高中数学《球的体积和表面积 》课件
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人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
高二数学必修球的体积与表面积课件38页PPT
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第i层“小圆片”下底面半 的径：
r iR 2 [R n (i 1 )2 ] ,i 1 ,2 ,n .
球的体积
r iR 2 [R n(i 1 )2 ] ,i 1 ,2 , ,n
V i r i2 R n R n 3 [ 1 ( i n 1 ) 2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半 V 球 1 V 2 E val uV atn ion only.
ted withC AospR n py3 or{ s1 ige h.[ S1 tl i2dn 0e1 2 0s] 4f o-[ 1 2r 0.Nn 2 112 2 E] AT s 3p.o 5s[ 1 eC lPi( etn ynn tL2 1 tP) d2 r] .ofi} le 5.2
高二数学必修球的体积与表面积课件
服从真理，就能征服一切事物
球的体积与表面积
学习目标 1.在球的公式推导中渗透“极限”思想
2. 掌握球的体积Ev公alu式at的ion应o用nly. te3d. w球it与hCAo长spp方yorsi体geh.St、li2d0正e0s 方4fo-2r体0.N1的1EAT关s3p系.o5seClPietyntLtPdr.ofile 5.2 4. 球内的截面问题
公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断 增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差 更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而
无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想．
球的表面积与体积PPT课件
6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
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2a 2
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3a 2
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2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
人教A版数学必修第二册8_3_2_2球的体积和表面积课件
[提示]
2R＝ 2 + 2 + 2 .
[探究问题]
2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与
棱长a有何数量关系？其内切球呢？
[提示]
3
1
外接球半径R＝ 2 a；内切球半径R＝2a.
[探究问题]
3．若一球与正方体的12条棱相切，则
球半径R与棱长a有何数量关系？
[提示]
=
2
2
【例3】
(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为
结论：两个球的体积之比等于半径之比的立方，
表面积的比等于半径之比的平方
题型二 球的截面问题
【例2】
(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面α的
距离为 2 ，则此球的体积为( B )
A. 6 π
B．4 3 π
C．4 6 π
D．6 3π
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝ 2 ，O′M＝1，
一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，
比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质
就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”
和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
随堂检测
1．判断正误
(1)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(2)球面展开一定是圆形的平面．(
a2
1
依题意，2r＝ 3· 6 ，即 r2＝8a2，
1 2 πa2
所以 S 球＝4πr ＝4π·8a ＝ 2 .
2
活学活用
3．长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3 ， 3 ， 6 ，这个长方体它的
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
人教版数学必修二课件：1-3-3球的体积和表面积
答案：C
图 10
这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
(2)(2019 年高三模拟)已知边长为 2 的正方形 BCDE 所在的平面与腰长为 3 的等腰
三角形 ABC 所在的平面垂直，若多面体 ABCDE 的各个顶点均在球面上，则该球的表
面积为( )
A．226π
B．113π
图5
C.238π
D.1183π
第一章 空间几何体
第三节 空间几何体的表面积与体积
第三课时 球的体积和表面积
目标导向
1．知识与技能 能运用球的表面积和体积公式解决实际问题． 2．过程与方法 直接给出球的体积与表面积公式，证明留待以后．求球的体积与表面积关键是求球 的半径． 3．情感、态度与价值观 通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的数学应用意识．
知识导学
知识点 1 V 球＝43πR3(R 为球的半径) 知识点 2 S 球面＝4πR2
重点导析
重点：能灵活运用球的表面积和体积公式解决实际问题．
思维导悟
导悟 1 球的体积和表面积 【例 1】 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． 【(3分)已析知】球的在体面积积为和5体 030积π公，式求中它，的共表面3 个积量．，半径 R 起着桥梁作用，知一可求二， 关键求半径 R. 【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
图4
(2)球心 O 在 PE 上，AE＝2 2，PA＝2 11 设 PO＝OA＝R 在 Rt△AOE 中，R2＝(6－R)2＋(2 2)2 R＝131 S＝4πR2＝4849π 【答案】 (1)27π (2)B
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数学 ·必修2
解析 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
则 OO′＝ 2，O′M＝1， ∴OM＝ 22＋1＝ 3，即球的半径为 3， ∴V＝43π×( 3)3＝4 3π.
19
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【跟踪训练 3】 如图，有一个水平放置的透明无盖的 正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容 器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不 计容器厚度，则球的体积为( )
9
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拓展提升
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过 条件能求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
10
(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.
15
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【跟踪训练 2】 某几何体的三视图如图所示，它的体 积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
16
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解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立 圆锥体的组合体，球的半径为 3，圆锥的底面半径为 3，高 为 4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13 π×32×4＝30π.
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探究 3 球的截面问题 例 3 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π
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【跟踪训练 1】 (1)两个球的半径相差 1，表面积之差 364π
为 28π，则它们的体积和为____3____． (2)已知球的大圆周长为 16π cm，求这个球的表面积． 答案 (2)见解析
11
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探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表 面积和体积．
13
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解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方 体，上部是半径为 1 的半球，该几何体的表面
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数学 ·必修2
探究 1 球的体积与表面积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积；
(3)已知球的体积为5300π，求它的表面积． 解 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)，
4
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2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)表面积为 4π 的球的半径是____1____．
4π (2)直径为 2 的球的体积是____3____． (3)(教材改编，P28，T3)已知一个球的体积为43π，则此球 的表面积为___4_π___．
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
3
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1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
数学 ·必修2
第一章 空间几何体
1．3 空间几何体的表面积与体积 1．3.2 球的体积和表面积
1
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课后课时精练
数学 ·必修2
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2
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课后课时精练
数学 ·必修2
知识点 球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
数学 ·必修2
解析 (1)设大、小两球半径分别为 R，r，则由题意可 得
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R
＝8，则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
球的截面的性质
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何 问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有 关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析 解决问题．
(2)利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径 可构成直角三角形，进行相关计算.
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3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
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S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
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拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
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(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2356π. (3)∵V 球＝43πR3＝5030π， ∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.