相似三角形A字模型含详细答案-经典
相似三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
相似三角形重难点模型(五大模型)【题型01：(双)A字型相似】【题型02：(双)8型相似】【题型03：母子型相似】【题型04：旋转相似】【题型05：K字型相似】【题型01：(双)A字型相似】1.如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，求AN的长．【答案】2【分析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x，易证四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC，∴AN AD =EFBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，∵BC=12,AD=6，∴AN=6-x，∴6-x6=x 12，解得：x=4，∴AN=6-x=6-4=2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．2.如图，光源P 在水平横杆AB 的上方，照射横杆AB 得到它在平地上的影子为CD (点P 、A 、C 在一条直线上，点P 、B 、D 在一条直线上)，不难发现AB ⎳CD ．已知AB =1.5m ，CD =4.5m ，点P 到横杆AB 的距离是1m ，则点P 到地面的距离等于m ．【答案】3【分析】作PF ⊥CD 于点F ，利用AB ∥CD ，推导△P AB ∽△PCD ，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，∵AB ∥CD ，∴△P AB ∽△PCD ，PE ⊥AB ，∵△P AB ∽△PCD ，∴AB CD =PE PF ，(相似三角形对应高之比是相似比)即：1.54.5=1PF，解得PF =3．故答案为：3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AC =6，AD 平分∠BAC ，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．(1)求线段DE 的长；(2)取线段AD 的中点M ，连接BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【答案】(1)4(2)23【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC =60°，∴∠DAC =30°，在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，∠DAC =30°，AC =6，∴CD =23，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AC =6，∴BC =63，∴BD =BC -CD =43，∵DE ∥CA ，∴DE CA=BD BC =23，∴DE =4；(2)解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM =AM ，∵DE ∥CA ，∴DF AG =DM AM．∴DF =AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG =BF BG ，BF BG =BD BC ．∴EF AG=BD BC ．∵BD =43，BC =63，DF =AG ，∴EF DF=23．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．4.如图，△ABD 中，∠A =90°，AB =6cm ，AD =12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．(1)求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；(2)当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】(1)t 1=4，t 2=2；(2)t =3或245【分析】(1)由题意得DN =2t (cm )，AN =(12-2t )cm ，AM =tcm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：(1)由题意得DN=2t(cm)，AN=(12-2t)cm，AM=tcm，∴△AMN的面积=12AN•AM=12×(12-2t)×t=6t-t2，∵∠A=90°，AB=6cm，AD=12cm∴△ABD的面积为12AB•AD=12×6×12=36，∵△AMN的面积是△ABD面积的29，∴6t-t2=29×36，∴t2-6t+8=0，解得t1=4，t2=2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；(2)由题意得DN=2t(cm)，AN=(12-2t)cm，AM=tcm，若△AMN∽△ABD，则有AMAB=ANAD，即t6=12-2t12，解得t=3，若△AMN∽△ADB，则有AMAD=ANAB，即t12=12-2t6，解得t=24 5，答：当t=3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．【题型02：(双)8型相似】5.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．(1)求证：△BND∽△CNM；(2)如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；(2)先利用AD 2=AB •AF 可证明△ADB ∽△AFD ，则∠1=∠F ，再根据平行线的性质得∠F =∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC =∠CMD ，于是可判断△MNC ∽△MCD ，所以MC ：MD =CN ：CD ，然后利用CD =AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ，∴BE =CD ，而BE ∥CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴BD ∥CE ，∵CM ∥DB ，∴△BND ∽△CNM ；(2)∵AD 2=AB •AF ，∴AD ：AB =AF ：AD ，而∠DAB =∠FAD ，∴△ADB ∽△AFD ，∴∠1=∠F ，∵CD ∥AF ，BD ∥CE ，∴∠F =∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC =∠CMD ，∴△MNC ∽△MCD ，∴MC ：MD =CN ：CD ，∴MC •CD =MD •CN ，而CD =AB ，∴CM •AB =DM •CN ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，AE =2ED ，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为()A.23B.12C.13D.34【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．先根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，则可判断△ABG ∽△CFG ，△ABE ∽△DFE ，于是根据相似三角形的性质和AE =2ED 即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△ABG ∽△CFG ，∴BG GF =AB CF∵△ABE ∽△DFE ，∴AE DE =AB DF，∵AE =2ED ，∴AB =2DF ，∴AB CF =23，∴BG GF=23．故选：A ．7.如图1，在四边形ABDE 中，∠ABC =∠BDE ，点C 在边BD 上，且AC ∥DE ，AB ∥CE ，点F 在边AC 上，且AF =CE ，连接BF ,DF ，DF 交CE 于点G ．(1)求证：BF =DF ；(2)如图2，若∠ACE =∠CDF ，求证：CE ⋅CF =BF ⋅DG ；(3)如图3，若延长BF 恰好经过点E ，求BC CD的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1+52【分析】(1)证明△ABF ≌△CAE ，得出BF =AE ，证明四边形AFDE 为平行四边形，得出AE =DF ，则可得出结论；(2)证明△FCG ∽△FDC ，得出CF DF =GF CF ，证明△FCG ∽△DEG ，得GF DG =CF DE ，则得出结论；(3)证明△ABF ∽△CEF ，得出AB CE =AF CF，设AB =x ,AF =CE =m ，解方程求出x ，则可得出答案．【详解】(1)∵AC∥DE,AB∥CE∴∠BDE=∠ACB,∠ABC=∠DCE,∠BAC=∠ACE ∵∠ABC=∠BDE∴∠ABC=∠BDE=∠ACB=∠DCE∴AB=AC,CE=DE在△ABF和△CAE中，又∵AF=CE∠BAC=∠ACE AB=AC∴△ABF≌△CAE(SAS)∴BF=AE∵CE=DE,AF=CE∴AF=DE∵AF=DE,AC∥DE∴四边形AFDE为平行四边形∴AE=DF∴BF=DF(2)∵∠CFG=∠CFD ∠ACE=∠CDF∴△FCG∽△FDC∴CF DF =GF CF又∵AC∥DE∴△FCG∽△DEG∴GF DG =CFDE，即GFCF=DGDE∴CF DF =DGDE．又∵DE=CE,DF=BF∴CF BF =DGCE，即CE⋅CF=BF⋅DG(3)∵∠ABC=∠DCE ∠ACB=∠EDC∴△ABC∽△ECD∴BC CD =AB CE∵AB∥CE，∴△ABF∽△CEF∴AB CE =AF CF∴AB⋅CF=AF⋅CE．设AB=x,AF=CE=m，则有x(x-m)=m2解得x=1+52m(负值舍去)∴BC CD =ABCE=1+52【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键．8.如图1，在矩形ABCO 中，OA =8，OC =6，D ，E 分别是AB ，BC 上一点，AD =2，CE =3，OE 与CD 相交于点F ．(1)求证：OE ⊥CD ；(2)如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长．【答案】(1)见解析；(2)CH 的长为6．【分析】(1)根据四边形ABCO 是矩形，可得OA =BC =8，OC =AB =6，根据勾股定理可得OE 和CP 的长，进而得EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE ⊥CD ；(2)在Rt △CBD 中，CB =8，BD =AB -AD =6-2=4，根据勾股定理可得CD =45，根据点G 是CD 的中点，可得CG =DG =25，所以得点G 是CP 的三等分点，根据OA ∥BC ，对应边成比例即可求出CH 的长．【详解】(1)∵四边形ABCO 是矩形，∴OA =BC =8，OC =AB =6，在Rt △OCE 中，CE =3，∴OE =OC 2+CE 2=62+32=35，∵AB ∥OC ，即AD ∥OC ，且AD =2，∴AD OC =P A PO ，∴26=P A P A +8，∴P A =4，∴PO =P A +OA =12，∴在Rt △OPC 中，OC =6，∴CP =OC 2+PO 2=62+122=65，∵OA ∥BC ，即OP ∥CE ，∴CE OP =EF OF =CF PF ，∴EF OF=CF PF =312=14，∴EF =15OE =355，CF =15CP =655，∵355 2+655 2=95+365=9，∴EF 2+CF 2=CE 2，∴△CEF 是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；(2)在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根据勾股定理，得CD=CB2+BD2=82+42=45，∵点G是CD的中点，∴CG=DG=25，由(1)知：CP=65，∴DP=CP-CD=25，∴点G是CP的三等分点，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴CH OP =CG GP，∴CH12=12，∴CH=6．答：CH的长为6．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．【题型03：母子型相似】9.【典例3】如图1，∠C=90，BC=6，tan B=43，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．(1)求AB的长．(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．【答案】(1)10(2)t=125或t=1811时，以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似(3)t=2或t=4017或t=5031时，△MNA为等腰三角形【分析】(1)根据三角函数解得即可；(2)分①当△MCN ∽△BCA 时和②当△MCN ∽△ACB 时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；(3)分①当AM =AN 时，②当AM =MN 时，③当MN =AN 时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．【详解】(1)解：∵∠C =90°,BC =6,tan B =43∴AC =8∴AB =BC 2+AC 2=62+82=10(2)解：解：①当△MCN ∽△BCA 时，∴MC BC =CN CA ，即6-t 6=2t 8，解得：t =125，②当△MCN ∽△ACB 时，∵MC AC =CN BC ，即6-t 8=2t 6，解得：t =1811，综上所述，t =125或t =1811时，以点M 、C 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，(3)解：①如图3，当AM =AN 时，10-3t =2t ，解得：t =2，②如图4，当AM =MN 时，过点M 作MD ⊥AC 于D ，则∠ADM =90°，AM =MN =10-3t ，AD =12AN =t ，∵∠ACB =90°，∴MD ∥BC ，∴△AMD ∽△ABC ，∴AM AB =AD AC ，即10-3t 10=t 8，解得：t =4017，③如图5，当MN =AN 时，过点N 作ND ⊥AB 于D ，则∠ADN =∠ACB =90°，AD =DM =12AM =12(10-3t )，∵∠A =∠A ，∴△ADN ∽△ACB ，∴AD AC =AN AB ，即12(10-3t )8=2t 10，解得：t =5031，综上所述，t =2或t =4017或t =5031时，△MNA 为等腰三角形【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用．10.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AD 上一点，且AB AC=AD CE ，∠BAD =∠ECA ．(1)求证：AC 2=BC •CD ；(2)若AD 是△ABC 的中线，求CE AC 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)22【分析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD ∽△ACE △，得∠B =∠EAC ，进而求出△ABC ∽△DAC ，再利用相似三角形的性质得出答案即可；(2)由△BAD ∽△ACE 可证∠CDE =∠CED ，进而得出CD =CE ，再由(1)可证AC =2CD ，由此即可得出线段之间关系．【详解】(1)证明：∵AB AC =AD CE ，∠BAD =∠ECA ，∴ΔBAD ∽ΔACE ，∴∠B =∠EAC ，∵∠ACB =∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AC CD =BC AC，∴AC 2=BC ·CD ．(2)解：∵△BAD ∽△ACE ，∴∠BDA =∠AEC ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BC =2BD =2CD ，∴AC 2=BC ·CD =2CD 2，即：AC =2CD ，∴CE AC =CD 2CD=22．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD ∽△ACE 是解题关键．11.如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．(1)如果△DEF 与△ABC 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为()A.2B.12C.2或12(2)已知：如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB =2AD , ∠ADE =∠B ．求证：△ABD 与△ADE 互为母子三角形．(3)如图2，△ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作EG ⎳BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若△AGE 与△ADC 互为母子三角形．求AG GF的值．【答案】(1)C ；(2)见解析；(3)AG GF=13或3．【分析】(1)根据互为母子三角形的定义即可得出结论；(2)根据两角对应相等两三角形相似得出△ABD ∽△ADE ，再根据AB =2AD 从而得出结论；(3)根据题意画出图形，分当G ,E 分别在线段AD ,AC 上时和当G ,E 分别在射线DA ,CA 上时两种情况加以讨论；【详解】(1)∵△DEF 与△ABC 互为母子三角形，∴DEAB=12或2故选：C(2)∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵∠ADE =∠B ，∴△ABD ∽△ADE ．又∵AB =2AD ，∴△ABD 与△ADE 互为母子三角形．(3)如图，当G ,E 分别在线段AD ,AC 上时，∵△AGE 与△ADC 互为母子三角形，∴CD GE =AD AG=2，∴AG =DG ，∵AD 是中线，∴BD =CD ，又∵GE ⎳BC ，∴△GEF ∽△DBF ．∴DF GF =DB GE =CD GE=2，∴DG =3GF ，∴AG GF=3．如图，当G ,E 分别在射线DA ,CA 上时，∵△AGE 与△ADC 互为母子三角形，∴CD GE =AD AG =2，∴AG =12AD =13DG ，∵AD 是中线，∴BD =CD ，又∵GE ⎳BC ，∴△GEF ∽△DBF ．∴DF GF =DB GE =CD GE=2，∴DG =GF ，∴AG GF =13．综上所述，AG GF =13或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．12.如图1，AB =AC =2CD ，DC ∥AB ，将△ACD 绕点C 逆时针旋转得到△FCE ，使点D 落在AC 的点E 处，AB 与CF 相交于点O ，AB 与EF 相交于点G ，连接BF ．(1)求证：△ABE ≌△CAD ；(2)求证：AC ∥FB ；(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．(温馨提示：请用简洁的方式表示角)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】(1)根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到CE=CD，根据AC=2CD，就能得到AE=CD，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上AB=AC，就可以通过边角边证明两个三角形全等．(2)根据旋转和第一小题的结论，可以得到BE=FE，然后用等角对等边即可得到∠EFB=∠EBF，又可以从前面的两个全等中得到∠EFC=∠EBA，∠OAC=∠OCA从而得到∠OFB=∠OBF，那么△ACO和△BOF就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即∠CAO=∠FOB，那么内错角相等，两直线平行即可证结论．(3)根据D，E，F在同一条直线上，可以证明△AEG和△CED全等，即可得到AG=12AB，那么EG就是中位线，则EG∥CB，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF是平行四边形，那么BC=AD，然后通过三角形外角的性质，可以证得∠ADE=∠ACD，就能证△ACD和△ADE是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】(1)解：∵将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，∴△FCE≌△ACD，∴CE=CD，∵AC=2CD，∴AC=2CE，∴AE=AC-CE=2CE-CE=CE=CD，∵DC∥AB∴∠DCA=∠EAB，在△ABE和△CAD中，∵AE=CD∠EAB=∠DCA AB=CA，∴△ABE≌△CAD SAS．(2)解：由(1)得BE=AD，∠ABE=∠CAD，∵△CEF≌△CDA，∴FE=AD，∠EFC=∠DAC，∴BE=FE，∠EFC=∠EBA，∴∠EFB=∠EBF，∵∠OFB=∠EFB-∠EFC，∠OBF=∠EBF-∠EBA，∴∠OFB=∠OBF，∵∠ECF=∠DCA，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OBF+∠OFB+∠BOF=180°，又∠AOC=∠BOF，∴∠OCA+∠OAC=∠OBF+∠OFB，即2∠CAO=2∠FOB，∴∠CAO=∠FOB，∴AC∥FB(3)解：在△AEG和△CED中，∵∠GAE=∠DCE AE=CE∠AEG=∠CED ，∴△AEG≌△CED ASA∴AG=CD=12AB，∵AE=CE，∴EG∥CB，∵AC∥FB，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC=FE=AD，∵∠AEG=∠ACD+∠CAD=∠DAE+∠ADE，∴∠ADE=∠ACD，∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴EA DA =DA CA，即DA2=EA⋅CA=2EA2，∴DA=2EA，∵AB=AC=2EA，∴AB BC =ABDA=2EA2EA=22=2．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键．【题型04：旋转相似】13.【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠P AQ=90°，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；(2)变式探究：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为210，CQ=22，请直接写出正方形ABCD的边长．【答案】(1)BP=CQ(2)BP=2AQ(3)6【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明△ABP≌△ACQ，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ 的数量关系；(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明△CBP∽△CAQ，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系；(3)连接BD，先由正方形的性质判断出△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出△BDP∽△CDQ，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．【详解】(1)解：∵△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴AP=AQ，∠BAP+∠P AC=∠CAQ+∠P AC，∴∠BAP=∠CAQ．在△ABP和△ACQ中，AB=AC∠BAP=∠CAQ AP=AQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴BP=CQ；(2)解：结论：BP=2AQ，理由如下：∵△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴QCPC=ACBC=22，∠ACB=∠QCP=45°．∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，∴∠BCP=∠ACQ，∴△CBP∽△CAQ，∴QCPC=ACBC=AQBP=22，∴BP=2AQ；(3)解：连接BD，如图所示，∵四边形ABCD与四边形DPEF是正方形，DE与PF交于点Q，∴△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，∴QDPD=CDBD=22，∠BDC=∠PDQ=45°．∵∠BDP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=45°，∴∠BDP=∠CDQ，∴△BDP∽△CDQ，∴QDPD=CDBD=CQBP=22．∵CQ=22，∴BP=2CQ=4．在Rt△PCD中，CD2+CP2=DP2，设CD=x，则CP=x-4，又∵正方形DPEF的边长为210，∴DP=210，∴x2+(x-4)2=(210)2，解得x1=-2(舍去)，x2=6．∴正方形ABCD的边长为6．【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．14.如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．(1)证明：四边形CEGF是正方形；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG=9，GH=32，求BC的长．【答案】(1)答案见解析；(2)AG=2BE；理由见解析；(3)BC=95 2．【分析】(1)先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG= 45°即可证明；(2)连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；(3)先证△AHG∽△CHA可得AGAC =GHAH=AHCH，设BC=CD=AD=a，则AC=a，求出AH=23a，DH=13a，CH=103a最后代入即可求得a的值．【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形．(2)结论：AG=2BE；理由：连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG=cos45°=22，CB CA =cos45°=22，∴CG CE =CA CB=2，∴△ACG ∽△BCE ，∴AG BE =CA CB=2∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =2BE ；(3)∵∠CEF =45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC =135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC =∠BEC =135°，∴∠AGH =∠CAH =45°，∵∠CHA =∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ，∴AG AC =GH AH=AH CH ，设BC =CD =AD =a ，则AC =2a ，由AG AC =GH AH ，得92a =32AH ，∴AH =23a ，则DH =AD -AH =13a ，CH =CD 2+DH 2=103a ，∴AG AC =AH CH ，得 92a =23a 103a ,解得：a =952，即BC =952．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．【题型05：K 字型相似】15.综合探究如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，□ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上，A 在y 轴上，OA =OC =2OB =4，直线y =x +t (-2≤t ≤4)分别与x 轴、y 轴、线段AD 、直线AB 交于点E 、F 、P 、Q ．(1)当t =1时，求证：AP =DP ．(2)探究线段AP 、PQ 之间的数量关系，并说明理由．(3)在x 轴上是否存在点M ，使得∠PMQ =90°，且以点M 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时t 的值以及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)PQ =22AP(3)t =73时，M 13,0 ；t =23时，M 143,0 ；t =-1时，M -7，0 ．【分析】(1)根据t =1，求出t =1与AD 交点P 的坐标，即可求解；(2)先求出直线AB 的表达式为y =2x +4，再联立直线AB 与直线y =x +t 求出Q (t -4,2t -4)，再求出点P (4-t ,4)，利用坐标系中两点距离公式求出即可PQ =22(t -4)，结合AP =4-t 即可求解；(3)证明△PHM ∽△MIQ ，得到PM QM =AO BO =2或PM QM =BO AO=12，分四种情况画图求解．【详解】(1)证明：由OA =OC =2OB =4知，OC =4，OB =2，则AD =BC =6，则点A 、B 的坐标分别为：(0,4)、(-2,0)，当y =4时，y =x +1=4，则x =3=12AD ，即点P (3,4)，∴AP =DP =3；(2)解：PQ =22AP ，理由：设直线AB 的表达式为：y =kx +b ，将A 0，4 、B -2，0 代入得：4=b 0=-2k +b ，解得：k =2b =4 ．∴直线AB 的表达式为：y =2x +4，联立上式和y =x +t 得y =x +t y =2x +4 ，解得x =t -4y =2t -4 ，即点Q (t -4,2t -4)，同理(1)可得，点P (4-t ,4)，∴PQ =t -4 -4-t 2+2t -4 -4 2=224-t∵AP =4-t ，∴PQ =22AP ；(3)分别过点P 、Q 作PH ⊥x 轴，QI ⊥x 轴，∴∠PHM =∠MIQ =90°，∵∠PMQ =90°，∴∠PMH +∠QMI =90°，∵∠MQI +∠QMI =90°，∴∠PMH =∠MQI ，∴△PHM ∽△MIQ ，∴PH MI =MH QI =PM QM，设点M (x ,0)，由(2)知，点P 、Q 的坐标分别为：(4-t ,4)、(t -4,2t -4)，①若m >0，如图2，则MI =m -(t -4)，MH =4-t -m ，QI =2t -4，当△PMQ ∽△AOB 时，∴PM QM =AO BO=42=2，∴PH MI =MH QI=2．∴PH =2MI ，MH =2QI ，联立方程组：4=2m -(t -4) 4-t -m =2(2t -4) ，解得：m =13t =73∴t =73时，M 13,0 ，②若m >0，MI =m -(t -4)，MH =m -(4-t )，QI =4-2t ，如图3，当△QMP ∽△AOB 时，∴PM QM =BO AO=24=12∴PH MI =MH QI =12∴2PH =MI ，2MH =QI ，联立方程组：2×4=m -(t -4)2m -(4-t ) =4-2t ，解得m =143t =23．∴t =23时，M 143,0 ③若m <0，当△PMQ ∽△AOB 时，如图4，MI =(t -4)-m ，MH =(4-t )-m ，QI =4-2t ，∴PM AO =QM BO ，∴PM QM =AO BO=42=2，∴PH MI =MH QI =2∴PH =2MI ，MH =2QI ，联立方程组：4=2(t -4)-m 4-t -m =2(4-2t )，解得：m =-7t =-1 ∴t =-1，M -7，0④m <0，△QMP ∽△AOB 的情况不存在，综上，t =73时，M 13,0 ；t =23时，M 143,0 ；t =-1时，M -7，0 ．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．16.如图，边长为10的等边△ABC 中，点D 在边AC 上，且AD =3，将含30°角的直角三角板(∠F =30°)绕直角顶点D 旋转，DE 、DF 分别交边AB 、BC 于P 、Q ，连接PQ ．当EF ∥PQ 时，DQ 长为()A.6B.39C.10D.63【答案】B【分析】证明△ADP ∽△BPQ ，由相似三角形的性质得出AD BP =AP BQ =DP PQ ，求出BP =6，CQ =2，过点Q 作QM ⊥AC 于点M ，由勾股定理可求出答案．【详解】解：∵∠F =30°，∴∠E =60°，∵EF ∥PQ ，∴∠DPQ =∠E =60°，∠DQP =∠F =30°，∴∠APD +∠BPQ =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠B =60°，AC =BC =AB =10，∴∠APD +∠ADP =120°，∴∠BPQ =∠ADP ，∴△ADP ∽△BPQ ，∴AD BP =AP BQ =DP PQ，∵∠PDQ =90°，∠DQP =30°，∴PD =12PQ ，∴3 BP =APBQ=12，∴BP=6，∴AP=4，BQ=8，∴CQ=2，过点Q作QM⊥AC于点M，∴CM=12CQ=1，QM=3，∵CD=AC-AD=10-3=7，∴DM=CD-CM=7-1=6，∴DQ=DM2+QM2=62+(3)2=29．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明△ADP∽△BPQ是解题的关键．17.(1)问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP ⋅BP．(2)探究若将90°角改为锐角(如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．(3)应用如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)成立；理由见解析；(3)5【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(3)证明△ABD∽△DFE,求出DF=4，再证△EFC∽△DEC,可求FC=1,进而解答即可．【详解】解：(1)证明：如图1，∵∠DPC=90°∴∠BPC+∠APD=90°，∵∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∴∠APD=∠BPC，又∵∠A=∠B=90°∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；(2)结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=α，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=α，∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；(3)∵∠EFD=45°,∴∠B=∠ADE=45°,∴∠BAD=∠EDF,∴△ABD∽△DFE∴AB:DF=AD:DE∵Rt△ADE是等腰直角三角形∴AD:DE=1:2∴AB:DF=1:2∵AB=22∴DF=4∵Rt△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=45°∵∠EFD=45°∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°又∵∠C=∠C∴△DEC∽△EFC∴DC:EC=EC:CF即EC2=FC⋅(4+FC)∵EC=5∴5=FC(4+FC)∴FC=1解得CD=5．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC =mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．(1)探究发现：如图1，若m =n ，点E 在线段AC 上，则DE DF =；(2)数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则DE DF =(用含m ，n 的代数式表示)；②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)拓展应用：若AC =5，BC =25，DF =42，请直接写出CE 的长．【答案】(1)1；n m ；(2)①n m ；②n m ；(3)CE =25或CE =255【分析】(1)先用等量代换判断出∠ADE =∠CDF ，∠A =∠DCB ，得到△ADE ∽△CDF ，再判断出△ADC ∽△CDB 即可；(2)方法和1 一样，先用等量代换判断出∠ADE =∠CDF ，∠A =∠DCB ，得到△ADE ∽△CDF ，再判断出△ADC ∽△CDB 即可；(3)由2 的结论得出△ADE ∽△CDF ，判断出CF =2AE ，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：1 当m =n 时，即：BC =AC ，∵∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠DCB ，∵∠FDE =∠ADC =90°，∴∠FDE -∠CDE =∠ADC -∠CDE ，即∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ，∴DE DF =AD DC，∵∠A =∠DCB ，∠ADC =∠BDC =90°，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD DC =AC BC=1，∴DE DF =12 ①∵∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠DCB ，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE DF =AD DC，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD DC =ACBC=nm，∴DEDF=nm②成立.如图3，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE DF =AD DC，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD DC =ACBC=nm，∴DE DF =n m．3 由2 有，△ADE∽△CDF，∵DE DF =ACBC=12，∴AD CD =AECF=DEDF=12，∴CF=2AE，如图4图5图6，连接EF．在Rt△DEF中，DE=22，DF=42，∴EF=210，①如图4，当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC-CE=25-CE，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+25-CE2=40∴CE=25，或CE=-255(舍)②如图5，当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC+CE=25+CE，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+25+CE2=40，∴CE=255，或CE=-25(舍)，③如图6，当E在CA延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2CE-AC=2CE-5，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+2CE-52=40，∴CE=25，或CE=-255(舍)，综上：CE=25或CE=25 5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．。
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C （平行）（二） 8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（三）母子型 （不平行）例i ：如图,母子型相似三角形梯形 ABCD 中，AD // BC ,对角线 AC 、BD 交于点0, BE // CD 交CA 延长线于 E . 求证:OC 2 OA OE . 例2:已知: 如图, △ ABC 中，点E 在中线AD 上, DEB ABC .求证: DB 2 DE DA ;相关练习:1、如图，已知AD ABC 的角平分线,2、已知：AD 是Rt △ ABC 中/ A 的平分线, 延长线交于一点No求证：⑴△ AM0A NMD; (2)ND 2 =NC- NB3在 ABC 中，AB=AC 高AD 与 BE 交于H, EF BC ，垂足为F ,延长AD 到G,使DG=EF M 是 AH 勺中点。
求证：GBM 90相 似 三 角 形 模 型 分 析 大 全」、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反 A 字型（斜A 字型）4(四) 一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景(五) 一线三直角型:例1:如图，等边△ ABC 中，边长为6, D 是BC 上动点，/ EDF=60 °(1) 求证：△ BDE CFD(2) 当 BD=1 , FC=3 时，求 BE例 2:已知在梯形 ABCD 中，AD // BC , AD < BC ,且 AD = 5, AB = DC = 2.(1)如图8, P 为AD 上的一点，满足/ BPC =Z A .①求证；△ ABP ^A DPC②求AP 的长. A PD (2)如果点P 在AD 边上移动(点 P 与点A 、D 不重合)，且满足/ BPE =Z A , PE 交直线 BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么当点Q 在线段DC 的延长线上时，设 AP = x , CQ = y , B C求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 相关练习:1、如图，已知在厶 ABC 中， AB=AC=6, BC=5, D 是AB 上一点，BD=2, E 是BC 上一动点，联 结DE ,并作 DEF B ，射线EF 交线段AC 于F .(1)求证：△ DBE ECF ; ( 2)当F 是线段AC 中点时，求线段 BE 的长；(3)联结DF ，如果△ DEF 与厶DBE 相似，求FC 的长.2、已知在梯形 ABCD 中，AD // BC , AD < BC ,且 BC =6 , AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1) 如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：△ BEPCPD ；(2) 如果点 P 在BC 边上移动(点 P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF= / C , PF 交直线 CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=x , DF= y , 求y 关于X 的函数解析式，并写出函数的定义域；一线三等角型相似三角形A D4 D A一线三直角型相似三角形D=3 ,点P 是AD 上的一个动点，交边AB/于点E,设y ，求_y 关于x 的函数关系式P CA 例1、已知矩形 且和点 A,D ABCD 中，CD=2 , 重合，过点 P 作 PE CP , PD x, EB 【练习1】 (第25题图) 在直角 ABC 中，C 90o , AB 5,tanB 3 (备用图)-，点D 是BC 的D P D中点，点E是AB边上的动点，DF DE交射线AC于点F(1)、求AC和BC的长(2)、当EF //BC时，求BE的长。
相似三角形”A“字模型(含详细答案解析)~经典
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t=秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．时，△CPQ与△CBA相似．．图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，相似三角形全章节教案和练习比例线段一，线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“A”字型相似模型(解析版)
专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型【模型展示】非平行A字型∠AED＝∠B∠∠ADE∠∠ACB∠ADAC＝AEAB＝DEBC.非平行A字型∥ACD＝∥B∥∥ADC∥∥ACB∥ADAC＝ACAB＝CDBC.【题型演练】一、单选题1．如图，已知,ADE ABC若:1:3,AD AB ABC的面积为9，则ADE的面积为（）A．1B．2C．3D．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可． 【详解】解：∥∥ADE∥∥ABC ，AD ：AB ＝1：3，∥21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥∥ABC 的面积为9，∥1=99ADES ， ∥S ∥ADE ＝1，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．2．如图，在∥ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则∥ADE 与∥ABC 的面积之比为（ ）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到∥ADE ∥∥ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∥AE =2，EC =3，∥AC =AE +EC =5，∥DE ∥BC ，∥∥ADE ∥∥ABC ， ∥2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在∥ABC 中，∥C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB、AC 上，将∥ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A．12B．3C．2D．1【答案】D【详解】试题解析：由题意得：DE∥AC，∥∥DEA=90°，∥∥C=∥DEA，∥∥A=∥A，∥∥AED∥∥ACB,∥DEBC=AEAC,∥A′为CE的中点，∥C A′=E A′，∥C A′=E A′=AE，∥AEAC=DEBC=13，∥DE=1.故选D.4．如图．在∥ABC中，DE∥BC，∥B=∥ACD，则图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∥∥B=∥ACD，∥A=∥A，∥∥ACD∥∥ABC，∥DE∥BC，∥∥ADE∥∥ABC，∥∥ACD∥∥ADE，∥DE∥BC，∥∥EDC=∥DCB，∥∥B=∥DCE，∥∥CDE ∥∥BCD ，故共4对，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．如图，ABC ∆中，8AB =，6AC =，90A ∠=︒，点D 在ABC ∆内，且DB 平分ABC ∠，DC 平分ACB ∠，过点D 作直线PQ ，分别交AB 、AC 于点P 、Q ，若APQ ∆与ABC ∆相似，则线段PQ 的长为（ ）A ．5B ．356C ．5或356D ．6【答案】B 【分析】分∥APQ∥∥ABC ，∥APQ∥∥ACB 两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：若∥APQ∥∥ABC ，∥∥APQ=∥ABC ，∥PQ∥BC ，AP AQ PQ AB AC BC==， ∥∥PDB=∥DBC ，∥BD 平分∥ABC ，∥∥PBD=∥CBD ，∥∥PBD =∥PDB ，∥PB=PD ，同理，DQ=CQ ，∥8AB =，6AC =，90A ∠=︒，，设AP=x ，根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∥AQ=34x ， ∥PB=PD=8-x ，CQ=DQ=6-34x ，∥PQ=PD+QD=7144x-，∥AP PQAB BC，即7144810xx-=，解得：x=143，∥PQ=356；若∥APQ∥∥ACB，则AP AQ PQ AC AB BC==，由题意知：D为∥ABC的内心，设∥ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，可知四边形AMDN为正方形，∥∥A=∥AMD=∥AND=∥MDN=90°，∥AM∥DN，AN∥DM，∥∥MPD=∥NDQ，∥MDP=∥NQD，∥∥MPD∥∥NDQ，∥MP MD ND NQ=，∥AB=8，AC=6，BC=10，∥DM=DN=68102+-=2，∥AM=AN=2，设PM=x，则22xNQ =，∥NQ=4x，∥AP AQAC AB=，即42268x x++=，解得：x=32或-2（舍），∥AP=32+2=72， ∥PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ 的值为356. 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，取AC 的中点D ，连接BD ，点C 关于线段BD 的对称点为点E ，点F 为线段CD 上的一个动点，连接AE 、BD 、BE 、DE ，已知AC =2BC =，103AE =，//BD AE ，当EF BF +的值最小时，则EF BF的值为（ ）A B C ．109 D ．32【答案】C【分析】设点M 和点B 关于AC 对称，F 为EM 与AC 交点，过点E 作EG∥AC 于G ，过点E 作EN∥BC ，交BC 延长线于点N ，根据题意得出当EF+BF 最小时点F 的位置，再通过平行线的性质得到∥EAG=∥BDC ，从而求出EG 的长，再判定四边形EGCN 为矩形，得到CN ，最后利用∥MFC∥MEN 将EF BF 转化为NC CM求值即可. 【详解】解：当EF+BF 最小时，如图，点M 和点B 关于AC 对称，F 为EM 与AC 交点，过点E 作EG∥AC 于G ，过点E 作EN∥BC ，交BC 延长线于点N ，此时EF+BF 的最小值即为EF+FM ，即EM ，∥AC=D 为AC 中点，BC=2，∥tan∥BDC=BC DC =， ∥AE∥BD ，∥∥EAG=∥BDC ，∥tan∥EAG=EG AG EG=x ，x ，而AE=103，在∥AEG 中，222103x x ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解之得：x=209或209-（舍）， 由题意可得：∥N=∥ACB=∥EGC=90°，∥四边形EGCN 为矩形， ∥EG=NC=209， ∥AC∥BC ，EN∥BC ，∥AC∥EN ，∥∥MFC∥MEN ， ∥MC MF CN EF =，则2010299EF EF NC BF FM CM ===÷=， 故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG 的长.二、填空题7．如图，光源P 在水平横杆AB 的上方，照射横杆AB 得到它在平地上的影子为CD （点P 、A 、C 在一条直线上，点P 、B 、D 在一条直线上），不难发现//AB CD ．已知 1.5AB m =，4.5CD m =，点P 到横杆AB 的距离是1m ，则点P 到地面的距离等于______m ．【答案】3【分析】易得∥P AB ∥∥PCD ，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB 与CD 间的距离．【详解】解：如图，作PF ∥CD 于点F ，∥AB ∥CD ，∥∥P AB ∥∥PCD ，PE ∥AB ，∥∥P AB ∥∥PCD ， ∥AB PE CD PF=， 即：1.514.5PF =， 解得：PF =3．故答案为：3．【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比． 8．如图，矩形 ABCD 中，2AD =，4AB =，AC 为对角线，E 、F 分别为边 AB 、CD 上的动点，且 EF AC ⊥ 于点 M ，连接 AF 、CE ，求AF CE +的最小值是_____．【答案】5【分析】AF 与EC 两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作//CG EF ，且CG EF =，连接AG ，又因点F 是DC 上是一动点，由三角形的边与边关系AF FG AG +≥，只有当点F 在直线AG 上时，AF FG +最小，由平行四边形CEFG 可知FG EC =时，可求AF CE +的最小值【详解】解：如图所示：过点C 作//CG EF ，且CG EF =，连接FG ，设DF x =，则4FC x =-,当点A 、F 、G 三点共线时，AF FG +的最值小，∥//CG EF ，且CG EF =，∥四边形CEFG 是平行四边形；∥//EC FG ，EC FG =，又∥点A 、F 、G 三点共线，∥//AF EC ，又∥四边形ABCD 是矩形，∥//AE DC ，90D ∠=︒，∥四边形AECF 是平行四边形，又∥EF AC ⊥，∥四边形AECF 是菱形，∥4AF FC x ==-，在Rt ADF 中，由勾股定理得：222AD DF AF +=，又∥2AD =，DF x =，则4AF x =-，∥2222(4)x x +=-， 解得：32x =， ∥52AF =， 在Rt ADC 中，由勾股定理得，2222224AC AD DC =+=+，所以AC =∥AM =又∥//MF CG ，∥AMF ACG ∠=∠，AFM AGC ∠=∠，∥A AMF CG ∽， ∥AM AF AC AG=，52AG=，∥5AG =，又∥AG AF FG =+，FG EC =，∥5AF EC +=，即最小值是5，故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．9．如图，正方形ABCD 边长为3，点E 是AD 上一点，且1AE =，连接BE ，过C 作CF BE ⊥，垂足为F ，CF 交对角线BD 于G ，将BCG 沿CG 翻折得到HCG △，CH 交对角线BD 于M ，则HGM S =______．【答案】928【分析】过点G 作GR ∥BC 于R ，过点H 作HN ∥BC 交BD 于N ，由正方形性质可证明：∥ABE ∥∥FCB ，由勾股定理可求BF ，由翻折性质可得∥HGC ∥∥BGC ，进而可证明：∥BHN ∥∥BED ，可求得HN ，再由∥HNM ∥∥CBM ，可求得HGM HGC S S ，再由∥CGR ∥∥CBF 即可求得结论． 【详解】解：如图，过点G 作GR BC ⊥于R ，过点H 作HN BC ∥交BD 于N则90BRG CRG ∠=∠=︒，∥CF BE ⊥90BFC ∴∠=︒90CBF BCF ∴∠+∠=︒正方形ABCD90A ABC ∴∠=∠=︒，3AB AD BC ===90ABE CBF ∴∠+∠=︒ABE BCF ∴∠=∠ABE ∴∥FCB在Rt ABE 中，BE ==BF AE BC BE ∴=，即3BF =BF ∴=由翻折知：FH BF =BH =3HC BC ==，HGC ∥BGC //HN BC BHN ∴∥BEDHN BH DE BE ∴=，即2HN = 65HN ∴= HNM ∥CBM 25HM HN MC BC ∴== 27HM HC ∴=， 27HGM HGC SHMS HC ∴==，GR BC ⊥，45CBG ∠=︒BGR ∴是等腰直角三角形，设BR GR x ==，则3CR x =-， CGR ∥CBF13GR BF CR CF ∴==，即133x x =-，解得34x = 34GR ∴= 113932248BCG S BC GR ∴=⨯⨯=⨯⨯= 98HGC S ∴= 229977828HGM HGC S S ∴==⨯=， 故答案为：928． 【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型．10．如图，在三角形ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将三角形ABD 沿直线AD 翻折至三角形ABC 平面内，使得B 点与E 点重合，连接CE 、BE ，分别与边AC 交于点H ，与AD 交于点O ，若AH CH =，AB =4OB =，则点A 到线段BC 的距离为__________．【答案】365【分析】如图，过点A 作AT CB ⊥交CB 的延长线于T ．利用勾股定理求出AO ，利用三角形重心的性质求出OD ，再利用勾股定理求出BD ，利用相似三角形的性质求出AT 即可．【详解】解：如图，过点A 作AT CB ⊥交CB 的延长线于T ．由翻折的性质可知，AD 垂直平分线段BE ，90AOB ∠=︒∴，∥AB =4OB =，∥6OA ，∥AH CH =，点D 为边BC 的中点，∴点O 是ABC 的重心，2OA OD ∴=，3OD ∴=，5BD ∴=，BDO ADT ∠=∠，90BOD T ∠=∠=︒，DOB DTA ∴△∽△， ∴OB DB AT AD =， ∴459AT =， 365AT ∴=， 故答案为：365． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，点E 是边AB 的中点，连接CE ，将∥BCE 沿CE 折叠得到∥FCE ，CF 与BD 交于点P ，则DP 的长为 ___．【分析】由勾股定理可求出BD 、EC 的长，连接BF 交CE 于点G ，作FH ∥BC 于点H ，PQ ∥BC 于点Q ，根据相似三角形的性质求出BG 的长，再根据面积等式列方程求出FH 的长，再根据相似三角形的性质求出BQ 与CQ 的比，进而求出DP 的长．【详解】解：如图，连接BF 交CE 于点G ，作FH ∥BC 于点H ，PQ ∥BC 于点Q ，∥四边形ABCD 是矩形，∥AB =DC =2，∥ABC =∥BCD =90°，∥BC =3，∥.BD =∥AE =BE =12AB =12×2=1，∥EC =由折叠得，CE 垂直平分BF ，∥∥BGC =∥EBC =90°，∥∥GCB =∥BCE ，∥∥BGC ∥∥EBC ， ∥GB BC BE EC=，∥BC BE GB EC ⋅===∥22BF GB ===CG ==由12BC •FH =12BF •CG 得，12×3FH =12 解得，FH =95； ∥∥CHF =90°，FC =BC =3，∥125CH==；∥PQ∥FH，∥∥CPQ∥∥CFH，∥CQ PQCH FH=，∥1245935CQ CHPQ FH===，∥CQ=43PQ，∥∥BQP=∥BCD=90°，∥PQ∥DC，∥∥BPQ∥∥BDC，∥BQ PQBC DC=，∥32BQ BCPQ DC==，∥BQ=32PQ，∥392483PQBP BQDP CQ PQ===，∥881717DP BD==，．【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确．三、解答题12．如图，∥ABD中，∥A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，∥AMN的面积是∥ABD面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与∥ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【详解】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∥∥AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2， ∥∥A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm∥∥ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36， ∥∥AMN 的面积是∥ABD 面积的29， ∥6t ﹣t 2＝2369⨯， ∥t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，∥AMN 的面积是∥ABD 面积的29； （2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若∥AMN ∥∥ABD ， 则有AM AN AB AD =，即122612t t -=， 解得t ＝3，若∥AMN ∥∥ADB ， 则有AM AN AD AB=，即122126t t -=， 解得t ＝245， 答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与∥ABD 相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．13．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S ==，求21S S 的取值范围． 【答案】21104S S <≤ 【分析】作AG ∥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【详解】解：如图所示，作AG ∥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∥DE ∥BC ，∥∥ADE ∥∥ABC ， ∥DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====， ∥GF m x AF m-=， ∥()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯=， 整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∥点D 在AB 上，0m >，∥0x m <<，210m -<， ∥抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14， 当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键． 14．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t = 【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分∥Rt CPQ Rt CAB ∽△△和∥Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∥AC =20cm ，∥CP =（20-4t ）cm ，在Rt ∥CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∥3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-； （3）分两种情况：∥当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =； ∥当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =． 因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 15．如图，在∥ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC=． （1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝∥ADE ∥∥AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==后问题可求证．【详解】解：（1）∥DE ∥BC ， ∥AD AE BD EC =， ∥AF AE FE EC =， ∥AF AD FE BD =， ∥DF ∥BE ；（2）∥AF ＝2，EF ＝4，∥由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6， ∥AB ＝∥13AD AB ==∥AE AD AB AE ==，∥AE AD AB AE == ∥∥A =∥A ，∥∥ADE ∥∥AEB ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．16．矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝3cm ，AD ＝BC ＝4cm ，AC 是对角线，动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s ；动点Q 从点C 出发沿CD 方向向点D 匀速运动，速度为2cm/s ．过点P 作BC 的垂线段PH ，运动过程中始终保持PH 与BC 互相垂直，连接HQ 交AC 于点O ．若点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜1.5），解答下列问题：（1）求当t 为何值时，四边形PHCQ 为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ 与AC 互相垂直？如果存在请求出t 值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544，如果存在请求出t 值；如果不存在请说明理由．【答案】（1）1513t =；（2）存在，4023t =；（3）存在，1t = 【分析】（1）当四边形PHCQ 为矩形时，PH CQ =，利用相似三角形的性质求出PH ，CH ，构建方程求解即可；（2）证明HCQ ABC ，由相似的性质得出，CH CQAB BC=，由此构建方程求解即可； （3）根据矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544，构建方程求解即可． 【详解】解：（1）3AB =，4BC =，5AC ∴，由题可得：AP t =，5CP t =-，2CQ t =， 四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，PH BC ⊥，90CHP B ∴∠=∠=︒， PCH ACB ∠=∠， PCHACB ∴，PH CH PC AB CB AC ∴==，即5345PH CH t-==， 3(5)5PH t ∴=-，4(5)5CH t =-，当四边形PHCQ 为矩形时，PH CQ =，3(5)25t t ∴-=， 解得：1513t =， ∴当1513t =时，四边形PHCQ 为矩形； （2）存在一个时刻，使HQ AC ⊥， 当HQ AC ⊥时，90QHC ACB ∠+∠=︒，90BAC ACB ∠+∠=︒，QHC BAC ∴∠=∠，90HCQ B ∠=∠=︒，HCQ ABC ∴，CH CQAB BC∴=，即CH BC AB CQ ⋅=⋅， 4(5)4325t t ∴-⨯=⨯， 解得：4023t =，∴当4023t =时，HQ AC ⊥； （3）存在， 由题意得：7513434[2(5)](5)44255t t t ⨯=⨯⨯+-⨯-， 解得：1t =或137t =（舍去）， ∴当1t =时，矩形ABCD 的面积是四边形PHCQ 面积的7544． 【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键．17．图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．【答案】65【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB GH ∥，可证∥CGH ∥∥CAB ，由性质得出GH CH AB BC =，由GH CD ∥，可证∥BGH ∥∥BDC ，由性质得出GH BHCD BC=，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】解：∥AB CH ∥， ∥∥A =∥HGC ，∥ABC =∥GHC ， ∥∥CGH ∥∥CAB ， ∥GH CHAB BC=， ∥GH CD ∥，∥∥D =∥HGB ，∥DCB =∥GHB ， ∥BGH ∥∥BDC ， ∥GH BHCD BC=， ∥1GH GH CH BHAB CD BC BC+=+=， ∥AB =2，CD =3，∥123GH GH+=， 解得：GH =65．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．一块直角三角形木板的面积为21.5m ，一条直角边AB 为1.5m ，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH ∥AC 于H ，交DE 于M ，如图∥1=2ABC S AB BC ⋅△∥2 1.521.5BC ⨯==∥52AC =∥1=2ABC S AC BH ⋅△∥65 BH=又∥DE∥AC∥DE BM AC BH=∥655625xx-=，解得3037x=设正方形的边长为x米，如图乙∥DE∥AB∥DE CD AB CB∥21.52x x-=，解得67x=∥630 737 >∥乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．19．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDH BCN∽和DHM ANM∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDM BCH△∽和AMN CHN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出AHM DBM△∽△和AHN CBN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出AN NH CH==，即可得出答案；【详解】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ． 所以BDH BCN ∽， 所以DH BDCN BC=． 因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==． 因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽， 所以DH DMAN AM=． 因为M 为AD 的中点，所以1DH DMAN AM==． 所以DH AN =， 所以12AN CN =． 解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽， 所以DM BDCH BC=． 因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =， 所以12AM CH =． 因为//DM CH ， 所以AMN CHN △∽△， 所以12AN AM CN CH ==． 解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△， 所以AH AMBD DM=． 因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =． 因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△， 所以AN AHCN BC=． 因为D 为BC 的中点，且AH BD =， 所以12AN BD CN BC ==． 解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN △中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =， 所以AN NH CH ==． 所以12AN CN =． 20．如图， ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AGGF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA △相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析 【分析】（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解； （2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证． 【详解】解：（1）D 是BC 的中点，E 是AC 的中点， BD CD ∴=，AE CE =，//GE BC ， AGE ADC ∴∽△△，12AG GE AE AD CD AC ∴===， AG GD ∴=，2GE CD BD ==， //GE BC ， GEF DBF ∴∽△△，12GE GF BD DF ∴==， 2DF GF ∴=， 3AG DG GF ∴==，3AGGF∴=．（2）当BD =4DF =时， 由（1）可得 122GF DF ==，36AG DG GF ===，212AD AG ==，12GE BD == 44BD DF ==AD BD == AD BDBD DF∴=， 又BDG ADB ∠=∠，BDA FDB ∴∽△△，3GEGF =AD BD == AD GEBD GF∴=， //GE BC ， ADB EGF ∴∠=∠， BDA FGE ∴∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．21．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE ABAF AC=．（1）求证：AEFABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FGBD CD=． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得∥AEG ∥∥ABD ，∥AGF ∥∥ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】解：（1）在∥AEF 和∥ABC 中， ∥EAF BAC ∠=∠，AE ABAF AC=， ∥∥AEF ∥∥ABC ；（2）∥∥AEF∥∥ABC，∥∥AEF=∥ABC，∥EF∥BC，∥∥AEG∥∥ABD，∥AGF∥∥ADC，∥EG AGBD AD=,FG AGCD AD=，∥EG FG BD CD=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∥ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：∥ADH∥∥CDG；（2）当α≠60°时，∥如图2，连接HG，求证：∥ADC∥∥HDG；∥若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．【答案】（1）证明见详解；（2）∥证明见详解；∥EG．【分析】（1）AD＝AC，∥ADC＝60°，可证∥ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∥B=∥ADC=60°，AD∥BC，可得∥HAD=∥B=60°=∥GCD，由∥GDH=∥CDA=60°，可证∥HAD =∥CDG，即可证∥ADH∥∥CDG（ASA）；（2）∥根据AD＝AC，∥ADC＝α，可得∥ACD=∥ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∥HAD=∥ADC=α=∥GCD，由∥GDH=α=∥ADC，可得∥ADH =∥CDG 即可；∥根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证∥AGE∥∥CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=1922AB=，根据勾股定理CN==GM∥CN，再证∥AMG∥∥ANC，可求1948AM AN==,14GM CN==EM=AE-AM=915388-=，根据勾股定理EG==，当点E在BA延长线上，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，由AE∥CD，∥GAE∥∥GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证∥GMA∥∥CNA，可得1122GM CN===，11992224AM AN==⨯=，EM=AE-AM=3-9344=，根据勾股定理EG=．【详解】（1）证明：∥AD＝AC，∥ADC＝60°，∥∥ACD为等边三角形，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AB=CD=BC=AD，∥B=∥ADC=60°，AD∥BC，∥∥HAD=∥B=60°=∥GCD，∥∥GDH=∥CDA=60°，∥∥HDA+∥ADG=∥CDG+∥ADG=60°，∥∥HDA =∥CDG，在∥ADH和∥CDG中ADH CDGAD CDHAD GCD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∥ADH∥∥CDG（ASA）；（2）∥证明：∥AD＝AC，∥ADC＝α，∥∥ACD=∥ADC＝α，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AD∥BC，∥∥HAD=∥ADC=α=∥GCD，∥∥GDH=α=∥ADC，∥∥ADH+∥ADG=∥CDG+∥ADG=α，∥∥ADH =∥CDG，∥∥ADH∥∥CDG；∥解：当点E在AB上时，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，∥四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，∥∥EAG=∥DCG，∥AEG=∥CDG，∥∥AGE∥∥CGD，∥3193 AG AECG CD===，∥3CG AG=，∥AD=AC=12，∥AG+CG=AG+3AG=4AG=12，∥AG=3，∥CG=AC-AG=12-3=9，∥AC=AD=BC，CN∥AB，∥AN=BN=19 22 AB=，在Rt∥BCN中，根据勾股定理CN=∥GM∥CN，∥∥AMG∥∥ANC，∥31124 AM AG GMAN AC CN====，∥1948AM AN==,14GM CN==∥EM=AE-AM=915388-=，在Rt∥MGE中，根据勾股定理EG==，当点E在BA延长线上，过C作CN∥AB于N，过G作GM∥AE于M，∥AE∥CD，∥∥GAE=∥GCD，∥GEA=∥GDC，∥∥GAE∥∥GCD，∥3193 GA EAGC DC===，∥3GC GA=，∥AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,∥GA=6，∥AC=AD=BC，CN∥AB，∥AN=BN=19 22 AB=，在Rt∥BCN 中，根据勾股定理CN =∥CN ∥AB ， GM ∥AE ， ∥GM∥CN ， ∥∥GMA ∥∥CNA ， ∥61122GA GM AM CA CN AN ====，∥1122GM CN ===11992224AM AN ==⨯=， ∥EM =AE -AM =3-9344=，在Rt∥GME 中，根据勾股定理EG∥综合EG ． 【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．23．已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ． （1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，∥BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断∥BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得∥CFE∥∥AME，∥NCF∥∥NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG∥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∥∥CFE∥∥AME，∥NCF∥∥NBM，∥1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∥AM＝2CF＝4，∥BM＝AB﹣AM＝5，∥265BNBN-=，∥BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时∥BEN不存在，∥CF＝9﹣2CF，∥CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∥CF＝4.5，∥分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG∥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∥BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∥1843x BNx-=-，∥y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时， 由BN BMCN CF=得， 926BN xBN x-=+∥CN ＝2(92)3x x --， ∥y ＝12(92)323x x -⋅⨯- ＝2763xx --； （3）如图4，∥EG AB ∥， ∥13CG EG CB AB ==， ∥CG ＝13CB ＝2，∥GB ＝CB ﹣CG ＝4， ∥BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时， 9﹣2x ＝5， ∥x ＝2， 如图5，当EM ＝EB ＝5时， 作EH ∥AB 于H ， ∥BM ＝2BH ＝2EG ＝6， ∥9﹣2x ＝6， ∥x =32，如图6，当EM ＝BM 时， 作MH ∥BE 于H ，在Rt ∥BMH 中，BH ＝1522BE =，∥MBH ＝cos ∥BEG ＝35EG BE =， ∥BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∥9﹣2x ＝256， ∥x ＝2912， 综上所述：x ＝2或32或2912．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．24．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t 为___________时，//PQ AB ？（2）连接EQ ，设四边形APQE 的面积为()2cm y ，求y 与t 的函数关系式.（3）当t 为何值时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上？（4）若点F 关于AB 的对称点为F'，是否存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F'三点共线？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t =--+；（31；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ ∥AB ，则四边形P ABQ 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP =BQ ，即8-2t =t ，解方程即可求解；（2）过点Q 作QH ∥AB 交AB 的延长线于点H ，由勾股定理求出BD =6，证明∥ADB ∥∥BHQ ，根据相似三角形的性质可得QH =35t ，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB =，可得出BE =52t ，根据y =S 四边形APQB -S ∥BEQ 即可求解；（3）先证出∥APE ∥∥ABD ，根据相似三角形的性质可得PE AP DB AD=，可得PE =6-32t ，根据线段垂直平分线的性质得EQ =PE ，由（2）得QH =35t ，可得出BH =45t ，根据勾股定理得出EH 2+HQ 2=EQ 2，列出方程即可求解；（4）连接FF ′交AB 于点N ，由对称及平行线的性质可得∥FEB =∥ABD ，由等角对等边得EF =FB ，则1524BN EN BE t ===，再证∥DPF ∥∥BQF ，可得DF =2BF ，可求出BF =2，然后证明∥BNF ∥∥BDA ，根据相似三角形的性质即可得t 的值． 【详解】解：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形， ∥AD ∥BC ， 若PQ ∥AB ，∥四边形P ABQ 是平行四边形， ∥AP =BQ ，∥8-2t =t ， ∥t =83，∥当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ∥AB 交AB 的延长线于点H ，∥∥ADB =90°，∥BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6， ∥四边形ABCD 是平行四边形， ∥AD ∥BC ， ∥∥A =∥QBH ，又∥∥ADB =∥BHQ =90°， ∥∥ADB ∥∥BHQ ， ∥BD AB QH BQ =，即610QH t=， ∥35QH t =，∥PE ∥BD ， ∥DP BE AD AB =，即2810t BE=， ∥52BE t =，∥y =S 四边形APQB -S ∥BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∥PE ∥BD ， ∥∥APE =∥ADB ， ∥∥A =∥A ， ∥∥APE ∥∥ADB ， ∥PE AP DB AD =，即8268PE t-=， ∥362PE t =-，∥点E 在线段PQ 的垂直平分线上， ∥EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∥BH =∥45335210EH BH BE t t t =+=+=Rt ∥EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2， ∥2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：121,10t t =<（舍去），∥当t 1时，点E 在PQ 的垂直平分线上； （4）连接FF '交AB 于点N ，∥点F 关于AB 的对称点为F ′，∥∥FEB =∥F ′EB ，FN ∥EB ，∥点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∥∥F ′EB =∥ABD ，∥∥FEB =∥ABD ，∥EF =FB ， ∥15,24BN EN BE t ===， ∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，∥∥DPF =∥FQB ，∥DFP =∥BFQ ，∥∥DPF ∥∥BQF ， ∥2DF DP BF BQ==， ∥DF =2BF ，∥2BF +BF =6，∥BF =2，∥∥FBN =∥ABD ，∥FNB =∥ADB ，∥∥BNF ∥∥BDA ， ∥BN BD BF AB=， ∥564210t =，解得：t =2425， ∥存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．∥求证：'//BE CE ；∥若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）∥见解析；∥1【分析】（1）根据题意证明()COE AOF AAS △≌△，即可证明ED BF =，在根据EH 垂直平分CD 可得EC ED =，即可证的结果；（2）∥过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，根据（1）中结论，然后证明'//BE AF 即可； ∥求证AEF BCE ∽，则AF EF BE CE=，据此解答即可． 【详解】证明：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形，∥OA OC =，OB OD =．∥//AF EC ，∥CEO AFO ∠=∠，FAO ECO ∠=∠，∥()COE AOF AAS △≌△，∥CE AF =，OE OF =，∥ED BF =．∥EH 垂直平分CD ，∥EC ED =．∥AF BF =；（2）如图2，过点A 作//AF EC 交BD 于点F ．∥证明：由（1）可知AOF COE ≌，AF BF =，∥ABF BAF ∠=∠，∥将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △，∥'ABE ABF ∠=∠，∥'ABE BAF ∠=∠，∥'//BE AF ，又∥//AF CE ，∥'//BE CE ；。
初中几何模型 专题07相似三角形模型
数学模型-----相似三角形模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型．一、模型类别二、相关结论的运用（一）模型1：A字型图1平行A字型条件：DE//BC，图1结论：△ADE~△ABC；图2斜交A字型条件：∠C=∠AED，图2结论：△ADE~△ABC；典例精讲：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm．动点M,N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN，设移动时间为t（单位：秒，0<t<2．5）．（1）当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求得AB=5cm．（1）根据模型1：平行A字型的结论得出△APM∽△ABC，和模型1：斜交A字型模型的结论得出△AMP∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值．（2）过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH//AC，根据模型1：平行A字型的结论得出△PBH∽△ABC，从而求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC−S△BPH”列出S与t的关系式S=45(t−32)2+215(0<t<2.5)，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．【详解】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm．∴根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5cm．（1）以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△APM∽△ABC时，AMAC =APAB，即4−t4=5−2t5，解得t=0（不合题意，舍去）．②当△AMP∽△ABC时，APAC =AMAB，即5−2t4=4−t5，解得t=32；综上所述，当t=32时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH//AC，∴△PBH∽△ABC∴PHAC =BPBA，即PH4=2t5．∴PH=8t5．∴S=S△ABC−S△BPN=12×3×4−12×(3−t)⋅85t=45(t−32)2+215(0<t<2.5)．∵45>0，∴S有最小值．当t=32时，S最小值=215．答：当t=32时，四边形A P NC的面积S有最小值，其最小值是215．【解题技法】作平行线构造A字型相似，是解题中常用的一种作辅助线的方法实战演练：1．如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作EG//BC交AD于点G，若BC=12，则线段GE 的长为（）A．6 B．4 C．5 D．32．如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，则下列结论正确的是（）A．ADDB =DEBCB．BFBC=EFADC．EFAB=BFBCD．AEEC=DEFC3．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（）A．ADAN =ANAEB．BDMN=MNCEC．DNBM=NEMCD．DNMC=NEBM（二）模型2：8字型图1平行8字型条件：AB//CD，图1结论：△AOB∽△DOC；图2斜交8字型条件：∠A=∠D，，图2结论：△AOB∽△DOC；典例精讲：如图1，在矩形ABCO中，OA=8,OC=6,D,E分别是AB,BC上一点，AD=2,CE=3,OE与CD相交于点F．（1）求证：OE⊥CD；（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．【思路点拨】（1）根据四边形ABCO是矩形，可得OA=BC=8,OC=AB=6，根据模型1中的图1结论得出△ADP∽△OCP，从而求出PA和PO，再根据模型2中的图1结论得出△OPF∽△ECF，求出EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中，CB=8,BD=AB−AD=6−2=4，根据勾股定理可得CD=4√5，根据点G是CD 的中点，可得CG=DG=2√5，所以得点G是CP的三等分点，根据模型2中的图1结论得出△OPG∽△HCG即可求出CH的长．【详解】（1）∵四边形ABCO是矩形，∴OA=BC=8,OC=AB=6，在Rt△OCE中，CE=3，∴OE=√OC2+CE2=√62+32=3√5，∵AB//OC，即AD//OC，且AD=2，∴△ADP∽△OCP∴ADOC =PAPO，∴26=PAPA+8，∴PA=4，∴PO=PA+OA=12，∴在Rt△OPC中，OC=6，∴CP=√OC2+PO2=√62+122=6√5，∵OA//BC ，即OP//CE ， ∴△OPF ∽△ECF ∴CEOP =EFOF =CFPF ， ∴EFOF =CFPF =312=14， ∴EF =15OE =3√55， CF =15CP =6√55，∵(3√55)2+(6√55)2=95+365=9，∴EF 2+CF 2=CE 2， ∴△CEF 是直角三角形， ∴∠CFE =90°， ∴OE ⊥CD ；（2）在Rt △CBD 中，CB =8,BD =AB −AD =6−2=4， 根据勾股定理，得CD =√CB 2+BD 2=√82+42=4√5， ∵点G 是CD 的中点， ∴CG =DG =2√5， 由（1）知：CP =6√5， ∴DP =CP −CD =2√5， ∴点G 是CP 的三等分点， ∵OA//BC ，即OP//CH ， ∴△APG ∽△HCG ∴CHOP =CGGP ， ∴CH12=12，∴CH =6．答：CH 的长为6．【解题技法】利用A 字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得出线段的长或比值，解决本题的关键 实战演练：1、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：GF EFGM EM．2、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE =23，求FEEG的值．3、如图，BD,AC相交于点P，连结AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP．（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？（3）若AB=8,CD=4,DP=3，求AP的长．4、在△ABC中，∠ACB=90∘，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．（1）如图1，点D在BC边上，CD:BD=1:2，AD与BE相交于点P，过点A作AF//BC，交BE的延长线于点F，易得APPD的值为_______；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC:BC=1:2，求APPD的值；（3）在（2）的条件下，若CD=2,AC=6，则BP=_____．（三）模型3：k字型图1一线三垂直条件：AB ⊥BD,DE ⊥BD,AC ⊥CE ，图1结论：△ABC ∽△CDE ； 图2一线三等角条件：∠B =∠ACE =∠D ，图2结论：△ABC ∽△CDE ； 典例精讲：如图，点P 是线段BD 上一个动点，∠B =∠D =90°,AB =6,CD =4,BD =a ． （1）当∠APC =90°,a =14时，求BP 的长度；（2）若∠APC =90°时，点P 有两个符合要求即P 1,P 2，且P 1P 2=2，求a 的值； （3）若∠APC =120°时，点P 有且只有一个点符合要求，求a 的值．【思路点拨】（1）根据模型3：k 字型的一线三垂直，证得△ABP ∽△PDC ，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP =x ，则PD =a −x ，根据模型3：k 字型的一线三垂直证得△ABP ∽△PDC ，由相似三角形的性质得到x 2−ax +24=0，设方程的两个根为x 1,x 2，根据根与系数的关系可知x 1+x 2=a,x 1⋅x 2=24，根据题意即可得到=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4，即可得到a 2−4×24=4，解得即可； （3）作∠AEP =∠CFP =120°，解直角三角形求得BE =2√3,DF =4√33,AE =4√3,CF =8√33，根据模型3：k 字型的一线三等角证得△EPA ∽△FCP ，由相似三角形的性质得到x 2−(a −10√33)x +32=0，根据题意Δ=(a −10√33)2−4×1×32=0，即可即可．【详解】 解：（1）∵∠B =∠D =90°,∠APC =90°， ∴∠A +∠APB =∠CPD +∠APB =90°， ∴∠A =∠CPD ， ∴△ABP ∽△PDC ， ∴BP CD=AB PD，即BP 4=614−BP，解得BP =2或12；（2）设BP =x ，则PD =a −x ， 由（1）可知△ABP ∽△PDC ， ∴ABPD =BPDC ，即6a−x =x4，∴x2−ax+24=0，设方程的两个根为x1,x2，根据根与系数的关系可知x1+x2=a,x1⋅x2=24，∵P1P2=2，∴|x1−x2|=2，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4，∴a2−4×24=4，解得a=±10（负数舍去），∴a=10；（3）作∠AEP=∠CFP=120°，∴∠AEB=∠CFD=60°，∵AB=6,CD=4，∴BE=√33AB=2√3,DF=√33CD=4√33，∴AE=2BE=4√3,CF=2DF=8√33∵∠AEP=∠CFP=∠APC=120°，∴∠EAP=∠CPF，∴△EPA∽△FCP，∴AEPF =EPFC，设EP=x，则PF=a−10√33−x，∴√3a−10√33−x=x8√33，∴x2−(a−10√33)x+32=0，∵△=0，∴(a−10√33)2−4×1×32=0，∵a>0，∴a=10√33+8√2．【解题技法】通过运用模型3：k字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键．实战演练：1、如图1和图2，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tan C=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB,BC 上，且AM=CN=2．点P从点M出发沿折线MB−BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P 移动，且始终保持∠APQ =∠B ．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将△ABC 的面积分成上下4:5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当0≤x ≤3及3≤x ≤9时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ 扫描△APQ 区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若AK =94，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长 2、如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90°,OB =2OA ，点A 在反比例函数y =1x 的图象上．若点B 在反比例函数y =kx 的图象上，则k 的值为_____．3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠B =∠ADE =∠C ． （1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B =45°,BC =2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．4、感知：如图①，在四边形ABCD 中，AB//CD,∠B =90°，点P 在BC 边上，当∠APD =90°时，可知△ABP ∽△PCD ．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B =∠C =∠APD 时，求证：△ABP ∽△PCD ．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE= 45°，BC=6√2，BD=4，则DE的长为______．（四）模型4：母子型图1垂直母子型条件：AC⊥BC,AB⊥CD，图1结论：△ABC∽△ACD∽△CBD；图2斜交母子字型条件：∠C=∠ABD，图2结论：△ABC∽△ABD；典例精讲：1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AD=8,DB=2，求CD的长【思路点拨】根据垂直母子型模型4证得△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，即可求出CD的值．【详解】∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴CDBD =ADCD，∴CD2=AD⋅BD=8×2=16，∴CD=4．2、如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC⋅CD=CP⋅BP；（2）若AB=10,BC=12，当PD//AB时，求BP的长．【思路点拨】（1）根据已知得出∠APD=∠B=∠C，再根据斜交母子型模型4得出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质得到AB⋅CD=CP⋅BP，由AB=AC即可得到AC⋅CD=CP⋅BP；（2）由PD//AB根据斜交母子型模型4得出△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD =ABCP，∴AB⋅CD=CP⋅BP．∵AB=AC，∴AC⋅CD=CP⋅BP；（2）如图，∵PD//AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABC =BPBA．∵AB=10,BC=12，∴1012=BP10，∴BP=253．【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条件，把证明AC⋅CD=CP⋅BP转化为证明AB⋅CD=CP⋅BP是解题的关键．实战演练：1、如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D,E为AC的中点，连接CD，DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BD=4,CD=3，求AC的长．2、如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,D为BC边上的一点，∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD 的面积为（）A．2a B．52a C．3a D．72a3、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD=∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A．5 B．5√2C．52D．5√22。
专题13 A字型和反A字型相似模型(解析版)
专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。
【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。
【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴2224525 ADEABCS AES AC⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A．【例2】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求:AN NC的值．【答案】1 2【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDH BCN∽和DHM ANM∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出BDM BCH△∽和AMN CHN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出AHM DBM△∽△和AHN CBN△∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出AN NH CH==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明：点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADEABC ∴，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF ==，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF SBE BF ab ∴=⋅=，1322AOE SAE OM ab =⋅=，1322COF SCF ON ab =⋅=，1922ABC S AB BC ab =⋅=，OEF ABC BEF AOE COF S SS S S ab ∴=---=，2992OEFABC Sab S ab ∴==，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S ==，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯=，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。
相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典.docx
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时△ ABC与厶AB C ■相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH ■是△ ABC ■中BC ■边上的高线，则有AB _ BC AB^BCAC AHk =AC AH（k为相似比）.进而可得S∆ ABCS∆ ABC1BC AH211BC AH2BC AH 2kBC AH、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2•如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3•如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6•直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底三、相似证明中的基本模型A字形图①A字型，DE//BC ;结论: AD _ AE _ DE AB 一AC 一BC，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在∆ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE// BC, DF// AC, 求证：∆ADEs∆ DBF.证明：①又∙∙∙DF//AC,②∙∙∙DE// BC,③∙∙∙∠ A= ∠ BDF,④∙∙∙∠ ADE=∠ B,A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①【解答】证明：②I DE// BC,④∙∠ADE=∠ B,①又∙∙∙DF// AC,③∙∠A= ∠ BDF,•••△ ADE^∆DBF.故选：B.故选：A .【练1】如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90, BC=16cm, AC=12cm ,点P 从点B 出发，以2cm∕秒的速度向点 C 移 动，同时点Q 从点C 出发，以1cm∕秒的速度向点 A 移动，设运动时间为与厶ABC 相似.【解答】 解：CP 和CB 是对应边时，△ CPQ^△ CBA 所以，C e ICB CA即-■ -I --t1512解得t=4.8;CP 和CA 是对应边时，△ CPQ^△ CAB, 所以，丄二二，CA CBIMtt 12^16 解得t=-综上所述，当t=4.8或斤一时，△ CPQ 与厶CBA 相似. 故答案为4.8或〒二.AE AD DE 图②反A 字型，∠ ADE ∠ B 或∠仁∠B 结论：==AC AB BCt 秒，当t= 4.8或空秒时，△ CPQ---------- 11-【例2】如同，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB , AC 上，下列条件中不能判断厶 ABC^△ AED 的是（ ）AD AE AB =AC AD AC-'AB【解答】 解：τ∠ DAE=∠ CAB,•••当∠ AED=∠ B 或∠ ADE=∠ C 时，△ ABC ^△ AED; AD .AC'AE∙≠∙件二 ι∙WA . B.C.∠ ADE=∠ C D .∠ AED=∠ B时，△ ABC ^△ AED. 当—昱L 二一―即【例3】如图，P 是厶ABC 的边AB 上的一点.（不与A 、B 重合）当∠ ACP=∠ B 时，△ APC 与厶ABC 是否相 似；当 AC AP 、AB 满足 丄二丄 时，△ ACP 与厶ABC 相似.— AC AB-【解答】解：τ∠ A= ∠ A ,∠ ACP=∠ B ,故答案为：B ；寺二二【练习1】如图，D 、EABC 的边AC 、AB 上的点，当 ∠ ADE=∠ B 时，△ ADE ^△ ABC.其 中D 、E 分别对应B 、C.（填一个条件）. 【解答】解：当∠ ADE=∠ B ,∙∠ EAD=∠ CAB,• △ ADE ^△ ABC. 故答案为∠ ADE=∠ B .【练习2】如图，在△ ABC 中，D E 分别在AB 与AC 上，且AD=5, DB=7, AE=6, EC=4 求证：△ ADE ^△ ACB.【解答】证明：• AD=5, DB=7, AE=6, EC=4, • AB=5+7=12, AC=6+4=10,.AD = 5 _1 AE = 6 _1 • AC 10 T r AB 12 = 2， .AP =Ag• AC AB ， 又∙∠ A= ∠ A , • △ ADE ^△ ACB.【练习3】如图，AB=AC, ∠ A=36° , BD 是∠ ABC 的角平分线，求证：△ ABC^△ BCD. 【解答】证明：• AB=AC, ∠ A=36°, ∙∠ ABC=∠ C=72 , • BD 是角平分线，∙∠ ABD=∠ DBC=36 , ∙∠ A= ∠ CBD, 又∙∠ C=∠ C, • △ ABC^△ BCD.•丄二丄''[I∠ A= ∠ A ,【练习4】已知：如图，△ ABC 中，∠ ACD=∠ B ,求证：△ ABC^△ ACD. 【解答】 证明：τ∠ ACD=∠ B ,∠ A= ∠ A ,【例4】如图，在△ ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠ AED=∠ ABC,∠ BAC 的平分线 AF 交DE 于点G ,• △ ABC^△ AED.τ∠ AED=∠ ABC,∠ EAG=∠ BAF,• △ AEG^△ ABF.【练习5】如图，已知 AD?AC=AB?AE 求证：△ ADE^△ ABC. 【解答】证明：I AD?AC=AE?AB— =AEAB AC在厶ABC 与厶ADE 中 ■: 一.AEAB AC• △ ABC^△ ADE.【练习6】已知：如图，在厶ABC 中，D , E 分别为AB 、AC 边上的点，且AD 匚AE,连接DE.若AC=4, AB=5.求 证：△ ADE ^△ ACB【解答】证明：∙∙∙ AC=3, AB=5, ADjL 匕,5.AC _ AB厂-Λ,τ∠ A= ∠ A ,• △ ADE ^△ ACB.图③双A 字型交BC 于点F .(1)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由.3'2BC的值. 【解答】 解：(1 )∙∙∙∠ AED=∠ ABC,∠ EAD=∠ BAC,,∠ A= ∠ A , R3(2)若,求小τ∠ EDG=∠ ACF, ∠ DAG=∠ CAF , •••△ ADG sA ACF.•••△ ADG sA ACF,」丄 .A.-. 3GF 5【练习1】如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，AE=4, AB=6, AD : AC=2: 3,A ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F .(1) 请你直接写出图中所有的相似三角形； (2) 求AG 与GF 的比.【解答】 解：(1 )△ ADG sA ACF △ AGE^A AFB,A ADE sA ACB;(2).• AE _4」2 AD _2(∙ TiTE =可，疋=可胚. -AE)AB '又 τ∠ DAE=∠ CAB,• △ ADE sA ACB,∙∠ ADG=∠ C ,∙∙∙ AF 为角平分线，∙∠ DAG=∠ FAE• △ ADG sA ACF,AG. 3GF 2(2)AG . Ar 2 ^^' AC 3 =2.AG GF图④内含正方形 A 字形，结论AH a=_^ ( a 为正方形边长) AH BC【例5】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边EF 在BC 上，顶点 G 、H 分别在 AC, AB 上，AD 与HG 的交点为 M .(2)的周长;(3)是否存在一个实数 a ,当HEFa 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在,请说明理由.【解答】(1)证明：•••四边形 HEFG 为矩形, ∙∙∙ HG // EF, 而 AD ⊥ BC,∙ AM 丄 BC, •••△ AHGsA ABC,AJfl HGAD - S BC(2)解：设 HE=X HG=2X,•这个矩形 EFGH 的周长=2x+4x=6x=72 (Cm );(3) 存在.AD BC(1)求证:30-x i 2x30 - _40,解得x=12,则30-a . .HG 30当HE=a,则• HG=- 430_ 2X 〔申 即当HEF Cm 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大.4• S 矩形 HEFG Fa (- a+30) F -a 2+30a ,当a=- 454时，S 矩形HEFG 最大, 试求出a ；若不存在,【练习1】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=80cm , AD=60cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边 EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC, AB 上,AD 与HG 的交点为M .(2)求这个矩形 EFG H 的面积.∙∙∙ EF// GH, ∙∙∙∠ AHG=∠ ABC,又 τ∠ HAG=∠ BAC,AJI L L … ADBC(2)解：设 HE=XCm, MD=HE=xcm , ■/ AD=60cm ,• AM= (60 - x ) Cm , ∙∙∙ HG=2HE, • HG=2xcm,AD ~BC'解得，x=24, 故 HE=24, HG=2x=48, 则矩形 EFGH 的面积=24 × 12=1152cm 2.【例6】如图，在△ ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且 求证：AD=EB【解答】证明：过D 点作DH / BC 交AB 于H,如图, ∙/ DH // BC, • △ AHD ^△ ABC,∙/ DH // BE ,M L .HG AD BC的理由;(1)试说明:&0-x. -2x60 ' SO可得【解答】(1)证明：I 四边形 EFG H 为矩形,AD DH AC CS B CAD ACBC,即GH5DED-2.-EF HD DP , AC EFBC ' -Il =■> DF ADHD DH,∙∙∙ AD=EB.【例7】如图，在△ ABC中，∠ BAC=90, BC的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于D,交AB于点F,求证：AE=EF?ED【解答】解：τ∠BAC=90 ,∙∠B+∠ C=90, ∠ D+∠ C=90 ,∙∠B=∠ D,∙∙∙ BC的垂直平分线交BC于点E,∠ BAC=90 .• BE=EA∙∠B=∠ BAE∙∠D=∠ BAEτ∠FEA=∠AED,• △ FEA^△ AED,.恆=DE•EP =AE•AE=EF?ED旋转型”相似三角形，如图•若图中∠仁∠ 2,∠ B=∠ D（或∠ C=∠ £）,则厶ADE∞^ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.【例8】如图，在厶ABC与厶ADE中，∠ BAC=∠ D,要使△ ABC与厶ADE相似，还需满足下列条件中的（）AC AB AD=AE AC BC AD==DE【解答】解：τ∠BAC=∠D, • △ ABC^△ ADE.AC ABAD=DEAC ABADAC BCAE ==AEA. B.C D.E故选：C.【练习1】如图所示，在厶ABC 与厶ADE 中，AB?ED=AE?BC 要使△ ABC 与厶ADE 相似，还需要添加一个条件, 这个条件是∠ B=∠ E （答案不唯一）（只加一个即可）并证明.【解答】解：条件①，∠ B=∠ E 证明：∙∙∙ AB?ED=AE?BCAEECAD•••△ ABC^△ AED.故答案为：∠ B=∠ E （答案不唯一）【练习 2】如图，已知：∠ BAC=∠ EAD, AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. 求证：△ ABC^△ AED.【解答】证明：I AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. • AB =20. 4 =1 2 AC 座=1 2• AE .,而 40 .， •塑座'二=「，∙∙∙∠ BAC=∠ EAD,• △ ABC^△ AED.【练习3】如图，在△ ABC 和厶ADE 中，已知∠ABC^△ ADE.【解答】 解：如图，τ∠ BAD=∠ CAE, ∙∠ BAD+ ∠ BAE=∠ CAE+ ∠ BAE , 即 ∠ DAE=∠ BAC. 又τ∠ B= ∠ D ,• AB - BCAE F.C∙∙∙∠ B= ∠ E ,• △ ABC^△ AED.条件②, AD==AEAC证明：•• • AB? ED=AE?BC• AB = BCAE EC-AE --- ,AC AB AB =BC = AC B= ∠ D ,∠ BAD=∠ CAE 求证：△C• △ABC^△ADE.【练习4】如图，△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ PDE=90 .(1)若将△ DEP的顶点P放在BC上(如图1) , PD PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证:(2)若使△ DEP的顶点P与顶点A重合(如图2), PD、PE与BC相交于点F、似吗？为什么？【解答】(1)证明：如图1,•••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∙∙∠B=∠ C=∠ DPE=45 ,∙∙∙∠BPG+∠ CPF=135,在厶BPG 中，τ∠B=45,∙∠BPG+∠ BGP=135 ,∙∠BGP=∠ CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP(2)解：△ PBG与厶FCP相似.理由如下：如图2, •••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∠B=∠C=∠DPE=45 ,∙∙∙∠ BGP=∠C+∠CPG=45 + ∠CAG,∠CPF=Z FPGF ∠CAG=45 + ∠CAG,∙∠AGP=∠CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP.课堂小结: △ PBG∞^ FCPG.试问△ PBG与厶FCP还相。
自学初中数学资料-相似三角形的概念-(资料附答案)
自学资料一、相似三角形的概念【知识探索】1．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．【说明】用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上．【错题精练】例1．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A. ADDB =DEBC；B. FBBC =EFAD；C. AEEC =BFCF；第1页共30页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训D. FEAB =DEBC．【答案】C例2．如图，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝_____．【答案】143【举一反三】1．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（）对．A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=__________ .第2页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴= ，即=解得：BC=6【答案】6二、相似三角形的性质【知识探索】1．（1）相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【说明】（1）研究和运用相似比的性质时，要注意相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关；（2）性质定理1和性质定理2可以概括为：相似三角形中对应线段（高线、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比．【错题精练】例1．如图，在△ABC中，∠A=36∘，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）；A. √5−12；B. √5−14；C. 3−√52D. 3−√5．4【答案】C第3页共30页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训例2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A. EAEB =EGEFB. EGGH =AGGDC. ABAE =BCCFD. FHEH =CFAD【答案】C例3．如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【答案】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-75°-40°=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴ABAD第4页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训=BCDE，即3018=20DE，解得DE=12cm．例4．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB-AP=（8-2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当BPBA=BQBC，即第5页共30页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训8-2x8=4x16时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当BPBC=BQBA，即8-2x16=4x8时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．例5．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB 的长为x。
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教师辅导教案
授课日期：年月日授课课时：课时
4．相似三角形周长的比等于相似比．
ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C
===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''
++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有
AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''
（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．
二、相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．
3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．
5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
三、相似证明中的基本模型
A 字形
图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DE AB AC BC
==， 【例1】老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调
整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）
已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，
求证：△ADE ∽△DBF ．
证明：①又∵DF ∥AC ，
②∵DE ∥BC ，
③∴∠A=∠BDF ，
④∴∠ADE=∠B ，
∴△ADE ∽△DBF ．
A．③②④① B．②④①③C．③①④② D．②③④①
【解答】证明：②∵DE∥BC，
④∴∠ADE=∠B，
①又∵DF∥AC，
③∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．故选：B．
【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE
==
AC AB BC
【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B
【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当=即=时，△ABC∽△AED．
故选：A．
【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC 是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ACP与△ABC；
故答案为：B；．
【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽
△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．
【解答】解：当∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
故答案为∠ADE=∠B．
【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴====，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△
BCD．
. I
【解答】证明：∵AB=AC ，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD 是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD ，
又∵∠C=∠C ，
∴△ABC ∽△BCD ．
【练习4】已知：如图，△ABC 中，∠ACD=∠B ，求证：△ABC ∽△ACD ．
【解答】证明：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，
∴△ABC ∽△ACD ．
【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE． 求证：△ADE ∽△ABC ．
【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，
∴= 在△ABC 与△ADE 中
∵=，∠A=∠A ，
∴△ABC ∽△ADE ．
【练习6】已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、AC 边上的点，且AD=AE ，连接DE ．若AC=4，AB=5．求证：△ADE ∽△ACB ．
【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=
，
∴， ∵∠A=∠A ，
∴△ADE ∽△ACB ．
图③双A 字型
【例4】如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED=∠ABC ，∠BAC 的平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．
（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由
（2）若=，求的值．
. I。