高考概率分布类型题归纳
经典高考概率分布类型题归纳
经典高考概率分布类型题归纳高考真题一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布比照四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布〔主要在于如何分类〕六、综合算法高考真题2021年22、〔本小题总分值10分〕〔相互独立事件〕某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品一等品率为90%，二等品率为10%。
生产1件甲产品，假设是一等品那么获得利润4万元，假设是二等品那么亏损1万元；生产1件乙产品，假设是一等品那么获得利润6万元，假设是二等品那么亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记X〔单位：万元〕为生产1件甲产品与1件乙产品可获得总利润，求X 分布列；（2）求生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率。
【解析】此题主要考察概率有关知识，考察运算求解能力。
总分值10分。
〔1〕由题设知，X可能取值为10，5，2，-3，且××0.9=0.18，××0.1=0.02。
由此得X分布列为：X1052-3P〔2〕设生产4件甲产品中一等品有件，那么二等品有件。
由题设知，解得，又，得，或。
所求概率为答：生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率为0.8192。
〔2021年〕22．〔本小题总分值10分〕〔古典概型〕设为随机变量，从棱长为1正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，值为两条棱之间距离；当两条棱异面时，．〔1〕求概率；〔2〕求分布列，并求其数学期望．【命题意图】此题主要考察概率分布列、数学期望等根底知识，考察运算求解能力.【解析】〔1〕假设两条棱相交，那么交点必为正方形8个顶点中一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有对相交棱，∴==.(2)假设两条棱平行，那么它们距离为1或，其中距离为共有6对，故==,∴随机变量分布列是01P〔2021•江苏〕〔古典概型〕盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球与2个绿球，这些球除颜色外完全一样．〔1〕从盒中一次随机取出2个球，求取出2个球颜色一样概率P；〔2〕从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中最大数，求X概率分布与数学期望E〔X〕．〔2021年〕23．〔本小题总分值10分〕一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部一样．现将口袋中球随机地逐个取出，并放入如下图编号为抽屉内，其中第次取出球放入编号为抽屉．123〔1〕试求编号为2抽屉内放是黑球概率；〔2〕随机变量表示最后一个取出黑球所在抽屉编号倒数，是数学期望，证明：．试题解析：〔1〕编号为2抽屉内放是黑球概率为：．〔2〕随机变量X概率分布为X……P……随机变量X期望为．所以即．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量数学期望一般步骤为：〔1〕“判断取值〞，即判断随机变量所有可能取值，以及取每个值所表示意义；〔2〕“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件概率与公式、独立事件概率积公式，以及对立事件概率公式等)，求出随机变量取每个值时概率；〔3〕“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列性质检验所求分布列或某事件概率是否正确；〔4〕“求期望值〞，一般利用离散型随机变量数学期望定义求期望值，对于有些实际问题中随机变量，如果能够断定它服从某常见典型分布(如二项分布)，那么此随机变量期望可直接利用这种典型分布期望公式()求得．因此，应熟记常见典型分布期望公式，可加快解题速度．一、超几何分布1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C14C33C47＝435，P(X ＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X ＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X ＝8)＝C44C03C47＝135.故所求分布列为X 5 6 7 8 P435183512351352.PM2.5 2.5微米颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2021，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2021年全年每天PM2.5监测数据中随机地抽取10天数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]方米) 频数311113〔1〕从这10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量到达一级概率；〔2〕从这10天数据中任取3天数据．记X 表示抽到PM2.5监测数据超标天数，求X 分布列．【解析】〔1〕记“从10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A ，那么P (A )＝C13·C27C310＝2140.〔2〕依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝Ck 3·C3－k7C310(k ＝0,1,2,3)，所以P (X ＝0)＝C03C37C310＝724，P (X ＝1)＝C13C27C310＝2140，P (X ＝2)＝C23C17C310＝740，P (X ＝3)＝C33C07C310＝1120，因此X 分布列为X123P72421407401120点评：超几何分布上述模型中，“任取 件〞应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件〞. 如果是有放回地抽取，就变成了 重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 假设产品总数很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.3.盒内有大小一样9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出3个球中至少有一个红球概率； (2)求取出3个球得分之与恰为1分概率；(3)设ξ为取出3个球中白色球个数，求ξ分布列． 【解】 (1)P ＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球〞为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球〞为事件C ，那么P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝Ck 3C3－k6C39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ分布列为ξ 0 1 2 3 P5211528314184二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理〞原那么，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院与一家社区医院作为本人就诊医疗机构.假设甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院选择是相互独立. 〔1〕求甲、乙两人都选择A 社区医院概率；〔2〕求甲、乙两人不选择同一家社区医院概率；〔3〕设4名参加保险人员中选择A 社区医院人数为X ，求X 概率分布与数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯概率都是23，出现绿灯概率都是13.记这4盏灯中出现红灯数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时概率； (2)求X 数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯概率都是23，故X ＝2时概率P ＝C24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827.(2)法一 X 所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X ＝k)＝Ck 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴X 概率分布列为X 0 1 2 3 4 P18188188132811681∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83.3.羽毛球 A 队与B 队进展对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜概率都是P.〔1〕假设比赛6局，且P =, 求A队至多获胜4局概率是多少？〔2〕假设比赛6局，求A队恰好获胜 3局概率最大值是多少？(3) 假设采用“五局三胜〞制，求A队获胜时比赛局数分布列与数学期望.解析：〔1〕设“比赛6局，A队至多获胜4局〞为事件A那么==[来源:学。
(完整版)经典高考概率分布类型题归纳【精选】
经典高考概率类型题总结一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）六、综合算法一、超几何分布1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.（1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X，求X的概率分布和数学期望.二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23， 故X ＝2时的概率P ＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为∴数学期望E(X)＝0×8＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.三、超几何分布与二项分布的对比有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X ）＝ . 辨析：1.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝四、古典概型算法1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为x 1,x 2，记X=(x 1-2)2+(x 2-2)2. （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率； （2）求X 的概率分布及方差.2.（2012·江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时ξ=1． （1）求概率P （ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．3.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数X 的概率分布与期望.4.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S.(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n)”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x|－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的概率分布表为所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.5.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况 .(1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；(2)设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X的分布列和数学期望．解(1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.由于事件A、B相互独立，所以P(A)＝C25C26＝23，P(B)＝C24C26＝25，所以选出的4人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝23×25＝415.(2)X可能的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝415，P(X＝1)＝C25C26·C12·C14C26＋C15C26·C24C26＝2245，P(X＝3)＝C15C26·1C26＝145.P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝2 9.故X的分布列为所以X的数学期望E(X)＝0×15＋1×45＋2×9＋3×45＝1 (人)．6.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（AB）=P（A）P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=．ξ的分布列为ξ的数学期望．五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）1.开锁次数的数学期望和方差有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．分析：求时，由题知前次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．解：的可能取值为1，2，3，…，n ．；所以的分布列为：ξ)(k P =ξ1-k 3,2,1=ξξ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P n n n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξξ；2. 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望与方差（保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5．＝1，表示一发即中，故概率为＝2，表示第一发未中，第二发命中，故＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故＝5，表示第五发命中，故211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n n E ξnn n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n ξ ξ ξ E ξ D ξ ξ ξ ;8.0)1(==ξ P ξ ;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ P ξ ;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ P ξ 0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ P ξ因此，的分布列为3. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 为0.25，在B 处的命中率为q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q 的值；（2）求随机变量的数学期望E ；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=0.25，，P (B )= q ，．根据分布列知：=0时=0.03，所以，q =0.8．（2）当=2时，P 1==0.75q ()×2=1.5q ()=0.24．当=3时，P 2 ==0.01，.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P ξ 0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D .31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=12ξ2ξξ()0.75P A =22()1P B q =-ξ22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-210.2q -=2ξ)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=221q -221q -ξ22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-当=4时，P 3==0.48， 当=5时，P 4==0.24．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．4. 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关， 同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这 些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为32被乙小组攻 克的概率为43. （1）设X 为攻关期满时获奖的攻关小组数，求X 的概率分布及 V(X)；（2）设Y 为攻关期满时获奖的攻关小组数的2倍与没有获奖的 攻关小组数之差，求V(Y).5. 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件ξ22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==ξ()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+ξξ00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=0.4,0.5,0.6ξξ2()31f x x x ξ=-+[2,)+∞A A的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件． 由已知相互独立，.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3．所以的分布列为（Ⅱ）解法一：因为所以函数 上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而 解法二：的可能取值为1，3.当时，函数上单调递增，当时，函数上不单调递增.所以6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.322ξ≤123,,A A A 123,,A A A 123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===ξ123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+123123()()()()()()20.40.50.60.24P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯⨯=(1)10.240.76P ξ==-=ξ()10.7630.24 1.48E ξ=⨯+⨯=2239()()1,24f x x ξξ=-+-23()31[,)2f x x x ξξ=-++∞在区间()[2,)f x +∞在342,.23ξξ≤≤即4()()(1)0.76.3P A P P ξξ=≤===ξ1ξ=2()31[2,)f x x x =-++∞在区间3ξ=2()91[2,)f x x x =-++∞在区间()(1)0.76.P A P ξ===0.76(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差． 解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1927. (2)P(Z ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18； P(Z ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38； P(Z ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫123＝38； P(Z ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. Z 的分布列如下表：E(Z)＝0×18＋1×8＋2×8＋3×8＝2，D(Z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322×18＝34，∴D (Z )＝32.7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与方差． 解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3.(1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)＝P(A 1A2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A1A 2A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)． 故E(ξ)＝np ＝3×0.3＝0.9， V(ξ)＝np(1－p)＝3×0.3×0.7＝0.63.8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
高中概率分布题
高中概率分布题概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机试验中各个事件的可能性。
在高中数学中，我们学习了多种概率分布形式，如离散型概率分布和连续型概率分布。
本文将从这两个方面进行详细探讨。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可列个数取值的概率分布形式。
其中，最常见的是二项分布和泊松分布。
1. 二项分布二项分布适用于具有固定试验次数、每次试验结果只有成功与失败两种可能性、且各次试验之间相互独立的情况。
例如，投掷硬币、掷骰子、抽样检验等。
若设随机变量X表示成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X ~ B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
2. 泊松分布泊松分布适用于实验区间内出现次数的概率分布。
例如，描述单位时间或单位面积内事件发生次数的概率。
若设随机变量X表示事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布，记为X ~ P(λ)。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，e为自然对数的底数。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量的取值是无限多的实数集合，通常用概率密度函数来描述。
高中数学中常见的连续型概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，随机变量取值的概率是相等的。
例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，a ≤ x ≤ b其中，a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布正态分布是最重要的连续型概率分布之一，也称为高斯分布。
正态分布在自然界中广泛存在，并且具有许多重要性质和应用。
例如，测量误差、身高体重分布等。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = 1/(σ * √(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
高考常考问题18 随机变量的分布列、均值与方差
C2 3 4 (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)＝C3＝5. 5 ∵X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为
1 2 2 4 P(X＝0)＝P( A B C )＝3×5×5＝75， P(X＝1)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 4 ＝3×5×5＋3×5×5＋3×5×5＝75＝15， P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 11 ＝3×5×5＋3×5×5＋3×5×5＝75＝25， 2 3 3 18 6 P(X＝3)＝P(ABC)＝3×5×5＝75＝25， ∴X 的分布列为
由分析可得 P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P( A 1 A 2 A 3)＝P(A1)· P(A2)P(A3) 1 1 1 1 3 2 7 7 ＋P( A 1)P( A 2)P( A 3)＝2×4×3＋2×4×3＝24； P(X＝1)＝1－24＝ 17 24. 所以 X 的分布列为 X P 1 17 24 3 7 24
X
0
1
2
3
4 4 11 6 P 75 15 25 25 4 4 11 6 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)＝0×75＋1×15＋2×15＋3×25＝ 75 ＝15.
[规律方法] 求解离散型随机变量的每个取值所对应的概率，先
要明确其对应事件的性质，确定概率类型，再利用互斥事 件、对立事件和相互独立事件求解．
7．相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模 型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题 再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体 情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因
高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：X 1x 2x …n xP1p 2p …n p1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即()D X σ=．1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
X －1 01 P95二．超几何分布对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，X 012… lP0n M N MnNC C C - 11n M N MnNC C C -- 22n M N MnNC C C -- …l n l M N MnNC C C -- 其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑．2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
高考数学概率统计题型归纳
高考数学概率统计题型归纳高考数学中的概率统计是一个重要的考点，其题型多样，涵盖了众多知识点。
为了帮助同学们更好地应对高考中的概率统计题目，下面对常见的题型进行归纳和分析。
一、古典概型古典概型是概率统计中最基本的题型之一。
其特点是试验中所有可能的结果有限，且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解决这类问题的关键是要准确计算基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数。
在上述例子中，基本事件的总数可以通过组合数计算，即从 8 个球中取出 2 个球的组合数；所求事件包含的基本事件数为从 5 个红球中取出 2 个球的组合数。
然后用所求事件包含的基本事件数除以基本事件的总数，即可得到所求概率。
二、几何概型几何概型与古典概型的区别在于试验的结果是无限的。
通常会涉及到长度、面积、体积等几何度量。
比如，在区间0, 5上随机取一个数，求这个数小于 2 的概率。
解决几何概型问题时，需要确定几何区域的度量，并计算出所求事件对应的几何区域的度量，最后用所求事件对应的几何区域的度量除以总的几何区域的度量，得到概率。
三、相互独立事件与条件概率相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如，甲、乙两人分别独立射击，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 07，求两人都击中目标的概率。
条件概率则是在已知某个事件发生的条件下，求另一个事件发生的概率。
比如，已知某班级男生占 60%，女生占 40%，男生中优秀的比例为30%，女生中优秀的比例为 20%，现从班级中随机抽取一名学生为优秀，求这名学生是男生的概率。
对于相互独立事件，其概率的计算使用乘法公式；对于条件概率，使用条件概率公式进行计算。
四、离散型随机变量离散型随机变量是指取值可以一一列出的随机变量。
常见的离散型随机变量有二项分布、超几何分布等。
二项分布是指在 n 次独立重复试验中，某事件发生的次数 X 服从二项分布。
高考数学分布列专题及答案
分布列1．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。
（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．．（本小题满分14分）分布列参考答案1．(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。
高考理科数学概率题型归纳与练习含答案(供参考)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即σ1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑． 2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
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高考概率分布类型题归纳文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]经典高考概率分布类型题归纳 高考真题一、超几何分布类型 二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年22、（本小题满分10分）（相互独立事件）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。
生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。
满分10分。
（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=×=， P （X=5）=×=， P （X=2）=×=， P （X=-3）=×=。
由此得X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。
由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。
所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为。
（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1的共有6对，故(P ξ==2126C =111, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111--=611. ∴随机变量ξ的分布列是∴6161111111E ξ+=⨯+=. （2014江苏）（古典概型）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． （2017年）23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X是X的数学期望，证明：()()(1)nE Xm n n<+-．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：11CCnm nnm nnpm n-+-+==+．（2）随机变量X的概率分布为X ……P ……随机变量X的期望为11C111(1)!()C C(1)!()!nm n m nkn nk n k nm n m nkE Xk k n k n-++-==++-=⋅=⋅--∑∑．所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!m n m nn nk n k nm n m nk kE Xn k n n n k n++==++--<=-----∑∑11C(1)C()(1)nm nnm nnn m n n-+-+==-+-，即()()(1)nE Xm n n<+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．一、超几何分布1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求的分布列为肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到监测数据超标的天数，求X的分布列．【解析】（1）记“从10天的日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.（2）依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)，所以P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，因此X的分布列为n不放回地一次取一件，连续取n件”. 如果是有放回地抽取，就变成了n重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 若产品总数N很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P(ξ＝k)＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P(ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P(ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P(ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为ξ 0123P二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.(2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴X 的概率分布列为X 01234P∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83.3.羽毛球A 队与B 队进行对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是P (01)P ≤≤. （1）若比赛6局，且P=23, 求A 队至多获胜4局的概率是多少 （2）若比赛6局，求A 队恰好获胜 3局的概率的最大值是多少(3) 若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望. 解析：（1）设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A则[]66()1(5)(6)P A P P =-+=5566662221()(1)()333C C ---=2564731729729-=[来源:学。
科。
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X 。
X 。
K]∴ A 队至多获胜4局的概率是473729(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ,则3336()(1)P B C p p =-当P=0或P=1时，显然有P(B)=0当0<P<1时；3336()(1)P B C p p =-=()3201p p -⎡⎤⎣⎦≤203212p p ⎡⎤+-⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=20615216⎛⎫= ⎪⎝⎭ 当且仅当11,2p p p =-=即时取等号.故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是516（3）若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ=3，4，53(3)P p ξ==；)1(3)1()4(3323p p p p C P -=-==ξ；232324(5)(1)6(1)P C p p p p ξ==-=-所以ξ的分布列为：（二项分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X=2）＝ 变式辨析：1. （超几何分布）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次取k （6,5,4=k ）件，恰好取到3件次品时停止，概率P （X ）＝ 三、古典概型算法1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望.2.某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A 班听课的概率；（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望． （分配问题，典型例题，选与排）解：（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个．故总共的听课可能性有332253533150C A C C +=种，其中甲乙同时去A 班听课的可能性有1212132223=+C C A C 种……………………2分所以所求概率为12215025p == ……………………4分 （2）ξ可取值为1，2，3，()156150221325=⋅⋅==C C P ξ，()15215031235===C C P ξ……………………8分从而ξ分布列为： ∴76251231515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………10分3.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为21,x x ，记2221)2()2(-+-=x x X . （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率；（2）求X 的概率分布及方差.解：ξ的取值为0，1，2，4，5，8，P （ξ=0）=，P （ξ=1）=4××=，P （ξ=2）=4××=，P （ξ=4）=2××=，P （ξ=5）=4××=，P （ξ=8）=，∴ξ的分布列为？∴ξ的数学期望E ξ=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3。