C)＝2， 所以 P(A B C) 1 ＝P(A)P( B )P(C)＝8.
n－r Cr C M N－M min{M，n} ， 发生的概率为 P(X＝r)＝ Cn ， r＝0,1,2， …， m， 其中 m＝___________ 且 n≤N， N
M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布. X 0 1 … m
n 1 n －1 n －m C0 Cm MCN－M CMCN－M MCN－M … 标 1 独立事件概率的计算 (2016· 苏州期末改编)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后， 3 对该店铺中的 A，B，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买 A 种商品的概率为4， 2 1 购买 B 种商品的概率为3，购买 C 种商品的概率为2.假设该网民是否购买这三种商品 相互独立． (1) 求该网民至少购买 2 种商品的概率； (2) 用随机变量 η 表示该网民购买商品的种数，求 η＝1 的概率．
事件 B 相互独立． (2) 性质：
P(A)P(B) ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)＝_____________. ②如果事件 A 与 B 相互
独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立． (3) 独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，在
k n k (3) 二项分布 X～B(n，p)，记为 Ck p ＝B(k；n，p). n q
－
X
0
1
…
k
…
n
1 1 n－1 k k n－k 0 n n 0 C p q … C … Cn p q P C0 n np q n np q
5. 求概率分布的步骤 (1) 明确随机变量 X 取哪些值； (2) 求 X 取每一个值的概率； (3) 列成表格.
X 1 2 3 4 1 1 1 P p 6 3 6
1 1 1 1 【解析】由6＋3＋6＋p＝1，得 p＝3.
k 3. ( 选修 2 － 3P55 习题 5 改编 ) 若随机变量 X 的分布列为 P(X ＝ k) ＝ 15 (k ＝ 1 1 5 5 1,2,3,4,5)，则 P2<X<2＝________.