均值定理(一)
均值定理PPT教学课件
该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
均值定理1
《 均值定理》教案一、 教学目标：了解均值定理和应用二、重点与难点：对均值定理的“一正二定三相等”理解和应用三、教学活动：一）、基础知识常用的基本不等式⑴ a 2≥0， ⑵(a ±b)2≥ 0, ⑶a 2+b 2≥2ab, ⑷均值定理：两个正数的算术平均数2b a +不小于它们的几何平均数ab 即：若a>0,b>0，则2a b ab +≥（当且仅当b a =时等号成立）， ① 如果两个正数的和为定值，则两数的积有_________值。
② 如果两个正数的积为定值，则两数的和有_________值。
⑸2≥+ba ab （a,b ∈R 且同号） 二）、例题讲解：例1.（1）已知x>0,y>0且x+y=9,则xy 有最_____值为____。
（2）已知x>0,y>0且xy=9,则x+y 有最_____值为____。
（3）若的最小值求xx x 12,0+> 。
类题演练求下列各式的最大值或最小值1．下列命题中正确的是（ ）A ． x+1x 的最小值是2 B. 11122+++x x 的最小值是2C ． 44122+++x x 的最小值是2 D. 2-3x-4x 的最小值是2 2．若，x x•312+的最____值为_____,此时=______. 3．当x= 时，12x+3x-5 (x>0)取最 值，其值为 。
4. 若x>0, y>0， 的最小值 。
x y y x 3+例2．求下列式子的最大值或最小值)10)(1(3<<-x x x类题演练 求下列各式的最大值或最小值1(12)(0)2x x x -<<三、课后作业1.若的最小值求x x x 12,0+>。
2.若的最大值求)1(,10x x x -<<，并求出取得最大值时x 的值。
3．若，x x•39+的最____值为_____,此时=______.。
2019年高考数学总复习课件 2.2 均值定理
������-2.
17.当x -4时，求函数y x 9 - 7的最小值，并求此时 x4
x的取值.
【解】Q x -4, x 4 0,
y x 9 7 x 4 9 11
x4
x4
2 (x 4) 9 11 2 3 11 5 x4
������−������
当且仅当 x-1= ������ ,即 x=2 时,y=x+ ������ 取最小值 3.
������−������
������−������
【同步训练】 一、选择题 1.如果x>0,y>0,x+y=4,则xy的最大值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
2.如果x>0,y>0,xy=16,则x+y的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
2.2 均值定理
【复习目标】 1.掌握均值定理. 2.会用均值定理求最值. 3.会解不等式的应用题.
【知识回顾】
1.均值定理
������+������≥
������
������������,其中 a,b∈R +,当且仅当 a=b 时取等号.
2.利用均值定理求最值
(1)最小值.①a>0,b>0;②ab 是定值;③当且仅当 a=b 时.a+b 有最小值 2 ������������. (2)最大值.①a>0,b>0;②a+b 是定值;③当且仅当 a=b 时.a·b 有最大值(������+������)2.
当且仅当x 4 9 , x4
即x -1时,y x 9 7的最小值为 5. x4
均值定理例题
均值定理例题
摘要：
一、均值定理简介
1.均值定理的概念
2.均值定理的重要性
二、均值定理例题解析
1.题目背景与条件
2.解题思路与步骤
3.答案与解析
三、均值定理在实际应用中的价值
1.应用场景介绍
2.对实际问题的解决作用
正文：
一、均值定理简介
均值定理，作为微积分学中的一个重要理论，主要研究了函数序列在一定条件下的平均值与极限之间的关系。
这一定理广泛应用于数学分析、概率论等领域，为我们解决实际问题提供了有力的理论支撑。
二、均值定理例题解析
为了更好地理解均值定理，我们通过一个具体的例题来进行解析。
题目背景与条件：设函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，且函数g(x) 在区间[a, b] 上连续，现求证：在一定条件下，有lim(n→∞) ∫[a, b] f(x)g(x) dx
= ∫[a, b] f(x) dx * ∫[a, b] g(x) dx。
解题思路与步骤：
1.利用函数的性质，将原式转化为求解极限问题。
2.根据均值定理，将求解极限问题转化为求解平均值问题。
3.利用数学公式进行计算，得出结果。
答案与解析：经过一系列的计算与推导，我们可以得出在一定条件下，原式成立。
三、均值定理在实际应用中的价值
均值定理在实际应用中具有很高的价值，尤其在解决与极限、积分等相关的问题时，能够发挥重要作用。
均值定理六个公式的推导
均值定理六个公式的推导一、简单求和公式$$\begin{array}{l}{\text { 已知全体样本的抽样均数 }\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}} \\ {\text { 根据简单求和定理有： } E(X_i)=\overline{X}}\end{array}$$二、方差公式$$\begin{aligned}\text{已知样本方差} & \\S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \\ \text{根据方差公式有：} E\left\{\left[X_{i}-\overline{X}\right]^{2}\right\} &=S^2\end{aligned}$$三、均值方程公式$$\begin{aligned}\text{已知总和、方差以及样本量} & \\\sum_{i=1}^{n} X_{i}=n \overline{X}=\sum_{i=1}^{n} \overline{X} \quad \text{以及} \quad S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} \\\text{根据均值方程公式有：} & E\left[\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right]=n \overline{X} \quad \text{以及} \quadE\left\{\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right]\right\}=n S^{2}\end{aligned}$$四、样本方差公式$$\begin{aligned}\text { 已知总体的均数 } \mu \text { 以及样本的偏差 } \left(X_{i}-\overline{X}\right) \\\text { 根据样本方差公式有： } E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left[\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n\left(\overline{X}-\mu\right)^{2}\right]}{n-1}\end{aligned}$$五、均方差均值方程公式$$\begin{aligned}\text{已知正态总体的样本偏差} \left(X_{i}-\overline{X}\right) \quad \text{以及} \quad \text{正态总体的方差} \sigma^{2} & \\\text{根据均方差均值方程公式有：} & E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{n \sigma^{2}}{n-1}\end{aligned}$$六、总体均方差公式$$\begin{aligned}\text { 已知正态总体均数 } \mu \text { 以及样本偏差 } \left(X_{i}-\overline{X}\right) \\\text { 根据总体均方差公式有： } E\left(\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\end{aligned}$$。
高二数学均值定理
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行，才有金屋，而且别人偷也偷 不走。 ? 《青年文摘》2007、9 惭 愧 惭愧是一个人在事实的镜子里，看见自己面容的丑陋之后的赧然。 ? ? 惭愧者势必在某一段时间内高估了自己的能力，然后为能力不逮而开始恨自己。 ? ?惭愧的前身一般叫做冲动。冲动是那种不计后果与不了解规则的竞技。它在满足了热血沸腾 之后，立刻就宣告失败。 惭愧的人眼界不是太宽，判断事物太过绝对。为什么老年人不容易惭愧？因为他们尽管弱骨支离，但见闻广博。并不是说只有渊博的人才不惭愧，其实比学识更重要的是襟怀。一个人即使不断学习，仍然会有知识盲区，但谦虚的态度可使人免遭惭愧。 惭愧的 人还是有良知的人。一个人惭愧，明他判别善恶的机制还起作用。如果“原谅”作为宽厚的关
均值定理例题
均值定理例题
（原创实用版）
目录
1.均值定理的概念和定义
2.均值定理的性质和特点
3.均值定理的例题解析
4.均值定理的应用领域和实际意义
正文
【均值定理的概念和定义】
均值定理，是概率论中的一个重要定理，主要用于计算离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望。
均值定理给出了随机变量的期望值与其概率密度之间的关系，是概率论中重要的理论工具。
【均值定理的性质和特点】
均值定理的性质主要有以下几点：
1.对于任意的实数 x，随机变量 X 的数学期望 E(X) 满足 E(X)≤x。
2.对于任意的实数 x，随机变量-X 的数学期望 E(-X) 满足 E(-X)
≤-x。
3.随机变量 X 的数学期望 E(X) 与-X 的数学期望 E(-X) 满足
E(X)+E(-X)=0。
【均值定理的例题解析】
例题：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，求 E(X)。
解：由均值定理，E(X)=∫xf(x)dx（负无穷到正无穷）。
【均值定理的应用领域和实际意义】
均值定理在概率论中有着广泛的应用，它是计算随机变量期望的重要工具，也是研究随机过程，随机分析的基础。
高二数学均值定理
a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a a+b≥2 √ab
（3）思想上 渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab
(a、b∈R)
a2+b2 2
／≥(
a+b #43;b ≥(
2
2
(a、b∈R + )
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a ≥2√
ab
（2）若ab＞0
则b a
+
a b
≥2
b· a=2
ab
（3）若x＞0 则x+ 1 ≥2√x · 1=2
x
x
（4）若x＞0 则sinx+ 1 ≥2√sinx · 1=2
sinx
sinx
例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
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变式（2）
ab
a
b
2
2
（和定积大）
当且仅当 a=b时，等号成立.
应用举例
例1.已知a>0,b>0，且ab=16，求a+b的最
小值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
a b 2 ab 2 16 8
二定
当且仅当a=b，即a=4时， 等号成立 所以a+b的最小值为8.
定值； • 三相等：等号成立条件必须存在.
练习巩固
1、已知a>0,b>0，且ab=49，求a+b的最小值。 2、已知a>0,b>0，且a+b=10，求ab的最大值。
拓展延伸
1、求证：对于任意正实数 ，有 a 1 2.
当且仅当 a 1 时成立.
a
2、求
x
x
1
1
（x
1) 的最小值，并求出
a
2
b
叫
做a与b的算术平均数 ，把 ab 叫做a与b
的 几何平均数 .
两个正数的算术平均数大于或等于它们的 几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有
ab
2 ≥ ab
当且仅当 a=b时，等号成立.
这个结论称为 均值定理
由a>0、b>0时，a
2
b
≥
ab 得
变式（1） a b 2 ab （积定和小）
2(x+y)达到最小值2×14=28.
答：至少要用28cm长的铁丝.
小结
1、对于任意两个正实数a、ba, b称为算术平均数， ab
称为几何平均数 等号成立.
，且
a
b 2
，ab当2 且仅当a=b时，
2、变式应用：
3、均值定理必须满足： 一正：函数式中各项必须都是正数; 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值； 三相等：等号成立条件必须存在.
探究新知
一个矩形的长为a，宽为b，画两个正 方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面 积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长 相同.问哪个正方形的面积大？
a
b
S=ab
C=2(a+b)
(1)
(2)
我们要比较两个正方形面积的大小，只 需要比较两个正方形的边长哪个长？
第一个正方形的面积,b>0，且ab=25，求a+b的最小值.
2、已知a>0,b>0，且a+b=8，求ab的最大值.
3、求
x
4
x 1
(x的最 小1)值，并求相应x的值.
相应 x 的值.
思考题
1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框， 长与宽各为多少时，面积最大？
2、为了围成一个面积为49
cm
2
的矩形小框，至少
要用多长的铁丝？
1、解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm.
由已知条件得，x+y=220 10. 据均值定理得
xy
x
2
y
第二个正方形的周长为2(a+b)，边
ab
长为 2 .
对任意正实数a、b,有
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
2
因此
1 ( a b)2 0
2
a b ≥ ab
2
等号成立 ( a b)2 0 a b a b.
讲授新课
对于两个正实数a、b，我们把
2
52
25
等号成立当且仅当 x 取y 最5大时值,25.xy
答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积
最大，达到2cm5 2 .
2、解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm.
由已知条件得，xy= 49 . 据均值定理得
x y 2 xy 2 49 14.
等号成立当且仅当x此=时yx=+4y9 达=到7,最小值14，从而
三相等 结论
例2.已知a>0,b>0，且a+b=6，求ab的最 大值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
ab
2
ab
2
2
6 9,
2
二定
当且仅当a=b，即 a=3时等号成立 所以ab的最大值为9.
三相等
总结
均值定理必须满足的条件：
• 一正：函数式中各项必须都是正数; • 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是
※均 值 定 理
a b ab(a,b 0) 2
授课班级：高一（10）、（11）
授课教师：
严抒
（1）若a>0，则
2
a
__a___
2
（2）若a>0且b>0,则a 2 ab b _(_a___b_)
（3）用作差法证明不等式的步骤：
1、作差 2、变形（与0比较) 3、定号