剖分-顶点-顶点联图的正规拉普拉斯谱
连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界
一、拟拉普拉斯谱半径上界拟拉普拉斯谱半径（Pseudo-Laplacian Spectral Radius）是连通图中一种重要的拓扑特征，它可以衡量图的稳定性和可达性。
拟拉普拉斯谱半径的上界是指拟拉普拉斯谱半径不能超过的最大值。
二、拟拉普拉斯谱半径上界的计算1、有向图在有向图中，拟拉普拉斯谱半径上界的计算公式为：$\rho_{max}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{\frac{n}{m}}\right)$其中，$\rho_{max}$表示拟拉普拉斯谱半径的上界，$n$表示有向图的顶点数，$m$表示有向图的边数。
例如，有一个有向图，其顶点数为$n=5$，边数为$m=7$，则拟拉普拉斯谱半径的上界为：$\rho_{max}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{\frac{5}{7}}\right)=0.8536$2、无向图在无向图中，拟拉普拉斯谱半径上界的计算公式为：$\rho_{max}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{\frac{n}{m-n+1}}\right)$其中，$\rho_{max}$表示拟拉普拉斯谱半径的上界，$n$表示无向图的顶点数，$m$表示无向图的边数。
例如，有一个无向图，其顶点数为$n=5$，边数为$m=7$，则拟拉普拉斯谱半径的上界为：$\rho_{max}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{\frac{5}{7-5+1}}\right)=0.9$三、拟拉普拉斯谱半径上界的应用拟拉普拉斯谱半径上界的计算可以用于研究图的稳定性和可达性。
拟拉普拉斯谱半径越大，说明图的稳定性和可达性越好；反之，拟拉普拉斯谱半径越小，说明图的稳定性和可达性越差。
因此，拟拉普拉斯谱半径上界的计算可以用来确定图的最佳结构，以提高图的稳定性和可达性。
例如，在社交网络中，可以通过拟拉普拉斯谱半径上界的计算，来确定社交网络的最佳结构，以便更好地支持社交活动。
拉普拉斯的三维模型分割算法
拉普拉斯的三维模型分割算法拉普拉斯的三维模型分割算法（Laplacian-based 3D model segmentation algorithm）是一种常用的计算机图形学算法，用于将三维模型分割成不同的部分，帮助用户更好地理解和操作模型。
本文将综合介绍此算法的原理、步骤及其应用领域，以期给读者一个生动、全面且有指导意义的了解。
首先，我们需要了解拉普拉斯算子（Laplacian operator）。
拉普拉斯算子是一种微分算子，用于描述函数的二阶导数。
在三维模型分割中，我们将使用离散的近似算子来计算模型上的各个点的拉普拉斯算子值。
这些拉普拉斯算子值将作为特征来进行模型的分割。
基于拉普拉斯算子的三维模型分割算法可以被分为以下几个步骤。
1. 数据预处理：首先，需要对三维模型进行预处理，包括去噪、表面重建等操作，以提高模型的质量和准确性。
这一步骤对于获取更好的分割结果至关重要。
2. 建立模型的Graph Laplacian：在这一步骤中，我们将基于三维模型的几何信息建立Graph Laplacian。
Graph Laplacian是一个对称正定矩阵，它可以描述模型的拓扑结构和几何特征。
我们可以使用不同的方法来计算Graph Laplacian，如基于顶点或基于边的方法。
3. 特征向量的计算：通过对Graph Laplacian进行特征值分解，我们可以得到与每个特征值对应的特征向量。
这些特征向量对应于模型的不同部分，具有不同的物理含义。
通过选取前几个特征向量，我们可以得到一组高频和低频的分割特征。
4. 分割标签的生成：在这一步骤中，我们根据特征向量的值对每个点进行分割标签的生成。
常见的方法是使用K-means聚类方法或通过图割（Graph cuts）算法来对特征向量进行聚类操作。
这样，我们便可以将模型的不同部分分配给不同的类别。
5. 后处理：最后，通过一些后处理技术，如形态学运算、区域合并等，对分割结果进行进一步的优化和提升。
关于图的Laplace特征值
ｇｒａｐｈｓ；
Ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒｔｈ ｐａｐｅｒ．ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｉｎｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｆｇｒａｐｈｓ ｏｆＬａｐｌａｃｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ
ｏｆｇｒａｐｈｓ．
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｇｒａｐｈ；Ａｄｊａｃｅｎｃｙ Ｍａｔｒｉｘ；Ｌａｐｌａｃｅ Ｍａｔｒｉｘ；Ｓｐｅｃｔｒｕｍ；Ｌａｐｌａｃｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ；
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．ｂｕｔ ａｌｓｏ ｈａｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｆａｒ－ｒｅａｃｈｉｎｇ ｍｅａｎｉｎｇ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ＿ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ，ＩＣ担
ｄｅｓｉｇｎ，ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ａｎｄ ＳＯ ０１２．
Ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆＬａｐｌａｃｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ Ｌａｐｌａｃｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ．Ｗｅ
ｇｒａｐｈｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆｇｒａｐｈｓ ｉｓ ａｎ ａｃｔｉｖｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ．Ａｃｏｒｒｄｉｎｇｌｙ，ｐｅｏｐｌｅ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅＬａｐｌａｃｉａｎ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆＧ，ｔｈｅＬａｐｌａｃｉａｎｍａｔｒｉｘｏｆＧｉｓＬ（Ｇ）＝Ｄ（Ｇ）－Ａ（ｏ），
拉普拉斯算子的谱分解
拉普拉斯算子的谱分解
拉普拉斯算子是一个重要的偏微分方程算子，在数学和物理学中有广泛的应用。
它在谱分析中也扮演着关键的角色。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯算子的谱分解，并探讨其在谱几何、图论和物理学中的应用。
首先，我们将介绍拉普拉斯算子的定义和性质。
拉普拉斯算子是一个二阶偏微分方程算子，通常用Δ表示。
它的定义形式为Δu = div(grad(u))，其中u是一个定义在某个区域上的函数，grad表示梯度算子，div表示散度算子。
拉普拉斯算子的性质包括线性性、正定性和自伴性等。
接下来，我们将介绍拉普拉斯算子的谱分解。
拉普拉斯算子的谱分解是指将它分解成一组正交的特征函数和特征值的形式，即Δu = λu。
这里，特征函数是指满足Δu = λu的函数，特征值λ是对应的常数。
拉普拉斯算子的特征函数和特征值可以通过解拉普拉斯方程得到。
拉普拉斯算子的谱分解在谱几何和图论中有重要的应用。
在谱几何中，拉普拉斯算子的特征函数和特征值可以用于描述空间形状的性质。
在图论中，拉普拉斯算子的特征函数和特征值可以用于图的划分和聚类等问题。
最后，我们将介绍拉普拉斯算子的应用于物理学中的例子。
例如，在热传导方程和波动方程中，拉普拉斯算子可以用于描述能量传递和波函数的性质。
在量子力学中，拉普拉斯算子可以用于描述粒子的运
动和波函数的演化。
综上所述，拉普拉斯算子的谱分解在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
通过对其特征函数和特征值的研究，我们可以深入了解拉普拉斯算子的性质和应用，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
一些图的无符号拉普拉斯谱和正规拉普拉斯谱
一些图的无符号拉普拉斯谱和正规拉普拉斯谱一些图的无符号拉普拉斯谱和正规拉普拉斯谱图论作为离散数学的一个分支，研究的是图的结构和性质，其中图的谱论是一个重要的研究方向。
图的谱论涉及到图的特征值和特征向量，通过对图的谱进行分析，可以揭示图的一些隐藏的特性和规律。
本文将讨论一些图的无符号拉普拉斯谱和正规拉普拉斯谱。
首先我们来介绍一下图的无符号拉普拉斯谱。
对于一个无向图G，其无符号拉普拉斯矩阵是一个n阶对称矩阵，其中n为图的顶点数。
无符号拉普拉斯矩阵的定义如下：L = D - A其中，D是图G的度矩阵，A是图G的邻接矩阵。
无符号拉普拉斯矩阵具有以下性质：1. 无符号拉普拉斯矩阵是半正定的（即所有特征值非负），并且其最小的特征值为0。
2. 当图G是连通图时，其无符号拉普拉斯矩阵的一个特征值为0，其他特征值均大于0。
3. 无符号拉普拉斯矩阵的特征向量对应于图G的连接组件。
通过对无符号拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量的分析，我们可以得到一些有关图结构的信息。
比如，通过最小的非零特征值，我们可以得到图G的连通性，通过特征向量的分布情况，我们可以推断图的结点之间的相关性。
接下来我们来介绍一下图的正规拉普拉斯谱。
对于一个无向图G，其正规拉普拉斯矩阵是一个n阶对称正定矩阵，其中n为图的顶点数。
正规拉普拉斯矩阵的定义如下：L = D^(-1/2) * (D - A) * D^(-1/2)其中，D是图G的度矩阵，A是图G的邻接矩阵。
正规拉普拉斯矩阵具有以下性质：1. 正规拉普拉斯矩阵是对自然数排序的，即特征值均大于等于0。
2. 当图G是连通图时，其正规拉普拉斯矩阵的一个特征值为0，其他特征值均大于0。
3. 正规拉普拉斯矩阵的特征向量对应于图G的连接组件。
通过对正规拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量的分析，我们可以得到与无符号拉普拉斯矩阵类似的结论。
不同之处在于正规拉普拉斯矩阵具有更好的性质，如正定性和自然数排序，因此在某些情况下更加适用。
一些图的(无符号)拉普拉斯谱及其应用
一些图的（无符号）拉普拉斯谱及其应用一些图的（无符号）拉普拉斯谱及其应用引言：图论作为一门研究图的性质和结构的学科，已经广泛应用于许多领域，如社交网络分析、图像处理、数据挖掘等。
而拉普拉斯矩阵是图论中重要的工具之一，它能够刻画图的性质和特征。
本文将介绍一些图的（无符号）拉普拉斯矩阵的基本概念和性质，并探讨其在图论中的应用。
一、无符号拉普拉斯矩阵的定义无符号拉普拉斯矩阵是描述无向图拓扑结构的矩阵，它由度矩阵和邻接矩阵计算得出。
设G=(V,E)是一个无向图，其中V是顶点集合，E是边集合。
图的度矩阵D是一个对角矩阵，其对角元素为每个顶点的度数，邻接矩阵A是一个对称矩阵，其元素a_ij表示顶点i和顶点j之间是否存在边。
无符号拉普拉斯矩阵L定义为L=D-A。
二、无符号拉普拉斯矩阵的性质1. 零空间：无符号拉普拉斯矩阵的零空间由所有满足Lx=0的向量x组成。
零空间的维度等于图的连通分量数目，可以用于判断图的连通性。
2. 特征值和特征向量：无符号拉普拉斯矩阵的特征值是非负实数，且有一个特殊的特征值0。
对应于0特征值的特征向量x=(x_1,x_2,...,x_n)满足Lx=0，即存在一组非零向量满足Ax=b，其中b=(x_1,x_2,...,x_n)。
其他非零特征值对应的特征向量可以用来描述图的结构特征。
3. 广义拉普拉斯算子：无符号拉普拉斯矩阵的广义拉普拉斯算子定义为Lf=D^{-1/2}LD^{-1/2}，其中D^{-1/2}是度矩阵D的平方根的逆矩阵。
广义拉普拉斯算子具有与无符号拉普拉斯矩阵类似的性质，但更适用于权重图。
三、无符号拉普拉斯谱的应用1. 图划分：无符号拉普拉斯矩阵的特征向量可以用于图划分问题。
通过找到特征向量对应的分界点，可以将图分成两个或多个连通子图，从而实现图的分割。
2. 图嵌入：无符号拉普拉斯矩阵的特征向量可以用于图的嵌入问题。
通过选择特征向量作为特征空间的基，可以将图的节点映射到低维空间中，从而实现图的可视化和降维。
拉普拉斯矩阵
拉普拉斯矩阵拉普拉斯矩阵(Combinatorial Laplacian) 拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算⼦，主要应⽤在图论中，作为⼀个图的矩阵表⽰。
给定⼀个有 $n$ 个顶点的图 $G$，它的拉普拉斯矩阵： $L=D-A$ 其中 $D$ 为图的度矩阵，$A$ 为图的邻接矩阵。
度矩阵在有向图中，只需要考虑出度或者⼊度中的⼀个。
性质拉普拉斯矩阵是半正定矩阵；特征值中 0 出现的次数就是图连通区域的个数；最⼩特征值是 0，因为拉普拉斯矩阵每⼀⾏的和均为0；最⼩⾮零特征值是图的代数连通度。
Symmetric normalized Laplacian L 左乘 度矩阵 的 $-1/2$ 次，再右乘度矩阵的 $-1/2$ 次，展开得到单位矩阵 $I$ 减去 $A$ 左乘度矩阵的 $-1/2$ 次，再右乘度矩阵的 $-1/2$ 次。
$L^{\text {sym }}:=D^{-1 / 2} L D^{-1 / 2}=I-D^{-1 / 2} A D^{-1 / 2}$ 该矩阵中的元素由下⾯的式⼦给出： $L_{i, j}^{s y m}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } i=j \text { and }\operatorname{deg}\left(v_{i}\right) \neq 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{\operatorname{deg}\left(v_{i}\right) \operatorname{deg}\left(v_{j}\right)}} & \text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j} \\ 0 & \text { otherwise. } \end{array}\right.$ 上图例⼦： $A=\left\{\begin{array}{llllll}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right\} \quadD=\left\{\begin{array}{llllll}2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right\}$ $L=D-A=\left\{\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\-1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0 \\0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1 \\-1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 & 0 &1\end{array}\right\} \quad D^{-1 / 2}=\left\{\begin{array}{cccccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & \frac{1} {\sqrt{3}} & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right\}$ $L^{\text {sys }}=D^{-1 / 2} L D^{-1 / 2}=I-D^{-1 / 2} A D^{-1 / 2}=\left\{\begin{array}{cccccc}1 & -\frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & 0 \\-\frac{1}{\sqrt{6}} & 1 & -\frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{9}} & 0 \\0 & -\frac{1}{\sqrt{6}} & 1 & -\frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & 0 \\-\frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{6}} & 1 & -\frac{1}{\sqrt{9}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\0 & -\frac{1}{\sqrt{9}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{9}} & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 1\end{array}\right\}$Random walk normalized Laplacian $L^{r w}=D^{-1} L=I-D^{-1} A$ $L_{i j}^{r w}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } i=j \text { and } D_{i i} \neq 0 \\ -\frac{1}{D_{i i}} & \text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j} \\ 0 & \text { otherwise} \end{array}\right.$。
图的拉普斯系数和无号拉普拉斯谱半径
图的拉普斯系数和无号拉普拉斯谱半径图的拉普斯系数和无号拉普拉斯谱半径图论作为离散数学的一个分支，研究的是图以及其性质与特性。
在图论中，有两个重要的概念，分别是图的拉普斯系数和无号拉普拉斯谱半径。
首先，我们先介绍一下图的拉普斯系数（Laplacian coefficients）。
对于一个无向图G，如果它存在n个顶点和m条边，那么它的拉普斯矩阵L是一个n×n的矩阵，定义如下：L = D - A其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是每个顶点的度数（即与该顶点相连的边的条数），A是邻接矩阵，表示图中的边的连接关系。
图的拉普斯系数与图的连通性密切相关。
一个图的拉普斯系数可以帮助我们了解图的连通性，分析图中的节点间的相互关系。
这在社交网络分析、电力网络分析等领域有着重要的应用。
接下来，我们来介绍一下无号拉普拉斯谱半径（unsigned Laplacian spectral radius）。
对于图G的拉普拉斯矩阵L，它的特征值可以排列为0=λ0 ≤ λ1 ≤ ⋯ ≤ λn-1。
无号拉普拉斯谱半径的定义如下：rL = max{ |λi| }其中，|λi|表示特征值λi的绝对值，rL表示特征值的最大绝对值。
这个值通常用来衡量图的稳定性。
无号拉普拉斯谱半径与图的几何性质有密切关系。
无号拉普拉斯谱半径较小的图往往具有良好的耐受性和鲁棒性，它们对于随机扰动和攻击有很好的抵抗能力。
因此，在通信网络、生物网络等领域中，无号拉普拉斯谱半径的研究有着重要的意义。
总结起来，图的拉普斯系数和无号拉普拉斯谱半径提供了图论领域中对于图的连通性和稳定性的分析工具。
通过研究它们的数学特性和几何特性，可以帮助我们更好地理解和分析图的结构和性质。
在实际应用中，它们被广泛运用于社交网络分析、电力网络分析等领域，对于设计和优化网络结构、提高网络的稳定性具有重要的意义。
然而，尽管图的拉普斯系数和无号拉普拉斯谱半径在图论领域有着重要的地位，但它们的深入研究还有很大的空间。
连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界
连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界连通图是数学中最重要的基本概念之一，它得到了广泛的研究，尤其是有关拟拉普拉斯谱的研究。
拟拉普拉斯谱的定义可以被用来刻画图的结构和复杂性，它也用于图论应用，如社会网络分析。
在本文中，我们将介绍连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界。
首先，我们需要简要地回顾拟拉普拉斯谱的定义。
连通图G=(V,E)其中V是一个有限的顶点集合， E是一组无向的边，拟拉普拉斯矩阵L=(lij)元素的定义为：如果i=j，则lij=度di；如果i≠j，则lij=-aij，其中di代表第i个顶点的度，aij=1代表边(i,j)∈E。
使用上述定义，拟拉普拉斯谱半径定义为最小的特征值的绝对值，其定义如下：() = min(|1|,|2|,…,||)其中，1, 2,…, 是由拟拉普拉斯矩阵L的特征值所组成的有序序列。
拟拉普拉斯谱半径给出了图的结构，连通的图的拟拉普拉斯谱半径越大，则这个图越复杂。
因此，定义拟拉普拉斯谱半径的一个上界非常重要。
为了定义连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界，我们首先需要引入复杂网络理论中的一些基本概念。
复杂网络的拓扑结构由节点和边组成，复杂网络中的节点与节点之间可以有多种关系，比如有向关系和无向关系，这种关系反映了网络中不同节点之间的相互作用。
除此之外，复杂网络还可以根据节点之间的特定关系来划分，如一致性社区，不一致性社区等。
根据复杂网络理论，我们定义连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界，如下：()≤ max_i(_i)其中，max_i(_i)表示连通图中的最大度，而Γ表示一个正的常数，可以是数学实验得出的具体值，也可以是理论研究中想出的数学表达式。
定义一个拟拉普拉斯谱半径的上界有很多应用，例如，它可以用来估计一个复杂网络的复杂性，以及预测一个复杂网络的行为，如社会网络的社区结构。
此外，这一上界的定义还可以提供一些更复杂的研究，如研究复杂网络的行为，或者分析复杂网络的结构等。
总之，本文介绍了连通图的拟拉普拉斯谱半径的一个上界，定义了这一上界后，我们可以更清楚地了解连通图的结构及其复杂性，从而更好地应用于复杂网络理论中。
重组图的拉普拉斯谱毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)本科毕业论文作者：唐晶专业：数学与应用数学（师范）指导教师：吕大梅完成日期：2014年5月南通大学本科毕业论文题目：重组图的拉普拉斯谱姓名：唐晶指导教师：吕大梅专业：数学与应用数学（师范）南通大学理学院2014年5月摘要设是一个顶点集为，边集为的阶简单图。
用表示中与之间的边数，称为的邻接矩阵，矩阵的特征值就称为的邻接谱，度矩阵为的顶点度数构成的对角矩阵。
图的拉普拉斯矩阵定义为：。
Laplace矩阵的研究是代数图论的重要组成部分。
本文着重研究了两个完全图的重组图的Laplace谱，然后研究了两个完全图的重组图删去一条边所得的图的Laplace谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。
关键词：Laplace谱，重组图，完全图ABSTRACTLet be a simple graph with the vertex set and the edge set. We use to express the number of edges between vertex and of, and call as the adjacency matrix of, view the eigenvalues of as the adjacency spectrum of. The degree matrix is the diagonal matrix whose i-th diagonal entry is the degree of vertex i in. The Laplace matrix of is given by. The research on the characteristics value of Laplace matrix, is an important part of algebraic graph theory.In this paper, we study the Laplace spectrum of the recombinant graph of two complete graphs, and the Laplace spectrum of the recombinant graph of two complete graphs, furthermore, we obtain some results by comparison. Furthermore, we study the Laplace spectrum of the recombinant graph of p complete graphs.Key words: Laplace spectrum, recombinant graph, complete graph目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)第一章绪论 (4)1.1 引言 (4)1.2基本概念及已有结果 (4)1.3 本文主要结果 (5)第二章重组图的Laplace谱 (6)2.1 两个完全图的重组图的Laplace谱 (6)2.2 去掉两个完全图的重组图中K k内一条边的情况 (8)2.3 去掉两个完全图的重组图中内一条边的情况 (10)2.4 去掉两个完全图的重组图中与之间的一条边的情况 (13)2.5个完全图的重组图的情形 (16)第三章归纳 (18)参考文献....................................... 错误！未定义书签。
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其 中 ，仅是一 个 实数 ． 引理 ５ 设 矩阵 每一行 元 素 的和 为一个 常数 ｔ，则
ＦＭ（ ）＝ ·
２ 主 要 结 论 及 证 明 定 理 １ 设 Ｇ （ｉ＝ １，２）是 阶为 ｎ ，边数 为 ｍ 的 一正 则 图 ，则剖 分 一顶点 一顶点联 图 Ｇ ｏ Ｇ 的正
引理 １ 设 ＝ （口 ） 和 Ｂ ＝ （６ ） 是 两个 ｍ ×ｎ的矩 阵 ，则 Ｈａｄａｍａｒｄ积 定 义为二 者对 应位 置 的乘 积 ．即
（Ａ ·Ｂ） ＝ （０ ×ｂ０．） 且 Ａ ·Ｂ ＝ 日·Ａ． 引理 ２ 设 １， ， ３和 分 别是 Ｐ×Ｐ ，Ｐ×ｑ，ｑ×Ｐ和 ｑ×ｑ矩 阵 ，其 中 ｌ和 是可 逆 的 ， 则
作者简介 ：张娜（１９９４一），女 ，汉族 ，甘肃定 西人 ，硕士研究生 ，研 究方向：数学教 学论．
图谱 理论是 图论研究 的一个重要 而活跃 的领域 ，通过研究 图的各类矩 阵 的谱 等代 数不变 量刻 画图 的性 质是 图谱 研究 中的一个重 要 问题 ，而其 中对 图的邻接谱 ，拉普 拉斯谱 ，无符 号拉普拉 斯谱 和正规 拉普 拉斯谱
在 Ｇ的每 条边上 插 入一 个新 的点 得 到 的图 ５（Ｇ）叫做 图 Ｇ的剖 分 图．，（Ｇ）表 示 插入 的新 的顶点 的 集 合 ．设 Ｇ 是 连 通 图 ，则 剖分 一顶 点 一顶点 联 图 Ｇ。ｏ Ｇ Ｅ３ ３是 把 Ｓ（Ｇ ）中 的每个 顶 点 Ｖ（Ｇ。）和 ｜ｓ（Ｇ：）中
的每个顶点 （Ｇ ）相连得到的；设 Ｇ。是阶为 ｎ ，边数为 ｍ 的正则图 ，Ｇ 是阶为 凡 ，边数为 ｍ 的正则 图 ，则 Ｉ① 是 阶 为 ｌ＋ｍ１＋ ２＋ｍ２，边数 为 ２ｍ１＋２ｍ２＋ Ｉ ２的图．Ｃ５④ 尸２见 图 １．
· ２ ·
宁 夏 师 范 学 院学 报
２０１８年 １月
图 １ 剞 分 一顶 点 一顶 点 联 图
Ｃｈｕｎｇ Ｅｌｉ证 明了所有 的正规 拉普 拉斯 特征 值在 ［０，２］中 ，并且 ０是任 何 图 的拉 普拉 斯特 征值 ，她 还 确 定 了不 同类型图的正规拉普拉斯谱 ，例如 ，完全 图、立方体等．Ｂａｎｅｒｊｅ和 Ｊｏｓｔ＿４ 研究 了正规拉普拉斯谱 是 如何通过分割和连接等操作而变化 的．还有一些 文章给出了正则 图的冠图 、边冠图 、邻接冠 图 的 正 规拉 普拉 斯谱 等 ．受到 这些 文章 的启 发 ，给 出 了剖 分 一顶 点 一顶 点 联 图的正 规 拉 普 拉斯 特 征 多 项 式 和 它 们 的特征 值 ． １ 预 备 知 识
规 拉普 拉斯 特征 值是 （１）１，它 的重 数是 ｍｌ＋ｍ２，
第 ３９卷第 １期 ２０１８年 １月
宁 夏 师 范 学 院 学 报
Ｊｏｕｒ ｎ ａｌ ｏｆ Ｎｉｎｇｘｉａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ＿３９ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１８
剖 分 一顶 点 一顶 点 联 图 的正 规 拉 普 拉 斯 谱
张 娜
（西北 民族大 学 数学与计算机科学学 院 ，甘肃 兰州 ７３００３０）
等的研究均有重要的意义和应用价值．其中，正规拉普拉斯谱可以确定图 Ｇ的最大特征值的二部分支个数 ，
而次小特征值可以确定其连通分支个数等．Ｆ．Ｃｈｕｎｇ Ｅｌｉ定义了图 Ｇ的正规拉普拉斯矩阵 Ｌ（Ｇ）的行和列分
ｒ １
， “ ＝ 且 ｄ ＝０，
别代表图Ｇ的顶点个数．对矩阵中的ｕ和 元素，有 （ｕ， ）＝｛【一０ １／ ～瓜 。，ｕ和 相邻， 其中，ｄ 和ｄ 其它． ． 分别是 ｕ和 的度．设 Ｇ＝（ （Ｇ），Ｅ（Ｇ））是 阶为 ｎ，边数为 ｍ的连通图．记矩阵Ａ（Ｇ）＝（ｎ ）… 是图的邻
ｄｅｔ（ ）＝ｄｅｔｃ忆 ｄｅｔ ｃ 一
＝ ｄｅｔ（Ｍ １）ｄｅｔ（Ｍ４一 Ｍ３Ｍ １一 Ｍ ２）．
引理 ３ 矩 阵 … 的 Ｍ－ｃｏｒｏｎａｌ记 为 ＦＭ（ ），它指 矩 阵 （ ， 一 ）～ 所 有元 素 的和 ，即 ＦＭ（ ）＝１：（ｘＩ．一 ）一 １ ，
其 中 ，１ 表 示元 素均 为 １的 ｎ维列 向量． 引理 ４ 设 Ａ是 ｎ×ｎ矩 阵 ， 是 所有 元素 均 为 １的 ｓ× 矩 阵 ，则
中图 分 类 号 ：Ｏ１５７．５
文 献标 识 码 ：Ａ
文章 编 号 ：１６７４—１３３１（２０１８）０１—０００１—０５
收 稿 日期 ：２０１７—１１—３０
基金项 目 ：国家 自然科 学基金 青年基金 项 目（１１４０１４７３）；教 育部人文社科规划基金 项 目（１５ＹＪＡ８８００８５）．
摘 要 ：设 Ｇｉ（ｉ：ｌ，２）是连通 图，Ｇ ① 是剖 分 一顶点 一顶点联图．先根据 Ｇ ０ 的邻接矩 阵和度对
角矩 阵确 定其正规拉普拉斯矩 阵，再利 用分块矩 阵和 Ｓｃｈｕｒ补确 定正规拉 普拉斯特征 多项 式，进 而得 到正规拉
普 拉 斯 特 征 值 ．
关键词 ：联 图；正规拉普拉斯 多项 式 ；正规拉普拉斯谱
接矩 阵 ，当且 仅 当顶点 ｉ和顶 点 相邻时 ０ ＝１，否则 ＝０．设 ｄ ＝ｄ （ ）表示 图 Ｇ的顶点 的度 ，记图 Ｇ的度 对角矩 阵为 Ｄ（Ｇ）＝ｄｉａｇ｛ｄ。，ｄ：，… ，ｄ ｝．设矩 阵 尺（Ｇ）＝ （ｒ ） 是 图 Ｇ的 ×ｍ 阶关联矩 阵 ，若顶
点 ｉ和边 ｅ关联 ，则 ｒ ＝ｌ，否则 ｒ ＝０．图 Ｇ的正规 拉普拉斯矩 阵为 ￡（Ｇ）＝，一Ｄ （Ｇ）一丁Ａ（Ｇ）Ｄ（Ｇ）一 ． Ｌ（Ｇ）的特征多项 式表示 为 （Ａ）＝ｄｅｔ（ＡＩ—Ｌ（Ｇ）），． （Ａ）的根就是 Ｇ的正规拉普 拉斯特征值 ，正规 拉普 拉斯特 征值及其 重数构 成 的集合 称作 图 Ｇ的正规 拉普拉斯谱 ．Ｌ（Ｇ）是对 称的半正定 矩阵 ，其 特征值是非 负 实数 ，给特征值排序得 ０：Ａ （Ｇ）≤Ａ （Ｇ）≤ … ≤Ａ （Ｇ） Ｊ．