高考数学概率与统计知识点汇编

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高中数学之概率与统计

求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m

;

等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ;

设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式

()m

P A n =

求值;

答,即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B);

特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k

n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的

概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

求概率的步骤是:

第一步,确定事件性质⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪⎩等可能事件

互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算

⎧⎨

⎩和事件积事件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.

第三步,运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧

=⎪⎪⎪+=+⎨

⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解

第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1. 在五个数字12345,,,,中,。

例2. 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是

(结果用数值表示).

[解答过程]0.3提示:13

35C 33.

54C 10

2P ===⨯

例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .

[解答过程]1

.

20提示:

51.10020P == 例3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发

热反应的概率为__________.(精确到0.01)

[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94

C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.

故填0.94.

离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,

ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.

由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布

n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…

n ,并且k

n k k n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:

称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p

n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:

)

,;(p n k b q p C k

n k k n =- .

(2) 几何分布

在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:

例1.

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;

(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有

()()

4110.20.9984

P A P A =-=-=

(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2.

()217220136

0190C P C ξ===

, ()1131722051

1190C C P C ξ===

()232203

2190C P C ξ===

1365133

01219019019010E ξ=⨯

+⨯+⨯=.

记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B ,则商家拒收这批产品的概率

()13627

1119095P P B =-=-

=

所以商家拒收这批产品的概率为27

95.

例12.

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