广东省汕头市潮阳实验学校2020届高三下学期3月第一次测试理科数学试题
2020届汕头市潮阳实验学校高三数学(文)3月第一次测试试题
A．x | 0 x 2 B．0,1, 2
C．x | 1 x 3 D．1, 2
2．若 z
2 (1 i)2
（ i 为虚数单位），则 z
（
）
A．1 i
B． i
C． i
D．1 i
3．已知an 为等差数列， a2 a8 18 ，则an 的前 9 项和 S9 （ ）
A．9
B．17
C．72
D．81
4．从集合2, 4,8 中随机选取一个数 m，则方程 x2 y2 1 表示离心率为 2 的椭圆的概
Байду номын сангаас
（2）若 f (x) 0 对 x 1 恒成立，求 a 的取值范围．
（二）选考题： 共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 C
x
的参数方程为
y
1 2 cos 1 2sin （
为参数）；直线 l
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
不合格品
合计
（2）根据图 1 和表 1 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利 180 元，一件不合格品亏 损 100 元，用频率估计概率，则生产 1000 件产品企业大约能获利多少元？ 附：
为（ ）
A． 0
B． 1 4
C． 1 4
D． 1 2
11．双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a
0，b
0 ）的右焦点 F(c, 0) 关于渐近线的对称点在双曲线
的左支上，则双曲线的离心率为（ ）
2020年广东高三一模数学试卷(理科)
后得到的．如果被截正方体的棱长为
，则石凳子的体积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 在某市 年 月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布
．已知参
加本次考试的全市理科学生约有 人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是 分，那么他的数学
成绩大约排在全市第（ ）．
附：若
，则
，
．
A.
名
B.
名
C.
名
的前项 项和为 ，且
，
．
，若数列 满足
平行，则 ，则
15. 已知
，
，
为
．
，若点 满足
，则
的最大值
16. 已知抛物线
的焦点为 ，直线 过点 且倾斜角为 ．若直线 与抛物线 在第二象限
的交点为 ，过点 作 垂直于抛物线 的准线，垂足为 ，则
外接圆上的点到直线
的距离的最小值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
．
21.（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）按照完成任务概率从大到小的 ， ， 的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派 出的小组个数的均值达到最小．
解析: （ 1 ）由已知， 的所有可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
∵
，
∴
，
，
．
∴概率
的值最大．
（ 2 ）方法一：
由 可知，由
有
的值最大，
且
，
∴
，
坐标方程为
．若 为曲线 上的动点， 是射线 上的一动点，且满足
，记动点 的轨迹为 ．
（ 1 ） 求 的直角坐标方程．
广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理联考试题含解析
广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义域为的奇函数，当时，满足，则（）A．B．C．－2 D．0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B．2. 已知全集，若，，则等于（）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}参考答案：D3. 若函数是偶函数，则的单调递增区间是（）．A．(－∞,1)B．(1,+∞)C．(－∞,0)D．(0,+∞)参考答案：D是偶函数，得，，其单调递增区间是，故选D.4. 《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”。
试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（A） 1235 （B）1800 （C） 2600 （D）3000参考答案：A5. 设向量、满足||=3，||=2，且?=1，则|﹣|等于（）A．B．C．3 D．2参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣|两边平方，开方得出|﹣|．【解答】解：||2==9+4﹣2=11．∴|﹣|=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6. 《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径： =5该三棱锥的外接球的表面积为： =50π，故选B．7. 设函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．3 C．D．参考答案：D【考点】3T：函数的值．【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选D．8. 设集合，，则( )A.A BB.A BC.A BD.A B参考答案：B9. 已知函数>0，则的值A．一定大于零B．一定小于零C．等于零D．正负都有可能参考答案：B略10. 设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（A）(-a)7＜(-a)9（B）b- 9＜b- 7（C）（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义一种新运算“”：，其运算原理如图3的程序框图所示，则=_______.参考答案：-3 略12. 将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的单调递增区间为.参考答案：13. 已知为奇函数，则___________．参考答案： 1014. 函数的增区间为____________．参考答案：试题分析：因为的图象开口向上，且对称轴方程是，所以在上递增，故答案为.考点：二次函数的图象及单调性.15. 已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______；参考答案：16. 计算行列式=____________参考答案：略17. （5分）（2015?淄博一模）若直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相切，则k= ．参考答案：±2【考点】： 圆的切线方程． 【专题】： 直线与圆．【分析】： 联立方程组消y 的x 的一元二次方程，由△=0解方程可得．解：联立消去y 并整理得（k 2+1）x 2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相切可得△=36k 2﹣32（k 2+1）=0， 解得k=±2故答案为：±2【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届广东省汕头市普通高中高三下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省汕头市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)一、选择题.1.已知集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2x x ≥-0}，则A ∩B ＝（ ） A. {x |2≤x ≤4}B. {x |2＜x ≤4}C. {x |1≤x ≤2}D. {x |1≤x ＜2} 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B.【详解】∵集合A ＝{x |1≤x ≤4}， B ＝{x |2x x≥-0}＝{x |0≤x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}.故选：D .【点睛】本题主要考查集合的交集运算，求出集合的最简形式是解题的关键.2.下列各式的运算结果虚部为1的是（ ）A. ()1i i -B. 21i +C. 22i +D. ()21i i +-【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.【详解】对于A,()211i i i i i -=-=--,虚部为1-；对于B,()()()()221i 21i 21i 1i 1i 1i 1i --===-++--,虚部为1-； 对于C,22211i +=-=,虚部为0；对于D,()22112i i i i i i +-=++-=,虚部为1；故选：D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,需熟记21i =-,属于基础题. 3.若实数x ,y 满足3030330x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩,则y ﹣2x 的最大值是（ ）A. 9B. 12C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【详解】由实数x ,y 满足3030330x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩,作出可行域如图,令z ＝y ﹣2x ,化为y ＝2x +z ,联立30330x y x y +-=⎧⎨++=⎩,解得A （﹣3,6）. 由图可知,当直线过A 时,y ﹣2x 有最大值为12.故选：B .。
2020届广东省汕头市高三第一次(3月)模拟考试数学(理)试题Word版含答案
2020届广东省汕头市高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题本试题卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1．已知集合{}10A x x =-<，{}250B x x x =->，则R A B I ð=A ．[)0,1B ．(]1,5C ．(],0-∞D ．[)5,+∞2．若实数a 满足1iai+=i 为虚数单位），则a = A ．1B ．1±C ．2-D ．2±3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是A ．34 B ．23 C ．57 D ．512 4．若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+的值为A ．13-B ．79-C ．13D ．795． 上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是A ．a a b =+B ．a a b =⨯C ．()na ab =+ D ．n a a b =⨯（图1） （图2）6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油7．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-u u u r u u u r，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅u u u r u u u r 的最大值为A ．2B ．31- C. 0 D ．21- 8．函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><在区间(,)42ππ内是增函数，则 A ．()14f π=- B ． ()f x 的周期为2πC ．ω的最大值为4D ．3()04f π=9．已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上，2==BC AB ，22=AC ，若三棱锥 D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为O 速度（km/h ）燃油效率（km/L ）乙车丙车甲车804010155A ．8πB ．9πC ．25π3 D ．9121π10．已知双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的右焦点为(,0)F c ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a c +， 则双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．()()+∞-∞-,11,YB ．()()1,00,1Y -C ．()()+∞-∞-,22,YD ． ()()2,00,2Y -11．如图3，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形 的边长为1，则该几何体的体积为A ．15B ．16 C.503 D ．53312．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数．已知：()g x 满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-．()f x 满足：①R x ∀∈都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-． 若关于x 的不等式2g[()](2)f x g a a ≤-+对33[23,23]22x ∈---恒成立，则a 的取值范围是 A ．R B ． 133133[,]22--+ C ．[0,1] D ．(,0][1,)-∞+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年广东省汕头市潮阳一中明光学校高三数学理测试题含解析
2020年广东省汕头市潮阳一中明光学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “非空集合M不是P的子集”的充要条件是（）A．B．C．又D．参考答案：D略2. 已知命题，命题，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A3. 已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（）．A. (1,2)B.C. (2,+∞)D.参考答案：B【分析】由已知可得以为直径的圆与渐近线有公共点，得出的不等量关系，结合，即可求解.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右顶点为，在的渐近线上存在点，使得，不妨设渐近线方程为，则以为直径的圆与渐近线有公共点，即的中点到直线的距离，即.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.4. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，（5.4﹣x）×3×1+π?（ 2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．5. 下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是(A) (B) (C) (D)参考答案：6. 函数的图像大致是（）参考答案：B7. 定义在上的函数，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是( )A．有两个B．有一个C．没有D．上述情况都有可能参考答案：A显然是偶函数，且在递增.在上恒成立，所以的图象至少向左平移2个单位，即，所以，方程的根有2个.8. 设集合，则集合( ) A．(—2，4) B．(—1，2) C．D．参考答案：C略9. 己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=﹣f（2﹣x）．由f（x）为偶函数可得f （x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由log2（x﹣8）+2=﹣1得x的值．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．10. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若全集，集合，则。
广东省实验中学2020届高三3月线上考试理科数学试题(word版,含详解)
广东实验中学2020届高三线上考试理科数学2020.3.7第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1,[1,1]A y y x x ==-∈-},B={x|y =则A∩B= A.[0,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.∅2.若复数z 满足(3-4i)z=5(1-i),其中i 为虚数单位,则z 的虚部为A.1 1.5B - 1.5C D.-13.已知0.22log 0.2,2,a b c ===0.0.32,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.求下列函数的零点,可以采用二分法的是4.()A f x x =.()tan 2()22B f x x x ππ=+-<<C.f(x)=cosx-1 .()|23|x D f x =-5.已知角a 顶点的原点,始边与x 轴非负半轴重合,点(P )在终边上,则cos()6πα-=1.2A 1.2B - .C .D -6.汉朝时,张衡得出圆周率的平方除以16等于5.8如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的曲线为圆,利用张衡的结论可得该几何体的体积为A.32B.403210.C 4010.3D 7.已知抛物线243y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于A,B 两点,若双曲线的离心率是23,那么|AB|= A.2 4.3B .2C 23.D 8.2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将2013年编号为1,2014年编号为2,...2018年编号为6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析),得到回归直线y ∧=13.743x+3095.7,其相关指数20.9817R =,给出下列结论,其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0B.1C.2D.39.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有A.18种B.24种C.30种D.32种10.已知ω>0,函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增,则ω的取值范围是 15.[,]24A 17.[,]24B 39.[,]44C 37.[,]24D 11.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点集{|P OP =u u u r ,|OA OB λμλ+u u u r u u u r |+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是A B .C D 12.设在R 上可导的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)-31()3f x x -=,并且在(-∞,0).上有21(),2f x x '<实数a 满足f(321(6)()318363a f a a a a --≥-+-+,则实数a 的取值范围是A.(-∞,3]B.[3,+∞) .[4,)C +∞D.(-∞,4]第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.命题“∀x>1,都有212x+>”的否定是___.14.设x,y满足约束条件:0,01,,3x yx yx y≥≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则z=x-10y的取值范围是___.15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tan2,tanA c bB b-=则△ABC 面积的最大值为___.16.将正三棱锥P一ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P-ABC-Q，如图。
2020届广东省高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届广东省高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}236M x x =>，{}38N y y =-≤≤，则()R M N =ð（ ）A ．(]3,6-B ．[]3,6-C ．∅D ．(]6,8 【答案】B【解析】解出集合M 、N ，然后利用补集和交集的定义可得出集合()R M N ð【详解】{}{2366M x x x x =>=<-或}6x >，故{} 66R M x x =-≤≤ð，因此，()[] 3,6R M N =-ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．sin 300cos600=（ ）A ．14B C ．14-D ．【答案】B【解析】根据诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果. 【详解】 原式()()()()sin300cos600sin 36060cos 720120sin 60cos 120==--=--=1224⎛⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，要理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.3．已知2()()f x x n =-，[21,21)()x n n n Z ∈-+∈，则(2019)f =（ ）A ．21008B ．21009C ．21010D ．21011【答案】B【解析】先由[21,21)()x n n n Z ∈-+∈与(2019)f 中2019x =可分析得n ,再计算(2019)f 即可.【详解】由2019210101=⨯-,可得22(2019)(20191010)1009f =-=,故选:B 【点睛】本题主要考查对奇数表达式的理解,注意21,21n n -+均为奇数.4．已知7log 10a =，2log b =c = ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】比较a 、b 、c 与1的大小关系，然后将a 利用换底公式化为8log 10a =，可比较出a 与b 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】77log 10log 71a =>=，由换底公式可得32882log log 10log 10log 81b ===>=，7lg10log 10lg 7a ∴==，8lg10log 10lg8b ==，lg8lg 70∴>>，lg100>，lg10lg10lg 7lg8∴>，则1a b >>，而1c =<，因此，a b c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查对数与指数的大小比较，解题时应充分利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值法得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．若某圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，若该圆锥的侧面积等于，则其母线长为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由正弦定理可得出2r l =，然后利用圆锥的侧面积公式可求出圆锥的母线长. 【详解】设圆锥母线长为l ，则底面圆的半径为r ，由于圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，由正弦定理得2sin 30sin120l r =，可得出r =，则圆锥的侧面积为2rl l l ππ=⨯==，解得l =.因此，圆锥的母线长为故选：D. 【点睛】本题考查利用圆锥的侧面积计算圆锥的母线长，解题时要由主视图得出母线长和半径的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.6．已知函数()f x =）A ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的对称中心为3,2⎛ ⎝，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A【解析】由()f x =6226x x -+=为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.【详解】 依题意,620x x -≥⎧⎨≥⎩,解得03x ≤≤,因为3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 的对称轴为32x =,排除C 、D ；因为32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3)f =故3(3)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除B, 故选:A ． 【点睛】若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-则函数()f x 关于x a =对称. 7．函数|sin |()e x f x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性,再分别代入3,,22πππ进行排除即可. 【详解】依题意,x ∈R ,|sin()||sin |()ee ()x xf x x x f x --=-⋅=-⋅=-,故函数()f x 为奇函数, 图象关于原点对称,排除C ；而|sin |()e5f ππππ=⋅=<,排除B ； 而3sin 2333e e 222f ππππ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,|sin |(2)2e 2f ππππ=⋅=,故3(2)2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除D,故选:A ． 【点睛】判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可. 8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．78π++B ．74π++C ．58π++D ．54π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，故所求的表面积为(22114223425884πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 9．边长为2的正方形ABCD 中，12DE EC =，35AF AD =，则AE BF ⋅=（ ） A ．1315B ．65C ．1615 D ．1415【答案】C【解析】由题中正方形ABCD 可考虑用建立平面直角坐标系的方法进行求解. 【详解】以A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则(0,0)A ,2,23E ⎛⎫⎪⎝⎭,(2,0)B ,60,5F ⎛⎫⎪⎝⎭, 故2,23AE ⎛⎫=⎪⎝⎭,62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则412163515AE BF ⋅=-+=,故选:C ．【点睛】本题主要考虑建立平面直角坐标系的方法进行向量求解的问题. 10．将函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图象向右平移3π个单位，平移后的图象关于y 轴对称，则()f x 周期的最大值为（ ）A ．45π B ．65π C ．54π D ．56π 【答案】A【解析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据题意得出ω的表达式，求出正数ω的最小值，即可得出函数()y f x =周期的最大值.【详解】依题意，()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数为2sin 333f x x ππωπω⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则332k πωπππ-=+()k Z ∈，故132k ω=--()k Z ∈，当1k =-时，正数ω取最小值52. 因此，函数()y f x =周期的最大值为55224T ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象平移变换以及正弦型函数的对称轴，解题的关键就是求出ω的表达式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0，2）D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值.【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选：D ． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,主要注意每段函数上满足单调性,且区间分段处左右两段的函数值也要满足单调性. 12．函数()cos cos 23f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,1-【答案】C【解析】利用辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简为()22sin 12sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,x π∈，可得出[]0,1t ∈，于是将问题转化为二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果. 【详解】由()2cos cos 22sin 12sin 366f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设sin 6t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈，则7666x πππ≤+≤，可得1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，[]0,1t ∴∈，二次函数2221y t t =+-图象的开口方向向上，对称轴为直线12t =-，所以，二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上单调递增，当0t =时，min 1y =-，当1t =时，max 3y =， 因此，函数()y f x =在[]0,π上的值域为[]1,3-. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知平面向量()2,3m =-，()6,n λ=.若m n ⊥，则n =r______.【答案】【解析】由m n ⊥得出0m n ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数λ的值，然后利用平面向量模的坐标运算可求出n r的值.【详解】依题意，0m n ⋅=，则1230λ-=，解得4λ=，则()6,4n =，故361613n =+故答案为：【点睛】本题考查利用坐标处理向量垂直的问题，同时也考查了平面向量模的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.【答案】4【解析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果. 【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．函数()sin 22cos f x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的最大值是______.【答案】2【解析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，并利用导数分析函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，可得出函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值. 【详解】()sin 22cos 2sin cos 2cos f x x x x x x =+=+，()()()2222cos 2sin 2sin 4sin 2sin 22sin 12sin 1f x x x x x x x x '=--=--+=-+-，当22x ππ-<<时，1sin 1x -<<，则0sin 12x <+<.令()0f x '=，得1sin 2x =，当22x ππ-<<时，6x π=. 所以当,26x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.故函数()y f x =在,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 因此，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max 622f x f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数求正弦型函数的最值，解题时要熟悉导数与最值的基本关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==，AD ∴===BD ==PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3sin c Ba A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，求c 的值.【答案】（1）tan A =；（2）c =【解析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出2b c =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故2223b c a bc +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即2b c =，ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，菱形ABCD 所在平面与ABE ∆所在平面垂直，且5AB BE ==，3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=.（1）求证：AB CE ^； （2）求点A 到平面CDE 的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，证明出EBO CBO ∆≅∆，可得出2EOB π∠=，从而得出CO AB ⊥，再结合EO AB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AB ⊥平面COE ，由此可证明出AB CE ^；（2）由（1）得知OE 为三棱锥E ACD -的体积，由锥体的体积公式可求出三棱锥E ACD -的体积，由//CD AB 以及AB CE ^，可得出CD CE ⊥，可计算出CDE ∆的面积，并设点A 到平面CDE 的距离为h ，由等体积法可计算出点A 到平面CDE 的距离. 【详解】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，由3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=，BE BC =，BO BO =，可得EBO CBO ∆≅∆， 所以2COB EOB π∠=∠=，CO AB ∴⊥，因为COEO O =，所以AB ⊥平面COE ，因为CE ⊂平面COE ，所以AB CE ^；（2）由（1）知，OE ⊥平面ABCD ，所以OE 是三棱锥E ACD -的高，且4OE =， 由5AD CD ==，3cos cos 5ADC ABC ∠=∠=，得4in 5s ADC ∠=， 所以ADC ∆的面积11sin 102S AD DC ADC =⋅∠=， 三棱锥E ACD -的体积1114033V OE S =⋅=，由（1）知，AB CE ^，又//AB CD ，所以CD CE ⊥，由4OC OE ==，OC OE ⊥，可得CE =，因为5CD =，所以CDE ∆的面积212S CD CE =⋅=设点A 到平面CDE 的距离为h ，则三棱锥A CDE -的体积22133V h S =⋅=，由21V V =403=，h =A 到平面CDE 的距离为【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算出三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，CAB CBA ∠=∠，E 、F 分别是AB 、1CC的中点.（1）求证：//CE 平面1B AF ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，11A E B C ⊥，AB =，求平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ，证明四边形CEMF 为平行四边形，可得出//CE MF ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//CE 平面1B AF ； （2）证明出CE ⊥平面11ABB A ，并设4AC BC ==，以点E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，计算出平面1B AF 和平面1B EC 的法向量，然后利用空间向量法求出平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ， 在1ABB ∆中，E 、M 分别是AB 、1AB 的中点， 则1//EM BB ，且112EM BB =， 又F 为1CC 的中点，11//CC BB ，所以1//FC BB ，112FC BB =， 从而有//EM FC 且EM FC =，所以四边形EMFC 为平行四边形，所以//CE FM . 又因为CE ⊄平面1B AF ，FM ⊂平面1B AF ，因此，//CE 平面1B AF ；（2）因为CAB CBA ∠=∠，E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥， 又1AA ⊥平面ABC ，得1AA CE ⊥， 又因为1ABAA A =，所以CE ⊥平面11ABB A ，从而1A E CE ⊥，又因为11A E B C ⊥，1B CCE C =，所以1A E ⊥平面1B EC ，从而有11A E B E ⊥，不妨设4AC BC ==，AB =AE EB =，所以1AA AE ==由（1）知1//EM BB ，所以EM ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则()A -，(1A -，(1B ，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，(1AB =，(AF =.设平面1B AF 的法向量为(),,n x y z =，则100AB n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，取1x =，则()1,0,2n =-.平面1B EC的法向量为(1A E =-，所以1310cos ,10A E n =， 所以平面1B AF与平面1B EC.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了二面角余弦值的求解，一般要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．已知函数()(1)x f x x e =-．（1）若关于x 的方程()f x x λ=仅有1个实数根，求实数λ的取值范围； （2）若0x =是函数2()2()g x f x ax =-的极大值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(],0-∞；（2）(1,)+∞【解析】(1)由()f x x λ=仅有1个实数根可考虑利用参变分离得(1)e xx x λ-=,再分析函数(1)()x x e m x x -=的单调性与极值最值,画出图像分析何时(1)e xx xλ-=仅有一根即可.(2)表达出2()2()g x f x ax =-的函数式,求导后再根据极值点的大小关系分a 的不同类进行讨论即可. 【详解】（1）依题意,(1)e xx x λ-=,显然0x =不是方程的根,故(1)e xx xλ-=,令(1)()xx e m x x -=,则()221e ()x x x m x x-+'=, 故函数()m x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增,且当x →-∞时,()0m x →,当x 从负方向趋于0时以及x →+∞时,()m x →+∞,当x 从正方向趋于0时,()m x →-∞, 作出函数()m x 的图象如图所示,观察可知,0λ≤,即实数λ的取值范围为(],0-∞．（2）22()2()2(1)e x g x f x ax x ax =-=--,则()()2e 22e xxg x x ax x a '=-=-．①若1a >,则当(,0)x ∈-∞时,0x <,e 1x <,e 0x a -<,所以()0g x '>；当(0,ln )x a ∈时,0x >,ln e e 0x a a a -<-=,所以()0g x '<．所以()g x 在0x =处取得极大值．②若1a ≤,则当(0,1)x ∈时,0x >,e e 10x x a -≥->,所以()0g x '>．所以0x =不是()g x 的极大值点．综上所述,实数a 的取值范围是(1,)+∞． 【点睛】(1)本题主要考查已知根的个数,利用参变分离求解的问题,需考查单调性与最值画图进行分析.(2)本题主要考查分类讨论的思想,重点是利用极值点的大小关系进行分类. 21．已知函数()()2ln 1xf x x ea x =---.（其中e 为自然对数的底数）（1）若0a =，且()f x 在(),1n n +()n N ∈上是增函数，求n 的最小值； （2）设()()f xg x x=，若对任意1x 、()20,x ∈+∞恒有()()120g x g x >，求a 的取值范围.【答案】（1）最小值是1；（2）(),2-∞.【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式可得()2ln 1xf x xe x =--，求出导数()()2121xf x x ex'=+-，可得知函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，然后利用零点存在定理可知函数()y f x =在区间()0,1在存在极小值点1t ，从而得出函数()y f x =在()1,t +∞上单调递增，由此可求出自然数n 的最小值；（2）求出函数()y g x =的导数()222ln x xe x g x x+'=，构造函数()22ln xh x xe x =+，可得出函数()y h x =在()0,∞+上为增函数，由零点存在定理可知，存在21,14t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20h t =，可得出22222ln 2t t t et =-，分析函数()y h x =的函数值符号可得出2t 为函数()y g x =的最小值点，并构造函数()xm x xe =，可得出222ln t t =-，由此可得出函数()y g x =的最小值为2a -，根据题意得出20a ->，从而求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当0a =时，()2ln 1xf x xex =--，()()()21210x f x x e x x'=+->， ()f x '在()0,∞+上是增函数，且1404f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()21310f e '=->，所以存在()10,1t ∈，使得()f x 在()10,t 上是减函数，在()1,t +∞上是增函数， 因此，n 的最小值是1；（2）()2ln 1xx g x e a x +=--，()2222ln x x e xg x x+'=， 设()222ln xh x x ex =+，则()y h x =在()0,∞+上是增函数，且()2120h e =>，1ln 4048h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在21,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20h t =，所以()20,x t ∈时，()0h x <，()0g x '<，()y g x =是减函数；()2,x t ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()y g x =是增函数，所以()()2g x g t ≥.由()20h t =得22222ln 2t t t et =-，设()xm x xe =，则()()222ln m t m t =-， 由()xm x xe =在()0,∞+上是增函数，可得222ln t t =-，2221t et =， 所以()22222222ln 12112t t t g t ea a a t t t +-+=--=--=-， 所以()g x 的值域为()2,a -+∞，若对任意()12,0,x x ∈+∞恒有()()120g x g x >， 则20a ->，即2a <，所以a 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的值，同时与考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，难点在于构造新函数并结合零点存在定理验证函数极值点的存在，以及极值点所满足的条件的灵活应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）曲线C ：224x y +=，直线l：0x a --=；（2）22a -<<【解析】(1)根据极坐标222x y ρ=+化简曲线C .再消去直线l 的参数方程中的参数t 即可.(2)圆上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1的问题可转换为圆心到直线的距离1d <的问题.【详解】（1）依题意,24ρ=,代入公式222x y ρ=+,得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,由直线的参数方程消去参数t ,得直线l 的普通方程为0x a --=；（2）依题意可得,圆心O 到直线l ：0x a -=的距离1d <,1<,解得22a -<<． 【点睛】(1)本题主要考查极坐标的基本化简222x y ρ=+,与消去参数方程中参数的方法. (2)圆与直线的问题重点考虑圆心到直线的距离或半径的关系. 23．已知函数()124f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）若1m >，1n >，求证：()24f mn mn n m -+>-．【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）见解析 【解析】(1)分三段2x <-,21x -≤≤,1x >进行讨论求不等式即可. (2)代入()f mn 化简得出求证|1|||mn n m ->-,故考虑两边平方化简证明. 【详解】（1）1245x x -++≥等价于21245x x x <-⎧⎨---≥⎩或211245x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或11245x x x >⎧⎨-++≥⎩, 解得83x ≤-或01x ≤≤或1x >, 所以原不等式的解集为8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）要证：()|24|||f mn mn n m -+>-, 只要证|1|||mn n m ->-,只需证22(1)()mn n m ->-,而()()22222222(1)()1110mn n m m n m n m n ---=--+=-->, 从而原不等式成立． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的方法,包括分情况分段讨论与平方的方法等.。
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广东省汕头市潮阳实验学校2020届高三下学期3月
第一次测试理科数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若，则（）A．B．C．D．
2. 设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第
（）象限
A．一B．二C．三D．四
3. “”是“”成立的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
4. 已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．
C．
D．
5. 已知正项等比数列{a n}的公比为3，若a m a n＝9a22，则的最小值等于（）
A．B．C．D．
6. 已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线
垂直，则切点的横坐标为（）
A．B．C．D．
7. 为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆
上的动点，若的最小值为，则（）
A．B．C．D．
8. 已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）
A．B．C．D．
9. 过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点
(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（）
A．B．
C．D．
10. 半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四
等边体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．
C．D．
11. 已知函数满足，且在
上有最小值，无最大值.给出下述四个结论：
①；
②若，则；
③的最小正周期为3；
④在上的零点个数最少为1346个．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②④B．①③④C．①③D．②④
12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13. 平面向量与的夹角为，，，则
__________________．
14. 若，则的值为________
15. 已知等差数列{a n}和等差数列{b n}的前n项和分别为A n和B n，且
，则_____．
16. 如图，在平面四边形中，，，，
，则的最小值为____.
三、解答题
17. 在ABC中，, sinB=.
1. 求sinA的值；
2.设AC=，求ABC的面积.
18. 如图1四边形中，是的中点，
将图1沿直线折起，使得二面角为60°．如图2．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19. 已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x0，0）．
（1）求证：x0＞2；
（2）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|＝10，求|PF|．
20. 某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投
（1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程；（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？
附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:
的导函数为)
21. 已知函数
（Ⅰ）若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；（Ⅱ）设在其定义域内有两个不同的极值点且
若不等式恒成立，求的取值范围.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.
23. 已知函数，且．
（1）若，求的最小值，并求此时的值；
（2）若，求证:．。