2021年高考数学二轮复习第12讲：概率、随机变量及其分布
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
高三数学二轮复习-第2讲概率、随机变量及其分布列专题攻略课件-理-新人教版
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典例精析
题型一 几何概型
例1 如图，正方形 OABC 的边长为 2. (1)在其四边或内部取点 P(x，y)，且 x，y∈Z，则事 件“|OP|＞1”的概率是__________； (2)在其内部取点 P(x，y)，且 x，y∈R，则事件“△ POA， △ PAB，△ PBC，△ PCO 的面积均大于23”的概率是 __________．
1≤x≤－23.
设事件
A
为
π cos2x
的值介于
0
到12之间，则事件
A
发生
2
的区域长度为23. ∴P(A)＝32＝13.
题型二 古典概型
例2 一个袋中装有大小相同的10个球，其 中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球， 每次随机取1个． (1)求连续取两次都是红球的概率； (2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球， 直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．
法二：(间接法)：从 6 个点中任取三个点有 C36种方 法．其中在一条直线上的三点有(C34＋1)个． 构成三角形个数为 C36－C43－1， 故所求概率为 P＝C36－CC3634－1＝34.
答案：34
高考理科数学二轮专题提分教程全国课件概率随机变量及其分布列
方差
描述随机变量取值的离散程度，即各数值与其 均值之差的平方的平均值。
标准差
方差的算术平方根，用于衡量数据的波动大小。
协方差与相关系数
协方差
衡量两个随机变量的总体误差，反映两 个变量变化趋势是否一致。
VS
相关系数
将协方差标准化后的结果，消除了量纲影 响，更客观地反映两个变量间的线性相关 程度。
矩、峰度和偏度
自助法
02
03
贝叶斯区间估计
通过对样本进行重复抽样来模拟 总体分布，进而得到参数的区间 估计。
在贝叶斯统计框架下，利用先验 信息和样本信息计算后验分布， 进而得到参数的区间估计。
假设检验基本原理和步骤
01
基本原理：在总体分布未知的情况下，通过构造检验统计 量并根据其分布进行决策，判断原假设是否成立。
概率的定义
概率是描述随机事件发生的可能性的 数值，其值介于0和1之间。
概率的性质
概率具有非负性、规范性（所有可能 事件的概率之和为1）、可加性（互 斥事件的概率之和等于它们各自概率 的和）。
条件概率与独立性
条件概率
在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。条件概率的计算公式为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中 P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
性质
边缘分布律/密度函数也具有非负 性和归一性，且可以由联合分布 律/密度函数求得。
条件分布律/密度函数
条件分布律
对于离散型二维随机变量，其条 件分布律是指在已知其中一个随 机变量取某个值的条件下，另一 个随机变量取某个值的概率。
条件密度函数
对于连续型二维随机变量，其条 件密度函数是指在已知其中一个 随机变量在某个区间内取值的条 件下，另一个随机变量在某个点 取值的概率。
高考数学总复习考点知识专题讲解12 离散型随机变量的数字特征
高考数学总复习考点知识专题讲解专题12 离散型随机变量的数字特征知识点一离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n＝∑=ii ip x1，为随机变量X的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(ax i＋b)p i＋…＋(ax n＋b)p n＝a(x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n)＋b(p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b .知识点二 两点分布的均值如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p .【例1】（2023•岳阳楼区校级开学）甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为12，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元．若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金()元 A ．700B ．600C ．200D ．100【例2】（2023•宝山区期末）设0a b <…，随机变量X 的分布是124()a b a b+，则()E X 的取值范围是()A ．3(1,)2B ．11[,3)4C ．11(1,]4D ．53[,)22【例3】（2023•多选•扬州期中）乒乓球()tabletennis ，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为(01)p p 剟，实际比赛局数的期望值记为()f p ，下列说法正确的是() A ．三局就结束比赛的概率为33(1)p p +-B ．()f p 的常数项为3 C ．14()()35f f <D ．133()28f =知识点三 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列如表所示．我们用X 所有可能取值x i 与E (X )的偏差的平方(x 1－E (X ))2，(x 2－E (X ))2，…，(x n －E (X ))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E (X )的偏离程度．我们称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝i ni i p X E x ∑=-12))((为随机变量X 的方差(variance)，有时也记为Var (X )X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X )． 知识点四 离散型随机变量方差的性质 1．设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．D (c )＝0(其中c 为常数)． 均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高． (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定． (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．【例4】（2023•巴中模拟）若一组样本数据1y ，2y ，⋯⋯，n y 的期望和方差分别为2，0.04，则数据151y +，251y +，351y +，⋯⋯，51n y +的期望和方差分别为() A ．3，1B ．11，1C ．3，0.2D ．11，0.2【例5】（2023•多选•重庆期中）若随机变量X 服从两点分布，且1(0)4P X ==，则()A ．(1)()P X E X ==B ．(41)3E X +=C ．3()16D X =D ．(41)4D X +=【例6】（2023•多选•南山区期中）设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有() A ．0.5q =B ．()3E X =，() 1.4D X =C ．()3E X =，() 1.8D X =D ．()7E Y =，() 5.6D Y =【例7】（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==，()E ξ=．【例8】（2023•湖南月考）长沙市有橘子洲，岳麓山，天心阁，开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览．已知该游客游览橘子洲的概率为23，游览其他景点的概率都是12．该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X 记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是()A ．游客至多游览一个景点的概率为14B ．3(2)8P X ==C ．1(4)24P X ==D ．13()6E X =【例9】（2023•多选•南京模拟）在10件产品中，其中有3件一等品，4件二等品，3件三等品，现从这10件产品中任取3件，记X 为取出的3件产品中一等品件数，事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，事件B 为取出的3件产品中一等品件数等于三等品件数，则下列命题正确的是() A ．7(2)40P X ==B ．29(1)30P X =…C ．9()10E X =D ．A ，B 相互独立【例10】（2022•多选•张家口期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则()A ．最多需要检测4次可确定患病者B ．第2次检测后就可确定患病者的概率为27C ．第3次检测后就可确定患病者的概率为27D ．检测次数的期望为227【例11】（2023•河源期末）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为5:7:8，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为4.85．【例12】（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【例13】（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．同步训练1.（2019•浙江）设01<<．随机变量X的分布列是a则当a在(0,1)内增大时，()A．()D X减小D X增大B．()C．()D X先减小后增大D X先增大后减小D．()2.（2023•多选•从化区期中）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则()A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球次数ξ的期望为2D ．取球3次的概率为1103.（2022•多选•南关区开学）已知随机变量ξ的分布列如下表；记“函数()3sin()2x f x x R π+=∈是偶函数”为事件A ，则下列结论正确的有() A ．3()4E m ξ=-B ．34m n +=C ．3()4P A =D ．1()4P A =4.（2023•多选•城厢区期末）设01m <<，随机变量的分布列为：则当m 在(0,1)上增大时，() A ．()E ξ减小B ．()E ξ增大C ．()D ξ先增后减，最大值为16D ．()D ξ先减后增，最小值为165.（2021•浙江）袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=，()E ξ=．6.（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)Pξ==，Eξ=．()7.（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为2，乙赢的3．概率为13（1）求甲获胜的概率；（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望．8.（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50)m的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：):m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）9.（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0i P X i p i ===，1，2，3)．（Ⅰ）已知00.4p =，10.3p =，20.2p =，30.1p =，求()E X ；（Ⅱ）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X …时，1p =，当()1E X >时，1p <；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．10．（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ． （1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）．。
高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.5 二项分布与正态分布课件 理
12/11/2021
X2
3
4
P
2 15
8 15
1 3
第二十九页，共七十四页。
解答
命题点2 根据独立重复试验(shìyàn)求二项分布
典例 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现
一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出
现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得
－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立. 1
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
2
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第三十页，共七十四页。
解答
(2)玩三盘游戏(yóuxì)，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品
的概率为
1 A.2
√B.152
1 C.4
1 D.6
解析 因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，
且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P＝32×14＋13×34＝152. 12/11/2021
1 234 5 6 第十页，共七十四页。
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第三十四页，共七十四页。
解答
(2)以上述样本(yàngběn)数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3 辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布 列.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
12/11/2021
第十八页，共七十四页。
解答
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润(lìrùn)120万元；若新产品B研发成功， 预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列.
2021版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第12章 概率、随机变量及其分布 12.1 文档
1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观看某一大事A 是否消灭，称n 次试验中大事A 消灭的次数n A 为大事A 消灭的频数，称大事A 消灭的比例f n (A )＝n An为大事A 消灭的频率．(2)对于给定的随机大事A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，大事A 发生的频率会在某个常数四周摇摆并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机大事A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机大事A 的概率，记作P (A )． 2．大事的关系与运算定义符号表示 包含关系 假如大事A 发生，则大事B 肯定发生，这时称大事B 包含大事A (或称大事A 包含于大事B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并大事 (和大事) 若某大事发生当且仅当大事A 发生或大事B 发生，称此大事为大事A 与大事B 的并大事(或和大事) A ∪B (或A ＋B ) 交大事 (积大事) 若某大事发生当且仅当大事A 发生且大事B 发生，则称此大事为大事A 与大事B 的交大事(或积大事) A ∩B (或AB )互斥大事若A ∩B 为不行能大事(A ∩B ＝∅)，则称大事A 与大事B 互斥A ∩B ＝∅对立大事若A ∩B 为不行能大事，A ∪B 为必定大事，那么称大事A 与大事B 互为对立大事P (A )＋P (B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必定大事的概率P (E )＝1. (3)不行能大事的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式假如大事A 与大事B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立大事的概率若大事A 与大事B 互为对立大事，则P (A )＝1－P (B )．【学问拓展】互斥大事与对立大事的区分与联系互斥大事与对立大事都是两个大事的关系，互斥大事是不行能同时发生的两个大事，而对立大事除要求这两个大事不同时发生外，还要求二者之一必需有一个发生，因此，对立大事是互斥大事的特殊状况，而互斥大事未必是对立大事． 【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)大事发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机大事和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个大事的和大事是指两个大事都得发生．( × )(5)对立大事肯定是互斥大事，互斥大事不肯定是对立大事．( √ ) (6)两互斥大事的概率和为1.( × )1．一个人打靶时连续射击两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是( ) A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶 答案 D解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥大事是两次都不中靶．2．从某班同学中任意找出一人，假如该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8答案 B解析 由于必定大事发生的概率是1，所以该同学的身超群过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B. 3．(2021·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1 365石答案 B解析 由于样品中米内夹谷的比为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此正面消灭的概率是37；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．答案 0解析 ①错，不肯定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述大事中，是对立大事的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的大事，②是对立大事，③④不是互斥大事.题型一 大事关系的推断例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记大事A 为“只订甲报纸”，大事B 为“至少订一种报纸”，大事C 为“至多订一种报纸”，大事D 为“不订甲报纸”，大事E 为“一种报纸也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .解 (1)由于大事C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即大事A 与大事C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥大事．(2)大事B “至少订一种报纸”与大事E “一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B 与E 是互斥大事．由于大事B 不发生可导致大事E 肯定发生，且大事E 不发生会导致大事B 肯定发生，故B 与E 还是对立大事． (3)大事B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，大事C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个大事可能同时发生，故B 与C 不是互斥大事．(4)由(3)的分析，大事E “一种报纸也不订”是大事C 的一种可能，即大事C 与大事E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥大事．思维升华 对互斥大事要把握住不能同时发生，而对于对立大事除不能同时发生外，其并大事应为必定大事．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪几个试验结果，从而判定所给大事的关系．推断下列各对大事是不是互斥大事或对立大事：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，其中： ①恰有1名男生和恰有2名男生； ②至少有1名男生和至少有1名女生； ③至少有1名男生和全是女生． 解 ①是互斥大事，不是对立大事．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不行能同时发生，所以是互斥大事，不是对立大事．②不是互斥大事，也不是对立大事．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生． ③是互斥大事且是对立大事．“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不行能同时发生，且其并大事是必定大事，所以两个大事互斥且对立． 题型二 随机大事的频率与概率例2 (2021·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品 顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估量顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估量为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为1001 000＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机大事消灭的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机大事发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机大事概率的估量值．(2)随机大事概率的求法：利用概率的统计定义求大事的概率，即通过大量的重复试验，大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球竞赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 解 (1)依据公式f ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的四周摇摆，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.题型三 互斥大事、对立大事的概率 命题点1 互斥大事的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记大事“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立大事的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故大事A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N ，则大事N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和；二是间接法，先求该大事的对立大事的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成果，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．解 记大事“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则大事A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为大事A ，那么当A 9，A 10之一发生时，大事A 发生，由互斥大事的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的大事为B ，则B 表示大事“射击一次，命中不足8环”． 又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥大事概率的加法公式得 P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.23．用正难则反思想求互斥大事的概率典例 (12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨 若某一大事包含的基本大事多，而它的对立大事包含的基本大事少，则可用“正难则反”思想求解． 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]温馨提示(1)要精确理解题意，擅长从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定大事间的关系，擅长将A转化为互斥大事的和或对立大事，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估量总体．(2)不能正确地把大事A转化为几个互斥大事的和或对立大事，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．2．从集合角度理解互斥大事和对立大事从集合的角度看，几个大事彼此互斥，是指由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．[失误与防范]1．正确生疏互斥大事与对立大事的关系：对立大事是互斥大事，是互斥大事中的特殊状况，但互斥大事不肯定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需精确理解题意，特殊留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设大事M：“两次消灭正面”，大事N：“只有一次消灭反面”，则大事M 与N互为对立大事；②若大事A与B互为对立大事，则大事A与B为互斥大事；③若大事A与B为互斥大事，则大事A与B互为对立大事；④若大事A与B互为对立大事，则大事A∪B为必定大事，其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④ D．①②答案 B解析对①，一枚硬币抛两次，共消灭{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则大事M与N 是互斥大事，但不是对立大事，故①错；对②，对立大事首先是互斥大事，故②正确；对③，互斥大事不肯定是对立大事，如①中两个大事，故③错；对④，大事A、B为对立大事，则一次试验中A、B肯定有一个要发生，故④正确．故B正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17 B.1235 C.1735D．1答案 C解析设“从中取出2粒都是黑子”为大事A，“从中取出2粒都是白子”为大事B，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C，则C＝A∪B，且大事A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的大事是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案 A解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，故选A.4．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37答案 A解析取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估量概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45 答案 D解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则全部矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列大事： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必定大事；________是不行能大事；________是随机大事． 答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机大事A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 9．(2022·陕西)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示大事“赔付金额为3 000元”，B 表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得 P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P (C )＝0.24.10．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测同学身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估量该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的全部男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，大事E＝{|x－y|≤5}，大事F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解(1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在其次组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估量这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估量这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180,185)的人数为4，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种状况，因大事E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以大事E包含的基本大事为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种状况，故P(E)＝7 15.由于|x－y|max＝195－180＝15，所以大事F＝{|x－y|>15}是不行能大事，P(F)＝0.由于大事E和大事F是互斥大事，所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝715.B组专项力量提升(时间：30分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是() A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事B．B＋C与D是互斥大事，也是对立大事C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事答案 D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事，故选D.12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为________．答案45解析记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5次综合测评的平均成果是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成果是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)，令90>15(442＋x)，解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为810＝45.13．若A，B互为对立大事，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．答案9解析由题意可知4x＋1y＝1，则x＋y＝(x＋y)(4x＋1y)＝5＋(4yx＋xy)≥9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时等号成立．14.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估量相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2.15．(2021·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估量西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续2天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率．解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为78.。
高考数学专题闯关教学概率随机变量及其分布列共张-PPT精品
法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验．
记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A)＝13.
由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计
算公式知，没有人申请 A 片区房源的概率为 P4(0) ＝C04310·324＝8116.
P(AB)＝P(A)P(B)．
(6)独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为
Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
2．常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 分布列为(其中0＜p＜1)
ξ
0
1
P 1－p
4，t≥102.
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望．(以试 验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产
品的质量指标值落入相应组的概率)
【解】 (1)由试验结果知，用 A 配方生产的产品
中优质品的频率为2120＋08＝0.3，所以用 A 配方生 产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的
高考热点讲练
几何概型
例1 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中
点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点
Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A.14
B.13
C.12
D.23
【解析】 这是一道几何概型的概率问题，点 Q
1
取自△ABE
内部的概率为 S△ABE ＝2·|AB|·|AD|＝ S矩形ABCD |AB|·|AD|
2021新高考数学二轮总复习学案：6.4.2 随机变量及其分布含解析
6.4.2随机变量及其分布必备知识精要梳理1.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=p k q n-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p),且E(X)=np,D(X)=np(1-p).3.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)d x,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.4.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,.X x1x2x3…x i…x nP p1p2p3…p i…p n关键能力学案突破热点一依据频率求概率的综合问题【例1】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2):满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解题心得频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I.①事件A与B互斥,即集合A∩B=⌀;②事件A与B对立,即集合A∩B=⌀,且A∪B=I,也即A=∁I B 或B=∁I A.(3)对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.(4)如果A1,A2,…,A n中任何两个都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,…,A n彼此互斥.(5)若事件A1,A2,A3,…,A n彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).应用互斥事件的概率加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率.(6)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P(。
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2021年高考数学二轮复习第12讲：概率、
随机变量及其分布
■做小题·激活思维·
1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X)＝1.6，则a－b＝()
A.0.2
C．0.8 D．－0.8
B[由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，
则a－b＝－0.2.]
2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.9
C[记“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件
B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，则P(B|A)＝P(AB)
P(A)
＝0.8，故选C.]
3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2
3和
3
4，两个
零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()
A.1
2 B.
5
12
C.1
4 D.
1
6
B[设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零
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