二次型及其应用
二次型的基本理论和应用
二次型的基本理论和应用二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。
一、二次型的定义二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。
二、二次型的矩阵二次型的矩阵有很多重要性质：1. 对称矩阵二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。
2. 正定矩阵若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。
若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。
正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。
3. 特征值和特征向量二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$$其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若$\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。
二次型及其特征向量的应用
二次型及其特征向量的应用二次型作为高等数学中非常重要的一个概念，其在数学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我将会介绍二次型的相关知识以及其在特征向量方面的应用，希望可以为读者提供一些关于该主题的基础认识。
一、二次型1.1 二次型的定义二次型指的是一个实数域或复数域内的向量空间V的一个关于向量的二次齐次多项式形式，即：$ Q(x) = x^{T}Ax $其中，A是该二次型的矩阵表达式，$x^{T}$表示其转置，而x 则是该向量空间V中的任意向量。
1.2 二次型的矩阵由于二次型的定义中与之相关的矩阵A是理解与计算二次型的关键，因此我们需要对该矩阵进行详细的介绍。
对于一个n元二次型而言，其矩阵A是一个$n \times n$的矩阵，其中第$(i,j)$项表示的是二次型的系数，即：$ A_{i,j} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i}\partial x_{j}})+\dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{j}\partial x_{i}}) $其中，$\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$是对该二次型进行求导的结果。
1.3 二次型的分类二次型可以分为正定、负定、不定和半定四种类型。
当该二次型对于V中任意非零向量的取值均为正数时，我们将其称之为正定二次型；反之，若其对于V中任意非零向量的取值均为负数，则为负定二次型。
而若其既可以取正数也可以取负数，则为不定二次型。
若该二次型仅针对于某些特定域中的非零向量的取值均为非负数或非正数，则为半定二次型。
1.4 二次型的规范形对于二次型而言，其规范形是它的一个矩阵形式，该矩阵表示为$diag(\lambda_{1}, \lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}, 0, \cdots, 0)$。
二次型在经济管理中的应用简介
二次型在经济管理中的应用简介一、引言二次型是高等数学中的一个重要概念，其在经济管理中有着广泛的应用。
本文将从二次型的定义、性质及应用方面进行详细介绍。
二、二次型的定义及性质1. 二次型的定义二次型是指具有形如 $Q(x)=x^T A x$ 的函数，其中 $x$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $n \times n$ 的实对称矩阵。
2. 二次型的性质（1）对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$ 或 $Q(x)<0$ 或$Q(x)=0$。
（2）若矩阵 $A$ 正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$。
（3）若矩阵 $A$ 半正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\geqslant 0$。
（4）若矩阵 $A$ 半负定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\leqslant 0$。
三、经济管理中的应用1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的回归分析方法，在经济管理中广泛应用。
最小二乘法可以转化为求解一个二次型的最小值问题，即$\min\limits_{\beta} \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij})^2$，其中 $y_i$ 是因变量，$x_{ij}$ 是自变量，$\beta_j$ 是回归系数。
将其转化为矩阵形式为$\min\limits_{\beta} (Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$，其中$Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，$X=\begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1p}\\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{np}\\\end{pmatrix}$。
二次型化为标准型的方法及其应用
二次型化为标准型的方法及其应用二次型是高中数学中的一个重要概念，它在代数学、线性代数以及物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次型的基本概念，探讨将二次型化为标准型的方法，并讨论其在实际问题中的应用。
一、二次型的基本概念二次型是指多元二次方程的一种特殊形式。
具体而言，给定n个变量$x_1, x_2, ..., x_n$以及实数系数$a_{ij}$，则形如$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$的函数称为二次型。
二次型的矩阵形式可以表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，其中$\boldsymbol{x}$是一个$n$维列向量，$\boldsymbol{A}$是一个$n\times n$的实对称矩阵。
二、二次型的标准型将二次型化为标准型是研究二次型性质的重要一步。
标准型是指一个二次型经过线性变换后的简化形式，其中只含有平方项，不含交叉项。
二次型化为标准型的方法主要有以下两种：1. 特征值法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，可以将二次型对应的矩阵对角化，从而达到化简的目的。
具体而言，设$\boldsymbol{A}$是一个实对称矩阵，其特征值和特征向量分别为$\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$和$\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, ...,\boldsymbol{P}_n$，满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i=\lambda_i\boldsymbol{P}_i$，则对应的二次型可以通过线性变换$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{x}$转化为标准型$Q(\boldsymbol{y})=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n ^2$。
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二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
数学中的二次型和正交矩阵的应用
数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。
其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。
一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。
在矩阵理论中，二次型的概念很重要。
它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。
当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。
当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。
当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。
这些性质在数学和物理中都有很多应用。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。
正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。
例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。
这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。
正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。
也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。
这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。
三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。
例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。
本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
在这个定义下，二次型有以下几个性质：1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。
也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。
2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。
3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。
4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。
5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。
6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。
二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。
标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。
对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =y^TP^TAPy = y^TDy。
标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。
三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
二次型的基本概念及其在代数中的应用
二次型的基本概念及其在代数中的应用二次型是代数中的重要概念之一。
其定义为一个关于一组变量的二次多项式，这个多项式的系数称为二次型的系数。
在这篇文章中，我们将深入探讨二次型的基本概念以及它在代数中的应用。
一、二次型的基本概念二次型的定义我们已经了解了，接下来我们来看一些二次型的基本概念。
1. 正定、负定、不定如果一个二次型在它的所有自变量非零的取值下都大于0，那么这个二次型就是正定的；如果在所有自变量非零的取值下都小于0，那么这个二次型就是负定的；如果既有正的取值，又有负的取值，则这个二次型就是不定的。
2. 极化恒等式极化恒等式是二次型理论中的一个重要结论。
它表示任何一个二次型都可以由一个对称矩阵表示，并且对称矩阵的元素可以由二次型的系数计算得出。
同时，任何对称矩阵所表示的二次型都可以通过极化恒等式得到。
3. 规范形采用正交变换可以将任何二次型转化为一个规范形的二次型，使得这个二次型只包含主对角线上的非零项。
这个规范形可以通过矩阵的相似变换得到。
二、二次型在代数中的应用二次型作为一种数学结构，在代数中有着广泛的应用。
下面我们来分别介绍它在线性代数、微积分、数学物理中的应用。
1. 线性代数在线性代数中，二次型可以用来描述向量空间的内积关系。
比如，我们可以通过矩阵对称性证明对称矩阵所表示的二次型是正定、负定或不定的。
此外，我们还可以使用矩阵的特征值和特征向量来判断二次型的正定性。
2. 微积分在微积分中，二次型可以用来描述二元函数的曲面。
具体而言，我们可以通过二次型的规范形（主轴坐标系）来得到曲面的方程。
这个方程可以展示曲面的主要特征，比如正定二次型的曲面是一个椭球面。
3. 数学物理在数学物理学中，二次型可以用来描述物理系统的能量关系。
比如，我们可以将一个物理系统的能量构成一个二次型，然后通过对称矩阵和规范形来判断系统的状态。
此外，通过变换和对称性，我们还可以得出系统的简化模型和本征频率。
三、总结综上所述，二次型是代数中的重要概念之一。
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滨江学院毕业论文题目二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号***********指导教师吴亚娟职称副教授二Ｏ一四年五月十日目录引言 (1)1、二次型的相关定义和定理 (1)1.1二次型的定义 (1)2、二次型在初等数学中的应用 (2)2.1不等式证明 (2)2.2多项式的因式分解 (4)2.3判断二次曲线的形状 (6)3、二次型在几何方面的应用 (7)3.1求平面线图形的面积 (8)4、多元函数极值方面的应用 (9)4.1条件极值 (9)4.2无条件极值 (10)5、求多元函数积分方面的应用 (11)5.1二次型的正交变换 (11)5.1重积分的计算 (12)5.2求曲面积分 (13)6、结束语 (14)7、参考文献 (14)二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。
关键字：极值；几何 ；重积分；引 言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。
目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。
本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。
1、二次型的相关定义和定理1．1、二次型的概念和定义在《高等代数》中涉及的一些相关理论设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：()212111121213131122222323222,,,22222n n nn n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++=+++++=+11n niji j i j ax x ===∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型,在不影响混淆时简称二次型。
在我们讨论二次型时，一定会运用到矩阵，因此要先将二次型用矩阵的线性替换来表示：111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为,,1,,,=ijji Ta a i j n A A ==所以，出现这种情况都是对称矩阵，所以二次型与对称矩阵是一一对应的。
则n 元二次型可以用矩阵的乘积表示出来:1112112122221212(,,,)n n T n n nn n a a a x aa a x X AX x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11n niji ji j ax x ===∑∑所以()12,,,T n f x x x X AX =，此中T n x x x X ),,,(21 =，那么对称矩阵A 我们就简称为二次型的矩阵。
2、二次型在初等数学中的应用2.1不等式证明在数域P 上含有n 元12,,n x x x 的二次齐次多项式221211112121122222(,,)222nn n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++也称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
记：11121122122212,(,j 1,2,,n)n n ij ji n n n nn a a a x x a a a X A a a x a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它是对称矩阵，则二次型可表示为12(,,)T n f x x x X AX =，称A 是二次型矩阵，二次型经过可逆线性替换只含有平方项系数，即12(,,)n g y y y 2221122d n n d y y d y =+++，标准型所对应的矩阵是一个对角矩阵，如果标准型中的系数12,,,n d d d 全为正数，则二次型12(,,)n f x x x 为正定二次型，这时任意不全为零的实数12,,n x x x ，都有12(,,)0T n f x x x X AX =≥。
相关不等式证明如下：例1 三角形三个内角,,a b c ，对任意的实数,,z x y 都有2222cos 2cos 2cosc x y z xy a xy b yz ++≥++。
解 222()2cos 2cosb 2cos Tf x X AX x y z xy a xz yz c ==++--- 其中 (,,)Tx x y z =，1cos cos cos 1cos cos cos 1a b A a c a c --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,cosc cos(b).1cos cos 0sin sin b 000a b c a a b A a π++==+--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭作初等变换得： 于是A 的特征值0,1,sin ,a 由以上定义可知是半正定的，对于任意实数,,x y z 则0f x ≥（）。
即得证。
例2 求证：222724424(,,)x y z yz xy xz x y z ++>+-其中不全为零的实数 解 设二次型 222(,,)724424f x y z x y z yz xy xz =++--+ 则f 矩阵为712122224A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭因此A 各顺序主子式为712717016012224012224-->=>--=>--所以0f x y z >（，，），即222724424x y z yz xy xz ++>+-得证。
2.2多项式的因式分解定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为2和符号差为0,或秩等于1。
证明 必要性设()()()n n n n n x b x b x b x a x a x a x x x f ++++++= 2211221121,,,（1） 若两个一次多项式的系数成比例,即()n i ka b i i ,,2,1 ==，不妨设01≠a ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=.,,2222111n n n n x y x y x a x a x a y 则()2121,,,ky x x x f n = ,即二次型()n x x x f ,,,21 的秩为1（2）若两个一次多项式的系数不成比例,不妨设2211b a b a ≠,令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=.,,,332211222111n n n n n n x y x y x b x b x b y x a x a x a y则()2121,,,y y x x x f n = .再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=.,,,33212211n n z y z y z z y z z y 则()22212121,,,z z y y x x x f n -== ,故二次型()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为0。
充分性 （1）若()n x x x f ,,,21 的秩为1,则经非退化线性替换使()2121,,,ky x x x f n = ,其中n n x a x a x a y +++= 22111。
故()()2221121,,,x a x a x a k x x x f n n +++= 。
（2）若()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为0,使()12,,,n f x x x 2212y y =-()()1212y y y y =+-,其中1y ,2y 均为n x x x ,,,21 的一次齐次多项式,即n n x a x a x a y +++= 22111,n n x b x b x b y +++= 22112,故()n x x x f ,,,21 可表示成两个一次齐次多项式的乘积。
例3 二次型2212121212(,)2242f x x x x x y x x =+-++在实数范围内能否分解。
解令 2212312121323,1212g(,,)2242=g ,,1x x x x x x y x x x x f x x x x =+-++则（，）（） 求 123g(,,)x x x 的秩和符号差 对 123g(,,)x x x 作非退化线性替换11232233323y x x x y x x y x=-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 222123123g(,,)13x x x y y y =+-，的秩为3 ，因此 123g(,,)x x x 不能分解，从而 12(,)f x x也不能分解。
例4 因式分解 22(,)3241f x y x y xy y =-+-- 解令22(,)3241,,,f x y x y xy y f x y x y =-+--则（）=g(,1)对(,,)g x y z 作非退化线性替换：133c =+c =2+c =yy z z x ⎧⎪⎨⎪⎩所以22221212c -c =g =c -c g x y z x y x y f =（，，），因此（，）（，，1），可见(,)f x y 的秩为2，符号差为0。
所以分解因式为 2212=g =c -c (31)(1)f x y x y x y x y =++--（，）（，，1）。
2.3判断二次曲线的形状平面上，中心坐标原点的有心二次曲线方程的一般形式可写成：222ax bxy cy d ++=，那么他就是一个实二元二次型：22(,)2=()Q x y ax bxy cy x y x xy y b c =++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它作为二次曲线的方程，就是在三维欧氏空间的直角坐标系中的函数222z ax bxy cy=++的二次曲面与平面z d =的交线在坐标平面xoy 上的正投影。
下面我们来讨论如何利用二次型来判别二次曲线的形状。
例5 判断二次曲线 0112421222121=+-+++x x x x x x 的形状。
解 112024I ==，这是抛物形曲线.23145,126162524241612I I =+==-=--， 所以是一条抛物线，化简后方程为22150y +=。