人教新课标版数学高二-2015年春数学选修2-2作业 模块综合检测
人教新课标版数学高二-2015版高中数学(RJ)选修2-2第一章《导数及其应用》测试
第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.答案 A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析 曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0.答案 B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析 ∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案 B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )A ．(0，－1)或(1,0)B ．(1,0)或(－1，－4)C ．(－1，－4)或(0，－2)D ．(1,0)或(2,8)解析 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1.∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案 B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x 3－x C ．y ＝x e x D ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析 对于C ，有y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)>0. 答案 C6．下列积分值为2的是( ) A.⎠⎛05(2x －4)d xB .⎠⎛0πcos x d xC .⎠⎛131x d x D .⎠⎛0πsin x d x解析 ⎠⎛πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪⎪π0＝－cos π＋cos 0＝2.答案D7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为()解析由y＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项．答案D8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有()A．极大值5，极小值为－27B．极大值5，极小值为－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析 f ′(x)＝3x 2－6x －9 ＝3(x ＋1)(x －3)． 当x<－1时，f ′(x)>0， 当－1<x<3时，f ′(x)<0. ∴x ＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值． 答案 C9．已知f(x)为三次函数，当x ＝1时f(x)有极大值4，当x ＝3时f(x)有极小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )A ．f(x)＝x 3－2x 2＋3xB ．f(x)＝x 3－6x 2＋xC ．f(x)＝x 3＋6x 2＋9xD ．f(x)＝x 3－6x 2＋9x 解析 设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ≠0)，则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a(x －1)(x －3)＝3ax 2－12ax ＋9a. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝4，f (3)＝27a ＋9b ＋3c ＝0，c ＝9a.解得a ＝1，b ＝－6，c ＝9. 所以f(x)＝x 3－6x 2＋9x. 答案 D10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A .23 B ．1 C .43 D .53解析 如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛0－1(x 2－x)d x＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪⎪ 0－1 ＝56.S 2＝ ⎪⎪⎪⎪ ⎠⎛01(x 2－x)d x ⎪⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪⎪ 10＝16， 故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B11．函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a 处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析 f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意知，3a ×(1a )2＋2b ×1a ＋c ＝0， 即3a ＋2ba ＋c ＝0， ∴2b ＋ac ＝－3. 答案 A12．设函数f(x)满足x 2f ′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e28，则x>0时，f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析 由题意知，f ′(x)＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g(x)＝e x－2x 2f(x)，则g ′(x)＝e x －2x 2f ′(x)－4xf(x)＝e x －2[x 2f ′(x)＋2xf(x)]＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x . 由g ′(x)＝0，得x ＝2.当x ＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e 2－2×22f(2)＝e 2－8·e 28＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f ′(x)＝g (x )x 3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数f(x)在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.解析 令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)． ∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1. 答案 114．解析答案 π2－115．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2. ∴f ′(1)＝1. ∴f ′(x)＝x 2－2x ＋2. ∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案 216．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2. 答案 261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值． 解 f ′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)， 减区间为(－2,2)．(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值， 故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283， ∴m ＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4， 又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解 设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x>0，x>0，解得0<x<1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y ′＝0，且x ＝1是极大值点，∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m .因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数； (2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0，∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；②当1<a <3时，f (x )在(1，a )上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f (a )＝2a 3－3(a ＋1)a 2＋6a 2＝4.化简得(a ＋1)(a －2)2＝0，∴a ＝－1<1(舍去)，或a ＝2；③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4， 解得a ＝229<3(舍去)． 综上可知，a ＝2.20．(12分)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*) (1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，得a ∈[1,9]， 即a 的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①，②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3，∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围；(2)证明：(x －1)f (x )≥0.解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x ，xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0，当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x (ln x ＋1x －1)＝ln x －x (ln 1x －1x ＋1)≥0.所以(x －1)f (x )≥0.。
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2综合素质测试
选修2－2综合素质测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.z －是z 的共轭复数．若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i D本题考查复数、共轭复数的运算．设z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i.由题设条件可得a ＝1，b ＝－1.选D.2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)C本题主要考查导数的概念及分式不等式的解法和对数的概念．因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x >0， 即⎩⎨⎧x >0x (x 2－x －2)>0，解得x >2，故选C. 3．下列命题中正确的是( )A ．复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝dB ．任何复数都不能比较大小C ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝z 2CA 选项未注明a ，b ，c ，d ∈R .实数是复数，实数能比较大小．z 1与z 2的模相等，符合条件的z 1，z 2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.故选C.4．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…，的前100项的和等于( ) A ．13914B ．131114C ．14114D ．14314 A从数列排列规律看，项1n 有n 个，故1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2≤100.得n (n ＋1)≤200，所以n ≤13，当n ＝13时，n (n ＋1)2＝13×7＝91(个)，故前91项的和为13，从第92项开始到第100项全是114，共9个114，故前100项的和为13914.故选A. 5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2－2,2－2，＋∞) D ．答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析－1,2答案解析－1,2答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析证明解析解析0,1解析0,10，x 2x 2,1解析－1,1解析－1,00,1－1,1－1,1－1,1－1,1hslx3y3h ．。
高二数学选修2-2综合测试卷新课标人教版
高二数学选修2-2综合测试卷一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--®xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为 （ ））A 2B -1C 1D -22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 1或2B 21-或2 C 21-D 23、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（的导数是（ ））A )(3bx a -B 2)(32bx a b -- C 2)(3bx a b - D 2)(3bx a b --4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（的切线的倾斜角的取值范围是（ ）） A ],0[p B ),43[)2,0(p p pÈ C ]43,2[]2,0[p ppÈ D ),43[]2,0[p p pÈ 5、已知0,,¹Îb a R b a 且，则在①ab b a ³+222；②2³+ba ab ；③2)2(b a a b +£；④2)2(222b a ba +£+这四个式子中，恒成立的个数是（这四个式子中，恒成立的个数是（ ））A 1个B 2个C 3个D 4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n nÎ-´×××´´´=+×××++ ”时，从“k n =”变到”变到 ““1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（”时，左边应增乘的因式是（ ）） A 12+k B112++k k C1)22)(12(+++k k k D132++k k7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+¥内是增函数，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）） A ),3(+¥ B ),3[+¥- C ),3(+¥- D )3,(--¥ 8、当n 取遍正整数时，nnii -+表示不同值得个数是A 1B 2C 3D 49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3[-3，，2]2]上有最大值上有最大值4。
人教新课标版数学高二-2015年春数学选修2-2作业 第一章《导数及其应用》综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝(2πx )2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝4π2x C ．f ′(x )＝8π2xD ．f ′(x )＝16πx解析：选C ．f (x )＝(2πx )2＝4π2x 2， ∴f ′(x )＝8π2x .2．已知物体的运动方程是s ＝13t 3－4t 2＋12t (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或6秒B ．2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．2秒或6秒 解析：选D ．s ′＝t 2－8t ＋12＝0⇒t ＝2或t ＝6.3．若曲线f (x )＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,1)D ．(－1，－1)解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3－2，设P (x 0，y 0)， 由题意得f ′(x 0)＝4x 30－2＝2， ∴x 0＝1，y 0＝－1. 故P 点坐标为(1，－1)． 4．下列积分等于2的是( ) A.⎠⎛022x d xB.⎠⎛02(12x ＋1)d x C ．⎠⎛021d xD ．⎠⎛1212xd x解析：选C ．⎠⎛021d x ＝x |20＝2.5．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 解析：选D ．∵f (x )＝2x ＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，即－2x 2＋1x ＝x －2x 2＝0，解得x ＝2.当x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0， 所以x ＝2为f (x )的极小值点．6．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．7. 已知f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )解析：选A.∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．8．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25D ．50解析：选C ．设内接矩形的长为x ， 则宽为25－x 24，∴S 2＝x 2·(25－x 24)＝y ， ∴y ′＝50x －x 3.令y ′＝0，得x 2＝50，x ＝0(舍去)， ∴S 2max ＝625，即S max ＝25.9．若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1D ．0＜a ＜1解析：选A.依题意y ′＝a (3x 2－1)＞0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)， 故a ＞0.10．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )＞－xf ′(x )，则一定有( ) A ．函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上为增函数B ．函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上为减函数C ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数解析：选C ．设y ＝xf (x )，则y ′＝xf ′(x )＋f (x )＞0，故y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增，故选C ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧－2＋4＝－2a 3－2×4＝b3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.∴a －b ＝－3＋24＝21.答案：2112．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，s ＝∫300v(t)d t ＝∫300(27－0.9t)d t＝(27t －0.45t 2)300＝405(m )． 答案：405 m13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，所以L ＝27R 2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R ，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小．答案：314．已知函数g(x)＝x 3－x 2(x>0)，h(x)＝e x －x ，p(x)＝cos 2x(0<x<π)的导函数分别为g ′(x)，h ′(x)，p ′(x)，其零点依次为x 1，x 2，x 3，则将x 1，x 2，x 3按从小到大的顺序用“<”连接起来为________．解析：由g ′(x)＝3x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝23，∵x>0，∴x ＝23；由h ′(x)＝e x －1＝0，得x＝0；由p ′(x)＝－2sin 2x ＝0，得2x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，∵0<x <π，∴x ＝π2.∴x 1＝23，x 2＝0，x3＝π2，故有x2<x1<x3.答案：x2<x1<x3三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.16．已知实数a＞0，求函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)的单调区间．解：∵f(x)＝ax(x－2)2＝ax3－4ax2＋4ax，∴f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．令f′(x)＞0，则x＜23或x＞2，∴函数f(x)的增区间是(－∞，23)和(2，＋∞)；令f′(x)＜0，则23＜x＜2，∴函数f(x)的减区间是(23，2)．17．若函数f(x)＝ax2＋2x－43ln x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值．解：(1)f′(x)＝2ax＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x .由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x )＞0时1＜x ＜2； ②当f ′(x )＜0时0＜x ＜1或x ＞2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.18．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－收入)解：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，由此获得收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4. 令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0；当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0.所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大．19．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k ＞0)，若f (x )的单调递减区间是(0,4)． (1)求k 的值；(2)当x ＞k 时，求证：2x ＞3－1x .解：(1)f ′(x )＝3kx 2－6(k ＋1)x ， 由f ′(x )＜0， 得0＜x ＜2k ＋2k，∵f (x )的单调递减区间是(0,4)， ∴2k ＋2k ＝4，∴k ＝1.(2)证明：设g (x )＝2x ＋1x ，g ′(x )＝1x －1x 2. 当x ＞1时，1＜x ＜x 2， ∴1x＞1x 2，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在x ∈[1，＋∞)上单调递增． ∴x ＞1时，g (x )＞g (1)， 即2x ＋1x ＞3，∴2x ＞3－1x.20．给定函数f (x )＝x 33－ax 2＋(a 2－1)x 和g (x )＝x ＋a 2x .(1)求证：f (x )总有两个极值点；(2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求a 的值．解：(1)证明：因为f ′(x )＝x 2－2ax ＋(a 2－1)＝[x －(a ＋1)]·[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ＋1，x 2＝a －1. 当x ＜a －1时，f ′(x )＞0；当a －1＜x ＜a ＋1时，f ′(x )＜0；当x ＞a ＋1时，f ′(x )＞0， 所以x ＝a －1为f (x )的极大值点， x ＝a ＋1为f (x )的极小值点． 所以f (x )总有两个极值点．(2)因为g ′(x )＝1－a 2x 2＝(x －a )(x ＋a )x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a .因为f (x )和g (x )有相同的极值点，且x 1＝a 和a ＋1，a －1不可能相等， 所以当－a ＝a ＋1时，a ＝－12；当－a ＝a －1时，a ＝12.经检验，当a ＝－12和a ＝12时，x 1＝a ，x 2＝－a 都是g (x )的极值点．。
人教版数学高二-人教A版选修2-2模块综合检测(二)
模块综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.2．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab ＝6ab (a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝( )A ．40B ．41C ．43D ．47 解析：选B 观察下列等式2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，第n 个应该是 n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1，则第5个等式中：a ＝6，b＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：选A 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56. 5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＋b ，∴f ′(1)＝3＋b ＝4， ∴b ＝1.∴g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2. 7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .8．在[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋32x 在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是()A.134 B ．4 C ．8D.54解析：选B 因为g (x )＝3x 2＋32x，且x ∈[12，2]，则g (x )≥3，当且仅当x ＝1时，g (x )min ＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ， ∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋q .又f (x )min ＝g (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4. ∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，x ∈12，2.∴f (x )max ＝f (2)＝4.9．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.10．设f (x )＝kx －kx －2ln x ，若f (x )在其定义域内为单调增函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)解析：选B 由f ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2－2x ＋kx 2，令h (x )＝kx 2－2x ＋k ，要使f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h (x )在(0，＋∞)内满足h (x )≥0恒成立．由h (x )≥0得kx 2－2x ＋k ≥0，即k ≥2x x 2＋1＝2x ＋1x在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴2x ＋1x ≤1.∴k ≥1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b12．复数z ＝i1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.答案：314．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，前边是(－1)n ，括号里是x －n ，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k )＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝ax 2＋2x －2a ，因为f ′(－1)＝0，所以a ＝－2.所以f ′(x )＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x 2－x －2)＝－2(x ＋1)(x －2)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.随着x 的变化，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：(2)因为对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3， 即bx ＋3≥－23x 3＋x 2＋4x －1，所以b ≤－23x 2＋x ＋4－4x .设h (x )＝－23x 2＋x ＋4－4x .则h ′(x )＝－43x ＋1＋4x2，因为x ∈[－2,0)，所以－43x >0，4x 2>0.所以h ′(x )>0.所以h (x )在[－2,0)上单调递增．所以h min (x )＝h (－2)＝43.即b ≤43.故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m ·⎝⎛⎭⎫x －1x ＋2ln x (m ∈R)． (1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)当m ＝1时，函数f (x )＝x －1x ＋2ln x ，函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x 2＋2x ＋1x 2，∴f (1)＝0，f ′(1)＝4，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －4＝0.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝mx 2＋2x ＋mx 2，当m ≥0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，①当m ≤－1时，f ′(x )≤0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ②当－1<m <0时，由f ′(x )＝0得x 1＝－1＋1－m 2m ，x 2＝－1－1－m 2m，且0<x 1<x 2， x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )减增减所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1－m 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1－m 2，＋∞，＋∞上单调递减，f (x )在上单调递增．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3－x －x . (1)判断f (x )x 的单调性；(2)求函数y ＝f (x )的零点的个数；(3)令g (x )＝ax 2＋ax f (x )＋x ＋ln x ，若函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有极值，求实数a 的取值范围． 解：(1)设φ(x )＝f (x )x ＝x 2－1－1x(x >0)，φ′(x )＝2x ＋12x 3>0， 所以y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3－12>0且y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y ＝φ(x )在(1,2)上有一个零点，又f (x )＝x 3－x －x ＝xφ(x )，显然x ＝0是f (x )＝0的一个零点，所以y ＝f (x )在[0，＋∞)上有两个零点．(3)因为g (x )＝ax 2＋axf (x )＋x ＋ln x ＝ax 2＋ax x 3－x ＋ln x ＝ax －1＋ln x ，所以g ′(x )＝－a(x －1)2＋1x ＝x 2－(2＋a )x ＋1(x －1)2x，设h (x )＝x 2－(2＋a )x ＋1，则h (x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，且一根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内， 不妨设0<x 1<1e，由于x 1·x 2＝1，所以，x 2>e ，由于h (0)＝1，则只需h ⎝⎛⎭⎫1e <0，即1e 2－(2＋a )1e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ＋1e －2，＋∞.。
2014-2015学年高二数学选修2-2、2-3综合试题(二)Word版含答案
2014-2015学年高二数学下期选修2-2、2-3综合试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）1．已知i 为虚数单位，复数1iz i=-+，则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．12i - B ．12 C ．12- D ．12i2．已知a 1、a 2∈(1，＋∞)，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．不确定3．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 4．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图，则有（ ）A ．'()()f x g x =B ．'()()g x f x =C ．''()()f x g x =D ．()()g x f x = 5．设随机变量ξ～B (2，p )，η＝2ξ－1，若P (η≥1)＝6581，则E (ξ)＝( )A ．59B ．89C ．109D ．16816．△ABC 满足AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义f (M )＝(x ，y ，z )，其中x 、y 、z 分别表示△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(x ，y ，12)，则1x ＋4y的最小值为( )A ．9B ．8C ．18D ．167．观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，… 所得的结果都是24的倍数，由此推测可有（ ）A ．其中包含等式：152－1＝224B ．一般式是：(2n ＋3)2－1＝4(n ＋1)(n ＋2)C ．其中包含等式1012－1＝10 200D ．24的倍数加1必是某一质数的完全平方 8）ABCD9．设函数()(sin cos )(040)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 各极小值点之和为（ ）A ．380πB ．800πC ．420πD ．820π10．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种 11．已知函数()2,()ln(1)fx x ax g x b a x =-=+-，存在实数(1)a a ≥，使()yf x =的图象与()y g x =的图象无公共点，则实数b 的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．3[1,ln 2)4+ C ．3[ln 2,)4++∞ D ．3(,ln 2)4-∞+ 12．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()()()f x f x xf x ''+<恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =, 1)c f =则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13．()25212(1)x x +-的展开式中41x 的系数是 .14．函数21()ln 2(0)2f x x ax x a =--<存在单调递减区间，则a 的取值范围是15．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于 ． 16．给出下列命题：①用反证法证明命题“设,,a b c 为实数，且0,0,a b c ab bc ca ++>++>则0,0,0a b c >>>”时，要给出的假设是：,,a b c 都不是正数； ②若函数()()2fx x x a =+在2x =处取得极大值，则2a =-或-6；③用数学归纳法证明*1111...(1,)2321n n n n N ++++<>∈-，在验证2n =成立时，不等式的左边是11123++； ④数列{}n a 的前n 项和c S n n -=3，则1=c 是数列{}n a 成等比数列的充分必要条件；三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）若非零实数,m n 满足20m n +=，且在二项式12()m n ax bx +（a>0，b >0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项； （2）求ab的取值范围．(第4题)18．（本小题满分12分）观察下表：1，2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15， ……问：（1）此表第n 行的各个数之和是多少？ （1）2012是第几行的第几个数？（2）是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分10分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：)(()(22c b a bc ad n K +-=20．（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （1） 求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.21．（本小题满分12分）（本小题满分12分）设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；22．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()f x ax x x a R =+∈ （1）当0=a 时，求)(x f 的最小值；（2）在区间(1,2)内任取两个实数,()p q p q ≠,若不等式(1)(1)f p f q p q+-+-1>恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：333ln 2ln 3ln 4234+++...3ln n n+<1e （其中*1,, 2.71828...n n N e >∈=）.高二下期理科数学选修2-2、2-3综合试卷13. -10 14.(-1，0) 15.10 16.③④17.(1)解：设12112()()rm r n rr T C ax bx -+=为常数项，则可由(12)020,0,0m r nr m n m n -+=+=≠≠⎧⎨⎩ …………4分解得 r=4，所以常数项是第5项． ………………6分 （2）由只有常数项为最大项且a >0，b >0，可得48457512124843931212C a b C a b C a b C a b >>⎧⎨⎩ …………10分解得 8954b a<<…………12分18.解：∵第n ＋1行的第1个数是2n ，∴第n 行的最后一个数是2n －1.(1)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n －1)＝n －1＋2n －n －12＝3·22n －3－2n －2.(2)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(3)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n－310－4－1－2n －210－2－1＝22n ＋17－22n －3－2n＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.19.(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝3－75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 20.当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分 （2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C Pξ,8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分21.函数()f x 的定义域为(0,)+∞， (Ⅰ)当1a =时，()ln 1f x x x =--，∴()f x 在1x =处的切线方程为2y =-(Ⅱ，)(x f 的定义域为),0(+∞。
高二数学模块综合检测卷新人教A版选修2-2
n（n－ 1）
解析： 若 { an} 是等差数列，则 a1＋ a2＋…＋ an＝ na1＋
2
d，
（ n－ 1） d
d
∴ bn＝ a1＋
2
d＝ 2n＋ a1－2，即 { bn} 为等差数列；
n（n－ 1）
若 { cn} 是等比数列，则 c1· c2·…· cn＝ cn1·q1＋2＋…＋ ( n－1) ＝ cn1· q
13 2，－ 2 ，它到原点的距离为
（1） 2＋（－ 3） 2＝
10 . 故选 D.
2
2
2
31 1 3 3． i 是虚数单位，则 ( i － )( － ＋ i) ＝( D)
2 2 22
13
13
A． 1
B
．－ 2＋ 2 i C. 2－ 2 i
D
13 ．－ 2－ 2 i
解析：
3 2i
1 －2
13 －2＋ 2 i
A．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线
解析： 设 z＝ x＋ yi( x、 y∈R)， | x＋1＋ yi| ＝ （ x＋ 1） 2＋ y2，
|1 ＋ i z| ＝ |1 ＋ i( x＋ yi)| ＝
（
y
－
1
）
2
＋
x
2
，则
（
x＋
1
）
2
＋
y
2
＝
（
y－
1）
2
＋
x
2
.
∴复数 z＝ x＋ yi 对应点 ( x， y) 的轨迹为到点 ( － 1， 0) 和 (0 ， 1) 距离相等的直线．
模块综合检测卷
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有
人教版高中数学选修2-2综合测试卷C(含答案)
aT
f ( x)dx
T
； [ 来源 :]
其中正确命题的个数为 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0
7. 若复数 (a2 a 2) ( a 1 1)i (a R) 不是纯虚数，则 a 的取值范围是 ( )
(A) a 1 或 a 2 (B) a 1 且 a 2 (C) a 1 (D) a 2
.
精品文档
1
20. ( 本小题满分 14 分 ) 已知函数 f (x) ln x ( x
g( x) 0) , 函数
af ( x)( x 0) f ( x)
⑴ 当 x 0 时 , 求函数 y g ( x) 的表达式 ;
⑵若 a 0 , 函数 y g(x) 在 (0, ) 上的最小值是 2 , 求 a 的值 ;
1 8. 设 0< a <b，且 f (x) ＝
1x
x
，则下列大小关系式成 立的是 ( ).
ab
ab
(A)f ( a )< f (
2 )<f ( ab ) (B)f (
2 )<f (b)< f (
ab )
(C)f (
ab
ab )< f (
2 )<f ( a ) (D)f (b)< f (
ab 2 )<f ( ab )
2. 下列结论中正确的是 ( )
[ 来源:学 +科+网 Z+X+X+K]
(A) 导数为零的点一定是极值点
[ 来源:学 # 科#网 Z#X#X#K]
(B) 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) 0 ，右侧 f ' (x) 0 ，那么 f ( x0 ) 是极大值
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模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(e x ＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( ) A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f (x )的单调增区间是( ) A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠－2}，由于f ′(x )＝3(x ＋2)2＞0，故函数f (x )在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A ∩B ＝AD ．A ∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x 2＋1＜2， 即x 2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q .10．如图，阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x B ．⎠⎛ac [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]d x C ．⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x D ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x 解析：选B .∵在区间(a ，c )上g (x )＞f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )＜f (x )．∴S ＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb [f (x )－g (x )]d x ，故选B . 11．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n 2－1D ．2n －2解析：选D ．根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得到z ＝－3＋2i i－1＝2＋3i －1＝1＋3i. 答案：114．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大． 解析：收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0＜q ＜200)， L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84. ∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 16．(2014·山东省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极值点；②“可导函数f (x )在区间(a ，b )上不单调”等价于“f (x )在区间(a ，b )上有极值”；③若f (x )＞g (x )，则f ′(x )＞g ′(x )；④如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f (x )＝x ＋1＞g (x )＝x ，但f ′(x )＝g ′(x )＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i 5 ＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f (x )＝e xx －2的单调区间． 解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x ＞0，(x －2)2＞0.由f ′(x )＞0，得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ， ∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由S n ＋a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，S 1＝a 1，∴a 1＋a 1＝2×1＋1，得a 1＝32. 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2，则a 1＋a 2＋a 2＝5，将a 1＝32代入得a 2＝74. 同理可得a 3＝158.∴a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n. (2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ； 当n ＝k ＋1时，S n ＋a n ＝2n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2a k ＋1＝4－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴根据上述知对于任意自然数n ∈N *，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f (x )在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，f ′(1)＝0，故a ＝－2， ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，f (－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)． 又f ′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f (x )在区间(12，1)内不单调，即f ′(x )＝0在(12，1)内有解， 令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x 2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x. 令h (x )＝－3x －1x ，由h ′(x )＝－3＋1x 2＝0， 知h (x )在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增， ∴h (1)＜h (x )≤h (33)，即h (x )∈(－4，－23]． ∴－4＜2a ≤－23，即－2＜a ≤－ 3.而当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x， 当f ′(x )＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]． (2)由(1)知y 极大值＝f (23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f (2)＝ln 2－12＞0. 当x ＞0且x →0时f (x )＜0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈(0，23)． 若m ≥0，则e m ≥1，[e m ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0. 当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f (1e )＝1＋38e 2－2e＞0， 又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去． 当m ＝－2时，x ∈[1e 2，＋∞)，f (1e 2)＝1e 2(38e 2－2)＜0， 又(1e 2，23)为增区间，且y ＝f (23)＞0，故x 0∈(1e 2，23)． 综上，m 的最大值为－2.。