平面向量的坐标表示

7.2.2平面向量的坐标表示

7.2.3共线向量的坐标表示

课 型：新授课

课 时：1课时

一、教材分析

1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.

2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.

3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.

二、教学目标

1、知识与技能目标

进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件.

2、 过程与方法

在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力.

3、情感态度与价值观

通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.

三、教学重点、难点

重点：平面向量的坐标运算.

难点：对平面向量共线的坐标表示的理解.

四、教学过程

1、创设情境

前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ,使得b a λ=，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 复习引入： 平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

yj xi a +=

把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特

别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.

因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

2、新知探究

（1）问题1：我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知),(),,(2211y x b y x a ==,你能得出a b a b a λ,,-+的坐标表示吗?

活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

j y y i x x j y i x j y i x b a )()()()(21212211+++=+++=+

即 ),(2121y y x x b a ++=+

j y y i x x j y i x j y i x b a )()()()(21212211-+-=+-+=-

即 ),(2121y y x x --=-

j y i x j y i x 1111)(λλλλ+=+=即 ),(11y x λλλ=

结论: 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；

数乘向量的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.

例1：已知a r =(2 ,1)，b r =(-3 ,4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4b r . 解：)5,1()41,32()4,3()1,2(-=+-=-+=+

)3,5()41),3(2()4,3()1,2(-=---=--=-b a

)19,6()163,126()16,12()3,6()4,3(4)1,2(343-=+-=-+=-+=+

练习：已知a r =(-2 ,4)，b r =(1 ,2)，求a r +b r ，-3a r -2b r .

（2）问题2：①如何用坐标表示两个共线向量?②若),(),,(2211y x y x ==,那么2

211x y x y =是向量b a ,共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨: 设),(),,(2211y x y x ==,其中0≠.我们知道, ,共线,当且仅当存在实数λ,使得 λ=

如果用坐标表示,可写为 ),(),(2211y x y x λ=.

即 ⎩⎨⎧==21

21y y x x λλ 消去λ后得 01221=-y x y x .

这就是说,当且仅当01221=-y x y x 时向量b a , (0≠)共线.

又我们知道01221=-y x y x 与1221y x y x =x 是等价的,但这与2

211x y x y =是不等价的.因为当021==x x 时, 01221=-y x y x 成立,但2

211x y x y =均无意义.

因此2

211x y x y =是向量,共线的充分不必要条件 注：1°消去λ时不能两式相除,∵21,y y 有可能为0,而0≠,∴21,y x 中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2

211x y x y = (∵21,x x 有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式: a ρ∥b ρ (b ρ≠)0

1221=-=⎩⎨⎧⇔y x y x λ 3、典型例题

例1已知)2,4(=，),6(y =，且a ρ∥b ρ，求y.

解：∵//a b r r ，∴4260y -⨯=．∴3y =．

点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.

变式训练：已知平面向量)2,1(=，),2(m -=，且//，则b a 32+等________.

例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系． 解:在平面直角坐标系中做出A 、B 、C 三点，观察图形我们猜想A 、B 、C 三点共线，下面给出证明.

∵ (1(1),3(1))(2,4)AB =----=u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=u u u r ，

又26340⨯-⨯=，

∴//AB AC u u u r u u u r .

∵直线AB 、直线AC 有公共点A ∴A ，B ，C 三点共线

点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.

变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________. 例3：设点P 是线段21P P 上的一点，21P P 、的坐标分别是),(),,(2211y x y x .

(1)当点P 是线段21P P 的中点时，求点P 的坐标；

(2) 当点P 是线段21P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.