角的轴对称图形
1.4(2)角的轴对称性
角的轴对称性
角平分线上的点到角的两边距离相等． 角平分线上的点到角的两边距离相等．
几何语言： 几何语言：
平分∠ 平分 ， ∵OP平分∠MON， 点C在OP上，且CA⊥OM于A， 在 上 ⊥ 于 ， CB⊥ON于B， ⊥ 于 ， ＝ ． ∴CA＝CB．
M A C B P N
O
我们已经知道： 我们已经知道：
如果点P 如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到 AOB的平分线上，那么点P 的平分线上 边OA、OB的距离相等． OA、OB的距离相等． 的距离相等
反过来： 反过来：
如果点P在∠AOB的内部，且点P到边OA、 如果点P AOB的内部，且点P到边OA、 的内部 OA OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ 的距离相等
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 三条中线的交点 C.三条高的交点 三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D， 、如图， 平分∠ 中 平分 ， 于 ， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ ⊥ ， ⊥ ， ， 吗 说明理由 A
在∠AOB的内部任取折痕上的一点P，分 AOB的内部任取折痕上的一点P 的内部任取折痕上的一点 别作P OA、OB的垂线段PC、PD， 别作P到OA、OB的垂线段PC、PD，再 的垂线段PC 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ C O D A P B
PC与PD重合， PC＝PD． PC与PD重合，即PC＝PD． 重合
轴对称图形有哪些
轴对称图形有哪些
轴对称图形有:正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形.
1、正方形:是特殊的平行四边形,两组对边分别平行且相等;四条边都相等;对角线互相垂直平分;具有不稳定性(易变形);
2、长方形:有一个角是直角的平行四边形叫做长方形;两条对角线相等;对边平行且相等;具有稳定性;
3、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;顶角是直角;底边上的高等于腰上的高;等腰三角形的性质:两条边相等的三角形是等边三角形;等腰三角形的判定:在同一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
4、等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形;
5、等腰梯形:有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形;等腰梯形的判定:在同一个梯形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
6、菱形:具有一个角为直角的平行四边形叫做菱形;
7、圆:圆是一种特殊的平行四边形,它的定义域是所有的实数;
8、扇形:由圆心角的角度和弧度决定的图形叫做扇形;
9、圆锥:由圆锥面、底面圆和母线组成的几何体叫做圆锥;10、球:在地球表面,由坚硬的岩石组成的天然形体叫做球;11、椭圆:定义:过焦点的圆叫做椭圆;12、双曲线:定义:过焦点的双曲线;13、抛物线:定义:与x 轴有两个交点的曲线叫做抛物线;14、直线:无限长的,平行于x 轴y 轴的线段叫做。
角是轴对称图形吗
1.4 线段、角是轴对称图形吗教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握；教学准备：尺规作图用具教学重点：l线段垂直平分线、角平分线作法及性质。
教学过程：一、创设情境：M 1、口述、交流：前面学过的几何图形中哪些是轴对称图形？A B （注意同学说的线段和角） 2、操作、实践：（1）如图，折纸使A 、B 重合，你发现了什么？（折痕就是对称轴）（2）在折痕上找一点M ，MA 与MB 的大小有什么关系？说说理由。
（全等）再找一点试一试。
二、新课讲解：1、小结、交流：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
即上图中，l 是线段AB 的垂直平分线，则MA=MB2、展示、模仿：（1）分别从A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径 画弧，两弧相交于C 、D 。
（2）过C 、D 两点作直线。
A B 直线CD 就是AB 的垂直平分线。
作好图形后，先让学生讨论CD 是垂直平分线的理由。
3、探索、实践：用上面方法再找一个点P ，使PA=PB ，P 点在直线CD 上吗？边作边叙述作法，然后再多找几个点试一试，把你得到的结论说出来，并与同学交流。
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（与线段垂直平分线性质作比较）4、小结线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的点的集合。
5、实践、思考：角是轴对称图形吗？你能用折纸的方法找出它的对称轴吗？试一试。
角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线。
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
三、课堂练习1、如图，在Rt △ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，交AB 于E ，交BC 于D ，在图中找出相等的线段，说明它们相等的理由。
AEC D B2、如图，用直尺和圆规作∠ADB的对称轴（即角平分线反向延长）AD B3、P19 3 在课本的网格线上画，可有多种不同的方法。
2.4 线段、角的轴对称性 课件 苏科版数学八年级上册
例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货 场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图 2.4-6 中作出点C.
解题秘方：连接AB，作出线段AB的垂直平分线即可. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求.
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线 用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留 作图痕迹.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2)点在角的平分线上 性质 (角的内部的)点到角两边的 判定 距离相等.
4. 拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边 的距离相等.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
特别解读
1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是 “该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相 等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明 线段相等提供了新方法.
例 1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分 别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分
解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明 AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端 点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明：如图2.4-4，连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中，
AE＝AF， ቐ∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF.
线段角的轴对称性重要知识
线段两个端点的距离相等.
判定定理：和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点
的集合.
重点辅导
7
例题讲解 已知:如图,在ΔABC中, AB、
BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂 线吗？为什么？
A ME
·O
B
C
FN
重点辅导
8
随堂练习 如图，在△ABC中, ∠ACB=900,AB的中垂线交BC于E,垂足 为D,∠CAE:∠EAB=3:2,则∠B=___ ．
例:已知:如图,在ΔABC中.O是∠B、 ∠C外角的平分线的交点，那么点O在 ∠A的平分线上吗？为什么？
A
BH
C
M
E
N
0 F
重点辅导
12
∠AOC=∠BOC
PD⊥OA， PE⊥OB
PD=PE
A D
PC
O
EB
性质定理：在角的平分线上的点到这个
角的两边的距离相等.
判定定理：到一个角的两边的距离相等的
点，在这个角的平分线上.
A D
C E
B
重点辅导
9
随堂练习 如图，△ABC中，AB的 垂直平分线分别交AB、BC于点D、E， AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、 G，要求△AEG的周长，还需添加什么 条件？
A
D
F
B
EG
重点辅导
C
10
A
C
O B
你对角有哪些认识？
角是轴对称图形，对称轴是角平线所 在的直线.
重点辅导
11
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条
轴对称的性质及线段、角的对称性(1)
轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。
2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。
知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。
结论等腰三角形是轴对称图形课件
自然界中的对称美
等腰三角形是轴对称图形这一结论也可以帮 助人们更好地理解自然界中的对称美，如雪 花、蜂巢等自然现象。
THANKS
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PART 02
轴对称图形的定义与性质
轴对称图形的定义
轴对称图形
如果一个图形关于一条直线对称，那 么这个图形被称为轴对称图形。
轴对称性质
轴对称图形具有对称性，即图形关于 对称轴对称，其形状和大小完全相同。
轴对称图形的性质
对称轴的性质
对称轴是一条直线，它将图形分为两 个完全相同的部分。
对称性的应用
等腰三角形具有明显的轴对称性，这使得它在几何图形中具有独特的地位。通 过对称轴，我们可以轻松地找到等腰三角形的其他重要性质，如高、中线等。
基础教学
在几何教学中，等腰三角形是讲解轴对称概念的重要工具。通过研究等腰三角 形，学生可以深入理解轴对称图形的性质和特点。
在建筑设计中的应用
结构稳定性
在建筑设计中，等腰三角形经常被用作结构元素，以增加结 构的稳定性。例如，在桥梁和高层建筑中，等腰三角形的设 计可以有效地分散压力和重量。
总结词：旋转对称
详细描述：将等腰三角形绕着底边中点旋转180度，观察旋转后的图形是否与原 图形重合，如果重合则证明是轴对称图形。
证明方法二：通过折叠证明
总结词：折叠对称
详细描述：将等腰三角形沿底边中线折叠，观察折叠后的两部分是否完全重合，如果重合则证明是轴 对称图形。
证明方法三：通过坐标证明
总结词：坐标对称
等腰三角形的对称性
等腰三角形是一种特殊的轴对称图形， 它具有两条对称轴，分别是底边上的 高和中线。因此，等腰三角形可以被 视为轴对称图形。
轴对称图形在几何、建筑、艺术等领 域中有着广泛的应用，因为它们具有 优美的外观和独特的性质。
八年级数学上册苏科版角的轴对称性
离相等的所有点的集合.
（2）∵ PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE ∴ OP平分∠AOB.
∠AOC=∠BOC
PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
【习题精讲】 1、（教科书P55.练习）
利用网格画图： （1）在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等； （2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
（2）把三角尺绕点P旋转，三角尺的两条直角边分别交OA、OB于点E、F（如图② ），
PE与PF相等吗？
通过实验可以得到PE=PF的结论，现在请你证明这个结论.
证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足为M、N，
则∠PME＝∠PNF＝90°，
M N
∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN， ∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°， ∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠FPN，
P O
O
D’
答：点O在另两个内角的平分线上
答：点O不在另两个内角的平分线上
【变式2】
从图中得出的结论：①AD∥BC；②∠AOB＝∠DOC＝90论为 ① ② ④ （写序号）
如图：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
O
∵AO，BO为∠A、∠B的平分线，
∴BE＝CF．
∴BE＝2.5 ．
3、（教科书P59.第11题）
在七年级下册“证明”如一章的学习中，我们曾做过如下的实验：
画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）把三角尺的直角顶点落在射线OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB垂直，垂足分别为E、F（如图① ）．度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
分析： （1）P到∠BAC两边的距离相等，P在∠BAC的平分线上
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A
PE⊥OB ，且PD=PE.点P 在∠AOB的平分线上吗?
D
C P
O
EB
判定：角的内部到角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
PD⊥OA，
PE⊥OB
∠AOC=∠BOC
PD=PE
A
性质：在角的平分线上的点
D
到这个角的两边的距离相等.
P C 判定：角的内部到角的两边
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂
直平分EF．
A
E F
C B
D
●本节课你还有哪些疑问?
平分线的交点，那么点O
A
在∠A的平分线上吗？为
什么？
BH
C
M
E
N
0 F
随堂练习 利用网格线作图
⑴在BC上找一点
C
P,使P到AB和AC
的距离相等.
Q
⑵在射线AP上找
一点Q,使QB=QC.
P
A
B
随堂练习
A D
B
O
C
l 2 BAD CAD
2.4 线段、角的对称性（4）
例3 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，
O
E
B 的距离相等的点，在这个角 的平分线上.
角平分线是到角的两边距离相等的点的集合.
l2
2.4 线段、角的对称性（4）
例2 已知：如图，△ABC的两内角∠B、∠C 的 角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分 线上．
A
D
E
P
C F B
随堂练习
例:已知:如图,在ΔABC
中.O是∠B、∠C外角的
角的轴对称性
D
角是轴对称图形，
角平线所在的直线
O
Pห้องสมุดไป่ตู้
是它的对称轴.
E
性质:角平分线上的点到角的两边的 距离相等。
A D
∵OC平分∠AOB， 点P在OC上，且
P C PD⊥OA，PE⊥OB
O
E B ∴PD=PE
辨一辨
D O
A C
P
如图，OC平分 ∠AOB，PD与PE 相等吗？
EB
如图，点P为∠AOB的内