人教版高中数学必修三第三章概率几何概型知识与常见题型梳理

合集下载

必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：

高中数学必修3 第三章概率知识点总结及强化训练一、知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

人教版高中数学必修三第三章概率《几何概型》备课资料

《几何概型》备课资料教学内容的分析1.从教材的地位和作用来看本课选自人教A 版（必修3）第三章《概率》中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情况下教学的。

它是对古典概型内容的进一步拓展，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。

2.从学生学习角度来看从学生的思维特点看，很容易将本节内容与古典概型进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：基本事件个数由有限向无限过渡，以及对实际背景的转化上还存在一定的认知困难。

3.教学重难点重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。

教学目标1.知识与技能以学生动手试验为主要形式，通过解决具体问题来感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义.2.过程与方法通过多个问题的分析及模拟试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。

3.情感、态度与价值观教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。

教学过程：引入1：复习古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数对比练习：1.(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲掷一次获胜（事件A ）的概率？2. （转盘游戏）：如图转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.求甲获胜（事件A ）的概率是多少?思考：⑴两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？赌博游戏分析：骰子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型；所以P （A ）=61 转盘游戏分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型； ⑵你是如何解决这些问题的？利用模拟实验得到概率探究归纳（模拟实验）：1.转盘游戏引导：先分析，做示范。

人教版高中数学必修三第三章概率几何概型

几何概型
一、高考要求：
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 2.了解几何概型的意义。二、重点难点聚焦
教学重点 : 理解几何概型的意义，会用公式计算几何概率
教学难点：如何计算基本事件总体与事件
A 包含的基本事件对应的区域的长度（面积、体积、
角度）
三．要点精讲
1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
构成事件 A的区域长度（面积或体积）
P（ A） =
。
试验的全部结果所构成的区域概型（ 1）设线段 l 是线段 L 的一部分 , 向线段 L 上任投一点 . 若落在线段 l 上的点数与线段 L 的长度成正比 , 而与线段 l 在线段 l 上的相对位置无关 , 则点落在线段 l 上的概率为： P=l 的长度 /L 的长度（ 2）设平面区域 g 是平面区域 G的一部分 , 向区域 G上任投一点 , 若落在区域 g 上的点数与区域 g 的面积成正比 , 而与区域 g 在区域 G上的相对位置无关 , 则点落在区域 g 上概率为： P=g 的面积 /G 的面积（ 3）设空间区域上 v 是空间区域 V 的一部分 , 向区域 V 上任投一点 . 若落在区域 v 上的点数与区域 v 的体积成正比 , 而与区域 v 在区域 v 上的相对位置无关 , 则点落在区域 V 上的概率为： P=v 的体积 /V 的体积四．典例解析题型 1：线长问题（与长度有关的几何概型）例 1、有一段长为 10 米的木棍，现要截成两段，每段不小于 3 米的概率有多大？
解记“剪得两段都不小于 3 米”为事件 A ，从木棍的两端各度量出 3 米，这样中间就有 10-3-3=4
（米） . 在中间的 4 米长的木棍处剪都能满足条件，所以

高中数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A版必修3

高二数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点（2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式（3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。

难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。

三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。

（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。

2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。

说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。

（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。

4、模拟计算几何概型的步骤：（1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n；（3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。

高中数学必修3概率统计常考题型：几何概型.doc

几何概型【知识梳理】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).【常考题型】题型一、与长度有关的几何概型【例1】 (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．[解析] ∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.[答案] 23(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解] 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.【类题通法】1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.【对点训练】一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.题型二、与面积有关的几何概型【例2】 (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )(2)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8[解析] (1)根据几何概型的面积比，A 中中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.[答案] (1)A (2)B 【类题通法】1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．解析：如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16题型三、与角度有关的几何概型【例3】在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．[解] 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.【类题通法】与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．【对点训练】如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A. 题型四、与体积有关的几何概型【例4】 (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π[解析] 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. [答案] D(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．[解析] 设正方体的棱长为2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.[答案] π6【类题通法】与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.【对点训练】有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解：圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “P到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.【练习反馈】1．下列概率模型中，几何概型的个数为( ) ①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．2．如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512.3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根，∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.答案：144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解：设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－ 3 π24.。

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析(公式)新选.

新课标必修3概率部分知识点总结◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )❖ 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值♦ 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和⌧ 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P = ⍓ 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为()的侧度的侧度D d A P = （这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

人教版高中数学必修三 3.3.1《几何概型》要点梳理+考点探究

人教版高中数学必修三第三章统计3.3.1《几何概型》要点梳理【学习目标】1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．【要点梳理·夯实知识基础】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与____________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．根据定义，向半径为r的圆内投针，落在圆心上的概率为0，因为点的面积为0，但此事件不一定不发生．[答案]构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例2．几何概型的两个基本特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个．(2)每个基本事件出现的可能性________．[答案](1)无限多(2)相等3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19. ()答案: (1)√(2)√(3)×(4)×2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.12 B.13 C.14D．1答案: B解析: 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为1 3.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()A B C D答案: A解析: ∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．]4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于16的概率为________．答案: 1 2解析: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，则13×S四边形ABCD×h＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h＝12.若体积小于16，则h＜12.即点M在正方体的下半部分，所以P＝12.5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案: 0.18解析: 由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 【考点探究·突破重点难点】考点一：与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16B.13C.23D.45答案: C解析: 设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.2．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案: 95 解析: 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝95. 3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案: 43 解析: 过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝43. [解题方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法,求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).[跟踪练习](1)在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为( ) A.43 B.32 C.31 D.41 答案: A 解析:由-1≤lo ≤1,得lo 2≤lo ≤lo ,所以21≤x+21≤2, 所以0≤x ≤23.由几何概型可知,事件发生的概率为02023--＝43. (2)设p 在区间[0,5]上随机地取值,则关于x 的方程x 2+px+1=0有实数根的概率为( )A .51 B .52 C .53 D .54 答案:C 解析:因为方程x 2+px+1=0有实根,则Δ=p 2-4≥0,解得p ≥2或p ≤-2(舍去),所以由几何概型可知所求的概率为0525--＝53,应选C . (3)已知A 为圆周上一点,在圆周上等可能地取点B ,与A 连接,则弦AB 长不超过半径的概率为( )A.81B. 41 C.31 D.21 答案:C 解析:如图,O 为圆的圆心,∠AOP=∠AOP'=60°,因为当点B 在劣弧上时,AB 长不超过半径, 所以所求概率为00360120＝31. (4)在区间[-2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为65, 则m= .答案:3 解析:由题意[-2,4]的区间长度为6,而满足条件的x 取值范围的区间长度为5,故m 取3,x ∈[-2,3].考点二：与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4答案: B解析: 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8. 故选B.►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.1 4B.12 C.23 D.34答案: A解析: 依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝S阴影S正方形＝12×12×112＝14.[1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．[跟踪练习](1)已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A．1－π4 B.π4 C.π－32 D.π2－1(2)在满足不等式组⎩⎨⎧x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0－2x0”，那么事件A发生的概率是()A.14 B.34 C.13 D.23(1)A(2)B[(1)方程有实数根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.考点三：与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC ＜12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14答案: A解析: 当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.13D.12答案: D解析: 由题图可知V F -AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，VADF -BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.[求解与体积有关的几何概型的注意点,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.[跟踪练习](1)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取点M ,求使四棱锥M-ABCD 的体积小于61的概率. 解:如图是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,设四棱锥M-ABCD 的高为h ,由31×S 正方形ABCD ×h<61, 又S 正方形ABCD =1,∴h<21,即点M 在正方体的下半部分. ∴所求概率为1111111121D C B A ABCD D C B A ABCD V V --正方体正方体＝21.【连线真题·提升备考能力】1．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案: B解析: 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310答案: B解析: 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn答案: C解析: 因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.][处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

几何概型知识与常见题型梳理
基本知识
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
2.几何概型的概率公式 P(A)=积）
的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3.几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.
4.几何概型与古典概型的比较
一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是两者的共性.
通过以上对几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要点是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提.因此，用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示.
常见题型
1.长度之比类型
例1 小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率.
分析因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.
解设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小时，即60分钟.因此，由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060-=61，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为6
1. 例2 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方
形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率.
分析正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率.
解记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于
6cm 与9 cm 之间”的概率，所以有P(A)= 9612-=14.
小结本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本题的关键所在.同时，本题也体现了数学上的化归思想的作用.
2.面积、体积之比类型
例3 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成
的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 .
解如图1所示，区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内
部(含边界)，而区域E 表示单位圆及其内部，所以有
2
14416P ππ
⨯==⨯.
小结本题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是
不可数的，属于几何概型中典型的面积之比.
3.角度之比类型
例4 如图2所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部作一条射
线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率.
分析当AM AC =时，有ACM AMC ∠=∠，故欲使A M A C <，应有ACM AMC ∠<∠，即所作的射线应落在ACM AMC ∠=∠时ACM ∠的内部.
解在AB 上取AD AC =，连接CD ，则00
01804567.52
ACD -∠==.记“在内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM AC <”为事件A ，则0067.53()904
P A ==.故AM AC <的概率为34
. 小结本题所求事件的本质是在ACB ∠内部作一条射线CM ，所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型.解答本题时易犯的错误是，用长度的比得
12=-这一错误结果. 4.“会面”类型的几何概型
例5 某码头接到通知，甲、乙两艘轮船都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的轮船要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才能离开.求两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.
解设事件A 表示两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘轮船到的时间分别为9点到10点之间的x 分与y 分，则|x-y|≤20，0≤x ≤60，0≤y ≤60，即
2020()|060060x y A x x y ⎧-≤-≤⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤≤⎩⎩⎭
，y .以9点为原点，建立平面直角坐标系，如图3所示，则事件A 所对应的区域为图3中的阴影区域. C
A B M D
所以，其概率P(A)=阴影面积/ABCD 的面积=5/9.
小结 “会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其关键是构建相遇的不等式(组)，借助于线性规划知识，将其面积之比求出，从而使问题得以顺利解决.
5.与其他知识综合的类型
例6 已知两数m n ，是某事件发生的概率取值，则关于x 的一元二次方
程20x m +=有实根的概率是 A.12 B.14 C.18 D.116
解事件发生的概率取值为[01]，，故[01]，即为两数m n ，的取值范围.在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为(m n ，)与图4中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件A
表示方程2
0x m -+=有实根，则事件40()|0101n m A m n m n ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤≤⎩⎩⎭
，所对应的区域为图4中的阴影部分，且阴影部分的面积为18.故由几何概型公式，可得1()8
S P A S ==阴影正方形，即关于x
的一元二次方程2
0x m +=有实根的概率为18. 小结将方程的根、线性规划问题以及概率知识有机地结合在一起，注重在知识的交汇点处命题，是近几年高考的命题趋势.
对于上述几何概型题中最典型的五种类型，即长度之比类型、面积(体积)之比类型、角度之比类型、“会面”问题类型和综合类型，不管解决哪种类型的问题，其关键都要选择适当的角度，使基本事件转化为与之对应的总体区域，将所求问题转化为随机事件对应的子区域，然后代入公式进行计算求解.。

人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型知识与常见题型梳理