二次型在中学数学中的应用
二次型的应用
二次型的应用在数学的学习和应用中,二次型的理论是十分重要的.它不仅是代数中的重要理论,更是连接代数与几何的有力桥梁事实上,二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题.学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解,也可以对几何有更为形象的认识.因此,掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的.应用一 二次型理论在二次曲面分类上的应用1. 应用实例例1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型.解 方程左边为一三元二次型,不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++,则f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002023A易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ.由（8）式知所求曲面的标准方程为()()11212121221221=-+zy x 因此,该曲面是单叶双曲面,如图1.图1 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形例2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型.解 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A,0B ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,x U y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则原方程可写为10T T U AU B U +-=A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：21=λ,)11,1,1T Q =；)(12二重-=λ,)21,1,0T Q =-,)31,1,2TQ =-令()123,,0Q Q Q Q ⎫⎪⎪⎪==⎪⎪ 则有)1,1,2(--=diag AQ Q T ,(0,2,0)T B Q d =-作正交变换U QV =,其中111(,,)T V x y z =,则（9）式化为(2,1,1)10T V diag V dV --+-=即01221212121=----y z y x配方,得0)1(2212121=-+-z y x作平移变换12x x =,112+=y y ,12z z =,得02222222=--z y x这就是原曲面方程的标准方程,它表示一个顶点在原点,旋转轴为x 轴的圆锥面,如图2.图2 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形应用二 二次型理论在多元函数极值问题中的应用应用实例例1 求函数32(,)31512f x y x xy x y =+--的极值 解 (,)f x y 的几何描述如图3.图3 的几何图形),(y x f(,)f x y 在2R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yfx f即⎩⎨⎧=-=-+01260153322xy y x 得到四个驻点：（2,1）,（-2,-1）,（2,1）,（-1,-2） .进一步计算得x yfy y x f x x f 6,6,622222=∂∂=∂∂∂=∂∂即63()36x y H X y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵()1262,1612H ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵,故（2,1）是极小值点,此时极值为-28；矩阵126(2,1)612H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭是负定矩阵,故（-2,-1）是极大值点,此时极值为28；矩阵612(1,2)126H ⎛⎫= ⎪⎝⎭,612(1,2)126H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭都是不定矩阵,故（1,2）,（-1,-2）都不是极值点.例2 求函数222(,,)23264f x y z x y z x z y =+++-+的极值.解 (,,)f x y z 在3R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组000fx fy f z⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ 即220440660x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩得到驻点为（-1,-1,1）. 进一步计算得22222,0,0f f fx x y x z∂∂∂===∂∂∂∂∂22220,4,0f f fy x y y z ∂∂∂===∂∂∂∂∂ 22220,0,6f f fz x z y z∂∂∂===∂∂∂∂∂ 即200()040006H X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而()H X 是正定的,所以(,,)f x y z 在（-1,-1,1）点取得极小值,此时极值为-6.(,,)f x y z 的几何描述如图4.图4 ),,(z y x f 的三维切面图应用三 半正定二次型在不等式证明中的应用举例该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件.判断二次型(矩阵)为半正定,从而得到不等式[7].例１ 设,a b R ∈,试证222a b ab +≥.证 要证明的不等式可写成2220a b ab +-≥,所以只需证矩阵1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭半正定.由于A 的一阶、二阶主子式分别10>,0A =,所以A 半正定,从而二次型()22(,),2a f a b a b A a b ab b ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭半正定.(,)f a b 的几何描述如图5.图5 ),(b a f 的几何图形例2 已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ,面积为S ,试证222a b c ++≥. 证 利用余弦定理及面积公式,将问题转化为2222(,)2cos sin f a b a b a b ab C C =+++--22222(cos )a b ab C C =+-22224sin()6a b ab C π=+-+其矩阵为22sin()62sin()26C A C ππ⎛⎫-+ ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭由于A 的一阶、二阶主子式分别20>, 22664[1sin ()]4cos ()0A C C ππ=-+=+≥,所以A 半正定,从而二次型(,)f a b 半正定,即结论成立.例3（Cauchy 不等式） 设,(1,2,,)i i a b i n = 为任意实数,则))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i ni i i b a b a证 记22122112112122121)()(2)()(),(x b x x b a x a x b x a x x f ni i ni i i ni i ni i i ∑∑∑∑====++=+=因为对于任意1x ,2x ,都有0),(21≥x x f ,故关于1x ,2x 的二次型),(21x x f 是半正定的.因此,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即0121112≥∑∑∑∑====ni i ni ii ni ii ni ibb a ba a故得))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a .例4 证明2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n .证 记221211(,,,)()n nT n i i i i f x x x n x x X AX ===-=∑∑ ,其中12(,,,)T n X x x x = ,111111111n n A n ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭经过初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n A 00000110~ , 于是A 的特征值为10,,,n n n -,于是A 为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0n f x x x ≥ ,即2112)(∑∑==≥ni i ni i x x n应用四 二次型在统计中的应用4.1 关于统计距离许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离,在大多数情况下,通常的欧氏距离是不能令人信服的[8].考察p 维变量12(,,,)T n X x x x = 对应p 维空间的点),,,(21p x x x M ,假设M 的位置可以变化,为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性,需要建立统计距离.定义 4.1 设p p B ⨯为正定矩阵,称12(0,)()Td M X BX =为一种距离,对于不同的B 的选择,可得到不同的统计距离.如回归诊断中使用较多的Mahalanabis 距离,Cook 距离等.为考虑问题的方便,考察2(0,)T d M X BX =,而T X BX 为正定矩阵B 的二次型.4.2 二次型在求自由度中的应用在统计学中,自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数.它产生于利用样本量估计参数的时候.实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的.∑ji j i ij x x ,α的秩的大小反映了n 个变量中能自由变动的无约束变量的多少,因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9].例1 求统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度.解∑∑==-=-ni i n i i x n x x x 12212)(21121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i x n x∑∑==-+-=n i j i ni i x x n x n 112)1()11(AXX T其中)(21n x x x X =,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=n n nn n n n n nA 111111111111我们可以通过矩阵的初等变换求得A 的秩为1-n ,所以统计量∑=-ni i x x 12)(的自由度为1-n .应用五 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域,经常遇到一系列的耦合谐振子问题,因此,研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要,解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦,可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10].质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为2121222212112221212222p p x x m x m m p m p H γλωω+++++=式中λ和γ分别为坐标耦合强度和动力耦合强度,上式的哈密顿量就是一个二次型.H 的矩阵为122112121202120020022002m A m m m γγωλλω⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 关于H ,详细的分析和讨论请参阅参考文献[10].。
关于二次型理论的若干应用
（ ｘ） ｄｘ） ２≤
ｂ２
∫φ（ ｘ） ｄｘ·
ｂ２
∫ψ（ ｘ） ｄｘ等 号 仅 当
φ（ ｘ）
（或
ψ（ ｘ）
）≡
ａ
ａ
ψ（ ｘ） φ（ ｘ）
常数时成立。
ｂ
２
证 明 ： 取ｆ（ｔ）＝ ∫［ ｔφ（ ｘ） ＋ψ（ ｘ） ］ ｄｘ， 则ｆ（ｔ）对 任 意 ｔ都 是 非 负
ａ
２ｂ ２
ｂ
的。即ｆ（ｔ）是半正定二次型。由ｆ（ｔ）＝ｔ ∫φ（ ｘ） ｄｘ＋２ｔ ∫φ（ ｘ） ψ（ ｘ）
所满足的条件恰为所要证明的不等式。
例２ 证明
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
ｎ Ｘｉ ≥（ Ｘｉ） 。
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
证明 令ｆ＝ｎ Ｘｉ － （ Ｘｉ）
ｉ＝１
ｉ＝１
则ｆ为二次型， 其矩阵为
&ｎ－ １ － １ Λ － １ )
Ａ＝’’－Ｍ１
ｎ－ １ Ｍ
Λ Ｏ
－１ * －１ *
(－ １ － １ Λ ｎ－ １+ｎ×ｎ
二次型是线性代数的基本内容， 其用途十分广泛， 下面我
们 介 绍 它 在 证 明 不 等 式 、化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 型 、求 多 元 函
数极值三个方面的应用。
一 、利 用 二 次 型 的 正 定 性 证 明 不 等 式
ｂ
例 １ 设 ａ＜ｂ，φ（ ｘ） 与 ψ（ ｘ） 在 ［ ａ，ｂ］ 上 连 续 ， 证 明 （ ∫φ（ ｘ） ψ ａ
ΘＡ的 顺 序 主 子 式 大 于 或 等 于 零
∴Ａ是 半 正 定 的
∴二 次 型 ｆ是 半 正 定 的
浅谈“二次型”在高中数学中的应用
浅谈“二次型”在高中数学中的应用作者：吴明廉来源：《新教育时代·教师版》2017年第45期摘要：高中数学很多考察模块中都含有“二次型”，我总结了几个类型题供参考，主要有求解不等式，求参数取值范围，求数列的最大项，求函数值，恒成立问题，方程的根的个数，单调区间问题等。
关键词：“二次型” 一元二次方程二次函数纵观高中数学的教学过程，我发现在高中的解不等式、指数函数、三角函数、数列、极值、值域、单调性等多个领域都有广泛应用。
本文中所提到的是广义范围内的，包括二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。
很多同学在高中的数学学习过程中，由于不掌握解题的关键，无法完美解决问题。
针对这类现象，我急学生所想，急学生所急，积累了几个例子，配以详细的分析解答过程，以期和大家共勉。
[例1 ]已知不等式ax+bx+c3，求不等式bx+ax+c>0的解分析：此题要结合二次函数y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考虑二次函数的图象，一元二次方程的根，结合韦达定理找到系数a，b，c之间的关系，在通过化简整理的过程，从而达到解出不等式bx+ax+c>0的目的。
解：由不等式ax+bx+c3，可构造相应二次函数y=ax+bx+c，借助图象可知a0可变为-5ax+ax+6a>0，由于a0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解为x。
[例2 ]若关于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]分析：此题通过三角函数公式把cosx化归为sinx形式，观察出以sinx为主要元素，构造一个以sinx为主的二次函数，通过配方法，再通过换元法，结合二次函数的图象求出二次函数的最大值、最小值。
解：因为，以sinx为主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用换元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）图象开口向下，由t的范围可知当t=时a有最大值为，当t=-1时a有最小值为-2。
二次型化为标准型的方法及其应用
二次型化为标准型的方法及其应用二次型是高中数学中的一个重要概念，它在代数学、线性代数以及物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次型的基本概念，探讨将二次型化为标准型的方法，并讨论其在实际问题中的应用。
一、二次型的基本概念二次型是指多元二次方程的一种特殊形式。
具体而言，给定n个变量$x_1, x_2, ..., x_n$以及实数系数$a_{ij}$，则形如$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$的函数称为二次型。
二次型的矩阵形式可以表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，其中$\boldsymbol{x}$是一个$n$维列向量，$\boldsymbol{A}$是一个$n\times n$的实对称矩阵。
二、二次型的标准型将二次型化为标准型是研究二次型性质的重要一步。
标准型是指一个二次型经过线性变换后的简化形式，其中只含有平方项，不含交叉项。
二次型化为标准型的方法主要有以下两种：1. 特征值法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，可以将二次型对应的矩阵对角化，从而达到化简的目的。
具体而言，设$\boldsymbol{A}$是一个实对称矩阵，其特征值和特征向量分别为$\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$和$\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, ...,\boldsymbol{P}_n$，满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i=\lambda_i\boldsymbol{P}_i$，则对应的二次型可以通过线性变换$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{x}$转化为标准型$Q(\boldsymbol{y})=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n ^2$。
二次型_精品文档
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
数学中的二次型和正交矩阵的应用
数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。
其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。
一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。
在矩阵理论中，二次型的概念很重要。
它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。
当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。
当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。
当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。
这些性质在数学和物理中都有很多应用。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。
正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。
例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。
这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。
正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。
也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。
这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。
三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。
例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。
本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
在这个定义下，二次型有以下几个性质：1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。
也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。
2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。
3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。
4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。
5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。
6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。
二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。
标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。
对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =y^TP^TAPy = y^TDy。
标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。
三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
二次型的几个应用
a22x22 2a23x2x3 2a2nx2xn ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
(aij aji ,i, j 1, 2,, n)
称为数域 P 上的一个 n 元二次型, 简称二次型. 当 aij 为实数时, 称 f 为实二次型. 当 aij 为复数时,
称 f 为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即
关于二次型的一般理论, 可参看文献[1-3，5-6], 一些专题研究可参看文献[7-9].
1 二次型及其有关定义
在这一节, 我们首先回顾《高等代数》中关于二次型的一般理论. 设 P 是一个数域, aij P , n 个文
字 x1, x2,, xn 的二次齐次多项式
f (x1, x2,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1nx1xn
y3 2
y4 ) ( y3
2 y4 ) 2 y4
2 y1
2 y2
2 y3
.
所含字母 y1 , y2 , y3 均在平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换后的多项式配方, 得
y12
2 y22
y32 2
2 y1
2 y2
2 y3
3
( y1
1)2
2( y2
1)2 2
( y3
2
2)2
1 2
故当 y1 1, y2
1 2
,
y3
2
时,
上式有最小值 1 . 2
将 y1, y2, y3 代入 X
PY 中,
当
x1
7 2
2 y4 ,
x2
1 2
y4 ,
x3
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二次型在中学数学中的应用摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。
二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。
二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。
在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。
此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。
关键词 二次型 标准形 对称矩阵1. 引言二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。
二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。
二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。
最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。
2. 正文二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下：文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。
定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。
定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。
或秩等于1．定理 3 对于实二次型12(,,,)'n f x x x X A =X ，其中A 是实对称的，下列条件等价：1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;2) 它的正惯性指数与秩相等地;3) 有可逆矩阵C ，使321'd d d AC C=,n i d i .....2,1,0,0=≥，其中;4) 有实数矩阵C ，使得'A C C =;5) A 的所有主子式皆大于或等于零(所谓主子式即行与列指标相同的子式)。
定理4设 f ( x1 , x2 ,…… xn ) = X'AX 是一实二次型，λ1，λ 2 ……，λn 是A 的特征多项式的根，且 λ 1 ≤ λ 2 ≤…≤ λn 。
则λ1X'X ≤ X'AX ≤ λn X'X ，且等号成立的充分条件是 X 分别取 λ 1 和λn 所对应的特征向量。
文献[4]介绍了将二次型用对称矩阵表示，然后将非退化线性退换也用矩阵进行表示，联系矩阵的初等变换，可将问题转化为对称矩阵的合同标准形问题。
另外借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，又可将其转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题。
利用这两种转化思路，二次型化标准形有了另外的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法。
文献[5]-[10]给出了二次型化为标准形通常用的两种方法：正交变换法和配方法。
二者之间的区别在于：正交变换法，首先要将二次型写成矩阵的形式，然后将二次型的矩阵通过正交变换的方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形。
正交变换法由于需要求出二次型矩阵A 的全部特征值，而特征方程求根困难(5次以上的代数方程没有统一的求根公式)，因此在操作上存在困难。
配方法较正交变换法，避免了解矩阵的特征值问题，使用起来较方便。
除此外，文献中还给出了二次型在计算某些积分中的应用。
1.正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。
定理1[1] 任意一个实二次型11n nij i j i j a x x ==∑∑，ij ji a a =都可以经过正交的线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++其中平方上的系数12,...n λλλ就是矩阵A 的特征多项式的全部的根。
解题步骤：○1将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =并写出矩阵A 。
○2求出矩阵A 的所有特征值12,...nλλλ，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为21,,n k k k （21n k k k +++ =n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量21,,n ξξξ ，列出方程1()0E A X λ-=，能解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量。
同理，对其他的特征值2,,n λλ 也是采用此方法求出与之对应的特征向量。
因为21n k k k +++ =n ，所以一共能出n 个特征向量。
○4将所求出的n 个特征向量21,,n ξξξ 先后施行正交化，单位化得到21,,,n ηηη ，记为C =21)(,,T n ηηη○5作正交变换X CY =,则得二次型f 的标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++ 2.配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。
定理2[1] 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形式。
解题思路使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形： ○1如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有ix 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
○2如果所给二次型中不含有ix 平方项，但是0ij a ≠()i j ≠,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换........i i j j i j k kx y y x y y x y =-⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=⎩,(1,2,,k n = 且,)k i j ≠ 代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述○1中的方法进行配方。
文献[11]通过对二元二次不定方程不同解法的研究，发现可以运用二次型变换方程来简化方程形式，然后再解方程的方法．这个方法看似计算量比较大，很繁琐，但是具有普遍性，对于任意一个二元二次不定方程都能使用，并且对n(n ≥3)元二次不定方程也可以使用这个方法解决．然后提出运用二次型解不定方程的猜想，证实此猜想并详细介绍这种方法，最后提出漏解情形可能性，并对这个漏解情形进行讨论并加以完善．文献[12]-[16]讨论了实二次型的半正定性，由二次型和它的矩阵之间的关系知道，要判别实二次型半正定，只要判别实二次型或它的矩阵之一是半正定的即可。
文中还介绍了其在证明不等式中的应用，尤其是证明一般的初等不等式，对如何用高等数学方法解决初等数学问题作了一点尝试。
文献[17]-[19]通过几个实例，说明二次型半正定性在不等式证明中的应用，该方法证明不等式的基本思路是首先构造二次型，然后利用二次型半正定性的定义或等价条件，判断该二次型（矩阵）为半正定，从而得到不等式。
文献[20]-[21] 主要对以下几个方面的问题进行了研究和分析基于时变的输入时滞的最优控制系统；基于输出反馈的线性二次型次优控制。
总结了前人对纯滞后的线性二次型次优控制的研究成果,并提出优缺点及改进方法。
并简要介绍了最优控制的一些基于状态反馈和输出反馈的结论和引理，对一种特殊的多重输入时滞系统的研究,主要运用了线性二次型的方法,求出最优控制律。
研究用输出反馈求解二次型次优控制问题,主要是利用线性矩阵不等式方法和几个重要引理来证明。
同时对一种特殊的模型——纯滞后的线性二次型次优控制的分析,总结了前人根据Pade 逼近法所设计的模型,对模型提出了自己的一些优缺点及改进方法。
文献[22]-[25]二次型的最大值和最小值已引起许多学者的关注和研究，利用Rayleigh 商给出的Hermite 矩阵特征值的表达式，对于Hermite 矩阵的特征值全是实数，且必存在酉矩阵1'P AP P AP -=为对角形矩阵。
发现二次型'X AX 最大值和最小值同Hermite 矩阵的特征值有密切关系。
作为应用，还研究了它在二维向量空间上最大值和最小值，并给出了最大值和最小值具体表达式，实例验证了利用特征值求解二次型条件最值的简便性和有效性。
三、总结二次型是高等代数的重要内容之一, 若用它解决初等数学中的多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式问题,有时会起到意想不到的效果。
（1）为中学数学的有关内容提供理论根据。
中学数学教材的叙述，较多地采用了描述性的方法，理论上的要求不可能十分严谨，内容的深度与广度都有一定的局限性。
例如, 学了多项式的因式分解，虽然介绍了许多分解因式的具体方法, 但那时说一个多项式不能再分, 常常只是我们自己看不出怎么再分下去的意思, 并没有严格论证它们确实不能再分。
而利用二次型为二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并可以很快得到分解式。
(2) 为中学数学有关内容提供解决方法。
高等代数是初等代数的继续和发展, 它所提供的结论往往对某类问题具有一般方法, 从而达到了初等数学不能达到的效果。
例如：有一类不等式经过移项后，其中的一端可写成实二次型的形式，而另一端为O 。
如211)(2i ni n i i x x ∑∑==与，这时可用半正定二次型的性质，根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型，从而证明该不等式，较用数学归纳法来得简便。
(3) 为中学数学有关内容提供了简捷证明的有力工具。
利用定理4 设 f ( x1 , x2 ,…… xn ) = X'AX 是一实二次型，λ1，λ 2 ……，λn 是A 的特征多项式的根，且 λ1 ≤ λ2 ≤…≤ λn 。
则λ1X'X ≤ X'AX ≤ λn X'X ，且等号成立的充分条件是 X 分别取 λ 1 和λn 所对应的特征向量。
证明： 已知三角形三边长为a ，b ，c ，面积为S，求证：222,a b c ++ 并问何时等号成立（第三届MTO 竞赛题）因此, 本文通过对二次型应用的探索，挖掘教材、研究习题，结合相关资料的理解，阐述了二次型惯性定理在因式分解、研究二次曲面的图形、求不定方程的整数解的应用，二次型半正定性在证明不等式的应用及二次型在最值中的应用。