高考数学概率与统计知识点汇编
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高中数学之概率与统计
求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m
;
等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ;
设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式
()m
P A n =
求值;
答,即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B);
特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k
n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的
概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:
求概率的步骤是:
第一步,确定事件性质⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪⎩等可能事件
互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算
⎧⎨
⎩和事件积事件
即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.
第三步,运用公式()()()()()()()()(1)
k k n k n n m P A n
P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧
=⎪⎪⎪+=+⎨
⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解
第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1. 在五个数字12345,,,,中,。
例2. 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是
(结果用数值表示).
[解答过程]0.3提示:13
35C 33.
54C 10
2P ===⨯
例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .
[解答过程]1
.
20提示:
51.10020P == 例3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发
热反应的概率为__________.(精确到0.01)
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为
33244555550.800.200.800.200.800.94
C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.
故填0.94.
离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,
ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布
n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…
n ,并且k
n k k n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:
称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p
n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:
)
,;(p n k b q p C k
n k k n =- .
(2) 几何分布
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:
例1.
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有
()()
4110.20.9984
P A P A =-=-=
(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2.
()217220136
0190C P C ξ===
, ()1131722051
1190C C P C ξ===
,
()232203
2190C P C ξ===
1365133
01219019019010E ξ=⨯
+⨯+⨯=.
记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B ,则商家拒收这批产品的概率
()13627
1119095P P B =-=-
=
.
所以商家拒收这批产品的概率为27
95.
例12.