数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)

《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分⨯10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u nuS=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222x u a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分=⎰-dx x P 2112)]([（ ） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,200322222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -.7.2x .8.52.9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1lny y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3s i n )32s i n 32c o s (),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n e C t T π-=，于是,4si n (),(16122x n eC t x u tn n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。

因此212''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w xv t v ++-=⇒=⇒++∂∂=∂∂，再由边界条件有8)2(,0)0(==w w ，于是0,821==c c ，x x x w 82)(2+-=.再求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂-===><<∂∂=∂∂====20,0),(,000,20,200322222,0x t v x w x t x x v t v t t x v v v 用分离变量法求以上定解问题的解为,2sin cos ])1)1[(32)1(16(),(331xn t n n n t x v n n n ππππ--+-=∑∞=故,2sin cos ])1)1[(32)1(16(28),(3312x n t n n n x x t x u n n n ππππ--+-+-=∑∞=三.解：令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程齐次化，因此x a x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2''2''22222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂，再求定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-=>∂∂=∂∂==,0),(cos 12sin 0,02022222t t t vx xw a x t x v a t v v 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atx a at x at x aat x at a a at x t x v cos cos 1cos sin 0)]cos(1)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=故.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x aat x a at x t x u +-=四.解 ：对y 取拉普拉斯变换),()],([p x U y x u L =，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到p pU pdx dU px 11,12+===，解这个微分方程得到p px p p x U 111),(22++=，再取拉普拉斯逆变换有1),(++=y yx y x u所以原问题的解为1),(++=y yx y x u .五.证明：由公式)())((1x J x x J x dxd n n n n+---=有)()()(1'x J x x nJ x xJ n n n +-=-，令1=n 有)()()(211'x xJ x J x xJ -=-，所以)(1)()(11'2x J xx J x J +-=，又)()(),()(1'0''10'x J x J x J x J -=-=，所以)(1)()(0'0''2x J xx J x J -=.六．解：由分离变量法，令)()(),(θθΦ=r R r u ，得到∑∞==0)(cos ),(n n nn P r C r u θθ，由边界条件有∑∞===+=01)(cos 12cos 3n n n r P C u θθ，令x =θc o s ，)()()(261)12(322110022x P c x P c x P c x x ++=-=+-∴，)13(212622102-++=-x c x c c x ， 4,0,0210===∴c c c ，故222222cos 6)1cos 3(214),(r r r r u -=-=θθθ。