正定二次型的性质及应用

目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1预备知识 (3)1.1二次型定义 (3)1.2正定二次型定义 (3)2 正定二次型的性质 (3)3 正定二次型的应用 (7)3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7)3.2正定二次型在分块矩阵中的应用. (10)3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9)3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10)3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (13)3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (13)3.7正定二次型在解线性方程组中的应用. (13)3.8正定二次型在物理力学问题中的应用. (14)结束语 (13)参考文献 (15)正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等.关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al. Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation；partitioned matrix.前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.1 预备知识1.1 二次型定义设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 222222112112211121222,...,, …+2nnn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型. 1.2 正定二次型的定义定义1 实二次型()n x x x f ,...,,21称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定.2 正定二次型的性质性质1 实二次型()n x x x f ,...,,21=2222211n n y d y d y d +++是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>.证明 必要性.因为()n x x x f ,...,,21=2222211n n y d y d y d +++ 是正定的，所以对于任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .于是取一组不全为零的实数：,0,0,1,0,,0,0 （这里第i 个为1，其余1-n 个为0），有),0,0,1,0,,0,0( f =n i d i ,,2,1,0 =>.充分性显然.性质2 n 元实二次型()n x x x f ,...,,21是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.证明 设二次型()n x x x f ,...,,21经过非退化实线性替换变成标准型2222211n n y d y d y d +++ . （1）上面的讨论表明，()n x x x f ,...,,21正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型(4)是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>，即正惯性指数为n .性质3 正定二次型()n x x x f ,...,,21的规范形为22221n y y y +++ ，正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.性质4 实二次型. ()n x x x f ,...,,21=AX X '，正定的必要条件为0>A 证明 有实二次型知A 是一正定矩阵，因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C 使C C EC C A ''==.两边取行列式，就有02'>==C C C A .性质5 实二次型()n x x x f ,...,,21=AX X '为正定的充分必要条件是A 的特征值都是正数.性质6 若A 是正定矩阵，则1-A 也是正定矩阵.证明 如果A 正定，则由性质2知0>A ，因而A 可逆，且其存在可逆矩阵T ,使T T A '=，将等式两边取逆有1'1'][--=T T A ，令'1)(-=T C ，于是EC C C C A ''1==-，所以1-A 也是正定矩阵.性质7 若A 是正定矩阵，则对任意的实数k ，kA 也是正定矩阵.证明 因为A 正定，所以对任意n 维实向量0≠X ，都有0'>AX X ，若0>k ，则0)()(''>=AX X k X kA X ，故kA 为正定矩阵.性质8 若A 是正定矩阵，则A 的伴随矩阵*A 也是正定矩阵.证明 因为A 正定，因而0>A ，且有性质四知1-A 也正定，而*A =1-A A ，又由性质5知*A 为正定矩阵性质9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.证明 若A 正定，则A 与单位矩阵E 合同，若B 也正定，则B 也与E 合同，即A 、B 都与单位矩阵E 合同，故A 、B 合同.反之，若A 、B 合同，且A 正定，即A 与单位矩阵E 合同，所以B 也与E 合同，故B 也为正定的.综上，结论成立.性质10 若A 、B 为正定矩阵，则B A +也为正定矩阵.证明 因为A 、B 为正定矩阵，故AX X '，BX X '为正定二次型，于是X B A X )('+=BX X AX X ''+也必为正定二次型，故B A +为正定矩阵.性质11 若A 是正定矩阵，则对任意的正数k ，k A 也是正定矩阵. 证明 因为A 正定，那么当m k 2=时，m m m m k A A A A A ')(==，m A 为实可逆矩阵，所以k A 正定； 当12+=m k 时，m m k AA A A ')(=，因而k A 与A 合同，有性质7知k A 为正定矩阵.所以无论哪种情况，k A 都正定.性质12 实二次型()n x x x f ,...,,21∑∑===n i nj j i ijx x a11=AX X '，矩阵A 的主对角线上的元素都大于零.证明 因为A 是正定矩阵，于是对任何021≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X ，恒有()n x x x f ,...,,21=011'>=∑∑==ni nj j i ij x x a AX X ，其中),,2,1,(n j i a ij =为A 的元素，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100 I X （i 行）,,,2,1n i =那么,0'>=ii i i a AX X ,,,2,1n i =证毕.性质13 实二次型∑∑===n i nj j i ij n x x a x x x f 1121),,( =AX X '是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.证明 先证必要性.设二次型∑∑===n i nj j i ij n x x a x x x f 1121),,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令∑∑===n i nj j i ij k k x x a x x f 111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,,0,,,(),,(1111>==∑∑== k n i nj j i ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由性质4，k f 的矩阵行列式n k a a a a kk k k ,,1,01111 =>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.这就证明了矩阵A 的顺序主子式大于零.再证充分性.对n 作数学归纳法. 当1=n 时，21111)(x a x f =，由条件011>a 显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形. 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a a ,11 ，于是矩阵A 可以分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A A '1.既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11'-=n E G A G ,这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001G C ,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-nn n nn a G a a G E G a a a A G AC C ''1'1'1'1100100. 再令⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-10'12a G E C n ， 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----a GG a a E a G E a G a a G E G a E C AC C C nn n n nn n n ''1'1''1'121'1'2001010. 令21C C C =，a a GG a a nn =-''，就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a AC C 11' . 两边取行列式，a A C =2.有条件，0>A ，因此0>a .显然⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 111111111.这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型),,(1k k x x f 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.3 正定二次型的应用3.1 正定二次型在解决极值问题中的应用定理1 设n 元实函数()n x x x f ,...,,21在点0p 的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数()n x x x f ,...,,21在点0p 近旁有性质：1) 若AX X '正定，则0p 为极小点； 2) 若AX X '负定，则0p 为极大点； 3) 若AX X '不定，则0p 非极大或极小点；4) 其余情形时，()n x x x f ,...,,21在0p 性质有待研究余项R 的性质来确定. 特别当()n x x x f ,...,,21是二次函数时，R =0只要AX X '半正（负）定，则0p 为极小（大）点.例1 求函数)ln(22y x xy z +=的极值.解 222222)l n (yx y x y x y z x +++=,，222222)ln(y x xy y x x z y +++=. 解方程组⎩⎨⎧==00yx z z ，易得⎩⎨⎧±==10y x ，⎩⎨⎧=±=01y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=e y e x 2121，（符号任意搭配）， 22222)()3(2y x y x xy z xx ++=，222222)()3(2y x y x xy z yy ++=，2224422)()(2)ln(y x y x y x z z yxxy ++++==. 于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=yy yxxy xxz zz z A ，经计算得⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-0220)21,21()21,21(AA正定；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--2002)21,21()21,21(AA负定；⎪⎪⎭⎫⎝⎛==±±0220)1,0()0,1(A A 不定.故，在)1,0(),0,1(±±，z 不取极值；在)21,21(),21,21(eeee--点，z 取极小值，e z 21-=极小；在)21,21(),21,21(ee e e --点，z 取极大值，e z 21=极大.3.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.例2 设A ，B 分别是n m ⨯阶正定矩阵，试判定分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00是否为正定矩阵.解 可证C 是正定矩阵.因为A ，B 都是实对称矩阵，从而C 也是实对称矩阵且任意的0,≠∈+X R X n m ，令=CX X '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21'2'100),(X X B A X X 2'21'1BX X AX X +=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21'x x X ，其中，m R X ∈1，n R X ∈2，且至少有一个是非零向量，于是=CX X '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21'2'100),(X X B A X X 2'21'1BX X AX X +=0>. 故C 是正定矩阵.3.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用例3 设n 次实系数多项式)(x f 的根为n x x x ,,,21 ，令kn kk k x x x S +++= 21， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---22121110n nn n n S S S S S S S S S S . 证明 易证'TT S =,这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---11211111n n n n x x x T.必要性 设n x x x ,,,21 是n 个互异实根，因为T 是范德蒙行列式，所以T 0≠，即T 是非奇异的.又因为''TET TT S ==,所以S 与E 合同，即S 正定.充分性 设S 是正定的，所以T 0≠，那么i x 互异.若n x x x ,,,21 中有非实数，例如1x ，那么1x 的共轭数1x 也是)(x f 的根不妨设12x x =.因为T 是非奇异的.所以线性方程组nj a x a x a a x a x a a x a x a n n j j n n n n ,,30111110111110111110 =⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+++=+++------ （2）有唯一解0),,,,('110≠=-n a a a a .因为S 是正定的，所以，作为二次型的SY Y f '=是正定的,由（2）式有2011)0,,0,1,1('''-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=== a TT a Sa a f .这与f 是正定即S 是正定的矛盾，所以n x x x ,,,21 中不能有非实数的复数，所以n x f 的)(个根为互异的实根.3.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用例4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程.032682223222=++--+++z y x xy z y x其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--==200021013),1,3,4(),,,(''A B z y x X .作平移代换,),,(,321'a a a a a Y X =-=，则有03)(2)()(''=+-+--a Y B a Y A a Y即0322''''''=+-++--a B Y B Aa a AY a Aa Y AY Y令32''+-=a B Aa a β又因为A A AY a Aa Y ==''',所以0)(2''=+--βY B Aa AY Y适当选取a ，使B Aa =，由秩3==A A 秩知：B Aa =（线性方程组）有唯一解：21,1321===a a a . 由29-,,'=β可得B a A ，又因为A 是可逆实对称阵，所以存在正交阵T 使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321'λλλAT T ， 其中21=λ，2552+=λ，2553-=λ 为A 的特征根.作正交线形替换),,(,'3'2'1'Z Z Z Z TZ Y ==,则 23'22'21'23'322'221'1'2552552Z Z Z Z Z Z AY Y -+++=++=λλλ. 即，原方程可以化简为23'22'21'2552552Z Z Z -+++. 3.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用众所周知线形方程组可能无解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++00022112222212*********n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 即任意一组s 21,...,,x x x 都可能使∑=-+++=ni i s is i i b x a x a x a y 12211)( 不等于零，我们设法找00201,...,,s x x x 使y 最小，这样00201,...,,s x x x 称为方程组的最小解，这种问题就叫最小二乘法问题.若记A 为上述线性方程组的系数矩阵，T n b b b B ),(21 =，于是使得y 值最小的X 一定是方程组AX X '=B X '的解，而其系数矩阵A A '是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n ，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解. 3.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）定理 设V 是R 上的欧氏空间，那么V 的内积与n 阶正定矩阵是一一对应的.3.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.例5 （1）用矩阵给出平面上n 个点),(i i i y x P 共线的充分必要条件（2）设A 是n 阶满秩矩阵，试证，'')(X AA X 是一个正定二次型，这里()n x x x X ,...,,21=.解 （1）设直线b kx y +=，n 个点共线是指线性方程组（把b k ,看成未知量）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+nn y b kx y b kx y b kx 2211 有解，所以n个点),(i i i y x P 共线⇔所以方程组有解⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n y xy x x x 11111111秩秩 . （2）设A 是n 阶满秩矩阵，令AX Y =',其中),,,(21n y y y Y =，则'1'')(Y A X -=是非退化现行替换，且22221''')(n y y y YY X AA X +++== ，由此可以看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于n ，所以'')(X AA X 是正定二次型.3.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.命题 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶实对矩阵，则存在n 阶可逆矩阵S ，使得Λ==BS S E AS S '',,其中Λ为对角阵.证明 因为A 是正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵1S ，使得E AS S =1'1，令BS S B '=显然1B 仍为实对称矩阵，所以存在n 阶正交矩阵2S ，使得Λ==),,(2121'2n diag S B S λλλ .取S S S =21，则有n E S S S AS S S S S A S S AS S ====2'221'1'221'21')()()(Λ===21'1'221'21')()()(S BS S S S S B S S BS S另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有广泛的应用.结束语以上内容是对正定二次型的研究，归纳之后总结出来的，对正定二次型，本文给出2个定义，13个性质并证明，在例题的形式下，运用这些定义跟性质阐述了正定二次型在不同方面的7种应用，可见其应用广泛，我认为对正定二次型的总结是很必要的.当然，本文只列举了正定二次型的部分应用.参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[2]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001. 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