河北省保定市易县中学2020届高三数学模拟试题理(含解析)
2020年河北保定高三三模数学试卷(理科)
成立，
现证明：对任意
，
恒成立，
当
时，
由（ ）知
成立，
当
时，
，
且由（ ）知
，
∴
，
设
，
，
则
，
当
时，
，
当
时，
，
所以当
时， 取得最大值
，
所以
，
即
时，
．
综上所述，对任意
，
．①
令
，
则
恒成立，
所以
在
上递增，
18
令
恒成立，
即
，
即
．②
当
时，
有
，
当
时，
由①②式，
，
综上所述，
时，
成立，故原不等式成立．
19
为圆心， 为半径的半圆的面积， ，
8. B
8
解析: ∵函数
，若
时，都有
∴函数 由函数
在
上为减函数，
是定义在 上的偶函数，则 在
，
，
，
∵
，
，
∴ 由函数 在
， 上为减函数，
成立， 上为增函数
∴
，
即
，故 正确．
故选 ．
9. A
解析:
如图，在长方体中作出符合条件的三棱锥
，ห้องสมุดไป่ตู้
由
，
得
，所以外接球球 的半径
则球 的表面积 故选 ．
．
14.
解析:
由已知得
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
故可得
，
【附15套精选模拟试卷】河北省保定市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试卷含解析
河北省保定市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 2．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是 （ ）A ．2()f x x = B ．||()2x f x =C ．21()log f x x=D ．()sin f x x =3．在ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =u u u r u u u r ，2AE EB =u u u r u u u r，3DF FA =u u u r u u u r ，则EF =u u u r（ ）A ．1136AB AC -+u u u r u u u r B ．71126AB AC -+u u ur u u u r C ．11612AB AC -+u u u r u u u r D ．51123AB AC -+u u u r u u u r4．已知函数()()()2sin 0012f x x f πωϕϕ⎛⎫=+<<= ⎪⎝⎭，且，若函数()f x 的图象关于49x π=对称，则ω的取值可以是 A ．1B ．2C ．3D ．45．5()(2)x y x y ++的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．80B ．120C ．240D ．3206．用数学归纳法证明()()()22222222211211213n n n n n ++++-++-++=L L 时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．()2212k k ++B ．()221k k ++C ．()21k + D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦7．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦， 则()2log 3f的值为（）A．12B．45C．1 D．08．已知数列{}n a满足11a=，12nn na a+=+，则10a=（）A．1024 B．2048 C．1023 D．20479．在锐角三角形ABC中，1cos,7,2367A AB ACπ⎛⎫+=-==⎪⎝⎭，则AB BC⋅u u u r u u u r（）A．40- B．40C．34- D．3410．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形11．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．34 B．42 C．54 D．7212．若,,(0,1)m n p∈，且35log log lgm n p==，则（）A．1113510m n p<<B．1115310n m p<<C．1111035p m n<<D．1113105m p n<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河北省保定市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年河北省保定市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=，则=（）A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i2.已知cosα=-，且α为第二象限角，则sin2α的值为（）A. B. - C. D. -3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|1＜2x＜4}，Q={y|y=2+sin x，x∈R}，那么P-Q=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0≤x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. {x|0＜x＜1}4.若方程=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A. m＜2或m＞6B. 2＜m＜6C. m＜-6或m＞-2D. -6＜m＜-25.在如图所示的程序框图中，如果输出p=120，则输入的N=（）A. 3B. 4C. 5D. 66.已知向量，满足||=3，||=2，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°7.已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=的取值范围是（）A. [0，2]B. [0，]C. []D. [0，+∞）8.一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M是AB的中点，则三棱锥C-MEF的高为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，b sin B-a sin A=a sin C，则cos B等于（）A. B. C. D.10.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为（）A. 5πB. πC. 9πD. π11.已知命题p：函数y=sin（2x+）和y=cos（2x-）的图象关于原点对称；命题q：若平行线6x+8y+a=0与3x+by+22=0之间的距离为a，则a=b=4．则下列四个判断：“p∨q是假命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题”中，正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①f（x m）=mf（x），x＞0，m∈R；②存在实数a＞1，使得f（a）=1．则下列选项正确的是（）A. f（）＞f（3）＞f（2）B. f（）＞f（2）＞f（3）C. f（3）＞f（2）＞f（）D. f（3）＞f（）＞f（2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为______14.从由数字，，所组成的所有三位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的三位数的概率为________．15.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则x=______斤．16.已知点O为△ABC所在平面内的一点，且满足||=||=||=1，3，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=S n+log2，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=，M为AB的中点.（1）在线段PC上求一点N，使得MN∥平面PAD；（2）若AB=4，PA=PD=2，且二面角P-AD-B为，求PA与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．20.为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙[490，495）62 [495，500）812 [500，505）1418[505，510）86[510，515）42（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若从甲小组测得的试验数据中，依次有放回的随机抽查5个数据，设抽到理想数据的次数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；（以频率作为概率）（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据不理想数据合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知函数f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．（1）求证：函数f（x）的零点不小于4；（2）g（x）=f（x）+a ln x，若x∈[1，+∞），求证：g（x）＞-a3-+e-2a．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线M的参数方程是（θ为参数）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，P为曲线M上的动点，求△ABP面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+a|，a∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）≥1；（2）若x∈（2，4）时，|f（x）|＜|2x+a-1|，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z==，∴=-1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得,则=-1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．2.答案：B解析：解：∵co sα=-，且α为第二象限角，∴sinα==，则sin2α=2sinα•cosα=2••（-）=-，故选：B．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．3.答案：D解析：解：P={x|0＜x＜2}，Q={y|1≤y≤3}；∴P-Q={x|0＜x＜1}．故选：D．根据P-Q的定义，可求出P，Q，然后即可求出P-Q．考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及P-Q的定义．4.答案：A解析：解：若方程=1表示双曲线，则（m-2）（6-m）＜0∴m＜2或m＞6，故选：A．利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：第一次p=1，k＜N成立，k=2，第二次p=2，k＜N成立，k=3，第三次p=6，k＜N成立，k=4，第五次p=24，k＜N成立，k=5，第六次p=120，k＜N不成立，输出p=120，故k≤4不成立，k=5成立，则N=5，故选：C．根据条件进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵，；∴；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：B．根据即可得出，从而得出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．7.答案：A解析：解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数z=的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由得A（1，2），所以k OA=2，由图可知目标函数z=的取值范围是：[0，2]．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：根据题意知，三棱柱ADF-BCE是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图所示；过点C作CN⊥BE，垂足为N，则CN⊥平面ABEF，所以CN是三棱锥C-MEF的高，在R△BCE中，BC=CE=1，所以CN=BE=．故选：D．根据题意知三棱柱ADF-BCE是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，过点C作CN⊥BE，则CN是三棱锥C-MEF的高，求出即可．本题考查了空间中的位置关系与应用问题，是基础题．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2-a2=ac=a2，利用余弦定理即可求得cos B的值．【解答】解：∵若c=2a，，∴则由正弦定理可得：b2-a2=ac=a2，即：，∴．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的半径是解答本题的关键，属于较易题.由题意可得，S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的半径，代入球的表面积公式即可得到答案．解析：解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径．∵SA=1，AB=2，BC=2，∴2R==3，即R=．∴球O的表面积S=4•πR2=9π．故选：C．11.答案：C解析：解：y=cos（2x-）=sin[-（2x-）]=sin（-2x）=-sin（-2x）则函数y=sin（2x+）关于原点对称的函数为-y=sin（-2x+），即y=-sin（-2x），即命题p是真命题，若两直线平行则得b=4，∴两平行直线为6x+8y+a=0与6x+8y+44=0，平行直线的距离为═=a，即|a-44|=10a，a＞0，则a-44=10a或a-44=-10a，得a=4或-（舍），则a=b=4，即命题q是真命题，则“p∨q是真命题、p∧q是真命题、（￢p）∨q是真命题、p∨（￢q）是真命题，正确的命题有3个，故选：C．根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题的真假是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：在（0，+∞）上若f（x）满足：①f（x m）=mf（x），x＞0，m∈R；∴f（x）为对数型函数，设f（x）=log a x，若在实数a＞1，使得f（a）=1．即当a＞1时，f（x）=log a a=1，则函数f（x）=log a x为增函数，则f（3）＞f（2）＞f（），故选：C．根据抽象函数关系，确定f（x）为对数型函数，设f（x）=log a x，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．13.答案：y=x+1解析：解：函数y=x2+e x，可得y′=2x+e x，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为：y=x+1．故答案为：y=x+1．求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.答案：解析：解：由1，2，3组成的所有的三位数有33=27个，由1，2，3组成的所有没有重复数字的三位数有=6个，故=．故填：．计算出由1，2，3组成的所有数字，及由1，2，3组成的所有没有重复数字的三位数，即可得到概率．本题考查了古典概型的概率计算，分步乘法原理，属于基础题．15.答案：1.2解析：解：由题意可知过第一关后剩余，过第二关后剩余•=，过第三关后剩余=，过第四关后剩余•=，过第五关后剩余=，∴x-=1，解得x=1.2故答案为：1.2计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案．本题考查了数学应用，属于基础题．16.答案：解析：解：∵||=||=||=1，3，∴，两边同时平方可得，9+16+24=25，∴=0，∵=，则==（）==0=，故答案为：．由已知可知两边同时平方可求，然后结合=，及=，结合向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题．17.答案：解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1-2．①当n=1时，a1=2．当n≥2时，②①-②得：（首项符合通项），故：．（2）由于：，则：．数列{b n}满足b n=S n+log2=2n+1-2-n．所以：+（23-2-2）+…+（2n+1-2-n），=（22+23+24+…+2n+1）-2n-（1+2+3+…+n），=，=．解析：（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：（1）设线段PC的中点为N，则N为所求．设线段PD的中点为H，连接NH，AH，在△PDC中，HN∥DC，HN=，∵四边形ABCD是菱形，M为AB的中点，∴AM∥DC，AM=，∴HN∥AM，HN=AM，∴四边形AMNH是平行四边形，∴AH∥MN又∵AH⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.即N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连接BO，∵∠BAD=，∴△ABD是等边三角形，由三线合一得：BO⊥AD，连接PO，∵PA=PD，则PO⊥AD，∴∠POB是二面角P-AD-B的平面角，即∠POB=，∴∠POG=，∴OG=，PG=1；如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，-，1），C（-4，2，0），=（2，，-1），=（0，3，-1），=（-4，0，0），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取得=（0，，9），∴PA与平面PBC所成角的正弦值为sin θ=|cos＜＞|==．解析：本题考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．（1）设线段PC的中点为N，线段PD的中点为H，连接NH，AH，推导出AM∥DC，从而HN∥AM，HN=AM，从而四边形AMNH是平行四边形，进而MN∥平面PAD，由此得到N为线段PC中点时满足MN∥平面PAD．（2）在菱形ABCD中，取AD中点O，连接BO，则BO⊥AD，连接PO，PA=PD，则PO⊥AD，∠POB是二面角P-AD-B的平面角，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PBC所成角的正弦值．19.答案：解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c=1，又椭圆的离心率e=，∴a=2，则b=．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．△＞0即只需n2＜4k2+3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴P（），∴．∴．解析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得k MN•k OP为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）甲乙两个小猪的频率分布直方图如图，（2）易知甲小组的理想数据为8+14+8=30．故甲小组中理想数据的频率为=0.75由题意知，ξ～B（5，），所以ξ012345PE（ξ）=5×=，（或者E（ξ）=0×+1×+……+5×=．（3）甲小组的理想数据为30，乙小组的理想数据为36，甲小组乙小组合计理想数据30 3666不理想数据 10 4 14合计 4040 80∵由表中数据得K2的观测值k===30117＞2.706．∴有90%的把握任务抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择与有关．解析：（1）根据频数计算各小组对应的概率，画频率分布直方图．（2）根据题意，ξ～B（5，），ξ的取值为从0到5，列出分布列，计算期望即可．（3）列出2×2列联表，计算k，查表，判断即可．本题考查了频率分布直方图，二项分布，独立性检验等知识，属于中档题．21.答案：证明：（1）由f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．得零点x=≥=4，当且仅当a=1时取等号，故结论成立．（2）g（x）=f（x）+a ln x=ax2-（a2+1）x+a ln x，x∈[1，+∞），g′（x）=ax-（a2+1）x+==，∴由g′（x）=0，解得x=a，．由a=≥1时，解得a=1．（i）当a=1时，g′（x）≥0，在x∈[1，+∞）上恒成立，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=-（1+1）=-，而-a3-+e-2a=-．结论成立．（ii）当＜a，即a＞1时，g（x）在x∈（a，+∞）上单调递增，在x∈（1，a）上单调递减．∴g（x）min=g（a）=a lna--a=-，而-a3-+e-2a=-．结论成立．要证明：g（x）＞-a3-+e-2a成立．即证明：a lna+a＞-+e成立．令u（a）=a lna+a，v（a）=-+e，a＞1．u′（a）=ln a+2＞2，∴u（a）在a∈（1，+∞）上单调递增．∴u（a）＞u（1）=1．v′（a）=-=-＜0，∴v（a）在a∈（1，+∞）上单调递减，v（a）＜v（1）=0＜1．∴a lna+a＞-+e恒成立．因此g（x）＞-a3-+e-2a．解析：（1）由f（x）=ax2-（a2+1）x，x＞0，a≥1．得零点x=，利用基本不等式的性质即可证明．（2）g（x）=f（x）+a ln x=ax2-（a2+1）x+a ln x，x∈[1，+∞），g′（x）=ax-（a2+1）x+=，由g′（x）=0，解得x=a，．由a=≥1时，解得a=1．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由题意可知C：x2+y2=3，直线l的直角坐标方程为y=x-1．（2）将直线l方程代入C的方程并整理得t2+-2=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-2，∴|AB|=|t1-t2|=，所以点P到直线l的距离d==，所以当sin（-θ）=-1时，d的最大值为，即三角形ABP面积最大值为××=．解析：（1）消去参数t可得直线l的直角坐标方程，由ρ=可得ρ2=3，可得x2+y2=3；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值．本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≥1，得x＜-2；当-2≤x≤1时，由f（x）≥1得-2≤x≤-1；当x＞1时，由f（x）≥1，无解；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-1}（2）因为|f（x）|=||x-1|-|x+a||≤|（x-1）+（x+a）|=|2x+a-1|，当且仅当（x-1）（x+a）≤0时，等号成立．当（x-1）（x+a）＞0时，|f（x）|＜|2x+a-1|，记其解集为A，则（2，4）⊆A，①若a≥-1，显然成立；②若a＜-1，∴A=（-∞，1）∪（-a，+∞），∴-2≤a≤-1，所以a的取值范围是[-2，+∞）．解析：（1）分3段去绝对值姐不等式；（2）利用绝对值不等式取等的条件可得．本题考查了绝对值不等式，属中档题．。
河北省保定市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(理科)试题--带答案
＝３，犪→ %犫→ rx１２０°，q
→
→
犪＋２犫
＝
．
１４． å y s t 犘－犃犅犆，犃犅＝２槡３，犘犃＝２槡５，q í y s t Í u v + w x
．
１５． *yz犚 +t犳（狓）＝μ＋２λ犲狓＋λ犲２狓狓＋２狓＋２２０２０ｓｉｎ狓i3×d]3=d，\3
×d]3=d+]４，qλ－μ＝
6狓 + D ñ 犕′． X / ： é j 犕′犖 % 狓 + ` ñ 犛 ^ e * ñ， \ ｜犗犙｜·｜犗犛｜＝４ （犗 Îñ）．
２１． （１２b）
t犳（狓）＝（犪＋２）ｌｎ狓＋２狓犪－狓．
（１）Ï1犳（狓）+ÐS； （２）rt犺（狓）＝犳（狓）－２ｌｎ狓 ie|.+Ñdñ狓１，狓２ （狓１＜狓２），
所以
P（A）
4 5
4
C
3 4
4 5
3
g1 5
512（ 625
0.8192）
所以生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率为 512 …………12 分 625
19.（1）证明：取 PB 的中点 G，连结 EG，HG，
则 EG / / AB ，且 EG 1
……1 分
高三二模数学理科答案 第 2页 共 9 页
①-②得 3an
an 1
1即an
1 3
an
1
1 3
，
当n
2时，aann11212
1 3
an1
1 3
an1
1 2
1 2
1 3
……3 分 ……5 分
又
a1
1 2
2020届河北省保定市高三第二次模拟数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届河北省保定市高三第二次模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}240P x x x =->，(){}2log 12Q x x =-<，则()RP Q =（）A ．[]0,4B ．[)0,5C ．(]1,4 D ．[)1,5答案：C先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合P 、Q ，然后结合集合交、并、补的混合运算求解即可. 解：解不等式240x x ->，得4x >或0x <，即{4P x x =或}0x <， 即R C P ={}04x x ≤≤,解不等式2log (1)2x -<，得014x <-<，即15x <<，即{}15Q x x =<<， 即()RP Q ={}14x x <≤=(]1,4，故选：C. 点评：本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交、并、补的混合运算，属基础题. 2．若复数z 满足()()2212z -=+i i ，则z =（）A ．3 BC ．2D答案：B由复数的乘法及除法运算可得2z i =-+，然后求其模即可. 解：由()()2212z -=+i i ，则2(12)(34)(2)10522(2)(2)5i i i iz i i i i +-++-+====-+--+，所以z == 故选：B. 点评：本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3．在ABC 中，“·0AB BC ＞”是“ABC 为钝角三角形”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论； 解：在△ABC 中，若·0AB BC ＞，则cos （π﹣B ）＞0，即cosB ＜0，B 为钝角，则△ABC 是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B 角为钝角，则·0AB BC ＞不成立，所以“·0AB BC ＞”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：C. 点评：充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4．已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos 2y x =的图象经过怎样的变换得到?（）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 答案：C由诱导公式及三角函数图像的性质可得2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，然后结合函数图像的平移变换求解即可. 解：由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则22T π=，即T π=， 则2ππω=，即2ω=，则sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 又函数cos 2()3y x π=-的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，即函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，故选：C. 点评：本题考查了诱导公式及三角函数图像的性质，重点考查了函数图像的平移变换，属基础题. 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（）A ．38B ．516C ．716D ．13答案：C设大正方形的边长为4，阴影部分可看做一个等腰直角三角形和梯形，然后分别求出其面积，代入几何概型的概率公式求解. 解：设大正方形的边长为4，则面积为4416⨯=，阴影部分：一部分可看做一个等腰直角三角形，直角边边长为22，面积为1222242⨯⨯=， 另一部分为梯形，上底为2，下底为22，高为2，面积为()1222232⨯+⨯=， 所以此点取自阴影部分的概率是4371616p +==. 故选：C 点评：本题主要考查几何概型的概率求法，以及数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6．已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（） A ．0 B ．1C ．22D ．3 答案：A利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值. 解：sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3113cos sin cos sin 2222αααα∴+=+，可得tan 1α=， 22222222cos sin 1tan cos 2cos sin 0cos sin 1tan ααααααααα--∴=-===++. 故选：A. 点评：本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．142π+B ．51012π++ C ．5101224π+++ D ．1244π++答案：D根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 解：四分子一圆锥表面积111121221144222S ππ+=+⨯+⨯⨯=+ 12112ABD BCD S S ∆∆==⨯⨯=,13322222ACD S ∆==121312+1+1+22+++ 故选：D 点评：本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．8．在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为（）A ．56B ．448C ．408D ．1792答案：B由12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，可得8n =，再结合812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为882182r r rr T C x --+=求解即可.解：解:由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则26n n C C =,即268n =+=,则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==,令822r -=-, 则=5r , 则该展开式中21x的系数为85582448C -=, 故选:B. 点评：本题考查了二项式系数，重点考查了二项式展开式通项公式及指定项系数，属基础题.9．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（） A ．132 B ．133C ．134D ．135答案：D列举出该数列的前几项，可知该数列{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{}n a 的通项公式，然后求解满足不等式22021n a ≤≤的正整数n 的个数，即可得解. 解：设所求数列为{}n a ，该数列为11、26、41、56、，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，()()1111151154n a a n d n n =+-=+-=-，解不等式22021n a ≤≤，即21542021n ≤-≤，解得21355n ≤≤， 则满足21355n ≤≤的正整数n 的个数为135， 因此，该数列共有135项. 故选：D. 点评：本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．已知点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a nSe e e m =+++≥的n 的最小值为5，则m 的取值范围是（） A ．(]10,15 B ．(],15-∞C ．(]15,21D ．(],21-∞ 答案：A求得ln n a n =，进而可得出()1122n n n S n +=+++=，由题意可得出45S m S <≤，由此可得实数m 的取值范围. 解：由于点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，则ln nan =，则n a e n =，所以，()121122n a a a n n n S e e e n +=+++=+++=， 由于满足12n a aan S e e e m =+++≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A. 点评：本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出45S m S <≤是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11．已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（）A ．2BC ．3D答案：D作出图形，设1AF m =，可得22AF m a =+，根据角平分线定理可得1122AF MF AF MF =，可得出m与a 的等量关系，再利用勾股定理可得出a 、c 的关系式，进而可求得双曲线的离心率. 解：设1AF m =，可得22AF m a =+，如下图所示：由于12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121122213423AMF AMF c S AF MF SAF MF c ====， 即122m m a =+，12AF m a ∴==，224AF m a a =+=，在12Rt AF F △中，由勾股定理可得2222112AF AF F F =+，即()()()222422a a c =+，3c a ∴=，因此，椭圆的离心率为3==ce a故选：D. 点评：本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 12．已知方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,e -B ．1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1-D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：D将等式变形为1111x x x xeae--+=-，换元()1x x u x e -=，可得出()2110u a u a +---=，利用导数分析得出函数()1x x u x e-=的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.解：将等式()2111x x x ee x x ae---+=-变形为1111x x x x e a e --+=-， 令()1x x u x e -=，则11u u a +=-即()2110u a u a +---=，()11x xu x e--'=，令()0u x '=，得1x =，列表如下：x(),1-∞1()1,+∞()u x '+-()u x极大值所以，函数()1x u x e -=的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()1x x u x e-=的极大值为()11u =，作出函数()y u x =的图象如下图所示：由于方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则()10,1u ∈，{}(]210,u ∈+∞，①当20u =时，则10a --=，得1a =-，关于u 的方程为220u u +=，解得12u =-，不合乎题意；②当21u =时，则120a -=，得12a =，关于u 的方程为2230u u +-=，解得132u =-，不合乎题意；③当()10,1u ∈，()2,0u ∈-∞时，由二次方程根的分布得()101110a a a --<⎧⎨+--->⎩，解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述，实数a 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 点评：本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 二、填空题13．已知向量a 、b 满足：2a =，3b =，a 与b 夹角为120，则2a b +=_______.答案：利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2a b +的值. 解：()22222244a b a ba ab b +=+=+⋅+224cos1204a a b b =+⋅+ 221242343282⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，227a b +=.故答案为：点评：本题考查平面向量模的计算，考查平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于基础题.14．已知正三棱锥P ABC -，AB =PA =_______.答案：52作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥P ABC -外接球的半径. 解： 如下图所示：设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球球心O 在直线PG 上，设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，224PG PA AG ∴=-=，在Rt OAG 中，4OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即22224R R =+-，解得52R =. 故答案为：52. 点评：本题考查三棱锥外接球半径的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，找出球心的位置，通过几何体的结构特征列等式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．已知定义域为R 的函数()2222020sin 2x x e e x xf x xλλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λμ-=_______. 答案：2-计算出()22020sin 2xxf x e x μλ=+++，利用函数()y f x =有最小值和最大值推导出0λ=，进而得出()()2f x f x μ+-=，可得出函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，进而可求得μ的值，由此可计算出λμ-的值.解：()22222020sin 2020sin 22x x xe e x x xf x e x x λλμμλ++=+=++++， 若0λ<，则函数()y f x =无最小值，不合乎题意； 若0λ>，则函数()y f x =无最大值，不合乎题意. 所以，0λ=，则()22020sin 2xf x x μ=++，则()()()()222020sin 2020sin 222x xf x f x x x μμμ-+-=+++=++-， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，则()()max min 42f x f x μ+==，则2μ=， 因此，2λμ-=-. 故答案为：2-. 点评：本题考查利用函数的最值求参数的值，解答的关键在于推导出0λ=，并求出函数()y f x =的对称中心，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 16．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，a =，则b =_______答案：利用余弦定理可求得tan C 的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得4A π=，进而可求得sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值.解：222sin a b c ab C +-=，即2cos sin ab C ab C =，tan 2C ∴=， 由22sin tan 2cos sin cos 1sin 0C C C C C C ⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin a B b A c+=，由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B +==+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=.0B π<<，sin 0B ∴>，则tan 1A =，0A π<<，4A π∴=，()()sin sin sin cos sin 42B AC C C C π⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b aB A=，得sin sin a B b A ===.故答案为：点评：本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()20n n S a n n N *+-=∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a n -的前n 项和n T .答案：（1）详见解析；（2）2111432n n nT ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭．（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥由20n n S a n +-=可得()11210n n S a n --+--=，两式相减可得131n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）由（1）求得数列{}n a n -的通项公式，然后利用分组求和法可求得n T . 解：（1）当1n =时，11210S a +-=，解得113a =； 因为()20n n S a n n N*+-=∈，①当2n ≥时，()11210n n S a n --+--=，②①-②得131n n a a -=+即11133n n a a -=+，当2n ≥时，11111111332211322n n n n a a a a ---+--==--，又11126a -=-，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，以13为公比的等比数列；（2）由第一问可得111232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111232nn a n n ⎛⎫-=-⋅-+ ⎪⎝⎭，根据等比数列前n 项和公式和分组求和得：()1113311122213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-+-，化简得：2111432n n n T ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.点评：本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率答案：（1）90KN 口罩合格率为80%；95KN 合格率为90%（2）①分布列详见解析，数学期望为9.2；②512625． （1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法4334441555P C ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 解：解（1）由题意知生产90KN 口罩合格率为142317480%1005P ++===，生产口罩95KN 合格率为247358990%10010P ++===；（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11()111351050P X =-=⨯=()414215105025P X ==⨯==()199751050P X ==⨯=()493618115105025P X ==⨯==因此，X 的分布列如下：∴()9.25E X ==（元） ②设“生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元”事件为A ，事件A 包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”所以()4334441512555625P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率为512625. 点评：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，PA PD ==E 为PA 中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =(1)证明：//EF 平面PBM ；(2)设点N 在线段BC 上，若二面角E DN A --为60︒，求BN 的长度． 答案：(1)详见解析；(2)1122-． (1)要证//EF 平面PBM ，只需证明EF 平行于平面PBM 内一条直线即可，取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，可证四边形EFHG 为平行四边形，从而可得//EF GH ，根据线面平行的判定定理即可证出；(2)取AD 的中点O ，连结PO ，可证PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，设()2,,0N a ()11a -≤≤，求出平面EDN 的法向量n 及平面ABCD 的法向量m ，根据二面角E DN A --为60︒，利用夹角公式列出方程即可求出a ,进而可求出BN 的长度． 解：(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则//EG AB ，且112EG AB ==，因为//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =， 又因为//AB DM ，所以//EG FH ，EG FH =， 所以四边形EFHG 为平行四边形，所以//EF GH ，又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .(2)由EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF CD ⊥，又AD CD ⊥，EF 和AD 在平面PAD 内显然相交， 所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面ABCD平面PAD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，在等腰PAD △中，221714PO PA AO -=-=，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()0,0,4P ，因为E 为PA 的中点，所以10,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设()2,,0N a ()11a -≤≤，设平面EDN 的一个法向量(),,n x y z =，30,,22DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0DN a =-，由00n DE n DN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()3202210y z x a y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，令2y =，得32z =，1x a =-，所以31,2,2n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，所以()232cos ,9144n m n m n ma ⋅〈〉==-++，因为二面角E DN A --为60︒，所以()232cos 609144a =-++，即312=12a =-，所以()12BN a =--=. 点评：本题主要考查线面平行的判定定理，已知二面角的大小逆向探求点的位置，关键是求出二面角的两半平面的法向量，根据夹角公式列出方程，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点()(),02Q m m >的直线l 交椭圆C 于不同的两点M 、N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，试证明：直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点，且4OQ OS ⋅=（O 为原点）． 答案：（1）22143x y +=；（2）详见解析． （1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程； （2）设直线l 的方程为()y k x m =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，可得点()11,M x y '-，设点(),0S n ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由M '、S 、N 三点共线可得出M S NS k k '=解：（1）由题意得22212122c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()11,M x y '-，设(),0S n ，联立()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222223484120k x k mx k m +-+-=，由>0∆得()22430mk-+>，即2234k m <-时，M ，N 一定存在， 2122843k m x x k ∴+=+，2212241243k m x x k -⋅=+. 当斜率k 不为0时：因为M '、N 、S 三点共线，M S NS k k '=，1212y y x n x n-=--，即()()21120y x n y x n -+-=， 即()()()()21120k x m x n k x m x n --+--= 化简()()2112220x x n m x x mn -+⋅++=， 代入韦达定理化简得24043mn k -=+，即4mn =，4n m =， 4,0S m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，且4OQ OS mn ⋅==，当斜率0k =时，直线M N '与x 轴重合，满足结论． 综上，直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，且4OQ OS ⋅= 点评：本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()22ln af x a x x x=++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()2ln h x f x x =-有两个不同的极值点1x 、()212x x x <，求证：()()()121285ln 22f x f x x x +->-；（3）设1a =-，函数()2f x x x++的反函数为()k x ，令()x i n i k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，若[]1,1x ∈-时，对任意的n *∈N 且2n ≥，()()()1211n nik x k x k x e -≥恒成立，求m 的最小值.答案：（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）12-． （1）求得函数()y f x =的定义域和导数()()()22x x a f x x--'=-，对a 与2的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）求得()222x ax ah x x-+'=-，由题意可知方程220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x ，可求得a 的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出()()()()12122ln 22f x f x x x a a a +-=+-，然后构造函数()()()2ln 22u a a a a =+-，利用导数证明出()()85ln 22u a >-即可； （3）根据题意得出x k x e =，进而可得()xi n i k x k⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，由已知条件得出121x xxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分析出函数121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[]1,1-上的单调性，可得出12n m --≤，进而可求得m 的最小值. 解：（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()222221x x a a af x x x x --+'=--=- ①当0a ≤时，由()0f x '>得02x <<；由()0f x '<，得2x >.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； ②当02a <<时，由()0f x '>得2a x <<；由()0f x '<得0x a <<或2x >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+单调递减； ④当2a >时，由()0f x '>得2x a <<；由()0f x '<得02x <<或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当02a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞； 当2a =时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞； （2）证明：()()22ln ln ah x f x x a x x x=-=+-，0x > ()222221a a x ax ah x x x x -+'=--=-由已知函数有两个不同的极值点1x 、2x ，知()0h x '=有两个不等的正实数根，即220x ax a -+=有两个不等正实数根，即12120020x x a x x a ∆>⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得8a >，()()()()121211221212222ln 2ln a a f x f x x x a x x a x x x x x x +-=++-+++--()()()()121212121222ln a x x a x x x x x x x x +=++-+-()()()()22ln 222ln 222a aa a a a a a a a⋅=++--=+-， 令()()()2ln 22u a a a a =+-，8a >，()()()()12ln 222ln 21u a a a a a a'=++-=+-，因为8a >，所以()ln 210a ->，()0u a '>，所以()y u a =在()8,+∞单调递增，()()()810ln161685ln 22u a u ∴>=-=-，结论得证； （3）当1a =-时，()2ln f x x x x++=，则x k x e =， 所以()xi n i k x e⎛⎫⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，*n N ∈且2n ≥，对[]1,1x ∈-，()()()121121xxxn m n n n n k x k xk x eeee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥恒成立，即121xxxn mn n n ee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即121xxxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为xi y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-单调递减，所以121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也递减，当1x =时，min 12112112x xxn n n n n n n nn ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即对任意n *∈N 且2n ≥，12n m --≤恒成立， 显然当2n =时，min1122n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12m -≤，即12m ≥-，所以m 的最小值为12-． 点评：本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C 经过伸缩变换,x x y=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为()00,M x y ，当点M到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．答案：（1）22:4C x y +=，10l y +-=；（2）(M ．（1）由222x y ρ=+可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t 可将直线l 的参数方程化为普通方程；（2）利用伸缩变换求得曲线1C 的普通方程，进而可得出曲线1C 的参数方程，设点()2cos ,M θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点M 到直线l 的距离的最大值，并求出对应的点M 的坐标.解：（1）将曲线C 的极坐标方程化为24ρ=，由222x yρ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.在直线l 的参数方程中消去参数t 10y +-=， 所以，直线l 10y +-=；（2）由伸缩变换,,x x y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得,,3x x y y =⎧=''⎪⎨⎪⎩带入圆的方程C 得2243y x ''+=， 化简得曲线221:1412x y C +=，其参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，且[)0,2θ∈π），设点()2cos ,M θθ，点M到直线:10l y +-=距离为：d ==02θπ≤<，则9444πππθ≤+<，所以，当342ππθ+=时，即当54πθ=时，d取最大值，即max d =，此时，点M的坐标为(. 点评：本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程求解椭圆上的点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 23．已知2()2|1|.f x x x =+- （1）求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若f(x)的最小值为M ，且a+b+c=M(a ，b ，c ∈R)，答案：（1）{|0x x <或}1x >（2）见解析 （1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f(x)的最小值为M=1，再根据基本不等式推理论证即可证明. 解：（1）由题可知，()22224,122,0124,0x x x x f x x x x x x x x ⎧+-≥⎪-=-≤<⎨⎪-+<⎩则()20x f x x->的解集为{|0x x <或}1x >综上，不等式|2|()x f x x>的解集为{|0x x <或}1x > （2）由题可知，f(x)的最小值为M=1（1x =时取得）， 即1a b c ++=， 由柯西不等式，得，()()()2222211a b ab +≥≥+⇒+≥2a b c ++=得证（等号成立条件==a b c ）点评：本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.。
2020年河北省高考数学模拟试卷(5月份)答案解析
2020年河北省高考数学模拟试卷（5月份）答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|＜3}，则（）A．M⊆N B．N⊆MC．N∩（∁R M）＝{x|3≤x＜9}D．M⊆∁R N【解答】解：因为集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|＜3}＝{x|0≤x＜9}∴∁R M＝{x|x≥3}，∁R N ＝{x|x＜0或x≥9}，∴N∩∁R M＝{x|3≤x＜9}，故选：C．2．已知a∈R，复数+为纯虚数，则a＝（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：∵+＝为纯虚数，∴，解得a＝3．故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a4+a5＝2a3+7，则S7＝（）A．63B．49C．35D．15【解答】解：∵a1+a4+a5＝2a3+7，∴a4＝7，则S7＝7a4＝7×7＝49．故选：B．4．若x，y满足约束条件，则z＝2x+3y﹣1的最大值为（）A．﹣13B．13C．﹣11D．11【解答】解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，A（﹣5，0）．B（0，4），由图可知，当z＝2x+3y﹣1过B时，z有最大值为11．故选：D．5．古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形的五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有所不同．如图所示，ABCD是一个矩形，ABEF和CDFE都是等腰梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF，AB＝30，BC＝10，EF＝50，BE＝26．则这个灰斗的体积是（）A．3600B．4000C．4400D．4800【解答】解：分别过点A，B作EF的垂线，垂足为M，N，连接DM，CN，则FM＝EN ＝10，又BE＝AF＝26，∴AM＝BN＝24，∴多面体ADM﹣BCN为三棱柱，体积为＝．三棱锥D﹣AFM的体积为••AD＝．∴这个灰斗的体积是3600+2×400＝4400．故选：C．6．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（）A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多【解答】解：对于选项A，芯片，软件行业从业者中90后占总人数的55%，故连项A正确；对于选项B，芯片，软件行业中从事技术、设计岗位的90后占总人数的（37%+12.6%）×55%＝27.28%，故选项B正确；对于选项C，芯心，软件行业中从事技术岗位的90后’占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后“占总人数的40%、但从从事技术的80后“占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，战选项C错；对于选项D，芯片软件行业中从事市场岗位的90后占总人数的14.4%×55%＝7.92%、“80前“占总人数的5%，故选项D正确，故选：C．7．函数f（x）＝（x2+cos x﹣|x2﹣cos x|）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，故选：B．8．随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预防措施的错误说法，为了辟谣并宣讲正确的预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（）A．12种B．14种C．16种D．32种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有C33＝1种选法，②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有C51C32＝15种选法，则一共有1+15＝16种选法，故选：C．9．已知两个正方形ABCD和CDEF有一条公共边CD，且△BCF是等边三角形，则异面直线AC和DF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点M，CF的中点N，连接MN，则MN∥DF．延长BC到P，使CP＝BC，连接MP，NP，则MP∥AC．令AB＝2，则MP＝MN＝，又△BCF是等边三角形，NC＝PC＝1，由余弦定理可得：NP＝，异面直线AC和DF所成角为∠NMP，∴cos∠NMP＝＝．故选：B．10．已知函数f（x）＝sin+cos（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立，则ω的最大值为（）A．2020B．4040C．1010D．【解答】解：利用辅助角公式对函数化解可得f（x）＝sin+cos＝2sin（x+），由对任意的实数x，对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立；可得f（x0），f（x0﹣2020），分别为函数的最大值和最小值，要使得ω最大，只要周期T＝＝2ω最大，当＝2020即T＝4040＝2ω，周期最大，此时ω＝2020；故选：A．11．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1）＝，则不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（）A．（﹣1，1）∪（1，4）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣，1）∪（1，2）D．（﹣，1）∪（1，）【解答】解：定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1）＝，令g（x）＝（x﹣1）2f（x），则g′（x）＝2（x﹣1）f（x）+（x﹣）2f′（x）＝（x﹣1）[2f（x）+（x﹣1）f′（x）]，所以当x＞1时，g′（x）＞0，且g（﹣1）＝g（3）＝6，结合函数的图象，可知不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（﹣1，1）∪（1，3）．故选：B．12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线l：＝1与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T （﹣5c，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为S（x0，y0），联立方程组，两式相减可得b2（x12﹣x22）＝a2（y12﹣y22），可得b2（x1﹣x2）（x1+x2）＝a2（y1﹣y2）（y1+y2），可得2b2（x1﹣x2）x0＝2a2（y1﹣y2）y0，所以k MN＝﹣＝＝，即﹣•＝（1），由k MN•k ST＝﹣1，可得﹣•＝﹣1（2），由（1）（2）可得x0＝﹣，y0＝5b，即S（﹣，5b），又S在直线l上，所以﹣+5＝1，解得e＝＝．故选：D．二、填空题（共4题，共20分）13．已知{a n}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，则此数列的公比q＝3．【解答】解：∵{a n}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，∴3q+3q2＝36，且q＞0，解得此数列的公比q＝3．故答案为：3．14．已知非零向量，满足|2﹣|＝|﹣3|，且||＝5||，则与的夹角为．【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，θ∈[0，π]．若|2﹣|＝|﹣3|，则有（2﹣）2＝（﹣3）2，变形可得：42﹣4•+2＝92﹣6•+2，化简可得：52＝2•，又由||＝5||，则cosθ＝＝＝，则θ＝；故答案为：．15．已知函数f（x）＝x2﹣4x+3n若对任意n∈N*，f（x）≥0在[m，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：若对任意n∈N*，f（x）≥0在[m，+∞）上恒成立，可得x2﹣4x≥﹣3n，对任意n∈N*，都有﹣3n≤﹣3，当n＝1时取得等号，所以x2﹣4x≥﹣3，即x≤1或x≥3，由题意可得[m，+∞）⊆[3，+∞），从而m≥3，故答案为：[3，+∞）．16．直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1y2＝﹣4．过A，B两点分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，准线与x 轴的交点为M，四边形F APM的面积记为S1，四边形FBQM的面积记为S2，则S1•S2﹣3|AF|•|BF|＝4．【解答】解：如右图所示，∵直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设直线l：x＝ay+1，由联立可得：y2﹣4ay﹣4＝0，∴．∵S1＝（x1+3）•|y1|，S2＝（x2+3）|y2|，∴S1S2＝|y1y2|（x1+3）（x2+3）＝（ay1+4）（ay2+4）＝16+12a2，又∵|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝（ay1+2）（ay2+2）＝4+4a2，∴S1•S2﹣3|AF|•|BF＝4．故填：﹣4，4．三、解答题17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B+b cos A+a＝b cos C+c cos B．（1）求A；（2）若a＝，点D在BC上，且AD⊥AC，当△ABC的周长取得最大值时，求BD的长．【解答】解：（1）∵，∴，整理可得，，∵sin B≠0，∴，又A∈（0，π），∴；（2）由（1）及，知3＝b2+c2+bc，∴3＝（b+c）2﹣bc，从而，∴b+c≤2，当且仅当b＝c＝1时取等号，即△ABC的周长取得最大值，此时，∵AD⊥AC，∴，又b＝1，∴，∴．18．2020年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调查结果对相应学生提出针对性学习建议．现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，然后再从这些学生中抽取10人，进行学情调查．（1）若采用分层抽样抽取10人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数．（2）若被抽取的10人中，有6人每天学时超过7小时，有4人每天学时不足4小时，现从这10人中，再随机抽取4人做进一步调查．（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，求事件A发生的概率；（ii）用ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，30+45+75＝150，从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法，高一应抽取10×＝2人，高二应抽取10×人，高三应抽取10×人，故高一、高二、高三应抽取的人数分别为2人，3人，5人；（2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则P（A）＝P（B∪C）＝P（B）+P（C）＝；（ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4，则，，，，，随机变量ξ的分布列如下：ξ01234PEξ＝．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC＝，AB＝2，P A ⊥平面ABCD．（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面P AC⊥平面QBD．（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求P A的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又AC∩P A＝A，则BD⊥平面P AC，∵BD在平面QBD内，∴平面P AC⊥平面QBD；（2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设P（0，﹣1，a）（a＞0），则，设平面PBC的一个法向量为，则，可取，同理可求平面PDC的一个法向量为，∴，解得a2＝2，∴．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且有3a2＝4b2+1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作直线x＝3的垂线，垂足为点P，证明直线NP经过定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）由e＝＝，所以＝1﹣＝1﹣＝，联立方程组，解得a2＝3，b2＝2，所以椭圆的方程为+＝1；（2）证明：由（1）可得F（1，0），当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x＝my+1，联立椭圆方程2x2+3y2＝6，消去x可得（3+2m2）y2+4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，且点P（3，y1），则NP的方程为（x2﹣3）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）+y1（x2﹣3），又x2＝my2+1，所以（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）+my1y2﹣2y1（*）y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以my1y2＝y1+y2，（*）式可变形为（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）﹣y1+y2．所以（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣2），即直线NP经过定点（2，0）．当直线l与x轴重合时，显然直线NP也经过定点（2，0），综上，直线NP经过定点（2，0）．21．已知函数f（x）＝+（a＞0）．（1）证明：当x∈[1，+∞）时，f（x）≥1．（2）当0＜a≤1时，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥m，求整数m的最大值．【解答】解：（1）证明：，∵a＞0，x≥1，∴f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f（x）≥f（1）＝1；（2）当x≥1时，由（1）知f（x）≥1，故m≤1，当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，所以，令，故问题转化为g（x）≥m在（0，1）上恒成立，，令h（x）＝x+1+lnx，易知h（x）在（0，1）上单调递增，∵h（e﹣2）＜0，h（1）＞0，∴存在，使得h（x0）＝x0+1+lnx0＝0，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在x＝x0处取得最小值，，由于x0+1+lnx0＝0，于是，∵，∴0＜g（x0）＜1，∴m的最大整数值为0．（选做题）22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝8．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若射线m的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），设m与C相交于点M（非坐标原点），m与l相交于点N，点P（6，0），求△PMN的面积．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y2＝2x．直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝8．转换为直角坐标方程为．（2）曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将代入得到．将代入ρ（cosθ+sinθ）＝8得到ρ2＝4．所以|MN|＝|．点P（6，0）到直线MN：x﹣的距离d＝，所以．23．已知函数f（x）＝2|x+2|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣3a﹣2b有唯一零点x0，证明：+≥f（x0）．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，有﹣2（x+2）﹣x+3≥8，即x≤﹣3，故x≤﹣3；当﹣2＜x＜3时，有2（x+2）﹣x+3≥8，即x≥1，故1≤x＜3；当x≥3时，有2（x+2）+x﹣3≥8，即，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（2）证明：由题意知，y＝f（x）与y＝3a+2b有且只有一个交点，结合f（x）的图象知x0＝﹣2且f（x0）＝5＝3a+2b，即证明成立，∵，∴，当且仅当时取等号，∴+≥f（x0）．。
2020年高三第一次模拟考试(保定一模)理科数学 试卷及答案
= ( x0 − 1)2
+
y02
=
1 2
x02
−
2
x0
+
3
因为二次函数的对称轴为直线 x=2
所以，该函数在[ − 2,2]上单调递减，所以当 x0 = 2时取得最小值，x0 = −2时取得最大值
所以 M 到点 D 的最短与最长距离分别为1,3………………………………5 分
（2）假设存在点 P( 2, m) ,使得 ∆ABP 的内切圆恰好为 x2 + y2 = 1 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 因为直线 AB 与圆 x2 + y2 = 1相切，
则 h′(a) = 2mea (a + 2) − 2a − 4 = 2(a + 2)(mea −1) ．
Q a ∈[−1, 0),∴ea ∈[1 ,1), 且 a + 2 ≥1． e
①当 m ≤1(m ≠ 0) 时， mea −1 < 0,∴h′(a) ≤ 0 ，即 a ∈[−1, 0) 时， h(a) 单调递减.
法 1：因为 AO 为 ∠BAP 的角平分线，所以
kAP = −kAB = −1——————————————————9 分
所以 kAP
=
2 −m 0− 2
河北省保定市2020届高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案)
_，`EabFc?defg}，ݤhý，eMci，eM:¢． “|JKL，eMNO”@j'ûkl： “狊犲犻狕犲 狋犺犲 犱犪狔 犪狀犱 犾犻狏犲 犻狋 狋狅 狋犺犲 犳狌犾犾． ” （１）6mjnl'{，犲，犻，狋，犪xy(o;¹+pñ （=Ú?qrÅ}
４． 犪→ V犫→ ，犫→⊥（２犪→＋犫→），犪→ V犫→ +
Ａ．３０°
Ｂ．４５°
Ｃ．６０°
Ｄ．１２０°
５． 《》~ ¡¢Z£¤¥¦+§-¨，©{}Jª«4： “¬}®
¯，°6±®²fVª³®´，«µf¶n？”T·¸~： “¹}º、»、¼、½、
¾，®¿ÀÁ´Ãv¯，ĺ、»Å®²f+¯V¼、½、¾³®²f
Ａ． －１０１０．５
Ｂ． －１０１１
Ｃ． －２０１９．５
)、*+(：r4u４=4，<=4５v，u２０v。
Ｄ．２０２０
１３． ２犪＝１０，犫＝ｌｏｇ５１０，犪１＋犫１＝
．
１４． þÿ犳（狓）＝２ｓｉｎ狓ｓｉｎ（狓＋π３＋φ）~ÿ，T{φ∈（０，π），φ＝
．
１５．犚狋△犃犅犆 {，∠犃＝π２，犅犆＝６，i犅犆 +{ÚÑ，i１ÒÓ+Ñ，vÌt
DE+!4XY+!>abcd。ef@ghij+Bk^!4，ef3!456lm nGo。
４． $[pq?，(r["k!45ast7。
、：r4u１２=4，<=4５v，u６０v。3<=4w;+xy8z{，|
}az~4F+。
2020届河北省保定市高三下学期第二次模拟考试 数学(理)
2020届河北省保定市高三下学期第二次模拟考试理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－4x>0}，Q ＝{x|log 2(x －1)<2}，则(U P)∩Q ＝ A.[0，4] B.[0，5) C.(1，4] D.[1，5)2.若复数z 满足(2－i)z ＝(1＋2i)2，则|z|＝A.3B.5C.2D.33.在△ABC 中，“AB BC ⋅>0”是“△ABC 是钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数y ＝sin(ωx －6π)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由y ＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到?A.向左平移3π个单位长度 B.向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度 5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。
”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》。
完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A.38B.516C.716D.136.已知sin(3π＋α)＝cos(3π－α)，则cos2α＝ A.0 B.1 C.22 D.37.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.4＋12π 51012π++ 510124++ D.1244++ 8.在(2x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 A.56 B.448 C.408 D.17929.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是A.132B.133C.134D.13510.已知点(n ，a n )(n ∈N *)在函数y ＝lnx 图象上，若满足12n aa a n S e e e =++⋅⋅⋅+≥m 的n 的最小值为5，则m 的取值范围是A.(10，15]B.(－∞，15]C.(15，21]D.(－∞，21] 11.已知F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1(－c ，0)作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若∠F 1AF 2的平分线过点M(－13c ，0)，则双曲线的离心率为 A.2 2 C.3 312.已知方程21)11(x x x e e x x ae ---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为A.(－1，e)B.(－e ，12)C.(－1，1)D.(－1，12) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河北省保定市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年河北省保定市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=，则=（）A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i2.已知cosα=-，且α为第二象限角，则sin2α的值为（）A. B. - C. D. -3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|1＜2x＜4}，Q={y|y=2+sin x，x∈R}，那么P-Q=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0≤x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. {x|0＜x＜1}4.若方程=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A. m＜2或m＞6B. 2＜m＜6C. m＜-6或m＞-2D. -6＜m＜-25.在如图所示的程序框图中，如果输出p=120，则输入的N=（）A. 3B. 4C. 5D. 66.已知向量，满足||=3，||=2，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°7.已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=的取值范围是（）A. [0，2]B. [0，]C. []D. [0，+∞）8.一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则几何体的体积为A. B. C. D.9.设△ABC的内角A、B、C，满足2sin2A sin2B+sin A sin B=sin2A sin2B，则cos C=（）A. -B. -C.D.10.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为（）A. 5πB. πC. 9πD. π11.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n=a n+1，则a11=（）A. 410B. 3×48C. 3×49D. 3×21712.设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）-ln（x+e2）的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为______14.从由数字，，所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为________．15.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则x=______斤．16.已知点O为△ABC所在平面内的一点，且满足||=||=||=1，3，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且f（A）=-2，a=4，求△ABC 面积的最大值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=，AB=4，PA=PD=2．（1）若M为线段AB中点，N为线段PC中点，求证：MN∥平面PAD；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三校锥A-PBD的高．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．20.为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙[490，495）62[495，500）812[500，505）1418[505，510）86[510，515）42（2）若以频率作为概率，试着估计从两个小组的试验数据中分别任取一个数据，则其恰好是理想数据的概率各是多少？（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据不理想数据合计附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知函数f（x）=a ln x-+1，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线M的参数方程是（θ为参数）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，P为曲线M上的动点，求△ABP面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+a|，a∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）≥1；（2）若x∈（2，4）时，|f（x）|＜|2x+a-1|，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z==，∴=-1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得,则=-1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．2.答案：B解析：解：∵cosα=-，且α为第二象限角，∴sinα==，则sin2α=2sinα•cosα=2••（-）=-，故选：B．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．3.答案：D解析：解：P={x|0＜x＜2}，Q={y|1≤y≤3}；∴P-Q={x|0＜x＜1}．故选：D．根据P-Q的定义，可求出P，Q，然后即可求出P-Q．考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及P-Q的定义．4.答案：A解析：解：若方程=1表示双曲线，则（m-2）（6-m）＜0∴m＜2或m＞6，故选：A．利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5.答案：C解析：解：第一次p=1，k＜N成立，k=2，第二次p=2，k＜N成立，k=3，第三次p=6，k＜N成立，k=4，第五次p=24，k＜N成立，k=5，第六次p=120，k＜N不成立，输出p=120，故k≤4不成立，k=5成立，则N=5，故选：C．根据条件进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵，；∴；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：B．根据即可得出，从而得出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．7.答案：A解析：解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数z=的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由得A（1，2），所以k OA=2，由图可知目标函数z=的取值范围是：[0，2]．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：由题意可知几何体C-MEF的体积=V ADF-BCE-V F-AMCD-V E-MBC==．故选：D．利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可．本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力．9.答案：B解析：解：∵2sin2A sin2B+sin A sin B=sin2A sin2B=2sin A cosAsin B cosB，又∵sin A sin B≠0，∴可得：2sin A sin B+1=2cos A cos B，可得：1=2cos（A+B）=-2cos C，∴解得：cos C=-．故选：B．利用二倍角的正弦函数公式化简已知等式，结合sin A sin B≠0，可得2sin A sin B+1=2cos A cos B，进而根据两角和的余弦函数，诱导公式可得cos C的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的半径是解答本题的关键，属于较易题.由题意可得，S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的半径，代入球的表面积公式即可得到答案．解析：解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径．∵SA=1，AB=2，BC=2，∴2R==3，即R=．∴球O的表面积S=4•πR2=9π．故选：C．11.答案：C解析：解：由题意，可知：①当n=1时，a2=3S1=3；②当n≥2时，a n=S n-S n-1=，∴，即：a n+1=4a n．∴数列{a n}从第2项起是以3为首项，4为公比的等比数列．∴∴a11=3×49．故选：C．本题先根据题中公式推出前几项，然后根据公式a n=S n-S n-1得出数列{a n}从第2项起是一个等比数列，即可得出数列{a n}的通项公式，即可得到结果．本题主要考查公式a n=S n-S n-1的应用，以及等比数列的判定，本题属中档题．12.答案：C解析：解：函数g（x）=f（x）-ln（x+e2）的零点个数即为g（x）=0，即y=f（x）和y=ln（x+e2）的图象交点个数，作出y=f（x）的图象和y=ln（x+e2）的图象，可得它们共有3个交点，即零点个数为3．故选：C．由题意可得可令g（x）=0，即求y=f（x）和y=ln（x+e2）的图象交点个数，作出y=f（x）的图象和y=ln（x+e2）的图象，通过观察可得所求零点个数．本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想，考查判断能力和推理能力，属于基础题．13.答案：y=x+1解析：解：函数y=x2+e x，可得y′=2x+e x，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数y=x2+e x的图象在点x=0处的切线方程为：y=x+1．故答案为：y=x+1．求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.答案：解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出所求概率．【解答】解：从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，∴该数为没有重复数字的两位数的概率为p==．故答案为：．15.答案：1.2解析：解：由题意可知过第一关后剩余，过第二关后剩余•=，过第三关后剩余=，过第四关后剩余•=，过第五关后剩余=，∴x-=1，解得x=1.2故答案为：1.2计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案．本题考查了数学应用，属于基础题．16.答案：解析：解：∵||=||=||=1，3，∴，两边同时平方可得，9+16+24=25，∴=0，∵=，则==（）==0=，故答案为：．由已知可知两边同时平方可求，然后结合=，及=，结合向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题．17.答案：解：（1）函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1．=，=，所以：函数的最小正周期为．（2）由于f（A）=-2，故：，解得：A=．由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：16=b2+c2+bc≥3bc，所以：则：=．解析：（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数最小正周期．（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）如图所示，取线段PD的中点H，连结NH，AH，在△PDC中，NH∥DC，NH=，∵ABCD是菱形，M为中点，∴AM∥DC，AM=，∴HN∥AM，HN=AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，∵AH⊂面PAD，MN⊄面PAD，∴MN∥平面PAD．解：（2）∵PA=PD=2，AD=4，∴AP⊥PD，取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，则PO=2，BD=4，在Rt△POB中，PB=4，∴S△PBD==2，设三棱锥A-PBD的高为h，由V P-ABD=V A-PBD，得，解得h=，∴三棱锥A-PBD的高为．解析：（1）取线段PD的中点H，连结NH，AH，推导出AM∥DC，AM=，四边形AMNH为平行四边形，从而MN∥AH，由此能证明MN∥平面PAD．（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，设三棱锥A-PBD的高为h，由V P-ABD=V A-PBD，能求出三棱锥A-PBD的高．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c=1，又椭圆的离心率e=，∴a=2，则b=．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．△＞0即只需n2＜4k2+3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴P（），∴．∴．解析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，再由斜率公式求得OP的斜率，可得k MN•k OP为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）根据题意，画出甲、乙两个小组的频率分布直方图如下；（2）由题意知，甲小组的理想数据为8+14+8=30，故甲小组的理想数据频率为=0.75；乙小组的理想数据为12+18+6=36，故乙小组中理想数据的频率为=0.9；据此可以估计从甲组数据中任取1个数据，该数据恰好为理想数据的概率为0.75，从乙组数据中任取1个数据，该数据恰好为理想数据的概率为0.9；（3）甲小组的理想数据为30，乙小组的理想数据为36，由此填写列联表如下；甲小组乙小组合计理想数据303666不理想数据10414合计404080由表中数据，计算K2=≈3.117＞2.706，所以有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择有关．解析：（1）根据题意画出甲、乙两个小组的频率分布直方图；（2）由题意计算甲、乙小组的理想数据和频率，由此得出结论；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．21.答案：解：（1）f（x）=a ln x-+1的定义域是（0，+∞），f'(x)=，a≥0时，f'(x)＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，a＜0时，令f'(x)＞0，解得：0＜x＜-，令f'(x)＜0，解得：x，∴f（x）在（0，-）单调递增，在（-，+∞）单调递减；（2）∵f（1）=0．由（1）可得当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，x＞1时，f（x）＞0，x＜1时，f（x）＜0．所以，此时（x-1）f（x）≥0恒成立，即a≥0符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，-）递增，在（-，+∞）递减，且f（1）=0；①当时，f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，易知（x-1）f（x）≥0不恒成立；②当-＜1时，即a＜-1时，f（x）在（0，1）上由f（-）＞f（1）=0，易知（x-1）f（x）≥0不恒成立；③当-时，即-1＜a＜0时，，=-，易知（x-1）f（x）≥0不恒成立；综上，（x-1）f（x）≥0恒成立时，a的取值范围为[0，+∞）．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可得当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，（x-1）f（x）≥0恒成立，当a＜0时，分①当，②当-＜1，③当-讨论．22.答案：解：（1）由题意可知C：x2+y2=3，直线l的直角坐标方程为y=x-1．（2）将直线l方程代入C的方程并整理得t2+-2=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-2，∴|AB|=|t1-t2|=，所以点P到直线l的距离d==，所以当sin（-θ）=-1时，d的最大值为，即三角形ABP面积最大值为××=．解析：（1）消去参数t可得直线l的直角坐标方程，由ρ=可得ρ2=3，可得x2+y2=3；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值．本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≥1，得x＜-2；当-2≤x≤1时，由f（x）≥1得-2≤x≤-1；当x＞1时，由f（x）≥1，无解；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-1}（2）因为|f（x）|=||x-1|-|x+a||≤|（x-1）+（x+a）|=|2x+a-1|，当且仅当（x-1）（x+a）≤0时，等号成立．当（x-1）（x+a）＞0时，|f（x）|＜|2x+a-1|，记其解集为A，则（2，4）⊆A，①若a≥-1，显然成立；②若a＜-1，∴A=（-∞，1）∪（-a，+∞），∴-2≤a≤-1，所以a的取值范围是[-2，+∞）．解析：（1）分3段去绝对值姐不等式；（2）利用绝对值不等式取等的条件可得．本题考查了绝对值不等式，属中档题．。