二次型及其应用
二次型的基本理论和应用
二次型的基本理论和应用二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。
一、二次型的定义二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。
二、二次型的矩阵二次型的矩阵有很多重要性质：1. 对称矩阵二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。
2. 正定矩阵若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。
若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。
正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。
3. 特征值和特征向量二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$$其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若$\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
二次型及其特征向量的应用
二次型及其特征向量的应用二次型作为高等数学中非常重要的一个概念，其在数学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我将会介绍二次型的相关知识以及其在特征向量方面的应用，希望可以为读者提供一些关于该主题的基础认识。
一、二次型1.1 二次型的定义二次型指的是一个实数域或复数域内的向量空间V的一个关于向量的二次齐次多项式形式，即：$ Q(x) = x^{T}Ax $其中，A是该二次型的矩阵表达式，$x^{T}$表示其转置，而x 则是该向量空间V中的任意向量。
1.2 二次型的矩阵由于二次型的定义中与之相关的矩阵A是理解与计算二次型的关键，因此我们需要对该矩阵进行详细的介绍。
对于一个n元二次型而言，其矩阵A是一个$n \times n$的矩阵，其中第$(i,j)$项表示的是二次型的系数，即：$ A_{i,j} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i}\partial x_{j}})+\dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{j}\partial x_{i}}) $其中，$\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$是对该二次型进行求导的结果。
1.3 二次型的分类二次型可以分为正定、负定、不定和半定四种类型。
当该二次型对于V中任意非零向量的取值均为正数时，我们将其称之为正定二次型；反之，若其对于V中任意非零向量的取值均为负数，则为负定二次型。
而若其既可以取正数也可以取负数，则为不定二次型。
若该二次型仅针对于某些特定域中的非零向量的取值均为非负数或非正数，则为半定二次型。
1.4 二次型的规范形对于二次型而言，其规范形是它的一个矩阵形式，该矩阵表示为$diag(\lambda_{1}, \lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}, 0, \cdots, 0)$。
二次型在经济管理中的应用简介
二次型在经济管理中的应用简介一、引言二次型是高等数学中的一个重要概念，其在经济管理中有着广泛的应用。
本文将从二次型的定义、性质及应用方面进行详细介绍。
二、二次型的定义及性质1. 二次型的定义二次型是指具有形如 $Q(x)=x^T A x$ 的函数，其中 $x$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $n \times n$ 的实对称矩阵。
2. 二次型的性质（1）对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$ 或 $Q(x)<0$ 或$Q(x)=0$。
（2）若矩阵 $A$ 正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$。
（3）若矩阵 $A$ 半正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\geqslant 0$。
（4）若矩阵 $A$ 半负定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\leqslant 0$。
三、经济管理中的应用1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的回归分析方法，在经济管理中广泛应用。
最小二乘法可以转化为求解一个二次型的最小值问题，即$\min\limits_{\beta} \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij})^2$，其中 $y_i$ 是因变量，$x_{ij}$ 是自变量，$\beta_j$ 是回归系数。
将其转化为矩阵形式为$\min\limits_{\beta} (Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$，其中$Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，$X=\begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1p}\\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{np}\\\end{pmatrix}$。
二次型化为标准型的方法及其应用
二次型化为标准型的方法及其应用二次型是高中数学中的一个重要概念，它在代数学、线性代数以及物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次型的基本概念，探讨将二次型化为标准型的方法，并讨论其在实际问题中的应用。
一、二次型的基本概念二次型是指多元二次方程的一种特殊形式。
具体而言，给定n个变量$x_1, x_2, ..., x_n$以及实数系数$a_{ij}$，则形如$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$的函数称为二次型。
二次型的矩阵形式可以表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，其中$\boldsymbol{x}$是一个$n$维列向量，$\boldsymbol{A}$是一个$n\times n$的实对称矩阵。
二、二次型的标准型将二次型化为标准型是研究二次型性质的重要一步。
标准型是指一个二次型经过线性变换后的简化形式，其中只含有平方项，不含交叉项。
二次型化为标准型的方法主要有以下两种：1. 特征值法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，可以将二次型对应的矩阵对角化，从而达到化简的目的。
具体而言，设$\boldsymbol{A}$是一个实对称矩阵，其特征值和特征向量分别为$\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$和$\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, ...,\boldsymbol{P}_n$，满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i=\lambda_i\boldsymbol{P}_i$，则对应的二次型可以通过线性变换$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{x}$转化为标准型$Q(\boldsymbol{y})=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n ^2$。
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二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
数学中的二次型和正交矩阵的应用
数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。
其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。
一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。
在矩阵理论中，二次型的概念很重要。
它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。
当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。
当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。
当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。
这些性质在数学和物理中都有很多应用。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。
正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。
例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。
这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。
正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。
也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。
这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。
三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。
例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。
本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
在这个定义下，二次型有以下几个性质：1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。
也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。
2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。
3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。
4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。
5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。
6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。
二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。
标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。
对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =y^TP^TAPy = y^TDy。
标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。
三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
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探※※※※※※※※2016届学生※毕业论文材料:..（四）x ..学生毕业论文2016年3月15日湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业设计（论文）作者签名：二O—六年六月日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1.二次型基本理论 (2)1.1二次型的矩阵表示 (2)1.2矩阵的合同关系 (2)1.3二次型的标准型、规范型及其性质 (3)1.4正定二次型及其性质 (3)2.二次型的实例应用 (5)2.1二次型在初等数学中的应用 (5)2.1.1二次型与因式分解 (5)2.1.2二次型与不等式的证明 (7)2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7)2.1.4求解多元二次函数最值 (9)2.1.5二次型与条件极值 (12)2.2二次型在高等数学中的应用 (13)2.2.1二次型在曲面上的应用 (13)2.2.2二次型在最小二乘法上的应用 (14)参考文献 (17)致谢 (17)附录 (18)二次型及其应用摘要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。
然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。
因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。
关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分Quadratic Form and Its ApplicationsAbstract：Quadratic form is an important content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project researches all the properties of quadratic form in order to solve the questi ons about factorizati on, the proof of in equality, the extremum of the binary and multivariate quadratic fun cti on and a part of curve and curved surface integral. Expand the quadratic form using scope of elementary mathematics and higher mathematics, and make un dergraduates un dersta nd and use quadratic form thoroughly at the same time.Key Words：Quadratic Form ；Positive Definite Matrix ；Orthogonal Transformation ; Multivariate Quadratic Function ; Curved Surface Integral1 二次型基本理论二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系——二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以及正定（半正定）二次型关于矩阵特征值等等。
在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。
1.1二次型的矩阵表示二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。
使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。
根据二次型的定义，将其表示为nnf (x1,x2, ,x n )i a ij x i x j1j1（1.1）a11 a12 a1n把等式右边的系数转化为矩阵，即 A a21 a22a2n。
a n1 a n2 a nn所以二次型（ 1.1）的矩阵表示为f （x1,x2, ,x n） XAX其中 A 是表示其系数的对称矩阵， X x1,x2, ,x n 。
1.2二次型与矩阵的合同关系定义1.1⑴ 设数域P上n n的矩阵A和B，如果有同数域上的可逆的n n矩阵C , 使得B CAC ，则称 A 和 B 是合同的，即 A 与 B 是合同关系。
显然，要使新二次型的矩阵还原至原二次型矩阵，只需再令Y C-1X ，而后做线性替换即可。
所以，要了解或是使用原二次型的性质，可通过研究变换后的二次型的性质来实现。
1.3二次型的标准型、规范型及其性质定义 1.2[1]二次型f(x1,x2, , x n )经过非退化的线性的替换而成的平方和f (X1,X2, ,X n) g(y1,y2, y n) 22a1y1 a2 y2 2 a n y n(1.4)称为f (X j, X2， ,X n)的一个标准型。
a10 0匕时，二次型的系数矩阵应为A a2。
0 0 a n根据二次型的标准型( 1.4)，再作一次对应的非退化线性替换可得2 2 2 g(y1,y2, y n) h(z1,z2, z n) z1 z2 z n (1.6) (1.6)式即为复二次型 f (x1,x2, , x n )的规范型，其中 z i (i 1,2 n )属于复数域。
同理，将实数域中的二次型标准型的系数取绝对值开方后加符号，可以得到定理 1.1[1](惯性定理) 任一个实数域上的二次型，可以经过一系列非退化线性替换变为唯一的规范型，即2 2 2 2g(y1,y2, y n) h(z1,z2, z r) z1 z p z p 1 z r 另外，在实数域二次型f(x1,x2, , x n )的规范型中，我们将正平方项的个数p 称为f(X i，X2， ,X n)的正惯性指数，而将其负平方项的个数 r p称为f(X「X2，,X n)的负惯性指数；它们的差p (r p) 2p r称为f(X!,X2, x)的符号差。
1.4正定二次型及其性质正定二次型是实数域二次型中特殊的集合，它们有着非常重要的性质。
在初等数学和高等数学中，灵活运用正定二次型的性质可以让问题简化处理。
定义1.3[1]如果对于任一组不全为零的实数5C2，C n都可使实数域二次型f(XpX2，,X n)满足f (C i，C2， ,C n) 0，贝吐匕二次型称为正定的。
矩阵A称为正定矩阵，当且仅当二次型 XAX正定时成立。
对比正定性的定义，二次型的负定性、半定型与不定性有着类似的定义。
这里给出正定二次型的一个特别的判断定理：定理 1.2[1]实数域二次型nn,x n) a ij x i x j XAXi1j1是正定的充分必要条件为 A 的顺序主子式全大于零f (x1,x2,关于半正定性 (半负定性即在函数式添加负号，为简便故只讨论一种情况) 的判定，直接给出如下结论：定理1.3[1]对于实数域的二次型f^M, ,X n) XAX，其中A是对称的实数域矩阵，则下述条件等价：(1)f(x1,x2, , x n )的正惯性指数与秩相等，(2)f(x「X2，x)的正惯性指数为r , r n ,其符号差也为r ,2 2 2(3)f(X i,X2, ,x n)的规范型为 y i y2 ，(4)存在实数域矩阵D，使得A DD，(5)矩阵 A 的所有主子式大于或等于零(主子式为行指标与列指标相同的子式)。
(6)有可逆的实数域矩阵 C ，使d1d2CAC 2，d n其中 d i 0，i 1,2, ,n 。
需要注意的是，对于第( 5)条，只判断顺序主子式的性质并不能确保半正定性。
例如0 0 X1 2f(X1,X2) (X1,X2)(0 1)(X12) X22就是负定的2 二次型的应用实例二次型基于函数与矩阵的关系，能有效的解决函数、矩阵方面的问题。
因此，拓广二次型在初等数学和高等数学中的使用方式，能有效得体现出二次型的各项特性，并 为充分认识和使用二次型形成了条件。
2.1 二次型在初等数学中的应用在初等数学中，函数的地位举足轻重。
因此，讨论二次型在初等数学中关于函数 的作用 ,既是对二次型的使用范围进行扩充、 对其使用方式进行变通， 同时也为解题思路 提供了更多的方向。
2.1.1 二次型与因式分解因式分解，即把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式的过程。
对二次型而 言，其函数表达式最高为二次， 因此在讨论因式分解时， 其多项式次数大于三均不考虑。
现假设有二元函数表达式为原 二 次型 的 规 范 型 ，而 矩 阵 A 应 合 同 于 规 范 型 的 矩 阵 B 。
现 设 出 矩阵f (x 1,x 2) a 1x 122a 2x 2 a 3x 1x 2 a 4x 1 a 5x 22.1)此时，存在二次型无法表达的一次项和常数项，因此，将( 2.1)式扩展为 22g(x 1,x 2,x 3) a 1x 1 a 2x 2 a 3 x 1 x 2 a 4x 1x 3 a 5x 2x 32 a 6x3后，可得 f (x 1,x 2) g(x 1,x 2,1) 。
下面，用矩阵表示出 g(x 1, x 2, x 3) ，可得a 1 a 3 /2 g(x 1,x 2,x 3) x 1,x 2,x 3 a 3 /2 a 2 a 4 /2 a 5 /2 a 4 /2 x 1a 5 /2 x 2a6x3a1a 3/2a 4 /2 a 3/2 a2a 5/2a 4/2a 5 /2 ，由定理 1.2可知g(x 1,x 2,x 3) a6h y 1,y 2,y 3 ，其中 h y 1,y 2,y 3 是a70 0B 0 a8 0 , g(x1,x2,x3)是通过非退化线性变换得到h y1, y2, y3 ,故对函数0 0 a9h%,y2，y3 a?%2a^2a g y?2而言，只需对应替换变量即可变换回., 2 2 2 __ g(X i,X2,X3)。