四川省遂宁市2018届高三三诊考试数学(理)试题含答案

遂宁市高中2019届三诊考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1．已知集合{}3,2aM =，{},N a b =，若{}2MN =，则MN =A ．{}0,2,3B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2D ．{}0,1,32．复数241iz i+=+（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()3,1D ．()2,4 3．设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为 A ．π)27(- B ．π)27(+ C ．π)26(+ D ．π)37(-5．已知函数2tan)sin 1(cos )(2xx x x f -+=，那么下面说法正确的是 A ．函数)(x f 在]4,4[ππ-上是增函数，且最小正周期为π B ．函数)(x f 在]4,4[ππ-上是减函数，且最小正周期为π C ．函数)(x f 在]4,4[ππ-上是减函数，且最小正周期为π2 D ．函数)(x f 在]4,4[ππ-上是增函数，且最小正周期为π2 6．若223x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2x y z x +=的取值范围是A ．[]2,5B ．[]1,5C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,67． 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=A．CD8．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为 A ．120 B ．84 C ．56 D ．289．已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是 A ．38-B ．316C ．D ．不能确定10．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为2000元，则所需检测费的均值为 A ．6400元 B ．6800元 C ．7000元 D ．7200元11．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上 ，且AB AC AD ===BC BD ==8CD =.若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 表面积的最大值为A ．πB ．4πC ．16πD ．64π12．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为A ．(2020,0)-B ．(,2020)-∞-C ．(2016,0)-D ．(,2016)-∞-第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(4,2)a =-，(,1)b x =，若//a b ，则||a b += ▲ ．14．已知在ABC ∆中，1cos cos a b b C c B ===且，则ABC ∆的面积为 ▲ ． 15．直线3y kx =+被圆096422=+--+y x y x截得的弦长为，则直线的倾斜角为▲ ．16．()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=，不等式()ln(0ln(x f x e <+≤的解集为M ，则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 ▲ .三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有%99的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在)45,35[),15,5[的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考数据：050.0)841.3(2=≥K P ，010.0)635.6(2=≥K P ，001.0)828.10(2=≥K P19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD为平行四边形，︒=∠=60,2ADC CD AD ．（1）若AC AA =1， 求证：1AC ⊥平面CD B A 11；（2）若12,CD AA AC λ==，二面角11C A D C --的余弦值为11C ACD -的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 在圆2212x y +=上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:3(0)l x my m =+≠交椭圆C 于M ，N 两点. （i ）若以弦MN 为直径的圆过坐标原点O ，求实数m 的值；（ii ）设点N 关于x 轴的对称点为1N （点1N 与点M 不重合)，且直线1N M 与x 轴交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数2()x x f x ae e x =++，a ∈R ． （1）若()f x 在0x =处取得极值，求a 的值；（2）设()()-(+3)e x g x f x a =，试讨论函数()g x 的单调性； （3）当2a =时，若存在实数12,x x 满足1212()()30x x f x f x e e ++=，求证：121e 2x x e +>．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程点P 是曲线2ρ=（0θπ≤≤）上的动点，()2,0A ，AP 的中点为Q . （1）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（2）若C 上点M 处的切线斜率的取值范围是⎡⎢⎣⎦，求点M 横坐标的取值范围.23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()1f x x =-．（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1)1(<+a f ，1)1(<+b f ，且0a ≠，求证：)()(abf a ab f >．遂宁市高中2019届三诊考试 数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（12×5=60分）二、填空题（4⨯5=20分）415. 6π或56π 16. 2三、解答题 （本大题共6小题，共70分．） 17. （本小题满分12分）解：（1）因为233nn S =+，所以1233a =+ ，故13,a = …………1分当1n > 时，11233,n n S --=+ 此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩ …………5分（2）因为3log n n n a b a = ，所以113b =；当1n > 时，()11133log 313n n nn b n ---==-⋅ ， 所以1113T b == …………7分当1n > 时，()()12112311323133nn n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n n n T n ---=+++--⋅ ()11121313313n nn ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ …………10分 所以13631243n n n T +=-⨯ …………11分 经检验，1n = 时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=-⨯ …………12分18．（本小题满分12分） 解：（1）2乘2列联表…………3分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异…………5分（2）ξ所有可能取值有0,1,2,3 …………6分()228422510628840,1045225C C P C C ζ==⨯=⨯=()211128824422225105104286161041,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=()1112282442222251051041661352,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=124222510412(3),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯= …………10分0.2252252255E ζ=+++= …………12分19．（本小题满分12分）解：（1）证明：连接C A 1交1AC 于E ，因为AC AA =1，又⊥1AA 平面ABCD ，所以AC AA ⊥1，所以四边形11ACC A 为正方形，所以11AC C A ⊥，在ACD ∆中， 60,2=∠=ADC CD AD ， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以AC =，所以222CD AC AD +=，所以AC CD ⊥，又CD AA ⊥1， 所以⊥CD 平面11ACC A ， 所以1AC CD ⊥，又因为1,CDAC C =从而1AC ⊥平面CD B A 11 ………5分 （2）如图建立直角坐标系，则11(2,0,0),),)D A C A11(2,0,23),()DC DA λ∴=-=-设平面D C A 11的法向量为1111(,,)n x y z =，由111100n DC nDA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112020x z x z⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩解得1111,0(3,0,1)x z y n λ==∴=设平面CD A 1的法向量为2222(,,)n x y z = …………8分由22100n CD nCA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222200x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得22220,,(0,,1)x y z n λλ==-∴=- …………10分由1212cos 4||||3n n n n θλ⋅===⋅得1λ=，所以1,AA AC =……11分此时12,,CD AA AC ===所以111111(2432C A CD D A CC V V --==⨯⨯⨯= …………12分20.（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C 的右顶点在圆O ：1222=+y x 上，所以32=a ，又离心率为23，所以23==a c e ，所以3=c ，则有3222=-=c ab ， 所以椭圆C 的方程为131222=+y x …………4分（2）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简并整理得22(4)630m y my ++-=， …………5分 ∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ∴2121222624()6644m x x m y y m m +=++=-+=++， 222212121222231836123()99444m m m x x m y y m y y m m m -=+++=--+=+++. 因为以弦MN 为直径的圆过坐标原点，所以OM ON ⊥，∴0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，代入，得22236123044m m m --=++，解得2114m =，所以2m =±.…………8分 （ii ）由题意，),(221y x N -，所以直线MN 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=-，令0=y ，得211212211221112121226()(3)(3)43464my x x x y x y my y my y m x x m y y y y y y m --+++++=-===+=-++++所以点P 的坐标为)0,4( …………10分PMN ∆的面积为1211||||122PMN S PF y y ∆=-=⨯==1=== 当且仅当19122+=+m m ，即2±=m 时等号成立， 故PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. …………12分21．(本小题满分12分)解：（1）因为2()x x f x ae e x =++，所以2()21x x f x ae e '=++， 因为()f x 在0x =处取得极值，所以(02+1+10f a '==），解得-1a =． 验证：当-1a =时，()2e 1)(1)x x f x e '=-+-（，易得()f x 在0x =处取得极大值． …………3分 （2）因为2()()-(+3)e =(2)x x x g x f x a ae a e x =-++，所以2()2(2)1x x g x ae a e '=-++22(2)1=1)(21)x x x x ae a e ae e =-++--（…………4分①若0a ≤，则当(-,-ln 2)x ∈∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(-,-ln 2)∞上单调递增；当(-ln2,)x ∈+∞时，()0g x '<，∴函数()g x 在(-ln2,)+∞上单调递减．………5分 ②若0a >，'()=1)(21)x x g x ae e --（，当2a >时，易得函数()g x 在(-,ln )a ∞-和(-ln 2,)+∞上单调递增， 在(ln ,ln 2)a --上单调递减；当2a =时，()0g x '≥恒成立，所以函数()g x 在(-,)∞+∞上单调递增； 当02a <<时，易得函数()g x 在(-,ln 2)∞-和(-ln ,)a +∞上单调递增，在(ln 2,ln )a --上单调递减； …………8分 （3）证明：当2a =时， 因为1212()()3e 0xx f x f x e ++=，所以11221222122230x x x x x x ee x e e x e e ++++++=，所以12121212+x 212122()()=()x x x x x xx e e e e e e x x e x x +++=---+．令12+t x x =，()e t t t ϕ=-， 则()e 10t t ϕ'=-=，当(-,0)t ∈∞时，()0t ϕ'<，所以函数()e t t t ϕ=-在(-,0)∞上单调递减； 当(0,)t ∈∞时，()0t ϕ'>，所以函数()e t t t ϕ=-在(0,)∞上单调递增；所以函数()e t t t ϕ=-在0t =时，取得最小值，最小值为1． …………10分 所以121222()()1x x x x e e e e +++≥，即121222()()-10x x x x e e e e +++≥，所以121e 2xx e+≥ …………11分当12+0x x t ==时，121e 22x x e +≥=>此时不存在12,x x 满足等号成立条件，所以121e 2xx e +>． …………12分22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：（1）由()20ρθπ=≤≤，得()2240x y y +=≥设()11P ,x y ，()Q ,x y ，则112,22x yx y +==，即1122,2x x y y =-=，代入()221140x y y +=≥， 得()()222224x y -+=，∴()()22110x y y -+=≥； …………5分（2）轨迹C 是一个以()1,0为圆心，1半径的半圆，如图所示，设()M 1cos ,sin ϕϕ+，设点M 处切线l 的倾斜角为α由l 斜率范围⎡⎢⎣⎦，可得2536ππα≤≤， …………7分而2πϕα=-，∴63ππϕ≤≤，∴31cos 2ϕ≤+≤，所以，点M横坐标的取值范围是32⎡⎢⎣⎦． …………10分23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（1）22,3()(4)|1||3|4,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩当3-<x 时，由822≥--x ，解得5-≤x ；当13≤≤-x 时，8)(≥x f 不成立； 当1>x 时，由822≥+x ，解得3≥x ；所以不等式8)4()(≥++x f x f 的解集为{}35≥-≤x x x 或 …………5分（2）)()(a b f a ab f >，即()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1ab a b ->-． 因为1)1(<+a f ，1)1(<+b f ，所以1a <，1b <，又有0a ≠， 所以()()()()222222221212110ab a b a b ab a ab bab ---=-+--+=-->，所以1ab a b ->-，故所证不等式成立． …………10分。