几何概型的常见题型
几何概型经典练习题
几何概型题目选讲1•在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC , CB 的长，则该矩形面积4 — 0+ 12— 8 2解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? 0v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率 P =―0+—— =-.12 3 小于32 cm 2的概率为() A.16C.f D'42 .已知圆 C : x 2 y 2=12,l : 4x 3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。
解：P(A)=3 •设不等式组 °仝x< 2表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 0< y w 22的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上,*0W x < 2， 表示的区域D0W y < 2nX 44— 4 4— n为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 —=4 44 •在区间［0,9］上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式 K log z x w 2的概率为2 解析：由1W Iog 2x w 2,得2W x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为-.5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 ______________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m W — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6< m W2 + 9 44—4或W m w9,因此所求概率P =石6 •甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； ⑵如果甲船的2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ,贝U 0< x v 24,0< y v 24 且 y — x > 4 或 y — x < — 4.0< x v 24,作出区域 0W y v 24,y — x > 4或 y — x v—“两船无需等待码头空出”为事件12 X-X 20 X 202 _______ _ 25 24 X 24 — 36.⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域A ，贝U P(A)=⑶因为 a , b € Z ,且 a € A , b € B ，所以，基本事件共12 个：(一2, — 1), ( — 2,0), (— 2,1), (— 2,2), (— 1,—1), ( — 1,0), (— 1,1), (— 1,2), (0 , — 1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) •设事件 E 为 “ b — a € A U B ”，则事件 E 中包含 99 3个基本事件，事件 E 的概率P(E) = — = 4.10•袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个•已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是 ；(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b.①记事件 A 表示“ a + b = 2”，求事件 A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x , y ,求事件“ x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”的概率.n 1解:(1)由题意可知： ------- =1，解得n = 2.(2)①不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1), (0,21),1+ 1 + n 20 W x v 24 , 0 W y v 24,y — x >4或x — y > 2.11X 20 X 20+4 22 X 22 2 2 _______ = 442_ 22124 X 24 576 288.2 27.知k € [— 2,2 ],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + y + kx — 2y —错误！未找到引用源。
几何概型的经典例题
几何概型的经典例题
一、例题
在区间[ - 1,2]上随机取一个数x，则| x|≤slant1的概率为多少？
二、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域长度
- 区间[ - 1,2]的长度为2-( - 1)=3。
2. 然后确定满足条件| x|≤slant1，即-1≤slant x≤slant1的区域长度
- 区间[ - 1,1]的长度为1-( - 1)=2。
3. 最后根据几何概型的概率公式P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))
- 这里是在数轴上的区间问题，属于长度型几何概型，所以P = (2)/(3)。
三、例题
已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，求点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率。
四、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域面积
- 正方形ABCD的边长为2，则其面积S = 2×2 = 4。
2. 然后确定满足条件的区域面积
- 点P到正方形各顶点的距离都大于1，那么点P在以正方形各顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆的外部（这些圆在正方形内部的部分）。
- 四个四分之一圆的面积之和相当于一个半径为1的圆的面积，即
S_1=π×1^2=π。
- 满足条件的区域面积S_2=4 - π。
3. 最后根据几何概型的概率公式
- 这里是平面区域问题，属于面积型几何概型，所以P=frac{S_2}{S}=(4 - π)/(4)。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
高二数学几何概型知识及常见题型梳理
几何概型知识与常有题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率观察中的要点，下边就几何概型的知识与常有题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清楚，头头是道。
一基本知识解析1.几何概型的定义：假如每个事件发生的概率只与构成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2.几何概型的概率公式：构成事件 A的地区长度（面积或体积）P（A）=的地区长度（面积或体；试验的所有结果所构成积）3.几何概型的特色：1）试验中所有可能出现的结果（基本领件）有无穷多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型拥有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无穷多个结果，且与事件的地区长度（或面积、体积等）相关，即试验结果拥有无穷性，是不行数的。
这是两者的不一样之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都拥有等可能性，这是两者的共性。
经过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型拥有无穷性和等可能性两个特色，无穷性是指在一次试验中，基本领件的个数能够是无穷的，这是划分几何概型与古典概型的要点所在；等可能性是指每一个基本领件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
所以，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比率法”，即随机事件 A 的概率能够用“事件 A 包含的基本领件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本领件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。
下边就几何概型常有种类题作一概括梳理。
二常有题型梳理1.长度之比种类例 1. 小欲在国庆六十周年以后从某车站搭车出门观察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小等车时间不多于10 分钟的概率．例 2在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，求这个正方形的2与 81cm 2面积介于 36cm之间的概率．2.面积、体积之比种类例 3. （ 08 高考 6） .在平面直角坐标系xoy 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的地区， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的地区，向 D 中任意投一点，则落入 E 中的概率为。
几何概型常见题型归类
几何概型常见题型归类作者：杨爱平来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期几何概型的特点是实验的基本事件是无限多个,每一个基本事件发生的可能性是相等的,并且分布是均匀的.处理几何概型问题不仅要明确概念,掌握公式,更主要的是及时把问题转化为相应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.正确选择恰当的几何概型决定了问题解决的成败,下面是常见的几何概型问题.一、与角度有关的几何概型【例1】如图1所示,设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点B与A连结,求弦长超过半径的2倍的概率.分析:在圆周上任取一点是随机的且是等可能的,符合几何概型的条件.关键是选择恰当的几何量,确定好事件发生的分界点.图1解:设圆的半径为r,当弦长恰好为2r时,它所对的圆心角恰为90°,则要使弦长大于2r,圆心角必大于90°且小于270°.所以所求事件的概率为270°-90°360°=12.点评:本题是一个与角度有关的几何概型,关键是建立好几何图形与概率问题的联系.二、与长度有关的问题【例2】如图2所示,在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P.则△PBC的面积大于S4的概率是().图2A.14B.12C.34D.23分析:如图2所示,设△ABC的BC边上的高为AD,在AB边上任取一点P,由点P作PE⊥BC,垂足为E,则易知当PE>14AD时,△PBC的面积大于S4,即当BPBA>14时,△PBC的面积大于S4.由几何概型的公式,得P(△PBC的面积大于S4)=341=34.故答案选C.点评:解决本题的关键是将面积的比转化为长度型的几何概率问题.三、与面积有关的问题图3【例3】如图3所示,以正方形ABCD的边长为直径作半圆,重叠部分为花瓣.现在向该正方形区域内随机地投掷一飞镖,假定飞镖落在正方形区域的每一点是等可能,并且飞镖一定落在正方形区域内.求飞镖落在花瓣内的概率.分析:飞镖落在正方形区域的每一点是等可能,符合几何概型的条件.落在每一个点都可以看成一个基本事件,此时所有的基本事件组合起来是面积,故应转化为用面积计算.花瓣正方形=12πr2×4-(2r)2(2r)2=π-22.故飞镖落在花瓣内的概率为π-22.点评:此题是用面积计算,关键是正确算出花瓣面积.四、与体积有关的问题【例4】一个球形容器的半径为3cm,里面装有纯净水,因为实验人员不小心混入了一个病毒,从中任取1mL水,含有病毒的概率是多少?分析:病毒在水中的分布可以看作是随机的,从中取得1mL水可看做构成事件的区域,球形容器内的水的体积可看做实验的所有结果构成的区域,可用体积比公式计算其概率.解析:根据题意,得球形容器内的水的体积为所以从中任取1mL水,含有病毒的概率为136π≈0.00884.点评:用体积计算概率时,要注意所求概率与取出体积的关系.事实上,水中含有病毒的概率只与杯中水的体积有关,因而只需要求得取出水样的体积与原有水的体积的比即可.图4巩固练习:1.如图4所示,在平面直角坐标系内,射线OT是60°角的终边,任作一条射线OA,求射线OA落在∠xOT内的概率.图52.一只蚂蚁在如图5所示的地板砖(除颜色不同外,其余都相同)上爬来爬去,求它最后停在阴影地板砖上的概率.3.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).4.在1L高产夏小麦种子里面混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?(责任编辑金铃)。
高二数学几何概型知识与常见题型梳理
几何概型知识与常见题型梳理何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即 试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理， 我们不难看出其要核是： 要抓住几何概型具有无限性和等可能性 两个特点，无限性是指在一次试验中， 基本事件的个数可以是无限的， 这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相 同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的 长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之 比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
二常见题型梳理 1. 长度之比类型例1.小欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时 一班，求小等车时间不多于 10分钟的概率.例2在长为12cm 的线段AB 上任取一点 M ,并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的 面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率.2. 面积、体积之比类型几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型， 是概率考查中的重点， 下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。
一基本知识剖析1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2. 几何概型的概率公式：构成事件A 的区域长度（面积或体 积） P （A ） = —-~————-试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件） 事件出现的可能性相等.4. 几何概型与古典概型的比较 ：一方面，古典概型具有有限性，积）’有无限多个; 2）每个基本 即试验结果是可数的；而几例3. （08高考6）.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率&AB C 中，过直角顶点C 在 ACB 部做一条射线CM ,与线段 AC 的概率。
3.3剖析几何概型的五类重要题型
剖析几何概型的五类重要题型解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．1.几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.(3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d.(4)利用几何概型概率公式计算．4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．下面举几个常见的几何概型问题.一.与长度有关的几何概型例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米， ∴313010)(==E P .方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．二.与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．三.与体积有关的几何概型例3.在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}(1)构造出随机事件A 对应的几何图形；（2)利用该图形求事件A 的概率.思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x 2+y 2+z 2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A 的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．解：（1）A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x ≥0,y ≥0,z ≥0的部分，如图所示．(2)由于x,y,z 属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分．∴6113481)(33ππ=⨯⨯=A P . 方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.四.求会面问题中的概率例4 两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即32小时．设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤32，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤32.两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为981)31(122=-==单位正方形阴影S S P . 方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．五.均匀随机数的应用例5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2x 与x 轴、x=±1围成的部分）面积．思路点拨 不规则图形的面积可用随机模拟法计算．解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的随机数,a 1=rand （ ），b 1=rand( )．(2)进行平移和伸缩变换,a=(a 1-0.5)*2,b=b 1*2,得到一组[0,2]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.(4)计算频率N N 1，则NN 1即为落在阴影部分的概率的近似值． (5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率4S P(6)因为N N 1=4S ,所以S=N N 14即为阴影部分的面积. 方法技巧 根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值．。
几何概型专题知识
(2)基本事件发生是等可能旳.
古典概型与几何概型旳区别 相同点 ：每一种基本事件出现旳可能性
都相等。
不同点 ：古典概型中基本事件为有限 个;几何概型中基本事件为无限个
几何概型中，事件A旳概率旳计算公式：
构成事件A旳区域长度(面
P（A）=
积或体积) 试验旳全部成果构成旳
卧室
书房
引例1：如图，转盘上有8个面积相 等旳扇形，转动转盘，求转盘停止 转动时指针落在阴影部分旳概率.
P( A) 1 2
引例2：在500ml旳水中有一种草履虫，现从 中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发
觉草履虫旳概率. P( A) 1 250
建构数学
假如每个事件发生旳概率只与构成该事件 区域旳长度(面积或体积)成百分比，则称这 么旳概率模型为几何概率模型，简称为几何 概型。
用对立事件来求。 (2)要注意基本事件是等可能旳。
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你爸爸 离开家去工作旳时间在早上7:00—8:00之间, 问你爸爸在离开家前能得到报纸(称为事件A) 旳概率是多少?
解: 以横坐标X表达报纸送到时间,以纵坐标Y表 达爸爸离家时间建立平面直角坐标系,假设随 机试验落在方形区域内任何一点是等可能旳, 所以符合几何概型旳条件.根据题意,只要点 落到阴影部分,就表达爸爸在离开家前能得到 报纸,即时间A发生,所以
602 302
P(A)
2 602
87.5%.
思维训练：
1、一位汽车司机准备去商场购物，然后他随
意把汽车停在某个停车场内，停车场分A、B
两区，停车场内一种停车位置恰好占一种方
格且一种方格除颜色外完全一样，则汽车停
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几 何 概 型 的 常 见 题 型
李凌奇2017-06-26
1．与长度有关的几何概型
例1．在区间]1,1[上随机取一个数x，2cosx的值介于0到21之间的概率为( ).
A.31 B.2 C.21 D.32
分析：在区间]1,1[上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[的任意一
个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的
概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.
解：在区间]1,1[上随机取一个数x,即[1,1]x时,要使cos2x的值介于0到21之间,
需使223x或322x
∴213x或213x，区间长度为32，
由几何概型知使cos2x的值介于0到21之间的概率为
31232度所有结果构成的区间长
符合条件的区间长度
P
. 故选A.
2．与面积有关的几何概型
例2．ABCD为长方形，1,2BCAB，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一
点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）
A．4 B.14 C.8 D.18
分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多
个，所以符合几何概型.
解：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2
因此取到的点到O的距离大于1的面积为22，
则取到的点到O的距离大于1的概率为
A
O
D
C
B
1图
412221)(的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD
O
AP
.
故选B.
3．与角度有关的几何概型
例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC，求使得
AOC和BOC
都不小于30°的概率？
分析：此题关键是搞清过O作射线OC可以在扇形的任意位置，而且是等
可能的，因此基本事件的发生是等可能的.
解：记事件A是“做射线OC，使得AOC和BOC都不小于30°”，
0
30MONBOMAON
，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，
所以.319030)(00的度数的度数AOBMONAP
4．与体积有关的几何概型
例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，
5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率.
解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，
则.2.051.)(所有水的体积取出的水的体积AP
从而所求的概率为0.2.
5．与线性规划有关的几何概型
例5．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在
下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的
概率是多少？
分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型
需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由
于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送
到和晚饭开始的时间分别为yx、，然后把这
两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问
A
C
B
O
M
N
2图
题转化为线性规划问题进行求解.
解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为yx、.用），（yx表示每次试验的结果，则所有可
能结果为：76,30:630:5),(yxyx，
即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A，则事件A的结
果为：yxyxyxA,76,30:630:5),(，即为图2中阴影部分区域.
111ABCDS
，872121211阴影S.
所以所求概率为：87187ABCDSSP阴影.
故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是87.
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：
（1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为yx,；
（2）集合表示.用),(yx表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事
件A所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.
（3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合A,对应的区域的面积.
（4）计算求解.由几何概型公式求出概率.