高考数学题型专题(十八) 概率、随机变量及其分布列
2023年高考数学复习----《求概率及随机变量的分布列与期望》规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学复习----《求概率及随机变量的分布列与期望》规律方法与典型例题讲解【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望．【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，⨯⨯=；甲队比赛3场获胜的概率为P=0.50.50.50.125（2）X所以可能取得值为0,200,400,600,800；()3500.50.12P X ===，()31213200C 0.50.500..540.5600.07.5P X ==⨯=⨯⨯=⨯，()()11233332400C 0.50.60.50.40.55C 0.50.40.5 2.1050.50.262.P X ==⨯+⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯， ()()31323333 6000.5C 0.50.60.5C 0.50.60.50.40.5 3.40.50.425P X ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=， ()2333800C 0.50.605.50.900.112.5P X ===⨯⨯=⨯．即所以()00.1252000.0754000.26256000.4258000.1125465E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立． （1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P ；（2）设甲教师参加测试的次数为m ，乙教师参加测试的次数为n ，求m n ξ=+的分布列．【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为14．（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12， 由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=， 11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球2个白球；B ：3个白球；C ：恰有1个黄球；D ：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖． （1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解析】（1）由题意可得：()()23331010C 3111,C 12040C 120P A P B =====， ()1264310C C 363=C 12010P C ==，2()1()()()3P D P A P B P C =−−−=所以中一等奖的概率为1120，二等奖的概率为140，三等奖的概率为310 （2）记事件E 为顾客摸出的第一个球是白球，事件F 为顾客获得二等奖，则()111229C C 1C 18P FE ==∣． （3）由（1）知一名顾客中奖的概率为113112040103P =++=． 由题意可得，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()5512C 1,2,3,4,533i ii P X i i −⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则分布列为()15533E X =⨯=。
高考数学二轮总复习课后习题 专题突破练18 概率、随机变量及其分布
专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.显像管的使用寿命与其开关的次数有关.某品牌的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p-1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p-1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.(新高考Ⅱ,13)随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .5.已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.某水产品超市购进一批重量为100 kg 的螃蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示.(1)试用组中值来估计该批螃蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的螃蟹数量为X,求X的概率分布列和数学期望.专题突破练18 概率、随机变量及其分布1.D 解析记事件A:显像管开关了10000次还能继续使用,记事件B:显像管开关了15000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10000次的显像管还能继续使用到15000次的概率为P(B|A)=P (AB )P (A )=0.60.8=0.75.2.C 解析可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328.3.B 解析由已知得P(甲)=16,P(乙)=16,P(丙)=56×6=536,P(丁)=66×6=16,P(甲丙)=0,P(甲丁)=16×6=136,P(乙丙)=16×6=136,P(丙丁)=0.由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B.4.0.14 解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.5.2572解析因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P(A)=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解(1)50只螃蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100kg 螃蟹只数约为100000÷224≈446. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为: P(X=0)=C 30C 74C 104=16,P(X=1)=C 31C 73C 104=12,P(X=2)=C 32C 72C 104=310,P(X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.。
2015专题八：概率、随机变量及其分布(含近年高考试题)
2015专题八：概率、随机变量及其分布一、考试大纲分析：(1)概率①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
②理解超几何分布及其导出过程，并能进 行简单的应用。
③了解条件概率和两个时间相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项式分布，并能解决一些简单的实际问题。
④理解取有限个值的离散型随机变量均值,方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值,方差，并能解决一些实际问题。
⑤利用实际为题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
(2)统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。
① 独立性检验(只要求2*2列联表)的基本思想,方法及其简单应用。
② 回归分析了解回归分析的基本思想,方法及其简单应用。
二、要点梳理：一、随机事件的概率1．概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算定义符号表示 包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 若B ⊇A 且A ⊇B ，那么称事件A 与事件B 相等A ＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B (或A ＋B ) 交事件若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事A ∩B(积事件) 件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)(或AB ) 互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B ＝∅ 对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝∅ 且A ∪B ＝Ω3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )． 注意1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．二、古典概型、几何概型 1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意：1．在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.3．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．4．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)注意 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的． 三、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质○1p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；○2∑==ni ip113．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X 0 1 P1－pp其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布列.X 01… mPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN四、n 次独立重复试验与二项分布1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )2.事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率计 算 公 式A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1,2，…，n ) .五、离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．均值(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (3)(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．方差(1)设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )．(4)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．3．正态分布 (1)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据：①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4三、例题精讲考点一：概率的性质：1．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为( )A.23B.34C.45D.56解析：选D 由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1.∴a ＝54. 故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.2．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______. 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：23考点二：离散型随机变量分布列求法[典例] (2013·江西高考改编) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727[针对训练](2014·温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 16C 28＝37.(2)由题知X 的可能取值为1,2,3,4.则P (X ＝1)＝C 12C 16＋C 22C 28＝1328，P (X ＝2)＝C 26C 28·C 14C 12＋C 22C 26＝928，P (X ＝3)＝C 26C 28·C 24C 26·C 12C 12＋C 22C 24＝528，P (X ＝4)＝C 26C 28·C 24C 26·C 22C 24＝128. X 的分布列为X 1 2 3 4 P1328928528128考点三：超几何分布[典例] (2014·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P5421021514121[针对训练](2013·哈师大附中模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值 (微克/立方米)[25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 解：(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27C 310＝2140.(2)根据条件，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，ξ的可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310(k ＝0,1,2,3)，其分布列为ξ 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120考点四：条件概率1．(2013·平顶山二模)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310 B.29 C.78D.79 解析：选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79. 2．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为( )A.23B.13C.1116D.516解析：选A 记“取到蓝球”为事件A ，“取到玻璃球”为事件B ，则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B 发生的条件下A 发生的条件概率，记作P (A |B )．因为P (AB )＝416＝14，P (B )＝616＝38，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1438＝23. 3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P (AB )＝C 25C 2100，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.答案：499考点五：相互独立事件的概率[典例] (2013·长春二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响． (1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P 2＝P (AB C ∪A B C ∪A BC )＝25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×13＝2360. 3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＝512. 故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.变式： 在本例条件下求三人均未被选中的概率.解：法一：三人均未被选中P ＝P (A B C )＝⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＝110. 法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为910∴P ＝1－910＝110.[针对训练]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( )A.910B.45C.89D.8990解析：选D 目标被击中的对立事件为两人都击不中，而两人都击不中的概率为⎝⎛⎭⎫1－910×⎝⎛⎭⎫1－89，所以所求事件的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－910×⎝⎛⎭⎫1－89＝8990. 考点六：独立重复试验与二项分布[典例] 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列．[解] (1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A － B －”，且事件A 、B 相互独立．故P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12 则P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k ＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． 故变量ξ的分布列为：Ξ 0 1 2 3 4 P116143814116[类题通法]二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数． [针对训练](2014·广州调研)设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964. 1．(2014·杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的数学期望E (ξ)的值为( )A.43B.119 C ．1D.89解析：选A 由题意可知，ξ服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫2，23，所以E (ξ)＝2×23＝43. 2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：选B 因为P (ξ＝1)＝0.8，P (ξ＝0)＝0.2. 所以E (ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 考点七：离散型随机变量的均值1．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52D ．3解析：选A E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.2.(2013·湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析：选B 依题意，X 的取值可能为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 3．(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是X 1 2 3 4 P1354352747随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.考点八：离散型随机变量的方差[典例] (2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c .[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ23456P14 13 518 19 136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. [针对训练](2014·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X 8 9 10 P0.20.60.2Y 8 9 10 P0.40.20.4其中X 和Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料．解：E (X )＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D (X )＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E (Y )＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D (Y )＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4 ＝0.8.由此可知，E (X )＝E (Y )＝9，D (X )＜D (Y )，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．考点九：正态分布[典例] (1)(2013·石家庄模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ＜2)＝0.8，则P (0＜ξ＜1)的值为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6[解析] P (0＜ξ＜1)＝P (ξ＜2)－P (ξ＜1)＝0.8－0.5＝0.3，故选B. [答案] B(2)(2014·合肥模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84[解析] 因为曲线的对称轴是直线x ＝2，所以由图知P (ξ≤0)＝P (ξ＞4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16.[答案] A变式：保持本例(2)条件不变，求P (0＜ξ≤4). 解析：由P (ξ＞4)＝P (ξ≤0)＝0.16 ∴P (0＜ξ≤4)＝1－2×0.16＝0.68. [类题通法]关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )，P (X ＜μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． [针对训练]某班有50名学生，一次考试后数学成绩X (X ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤X ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析：由题意知，P (X ＞110)＝1－2P (90≤X ≤100)2＝0.2.∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10. 答案：10四、高考试题分析2013、9、（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。
高考常考问题18 随机变量的分布列、均值与方差
C2 3 4 (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)＝C3＝5. 5 ∵X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为
1 2 2 4 P(X＝0)＝P( A B C )＝3×5×5＝75， P(X＝1)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 4 ＝3×5×5＋3×5×5＋3×5×5＝75＝15， P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 11 ＝3×5×5＋3×5×5＋3×5×5＝75＝25， 2 3 3 18 6 P(X＝3)＝P(ABC)＝3×5×5＝75＝25， ∴X 的分布列为
由分析可得 P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P( A 1 A 2 A 3)＝P(A1)· P(A2)P(A3) 1 1 1 1 3 2 7 7 ＋P( A 1)P( A 2)P( A 3)＝2×4×3＋2×4×3＝24； P(X＝1)＝1－24＝ 17 24. 所以 X 的分布列为 X P 1 17 24 3 7 24
X
0
1
2
3
4 4 11 6 P 75 15 25 25 4 4 11 6 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)＝0×75＋1×15＋2×15＋3×25＝ 75 ＝15.
[规律方法] 求解离散型随机变量的每个取值所对应的概率，先
要明确其对应事件的性质，确定概率类型，再利用互斥事 件、对立事件和相互独立事件求解．
7．相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模 型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题 再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体 情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因
2021高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版
1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量假如在试验中，试验可能毁灭的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 假如随机变量X 的全部可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 全部可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布假如随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 听从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从全部物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 听从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以依据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验假如每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且大事A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，大事A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将大事A 发生的次数设为X ，大事A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，大事A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列 X 01… k… nP00C nn p q111C n n p q -…C k k n kn p q -…C n n n p q由于表中的其次行恰好是二项开放式001110()C C C C n n n k k n kn n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 听从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 听从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，假如把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：假如随机现象是由一些相互独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似听从正态分布． 听从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态学问内容二项分布x=μOy x变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． ⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dtξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特殊的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数．()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 全部可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）． 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 全部可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 的算术平方根()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 听从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 听从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．大事的独立性假如大事A 是否发生对大事B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个大事A ，B 相互独立，并把这两个大事叫做相互独立大事．假如大事1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个大事都发生的概率，等于每个大事发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个大事i A 换成其对立大事后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个大事A 和B ，在已知大事A 发生的条件下，大事B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由大事A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．二项分布的概率计算【例1】 已知随机变量ξ听从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．【例2】 甲乙两人进行围棋竞赛，竞赛实行五局三胜制，无论哪一方先胜三局则竞赛结束，假定甲每局竞赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ）A ．827 B ．6481 C ．49 D ．89【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例4】 某人参与一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例5】 接种某疫苗后，毁灭发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人毁灭发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例6】 从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例7】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）典例分析A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728【例8】设在4次独立重复试验中，大事A发生的概率相同，若已知大事A至少发生一次的概率等于65 81，求大事A在一次试验中发生的概率．【例9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．假如每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷放射器同是向敌舰各放射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例10】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数 的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例11】某公司拟资助三位高校生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位高校生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则赐予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则赐予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例12】某商场经销某商品，顾客可接受一次性付款或分期付款购买．依据以往资料统计，顾客接受一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客接受一次性付款，商场获得利润200元；若顾客接受分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位接受一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例13】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．。
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
2024年高考数学大题--概率统计题型分类汇编(学生版)
概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。
回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。
重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。
题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题题型一：离散型随机变量及其分布列1(2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。
)1(2024·四川成都·成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．2(2024·云南德宏·高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布2(2024·广东广州·广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X~B(n，p)，则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2，⋯，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)．2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。
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以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器 更换的易损零件数发生的概率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需 更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数． (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n＝ 19 与 n＝20 之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由已知条件得 1 即 3 p＝1，则 p＝ . 3
32 1 3 1 C2× × · (1－p)＋ · p＝ 4 4
4
7 ， 16
(2)ξ 可能的取值为 0，1，2，3. 3 3 2 3 7 P(ξ＝0)＝ × × ＝ ；P(ξ＝1)＝ ； 4 4 3 8 16 1 1 2 1 3 1 1 1 P(ξ＝2)＝ × × ＋C2× × × ＝ ； 4 4 3 4 4 3 6 1 1 1 1 P(ξ＝3)＝ × × ＝ . 4 4 3 48 ξ 的分布列为
加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活 动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人 猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队” 3 2 得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ； 4 3 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影 响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列．
3． 某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛， 采用抽签法决定 演讲顺序，在“学生 A 和 B 都不是第一个出场，B 不是最后一 个出场”的前提下，学生 C 第一个出场的概率为( )
1 1 1 3 A. B. C. D. 3 5 9 20 3 解析：选 A 当学生 A 最后一个出场时，有 A1 A 3 3＝18 种不同
9 3 10 5 2 ＝C11 .
8
8
2．某校要用三辆校车把教师从西校区送到东校区，已知从西 1 校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为 ，不堵车 4 3 的概率为 ；校车走公路②堵车的概率为 p，不堵车的概率为 1－ 4 p.若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②， 且三辆校车是否堵车相互之间没有影响． (1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为 堵车的概率； (2)在(1)的条件下，求三辆校车中被堵的辆数ξ 的分布列． 7 ，求走公路② 16
[典例]
(1)(2016· 合肥质检)某企业的 4 名职工参加职业技能
考核，每名职工均可从 4 个备选考核项目中任意抽取一个参加考 核，则恰有一个项目未被抽中的概率为 ( 9 A. 16 27 B. 64 81 C. 256 D. 7 16 )
[解析]
选A
由题意得，所有的基本事件总数为 44＝256，
[解析]
选D
1 记“y<x ”为事件 A， “x> ”为事件 B，所有 2
2
(x，y)构成的区域如图所示，
1 31 1 1 31 1 7 1 2 ∴S1＝ x dx＝ x |20＝ ，S2＝ x dx－S1＝ x |0－ ＝ ， 3 24 3 24 24
1
2
0
0
P（AB） 则所求概率为 ＝ P（A）
[演练冲关] 1．(2016· 全国甲卷 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯 交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到 红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( 7 A. 10 5 B. 8 C. 3 8 3 D. 10 )
解析：选 B
如图，若该行人在时间段 AB
的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯．AB 长度为 40－15＝25，由几何概型的概率公式 25 5 知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ＝ ，故选 B. 40 8
[典例]
(2016· 全国乙卷 )某公司计划购买 2 台机器，该种
机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机 器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
[演练冲关 ] 1．一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球， 每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止， 设停止时共取了 X 次球，则 P(X＝ 12)等于(
10 3 10 5 2 A． C12
) 8
8
8
9 3 9 5 23 B． C12
3 的安排方法；当学生 A 不是最后一个出场时，有 A2 3A3＝36 种不同
的安排方法，所以满足“A 和 B 都不是第一个出场，B 不是最后一 个出场”的所有不同安排方法有 18＋36＝54 种．其中“C 第一个出 场”的结果有
3 A1 A 3 3＝18
18 1 种，则所求概率为 ＝ ，选项 A 正确. 54 3
题型专题(十八)
概率、随机变量及其分布列
——高考常考这些点，研透常考题型，考题千变难离左右
古典概型与几何概型 [师说考点]
1．古典概型的概率公式 m A中所含的基本事件数 P(A)＝ n ＝ . 基本事件总数 [说明 ] 求事件包含的基本事件数，常用计数原理与排列、组 合的相关知识． 2．几何概型的概率公式
3 2 1 1 1 1 3 2 12 1 P (X＝3)＝ × × × ＋ × × × ＝ ＝ ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12 3 2 3 1 3 2 1 2 60 5 P (X＝4)＝2×( × × × ＋ × × × )＝ ＝ ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12 3 2 3 2 36 1 P (X＝6)＝ × × × ＝ ＝ . 4 3 4 3 144 4 可得随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6
8 8
5239 C． C9 11
8 8
解析：选 D
“X＝12”表示第 12 次取到红球，且前 11 次
3 9 39 52 有 9 次取到红球， 2 次取到白球， 因此 P(X＝12)＝ C118 ×8 8
7 ＝ ＝ ，故选 D. 1 7 8 ＋ 24 24
7 24
[类题通法 ] 1．利用古典概型求概率的关键及注意点 (1) 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 总数，这常常用到排列、组合的有关知识． (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重 不漏．
2．几何概型的适用条件及应用关键 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应 考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时， 关键是试验的全部结果构成的 区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系 中表示所需要的区域．
相互独立事件和独立重复试验
[师说考点] 概率类型 相互独立事 件同时发生 独立重复 试验 特点 事件互相独立 概率求法 P(AB)＝P(A)P(B) (A，B 相互独立)
k k P(X＝k)＝Cn p (1－p)n－k
一次试验重复 n 次
(p 为发生的概率)
[典例]
(2016· 山东高考节选)甲、乙两人组成“星队”参
1 5 25 1 5 1 P 144 72 144 12 12 4
[类题通法] 求复杂事件概率的 2 种方法 (1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为 几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的 积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解． (2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少， 则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题 往往也用这种方法求解．
若恰有一个项目未被抽中， 则说明 4 名职工总共抽取了 3 个项目，
1 2 2 符合题意的基本事件数为 C3 · C · C · A 4 3 4 2＝144，故所求概率 P
144 9 ＝ ＝ ，故选 A. 256 16
(2)(2016· 山西质检)某同学用计算器产生两个[0，1]之间 1 的均匀随机数， 分别记作 x， y.当 y<x2 时， x> 的概率是( 2 7 A. 24 1 B. 2 7 C. 12 7 D. 8 )
[解]
(1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一
轮猜对”， 记事件 C： “甲第二轮猜对”， 记事件 D： “乙第二轮猜对”， 记事件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”． 由题意， 的加法公式和相互独立事件的定义可得， ＋ ，根据概率
2 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 . 3 (2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6. 根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得， 1 1 1 1 1 P(X＝0)＝ × × × ＝ ， 4 3 4 3 144 3 1 1 1 1 2 1 1 10 5 P (X＝1)＝2×( × × × ＋ × × × )＝ ＝ ， 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 P (X＝2)＝ × × × ＋ × × × ＋ × × × ＋ × 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 1 2 25 × × ＝ ， 4 3 144
2． 在三棱锥 SABC 内任取一点 P， 使得三棱锥 PABC 1 的体积满足 VPABC< VSABC 的概率是( 2 7 A. 8 3 B. 4 1 C. 2 ) 1 D. 4
解析：选 A
由题意知，三棱锥 SABC 与三棱锥 PABC
的底面相同， 设三棱锥 SABC 的底面面积为 S， 则三棱锥 PABC 1 1 1 h′ 的高 h 与三棱锥 SABC 的高 h′满足 Sh< × Sh′，所以 h< . 2 3 2 3 如图，点 P 位于棱台 A′B′C′ABC 内，其中 A′，B′，C′分 1 别为 SA，SB，SC 的中点，易知棱台的上底面的面积 S′＝ S， 4 1 7 所以棱台的体积应为 VSABC－ VSABC＝ VSABC，故所求概率为 8 8 7 V 8 SABC 7 ＝ . VSABC 8