2.1.1平面及其表示方法

高中数学 2.1.1 平面课件新人教A版必修2

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变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
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证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
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规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交点也在其他直线上.
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变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.
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7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

最新-2021学年高中数学必修二精讲优练课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品

公理
文字语言
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么公理3
它们有且只有一条过
该点的_公__共__直__线__
图形语言
符号语言
P∈α且P∈β⇒
_________ α∩β=l, ______ 且P∈l
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)一个平面能把空间分成几部分? 提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
(2)平面的画法.
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形__,并且其锐角画成_4_5_°__,且横边长等于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用_虚__线__画出来.
(3)平面的表示方法. ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位于什么地方? 提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点既在平面α内又在平面β内.
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰. 因为AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β=l,所以M∈l. 即AB,CD,l共点(相交于一点).
【总结提升】 1.公理1、2、3的意义和作用 (1)公理1. 意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的 “平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”. 作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

第三讲平面、线线、线面和面面的位置关系

5. 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上：记为A∈a. B 点B不在直线a上：记为Ba. (2)点与平面的位置关系：

A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上：记为A∈a. B 点B不在直线a上：记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
例4：根据下列条件作图：
(1) A∈，a，A∈a； (2) a ，b，c，且a∩b＝A， b∩c＝B，c∩a=C.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？ c a d b
3. 平面的画法：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
图形语言：

符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B A C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
文字语言：
文字语言：公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

2[1].1.1平面

B A C
α A
B C
公理2.过不在一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.
文字语言：文字语言：公理2. 过不在一直线上的三点，公理2. 过不在一直线上的三点，有且只
有一个平面. 三点确定一个平面）有一个平面.（三点确定一个平面）
图形语言：图形语言：
b A α
D C B a
练习4：
下列命题正确的是（） A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
小结
1.平面的概念； 1.平面的概念；平面的概念 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画平面的画法、平面的画法法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言图点直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言之间关系的转换
那么它们有且只有一条过该点的公共直线。那么它们有且只有一条过该点的公共直线。判断两个面的位置；判断点在直线上）（①判断两个面的位置；②判断点在直线上）
图形语言：图形语言：
β
α
P
L
符号语言：符号语言：
P ∈ α α ∩ β = l ⇒ P ∈ β P ∈ l
例题分析
用符号表示下列图形中点、直线、平面用符号表示下列图形中点、直线、之间的关系. 之间的关系
a ⊂ α , A ∈ a, ⇒ A ∈ α
④经过三点确定一个平面；经过三点确定一个平面； ⑤一个平面可以把空间分成两部分. 一个平面可以把空间分成两部分
⑥平面 α 与平面 β 相交，它们只有有限个公共点。（） ⑦经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。（） ⑧经过两条相交直线，有且只有一个平面。（） ⑨如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。（）

高一数学必修二完整2.1.1平面ppt课件

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8
平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面、镜面和黑板面等都给我们以平面的印象。
几何中的“平面”是现实平面加以抽象的结果。
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9
立体几何中的平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄
不是凹凸不平没有边界
无所谓面积没有体积
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10
平面的表示方法
2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内。
3.表明平面是“平的”。
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17
直线与平面的位置关系
直线l在平面α内：记为：l∈α
直线l不在平面α上：记为：l α
l ll
α
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18
思考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机等物品。这样做有什么原因吗？
示，如：平面ABCD,平面AC，平面BD。
D
A
C B
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13
点与平面的位置关系点A在平面α内：记为：A∈α
点B不在平面α上：记为：B α
B αA
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14
考思
若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别Biblioteka 做一条直线和一个平面。（1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺就落在了桌面上。
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
A
C B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边长的2倍。
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11

高一数学：2.1.1平面教案

第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们师：生活中常见的如黑板动给予评价，点出主题. 培养学生感性探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个③有一个平面的长是50m，宽④平面是绝对的平，无厚度师：刚才大家所讲的一些下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无加深学生对平探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成们常把被遮挡的部分用垂线画出来（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成αα∈师：在平面几何中，怎样师：这位同学画的实质上生：画出平面的一部分，师：大家画一下.学生动手画平面，将有代加深学生对平探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一α使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只师：我们下面学习平面的在平面上，调整直线上另一点生：当直线上两点在一个师：这处结论就是我们要师：从集合的角度看，公直线是由无数个点组成的过直线l，记作lα⊂，否则就α下面请同学们用符号表示学生板书，教师点评并完大家回忆一下几点可以确生：两点可确定一条直线师：那么几点可以确定上学生思考，讨论然后回答生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要师投影公理2图示与符号师：下面请同学们观察教生：这两个平面的无穷多通过实验，培加强学生学生在观察、平面是有的，而且只有一个”，也“有且只有一个平面”也可以说（2）过A 、B 、C 三点的平面可记公理3：如果两个不重合的平（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lP P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面师：我们把这条直线称为3. 典例分析例1 如图，用符号表示下图分析：根据图形，先判断点、解：在（1）中，l αβ=，a α=aβ=在（2）中，l αβ=，a α⊂b β⊂a=b=学生先独立完成，让两个学生巩固所学随堂练习1．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确C ．四边形确定一个平面学生独立完成答案： 1．D2．（1）不共面的四点可巩固所学D ．两两相交且不共点的三条2．（1）不共面的四点可以确（2）共点的三条直线可以确3．判断下列命题是否正确，（1）平面α与平面β相交，（2）经过一条直线和这条直（）（3）经过两条相交直线，有（4）如果两个平面有三个不4．用符号表示下列语句，并（1）点A 在平面α内，但点α（2）直线a 经过平面α外的（3）直线a 既在平面α内，β（2）共点的三条直线可3．（1）×（2）√（34．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈. （3）a α⊂，a β⊂.归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法2．平面的性质及其作用 3．符号表示 4．注意事项学生归纳、总结教学、补回顾、反课后作业 2.1第一课时习案学生独立完成备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ，但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ，则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．αb adcG F EAa bcd α H K图1图2设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α．同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1C A 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.AC ∩BD = M ⇒M ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M⇒O ∈C 1M ，即O 、C 1、M 三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D CB A。

2.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》解析

实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面三个公理
Байду номын сангаас空间图形
文字叙述
符号表示
平
第二课时
面
复习巩固： 1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：判定直线是否在平面内 2：公理2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外一点（两推论：条相交直线，两条平行直线）,有且只有一个平面作用确定平面的依据如果两个不重合的平面有一个公共点，那 3.公理3：么它们有且只有一条过该点的公共直线作用 ①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上．：
B C F E H G
A
D
E , E 点E在面与的交线上，同理，G, H , F也在面与的交线上点E, G, H , F四点共线。
4.已知：正方体ABCD ABCD, E是C1C的中点， F是B1C 的中点，
D
C
求证：DE, D1C1 , A1 F必交于一点 .A 证明： A1 D // EF , 且EF A1 D
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言之间关系的转换
A 4.三条公理公理1. AB B
王新敞
奎屯
新疆
公理2. A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3.P , P , l P l
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
3、在空间中，下列命题错误的是（

高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面教学课件

定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言如果一条直线上的________ 两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内作用判断直线在平面内用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外符号语言图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确