微积分习题课二重积分共46页文档

微积分课件 9.2 二重积分的计算(二)_

2
f ( )dx rg ( r )dr
r2 r1
二、二重积分在极坐标下的计算
例4 计算积分
π2 x 2 y 2 4 π2
sin
x y dxdy . P367 13（3）
2 2
解积分域是圆环， D：0 θ 2π , π r 2π .
π2 x 2 y 2 4 π2
y
r 1
解 D ( r , ) | 0 r 1,0 2
I
D
rdrd 1 r
2
d
0
2 1 0
2
1
rdr 1 r2
0
2π ( 1 r )
一般地 ,
2 .
2
1
x
1
r1 r r2
f ( ) g(r )rdrd
x r cos 解在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D

2
0
d
1 1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
解
π x 3 y 0 θ1 6
x 2 y 2 2 y r 2 sinθ x 2 y 2 4 y r 4 sin
π y 3 x 0 θ2 3
3
故
( x
D
2
y )dxdy d
2
6
4 sin
2 sin
r rdr 15( 3 ). 2

多元微积分第7次习题课(二重积分概念、性质、计算)答案(2015)

2 2 2 2
I = ∫∫ (1 −
D
x2 y2 − )dxdy 9 4
就会达到最大值，所以积分域应取为
D = {( x, y ) x2 y2 + 9 4
≤1} ．（二重积分与累此积分的关系）设函数 f ( x, y) 连续，交换下列累次积分的积分次序： 2．（1） ∫ dx∫ f ( x, y)dy ；（2） ∫ dx∫ f ( x, y)dy + ∫ dx∫ f ( x, y)dy ；
多元微积分第 7 次习题课
多元微积分第 7 次习题课参考答案
1
1/9
．（比较定理，区域可加性）确定积分区域 D ，使得二重积分 I = ∫∫ (1 − x9 − y4 )dxdy 达到
2 2 D
最大值．解：根据重积分的比较定理和积分区域的可加性性质，只要积分域 D 包含了使得被积函数 x y x y f ( x, y ) = 1 − − ≥ 0 的所有点，而没有包含 f ( x, y ) = 1 − − < 0 的点，那么二重积分 9 4 9 4
=
6 8 2 3 4 x dx + ∫ (8x 2 − x3 )dx ∫ 2 3 0 3
=
2 4 x 3
1
π
0
3 0
（4） ∫
(1, 0)
π 2 π − 2
dθ ∫
2 cos θ
0
f (r cos θ , r sin θ ) rdr
对应的积分域 D 是一个圆心在
ห้องสมุดไป่ตู้
D
1
，半径为1 的圆（如图），所以
2 cos θ 0
∫
dθ ∫
f (r cos θ , r sin θ ) rdr

《微积分二》二重积分

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例例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以

D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念二、二重积分的计算
《微积分》(第三版) 教学课件
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一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
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二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 2 2
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二重积分习题课(简)

1
错误点：大多同学都做错了，错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数不清楚了。不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13）多元函数微分法习题课二（习题册第一本 P13）填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。错误作法：取极限，错误作法：有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在，因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在，不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。从而得到结论。
3
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第二节：（：（习题册第一本 P4）（2）第二节：（习题册第一本 P4）四四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。应满足什么条件，的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使

微积分B(2)第4次习题课参考答案(二重积分概念、性质、计算)_330203012

0
0
0
0
（）对应的积分域是一个圆心 4
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
D
2
在(1,0) ，半径为1的圆（如图），所以
D 1
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
2
∫ ∫ ． =
2
rdr
0
arccos r 2
cosθ
+
∂f
(x, ∂y
y)
sin θ
=
1[x r
∂f
(x, ∂x
y)
+
y
∂f
(x, ∂y
y)]
所以 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dδ
x
∂f
(x, ∂x
y) x2
+ +
y ∂f y2
(x, ∂y
y)
dxdy
=
2π dθ
0
1
r
∂f ∂r
⋅ rdr
=
δ r2
2π dθ
0
1 ∂f δ ∂r dr
∫ ∫ =
2π
π
2 −π
dθ
2
1 1+ cos θ
[1 −
r(1 +
cosθ
)]rdr
=
2
0
9
5．（函数平均值的概念，交换积分次序）求函数 f (x) = ∫xsint2dt 在区间[0,1]的平均值． 1
解：函数 f (x) = ∫ xsint2dt 在区间[0,1] 的平均值为 1

二重积分习题练习及解析ppt课件

(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
则
f ( x , y )dxdy 0, D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
D
n
0
i 1
4
f ( x , y ) d xOy平面上方的曲顶柱体体积 D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面密度为连续函数 ( x , y ), 则它的质量M为:
M ( x , y ) d .
D
5
（二）二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设、为常数, 则
序后的积分限;
2. 如被积函数为 f ( x 2 y 2 ), f ( x 2 y 2 ),
y y f ( ), f (arctan ) 或积分域为圆域、扇形域、 x x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应将积分域分割成几个子域, 使被积函数在每个子域中保持同一符号, 以消除被积函数中的绝对值符号.
y
1
1
y x2
O
1
x
20
2.利用对称性
例计算
x 2 y 2 a 2

( x 2 x 3 y 2)d .
2
解积分域是圆 x 2 y 2 a 2 , 故关于x、y轴、直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:

微积分下第一分册8.7二重积分新

x y
1 2
1
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
［x－型］
a
1( x)
D
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx. ［ y－型］
D
c
1( y)
（在积分中要正确选择积分次序）
一、填空题:
练习题
D
x 2 y 2 r 2 ( y 0)所围成的闭区域,化为先对 y
后对 x 的累次积分,应为_____________________.
4、将二重积分 f ( x, y)d ,其中 D是由直线
D
y x, x 2及双曲线 y 1 ( x 0)所围成的闭区 x
域,化为先对 x 后对 y 的累次积分,应为
柱面，它的顶是曲面 z f (x, y), 这里 f ( x, y ) 0,
且在 D 上连续。
z f (x, y)
z
此立体称为曲顶柱体。
O
y
x
D
分析：
柱体体积 = 底面积×高
特点：平顶.
z
？曲顶柱体体积 =
曲顶柱体特点：曲顶.
O
x
D
回忆：曲边梯形面积如何求？
y
思想是以直代曲、以不变代变。
如何创造条件使平与曲这对矛盾转化？
00
解积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
例2 改变积分
x 1 y y 1 x
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy

二重积分习题及答案

在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域