最新对称矩阵的性质及应用

对称矩阵的性质及应用目 录The Properties and Applications of Symmetry Matrix ...................................................................... 3 1.1 对称矩阵的定义 ......................................................................................................................... 4 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 ............................................................................................. 4 2.对称矩阵的对角化 ........................................................................................................................ 5 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 ......................................................................................... 5 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................................................................................. 7 3.1正定矩阵的定义 ......................................................................................................................... 9 定理 1 n 元实二次型()12,,,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n . .............................................................................................................................................. 9 证 设二次型()12,,,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形2221122n nd y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=，即正惯性指数为n . (9)由定理1可以得到下列推论： (10)1. 实对角阵12n d d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭正定的充要条件是0,1,2,,id i n >=. (10)2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n ......................................................................................................................................................... 10 3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，A 可对角化为12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，,1,2,,ii n λ=是A 的特征值，A 正定即二次型()12,,,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为2221122n n x x x λλλ+++，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有0,1,2,,i i n λ>=，A 的特征值全为正. (10)定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (10)证 由定理1可知，正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为22212n y y y +++，而规范型的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E 合同. (10)由此得：......................................................................................................................................... 10 1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，所以有可逆矩阵C 使T T A C EC C C ==，两边取行列式，就有20T A C C C ==>. (10)2. 正定矩阵A 的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A 的逆仍是对称矩阵，又A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P 使T A P EP =，两边取逆()()111TA PE P ---=，令()1TQ P-=，则1T AQ EQ -=，所以1A -也与单位矩阵合同. (10)有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入： (10)定义3 子式()1112121222121,2,,i i i i i iia a a a a a P i n a a a ==称为矩阵()ij n n A a ⨯=的顺序主子式. .. 11定理3 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =或矩阵A 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零. ........................................................................................................................ 11 证 必要性：设二次型()1211,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的.对于每个k ，1k n ≤≤，令()1211,,,kkk k ij i j i j f x x x a x x ===∑∑.我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数1,,k c c ，有 (11)()()1111,,,,,0,,00kkk k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑.因此()12,,,k n f x x x 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式11110kk kka a a a >，1,,k n =.这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. (11)充分性：对作数学归纳法，当1n =时，()21111f x a x =，由条件110a >显然有()1f x 是正定的. ............................................................................................................................................... 11 假设充分性的论断对于1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，11,n n n a a α-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，于是矩阵A 可以分块写成1T nn A A a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭.既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使11Tn G A G E -=，这里1n E -代 (11)表1n -级单位矩阵.令1001G C ⎛⎫=⎪⎝⎭，于是 (11)111000101T TT n T T nn nn A G E G G C AC a G a αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ................................................... 12 再令1201T n E G C α-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有 (12)11112112000101T T n n TT n n T TT T nn nn E E E G E G C C AC C a GG G G a αααααα----⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12 令12C C C =，T T nn a GG a αα==，就有11TC AC a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.两边取行列式，2C A a =.由条件，0A >，因此0a >.显然 (12)111111111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝. (12)这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型()12,,,n f x x x 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证. (12)应用定理3完成下题. .................................................................................................................... 12 例 3 若二次型()2221231231223,,2422f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是什么？ (12)解 设f 对应的矩阵为A ，则2101104A t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，它的三个顺序主子式为 (12)12∆=，221111∆==，2342A t ∆==-. (12)所以当2420t ->时，即t <<f 为正定二次型. (12)参考文献 ................................................................................... Error! Bookmark not defined.对称矩阵的性质及应用摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用The Properties and Applications of Symmetry MatrixAbstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive definiteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc.Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立.对称矩阵一定形如111211222212n n nnnn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角矩阵.定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如12112212000n n nna a aa a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 证 设A 、B 是n 阶对称矩阵，即T A A =,T B B =.则：()TT T A B A B A B +=+=+，()()T TT T T A B A B A B A B -=+-=-=-，(),TT k C kA kA kA ∀∈==.性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵. 证 因为()()TTT TT T A AA AA A +=+=+，则T A A +是对称矩阵.因为()()TT T T T T AA A A AA ==，则T AA 是对称矩阵，同理可证T A A 也是对称矩阵.性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）.证 （1）因为A 可逆，T A A =，()()111TT A A A ---==，所以1A -是对称矩阵.（2）因为A 可逆，T A A =-，1111()()()T T A A A A ----==-=-，则1A -是对称矩阵.性质4 任一n n ⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 证 设A 为n n ⨯矩阵，()()1122T T A A A A A =++-，由性质2易证()12T A A +是对称矩阵，()()()111222TT T T A A A A A A -=-=--，则()12T A A -是反对称矩阵.性质5 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，则T X AX 是对称矩阵. 证 因为()()TTTTTT T T T X AX X AX X A X X AX ===,所以T X AX 是对称矩阵.性质6 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A 、B 可交换.证 必要性：若AB 为对称矩阵，则()TAB AB =，又()TT T AB B A BA ==，AB BA =，因此，A 、B 可交换.充分性：若AB BA =，则()TT T AB B A BA AB ===，AB 为对称矩阵.2.对称矩阵的对角化任意一个n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案. 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设A 是n 阶实对称阵，λ是的特征值，()12,,,Tn X x x x =是属于λ的特征向量，于是有AX X λ=.令12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中i x 是i x 的共轭复数，则________AX X λ=，考察等式____________()()()TTTTT X AX X A X AX X AX X ===，其左边为____TX X λ，右边为____TX X λ.故____TX X λ=____TX X λ，又因X 是非零量，____11220Tn n X X x x x x x x =+++≠故λλ=，即λ是一个实数.注意，由于实对称矩阵A 的特征值i λ为实数，所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=为实系数方程组，由0i A Eλ-=知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.例如，124003001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1,21λ=，30λ=均为实数，而A 不是对称的.定理2 设A 是实对称矩，定义线性变换A ,1122n n x x x x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪A = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭......(1)，则对任意向量,n R αβ∈，有()(),,αβαβA =A 或()T T βααβA =A .证 只证明后一等式即可.()()()TT T T T A βαβαβααβA ==A =A .定理3 设A 是实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交. 证 设12,λλ是A 的两个不同的特征值，12,X X 分别是属于12,λλ的特征向量：111AX X λ=,222AX X λ=.定义线性变换A 如定理2中的（1），于是111X X λA =，222X X λA =.由()()1212,,X X X X A =A ，有()()112212,,X X X X λλ=.因为12λλ≠，所以()12,0X X =.即12,X X 正交.定理4 对任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵P ，使1T P AP P AP -=成为对角形且对角线上的元素为A 的特征值.证 设A 的互不相等的特征值为12,,,s λλλ()s n ≤，它们的重数依次为12,,,s r r r ()12s r r r n +++=.则对应特征值i λ(1,2,,)i s =，恰有i r 个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量，由12s r r r n +++=知，这样的特征向量共可得n 个.由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵P ，则1T P AP P AP -==Λ，其对角矩阵Λ中的对角元素含1r 个1λ，…,s r 个s λ，恰是A 的n 个特征值.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形.定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A 对角化找出正交阵P 的方法，具体步骤如下：1.求出实对称矩阵的A 全部特征值12,,,s λλλ.2.对每个i λ(1,2,,)i s =，由()0i E A X λ-=求出的特征向量.3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组.4.以这组向量为列，作一个正交矩阵P ，它就是所要求的正交阵. 根据上述讨论，下面举例说明.例1 求一正交矩阵P ，将实对称矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭化为对角阵.解 由于2400031(2)(4)013A E λλλλλλ--=-=---，A 的特征值为12λ=，234λλ==.对12λ=，由()20A E x -=得基础解系1011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，对234λλ==，由()40A E x -=得基础解系2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ与3ξ恰好正交，所以1ξ，2ξ，3ξ两两正交.再将1ξ，2ξ，3ξ单位化，令()1,2,3i i ii ξηξ==，得10η⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，2100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30η⎛⎫ = ⎝，于是得正交阵()123010,,00P ηηη⎛⎫ == -⎝，则1200040004P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.例2 设2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求nA .解 （1）先将A 对角化求出正交阵P .21(1)(3)012A E λλλλλ---==--=--，121,3λλ==.由()0A E x -=，()30A E x -=分别得基础解系111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.则()1211,11P ξξ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，1111112P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则11003P AP -⎛⎫Λ== ⎪⎝⎭.（2）利用1n n P A P -Λ=求n A .1111011131311110311221313n n nnn n n A P P -⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ=⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3.对称矩阵的正定性二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价.以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法. 3.1正定矩阵的定义定义1 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c 都有()12,,,0n f c c c >.定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型T X AX 正定. 由定义可知： 1. 二次型()2221212,,,n nf x x x x x x =+++是正定的，因为只有在120n c c c ====时，22212n c c c +++才为零.一般地，不难验证，实二次型()222121122,,,n n nf x x x d x d x d x =+++是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=.非退化的线性替换保持正定性不变.2. 任意n 阶实对称矩阵A 正定就是指，对于任意n 维非零列向量X ，都有0T X AX >.3. 复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可.4. 正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上，设A 、B 都是n 阶正定矩阵，则对于任意非零列向量()12,,,Tn X x x x =，有0T X AX >，0T X BX >，那么，()0T T T X A B X X AX X BX +=+>，所以A B +仍是正定矩阵. 3.2对称矩阵正定性的判别 定理1 n 元实二次型()12,,,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .证 设二次型()12,,,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形2221122n n d y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=，即正惯性指数为n .由定理1可以得到下列推论：1. 实对角阵12n d d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭正定的充要条件是0,1,2,,id i n >=.2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n .3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，A 可对角化为12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，,1,2,,ii nλ=是A 的特征值，A 正定即二次型()12,,,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为2221122n n x x x λλλ+++，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有0,1,2,,i i n λ>=，A 的特征值全为正.定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. 证 由定理1可知，正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为22212n y y y +++，而规范型的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E 合同.由此得：1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，所以有可逆矩阵C 使T T A C EC C C ==，两边取行列式，就有20T A C C C ==>.2. 正定矩阵A 的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A 的逆仍是对称矩阵，又A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P 使T A P EP =，两边取逆()()111TA P E P ---=，令()1TQ P -=，则1T A Q EQ -=，所以1A -也与单位矩阵合同.有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：定义3 子式()1112121222121,2,,i i i i i iia a a a a a P i n a a a ==称为矩阵()ij n n A a ⨯=的顺序主子式.定理3 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =或矩阵A 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.证 必要性：设二次型()1211,,,nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的.对于每个k ，1k n ≤≤，令()1211,,,k kk k ij i j i j f x x x a x x ===∑∑.我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数1,,k c c ，有()()1111,,,,,0,,00kkk k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑.因此()12,,,k n f x x x 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式11110kk kka a a a >，1,,k n =.这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零.充分性：对作数学归纳法，当1n =时，()21111f x a x =，由条件110a >显然有()1f x 是正定的.假设充分性的论断对于1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令111,111,11,1n n n n a a A a a ----⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，11,n n n a a α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，于是矩阵A 可以分块写成1T nn A A a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭.既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使11T n G A G E -=，这里1n E -代表1n -级单位矩阵.令1001G C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是111000101T TT n T T nn nn A G E G G C AC a G a αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再令1201T n E G C α-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有11112112000101T T n n TT n n T TT T nn nn E E E G E G C C AC C a GG G G a αααααα----⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令12C C C =，T T nn a GG a αα==，就有11T C AC a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.两边取行列式，2C A a =.由条件，0A >，因此0a >.显然111111111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝. 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型()12,,,n f x x x 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.应用定理3完成下题.例3 若二次型()2221231231223,,2422f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是什么？解 设f 对应的矩阵为A ，则2101104A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，它的三个顺序主子式为12∆=，221111∆==，2342A t ∆==-.所以当2420t ->时，即t <<f 为正定二次型.4.应用举例例4 设,A B 均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P 使T P AP B =的充要条件是的,A B 特征多项式的根全部相同.证 必要性：由条件可知,A B 相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证. 充分性：设,A B 的特征多项式的根全部相同，记它们为12,,,n λλλ，则存正交阵12,P P 使111Tn P AP λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，122Tn P BP λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么1122T T P AP P BP =，所以()()112112P P A PP B --=，取112P PP -=为正交阵，则有T P AP B =.例5 欧式空间V 中的线性变换:V V A →称为反对称变换，若()(),,,,V αβαβαβ∀∈A =-A .证明：A 反对称当且仅当A 在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵.证 充分性：设()ij n n A a ⨯=是线性变换A 在标准正交基12,,,n εεε下的矩阵，且A 反对称，即T A A =-，任给,V αβ∈，记()()11,,,,,n n X Y αεεβεε==，则有()()11,,,,,n n AX AY αεεβεεA =A =，那么()()(),,TT T T AX Y X A Y X AY αβαβA ===-=-A ，所以A 为反对称变换.必要性：设是A 反对称变换，且()()1212,,,,,,n n A εεεεεεA =，其中矩阵()ij n n A a ⨯=，12,,,n εεε为V 的标准正交基，那么，()11,,ni i ni a a εεε⎛⎫ ⎪A = ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,nj j nj a a εεε⎛⎫ ⎪A = ⎪ ⎪⎝⎭. 因此()(),,,i j ji i j ij a a εεεεA =A =，所以()(),,ij i j i j ji a a εεεε=A =-A =-.即知A 为反对称矩阵.例6 设:A n 阶正定阵，:B n 阶实对称阵.证明：AB 的特征值为实数. 证 设AB ξλξ=，其中0ξ≠，由于A 正定，则1A -存在且正定，则11,T T B A B A ξλξξλξ--==，那么11,T T T T B A B A ξξλξξξξλξξ--==.因此11T T A A λξξλξξ--=，则()10T A λλξξ--=.又1A -也正定，且0ξ≠，则10T A ξξ-≠，则()0λλ-=，即λ为实数.总结本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等.其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题.参考文献：[1] 北京大学数学系.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社,2003. [2] 戴立辉.线性代数[M]. 上海: 同济大学出版社,2007. [3] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社,2007.[4] 居余马,林翠琴.线性代数简明教程[M]. 北京: 清华大学出版社,2004.[5] 丘维声,高等代数（上册）[M]. 北京: 高等教育出版社,2002.[6] 王萼芳,线性代数[M]. 北京: 清华大学出版社,2000.[7] 蒋尔雄,对称矩阵计算[M]. 上海: 上海科学技术出版社,1984.[8] 陈公宁,矩阵理论与应用[M]. 北京: 科学出版设,2007.[9] 许以超,线性代数与矩阵论[M]. 北京: 高等教育出版社,2008.[10] Johns on CR,RAHon Matrix Analysis[M]. New York: Cambridge University Press,1985.。