简单的轴对称图形-角
简单的轴对称图形(三)
第3节简单的轴对称图形（三）教学目标：知识与技能：1.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征.2.探索并了解角的轴对称性及相关性质.3.会用尺规作角的平分线.过程与方法：1.通过独立思考,小组合作探究,主动展示,经历角的平分线性质的形成与初步应用过程,从而增强应用数学知识的意识与解决实际问题的能力.2.通过观察、折叠等活动,发展空间观念,培养有条理的思考和规范的数学语言.情感态度与价值观：1.通过活动体验学数学的快乐,增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验,并在合作学习中获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣,培养学生的合作、探究精神.2.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.教学重难点：【重点】掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线.【难点】角平分线的性质的应用.教学准备：【教师准备】课件、基本作图工具.【学生准备】笔记本、基本作图工具等.教学过程：导入：前面我们学习了基本图形“线段”是轴对称图形,那么,我们之前学过的另一个基本图形“角”是不是轴对称图形?如果是,对称轴是怎样的直线?【活动内容】不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?对折,再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?[处理方式]学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论.教师要有足够的耐心,要为学生的思考留有时间和空间.通过探究,学习新知:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.新课教学：探究活动1角平分线的性质【活动内容】(多媒体出示)请同学们按要求继续前面的折纸活动,并与同伴交流.折纸要求:1.在折痕(即∠AOB的角平分线)上任意找一点C;2.过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,点D是折痕与OA边的交点,即垂足;3.过点C折OB边的垂线,得到新的折痕CE,点E是折痕与OB边的交点,即垂足;4.将∠AOB再次对折.【问题】在上述的操作过程中,折痕CD与CE能重合吗?改变点C的位置,CD与CE还相等吗?你能解释其中的道理吗?小组交流展示成果.(教师动画展示)已知:如图∠AOC=∠BOC,CD⊥OA,垂足为D,CE⊥OB,垂足为E,CD与CE相等吗?试说明理由.解:因为CD⊥OA,CE⊥OB,所以∠CDO=∠CEO=90°.在△CDO和△CEO中,∠CDO=∠CEO,∠COD=∠COE,OC=OC,所以△CDO≌△CEO.所以CD=CE.(教师板书)结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.[处理方式]学生动手折叠,教师在多媒体上演示折叠过程.学生分组讨论、交流,并用文字语言阐述得到的性质.教师要给学生充分思考的时间和空间.教师通过几何画板演示,让学生形象感受角平分线的性质.【即时训练】判断下列说法是否正确.如图所示.1.因为OC平分∠BOA,所以CD=CE.()2.因为CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()3.因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()注意事项:角平分线性质中的距离,对应的必须是垂线段,不能认为是任意线段.探究活动2尺规作角的平分线对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线,对不能折叠的角怎样得到其角平分线呢?下面我们探究用尺规作角的平分线.已知:∠AOB.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:(1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.(2)分别以D,E为圆心,以大于12(3)作射线OC.则OC是∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗?想一想:在作图的过程中有哪些相等的线段?学生交流后得到:OD=OE,CD=CE.△COD和△COE全等吗?全等的依据是什么?[处理方式]教师口述作法步骤,学生根据教师的口述完成作图过程.不要求学生写作法,教师可以引导学生分析在作图的过程中哪些线段相等,学生可以通过交流讨论明确这样作的道理.[知识拓展]“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这句话逆过来说“到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”也是正确的.课堂总结：1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.检测反馈：1.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:B2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为()A.4 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定答案:B4.如图所示,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是 ()A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT答案:D板书设计：布置作业：一、教材作业【必做题】教材第127页习题5.5知识技能第1题.【选做题】教材第127页习题5.5数学理解第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.再分别以点C,D为圆CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点E,过点E作射线OE,连接CD.则下列说法错误的是心,大于12()A.射线OE是∠AOB的平分线B.△COD是等腰三角形C.C,D两点关于OE所在直线对称D.O,E两点关于CD所在直线对称2.如图所示,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是()A.4B.3C.6D.5【能力提升】3.如图所示,两个班的学生分别在M,N两处参加植树劳动,现要在道路AB,AC的交叉区域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN,请你通过尺规作图找出这一P点(不写作法,保留作图痕迹).【拓展探究】4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则BE 平分∠ABC,你能说明理由吗?【答案与解析】1.D(解析:根据角的平分线作图步骤可以得到答案,A,B,C 都是正确的.)2.B(解析:因为AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,所以DF =DE =2.又因为S △ABC =S △ABD+S △ACD ,AB =4,所以7=12×4×2+12×AC ×2,所以AC =3.故选B.)3.解:如图所示,P 点即为所求.4.解:因为在△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,所以∠ABC =90°- ∠A =60°.因为DE 是AB 的垂直平分线,所以EA =EB ,所以∠ABE =∠A =30°,所以∠EBC =∠ABC - ∠ABE =30°,所以∠ABE =∠EBC ,即BE 平分∠ABC.教后反思： 成功之处：通过折纸操作,从而得到启发,在教师的引导下,让学生悟出角平分线的性质和用尺规作角的平分线,培养学生实践操作能力;学生在经历观察、类比、归纳等过程的基础上,再让学生实践用尺规作角的平分线的过程,进一步提升了学生的感性和理性的融合,通过本节课的学习,让学生了解了在现实生活中,角及角的平分线在现实中的广泛应用.在本课时中,营造了一个和谐的课堂学习氛围,达到了预期的教学效果. 不足之处：对学生的操作和实验关注不够,这就要求在课堂教学时,应走下讲台,深入到学生中去,与他们一起合作探究,对需要指导的学生给予适当的指导,应当在教学方法和教学语言的选择上,尽可能多地关注学困生. 再教设计：今后应该大胆让学生讲解并且板书,真正落实到纸上,扎根到心底,才能真正体现我的课堂我做主的学习理念.。
生活中的轴对称知识要点
七年级数学第五章生活中的轴对称第一部分知识要点1、轴对称现象如果一个图形沿着一条折叠，直线两旁的部分能够互相，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作它的．对称轴是直线．对于个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成，这条直线就是对称轴．2、简单的轴对称图形（1）角是轴对称图形，它的对称轴是它的平分线所在的直线．角平分线上的点到的距离相等；到一个角的两边距离相等的点，在上．（2）线段是轴对称图形，线段的是它的一条对称轴．线段的上的点到这条线段两个端点的距离相等．的点，在这条线段的垂直平分线上．轴对称和轴对称图形的区别与联系：区别：(1)轴对称是________个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；(2)轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对_______个图形说的．联系：(1)它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称．3、探索轴对称的性质轴对称图形的对应点所连的线段被垂直平分．如果对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．轴对称图形相等，相等．4、等腰三角形的性质（1）对称性：________________________________________________________________________ (2)“三线合一”:________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (3)“等边对等角”:________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5、线段垂直平分线的定义：_________于一条线段，并且__________这条线段的______________.。
数学北师大版七年级下册简单的轴对称图形----角
1．理解商品销售中所涉及的进价、标价、折扣、售价、 利润及利润率等概念； 2．经历用一元一次方程解决具体情境中关于商品销售 的一些实际问题的过程，进一步总结运用方程解决实际问 题的一般步骤；
3．学会用数学的眼光去看待、分析现实生活中的情景， 培养抽象、概括、分析和解决问题的能力．
知识探究1：
一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以 八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装的成本 是多少？ 思考下列问题：
知识探究2：
某超市将某种商品按标价的8折出售，此时商品的 利润率为10%。已知这种商品的进价为1800元， 那么这种商品的标价是多少元？ （小组合作交流本道题的做法，说说你们找到这道 题的等量关系是什么？又是如何利用一元一次方程 解决这道题的？交流后派代表讲解并板演。）
课堂检测
1.百货商场采购了一批夹克衫,每件夹克衫按成 本价提高50%后标价,后因季节关系按标价的8折 出售,每件以120元卖出.试求这批夹克每件的成 本价.
2.如何用一元一次方程解打折销售问题？
2.某商品的零售价为每件900元，为了适应市场 竞争，商品按零售价的九折降价并让利40元销 售，仍可获利10%，求这件商品的进价。
【总结提升】本节课你学到了什么？
1. 打折销售中常见的数量关系
（1） 标价×折扣＝售价 （2） 成本价+利润＝售价 （3） 成本×(1+利润率) ＝售价 （4） 利润÷ 成本价 ×100% ＝利润率 （5）成本价×利润率＝利)售价-成本价＝成本价×利润率.
1.你是如何理解“按成本价提高40%后标价”的？
标价比成本价高40%，标价是成本价的1.4倍
2.“又以八折优惠卖出”中的“八折”是在哪个量的基础上打“八折” 的 标价
5.3.3简单的轴对称图形—角(3)
角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的 距离相等.
E O
Ｄ B
A
C
几何表达： ∵OC平分∠ AOB，
CD⊥OB, CE⊥OA
∴CD=CE
5.3.3简单的轴对称图形——角（2平分∠ AOB，
CD⊥OB, CE⊥OA
∴CD=CE
当 堂 训 练
独立闭卷， 限时10分钟.
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等. 2.三角形的三条角平分线交于一点，这一点 到三角形的 三条边 的距离相等.
学习目标
1理解角平分线的性质并利用角平分线的性质解决 其解决相关性质； 2.掌握已知一个角的平分线的尺规作图的方法. 3.掌握三角形的三条角平分线交点的性质. 【重点】理解角的平分线的性质. 【难点】利用角的平分线的性质解决相应的问题 .
用10分钟时间认真完成下列知识点检测题.
角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的 距离相等.
简单的轴对称的图形(知识点归纳)
1 简单的轴对称图形概念1：角平分线性质定理1．定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．几何语言：∵点P 在∠AOB 的平分线上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE ．2．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心（三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等，它的位置在三角形内部。
概念2：线段垂直平分线定理1．定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵MN 垂直平分AB ，点P 在MN 上∴PA=PB2．三角形三边的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形 的外心，它到三角形三个顶点的距离相等．它的位置分为如下三种情况：锐角三角形在三角形的内部、钝角三角形在三角形外部、直角三角形在斜边中点上。
概念3：等腰三角形性质定理与判定定理性质定理1：等腰三角形的两个底角相等几何语言：在△ ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。
（1）∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形性质）（2）∵AB=AC，BD=DC（已知）∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形性质）（3）∵AB=AC，AD⊥BC于D（已知）∴BD=DC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形性质）判定定理1：两个角相等的三角形是等腰三角形几何语言：在△ ABC中，∵∠B=∠C（已知）∴AB=AC（等角对等边）概念4：等边三角形和特殊的Rt△性质定理：等边三角形的三条边相等，三个角相等；等边三角2形是轴对称图形，有三条对称轴。
判定定理：1、三条边相等的三角形是等边三角形。
几何语言：∵AB=BC=AC2、三个角相等的三角形是等边三角形。
几何语言：∵∠A=∠B=∠C∴△ ABC是等边三角形3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：∵△ ABC是等腰三角形，∠A=60°∴△ ABC是等边三角形4、直角三角形的一个重要定理：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半。
北师大版七年级数学下册课件简单的轴对称图形
Ｂ
C
D
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
A 证明：∵ AD 是底边BC 的中线，
∴ BD =CD．
∵ AB =AC，
A
B
C
等边三角形
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区分和联系？
A
A
B
CB
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形； 区分：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形 只有两条.
问题 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等； 从角的角度：等边对等角； 从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启示？
证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =
∠C． A
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B =∠C．
Ｂ
C
D
证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？ 可以作底边的高线或顶角的角平分线. A
３．上面剪出的等腰△ABC是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么(借助图中的线表示)？
(1)由折叠和对称可知，在△ABC中，∠B与∠C的大小关系如 何;
(2)由折叠和对称又可知：∠BAD与∠DAC, BD与DC大小关 系如何， AD与BC的位置关系是什么？
学习目标
简单的轴对称图形-角
简单的轴对称图形-角•轴对称图形的基本概念•角的基本概念•轴对称图形中的角•角在轴对称图形中的应用•总结与展望01CATALOGUE轴对称图形的基本概念轴对称对称轴轴对称的定义轴对称图形在折叠对称轴后，两侧图形完全一致。
对称性稳定性美学价值轴对称结构在物理和工程中具有较高的稳定性。
轴对称图形在艺术、建筑和设计中常被视为美的表现。
030201建筑设计美感。
标志设计装饰艺术02CATALOGUE角的基本概念角的定义总结词角的度量单位总结词详细描述角的基本性质总结词角的基本性质包括角的和差、角的倍数、角的补角等。
详细描述角的基本性质包括角的和差、角的倍数、角的补角等。
具体来说，两个角相加或相减，其结果仍为一个角；一个角的两倍或一半仍为一个角；两个角如果它们的和为180度，则它们互为补角。
这些性质是研究几何图形的基础。
03CATALOGUE轴对称图形中的角总结词详细描述等腰三角形中的角等腰梯形中的角总结词等腰梯形具有轴对称性，其相对的两个底角相等，且两个锐角和两个钝角的大小不同。
详细描述等腰梯形是两腰相等的梯形，其相对的两个底角大小相等，且梯形中存在一个直角的底边。
在等腰梯形中，轴对称性表现为沿着上底边中垂线对折后，两侧图形完全重合。
总结词详细描述正方形中的角04CATALOGUE角在轴对称图形中的应用直角等角利用轴对称图形的性质，可以将一个角平分，从而构造出两个相等的角。
垂直平分线利用轴对称图形的性质，可以找到一个角的垂直平分线，从而构造出两个相等的角。
角平分线VS利用轴对称图形解决几何问题角度计算距离计算05CATALOGUE 总结与展望轴对称图形与角的联系指一个图形关于一条直线对称，这条直线被称为对称轴。
一个角关于其角平分线对称，即角的平分线是角的对称轴。
角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
一个角关于其角平分线对称，意味着这个角是轴对称图形。
轴对称图形角的轴对称性角平分线定理角的轴对称性质数学教育实际应用未来发展也将成为更加重要的知识点之一。
七年级数学简单的对称图形1
发现：
(1)角是轴对称图形， 角平分线所在直线是它 的对称轴.
(2)角平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等.
1.如图,在Rt△ABC中,BD 是∠ABC的平分线,DE⊥AB , 垂足为E .DE与DC 相等吗 ? 为什么？
E
B
A D C
2.如图用直尺和量角 器在直线MN上找一点P. 使点P到射线OA和OB的距 离相等. B N P M
A O 解:作∠AOB的角平 分线,交MN与一点,则 交点P即为所求.
﹙ ﹙
∵MN是线段AB的垂直平分线， 交AB于点O， 想一想：线段是轴对称图形吗 ? ∴AO = OB，∠AOC = ∠BOC； 如果是,你能找出他的一条对称轴吗? 在△AOC与△BOC中 试一试按下列步骤做一做 : M C CO = CO； (1)画一条线段AB,对折 ∠AOC = ∠BOC； AB使点A,B重合,折痕AB的 AO O =； BO 交点为 O A(B) N ∴ △AOC≌△BOC（SAS） (2)在折痕上任取一 ∴ CA=CB( 全等三角形,对应 点 C, 沿 CA 将纸折叠； 边相等)
§7.2 简单的轴对称图形 (一)
∵OC平分∠AOB A ∴ ∠DOC= ∠EOC D （ 1 ）在一张纸上任意画 又∵CD⊥OA,CE C 一个角∠ AOB，沿角的两 ⊥OB ，垂足分别为点 D， 点E 边将其剪下。并将这个角对 折，使两边重合； O ） ∴∠ ODC= ∠OEC B E （CDO 2）在折痕（即角平分线） 在△ 与△CEO中 你在图中发 上任选一点 C ； ∠ODC= ∠OEC； （ 3）过点 C 折OA 边的垂 现了哪些相等的 ∠ DOC= ∠ EOC ； 线，得到新的折痕 CD，其中， 线段？换一点,再 OC=OC 点D是折痕与OA边的交点， ∴ △CDO≌△CEO 试一试？ 即垂足； （AAS） （4）将纸打开，新的折痕与 OB边的交点为E. ∴CD=CE （全等三角形 对应边相等 ）