几何概型的五类重要题型

剖析几何概型的五类重要题型
解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公
式:积等）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =
.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
1.几何概型的两个特征：
(1)试验结果有无限多；
(2)每个结果的出现是等可能的．
事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．
2..解决几何概型的求概率问题
关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
3.用几何概型解简单试验问题的方法
(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．
(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.
(3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d.
(4)利用几何概型概率公式计算．
4.均匀随机数
在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．
5.均匀随机数的应用
(1)用随机模拟法估计几何概率；
(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．
下面举几个常见的几何概型问题.
一.与长度有关的几何概型
例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？
思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．
解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×
31=10米， ∴3
13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
二.与面积有关的几何概型
例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．
解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为
2212241cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.124
1cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.01224
12.1241)(2
22
2=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.
方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．
三.与体积有关的几何概型
例3.在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}
(1)构造出随机事件A 对应的几何图形；
（2)利用该图形求事件A 的概率.
思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x 2+y 2+z 2＜1表示的几何图形是
以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所
以事件A
的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．
解：（1）A={(x,y,z)| x 2+y 2+z 2＜1, x ≥0,y ≥0,z ≥0}表示空间直角坐标系中
以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x ≥0,y ≥0,z ≥0的部分，如图所示．
(2)由于x,y,z 属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分． ∴61
13
481)(33ππ=⨯⨯=A P . 方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.
四.求会面问题中的概率
例4 两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即
32小时．设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-32≤x-y ≤3
2，因此转化成面积问题，利用几何概型求解． 解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，
当且仅当-32≤x-y ≤3
2. 两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为
981)31(12
2=-==单位正方形阴影
S S P
.
方法技巧 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
五.均匀随机数的应用
例5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2x 与x 轴、x=±1围成的部分）面积．
思路点拨 不规则图形的面积可用随机模拟法计算．
解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的随机数,a 1=rand （ ），b 1=rand( )．
(2)进行平移和伸缩变换,a=(a 1-0.5)*2,b=b 1*2,得到一组[0,2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.
(4)计算频率N N 1，则N
N 1即为落在阴影部分的概率的近似值． (5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率4S P
(6)因为N N 1=4S ,所以S=N
N 14即为阴影部分的面积. 方法技巧 根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值．。