三个数的均值定理
统计学基础：均值与方差
统计学基础：均值与方差统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
在统计学中，均值和方差是两个重要的概念，它们用于描述数据的集中趋势和离散程度。
本文将介绍均值和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、均值均值是一组数据的平均值，它是描述数据集中趋势的一个重要指标。
均值的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，那么均值的计算公式为：均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n均值可以用来表示数据的中心位置，它是数据集中的一个典型值。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，那么这些成绩的均值为(80+85+90+95+100)/5=90，可以认为90是这个班级的平均水平。
均值的计算方法简单直观，但它对极端值比较敏感。
如果数据中存在极端值，那么均值可能会被拉向极端值的方向。
因此，在某些情况下，均值可能不是一个很好的描述数据集中趋势的指标。
二、方差方差是一组数据的离散程度的度量，它描述了数据与均值之间的差异程度。
方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，均值为μ，那么方差的计算公式为：方差 = ((x1-μ)^2 + (x2-μ)^2 + ... + (xn-μ)^2) / n方差可以用来衡量数据的离散程度，它越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，这些成绩的均值为90，那么方差的计算为((80-90)^2 + (85-90)^2 + (90-90)^2 + (95-90)^2 + (100-90)^2) / 5 = 50，可以认为这个班级的成绩离散程度较大。
方差的计算方法中，将差的平方相加的目的是为了消除正负差值的抵消效应。
方差的单位是数据的单位的平方，因此在比较不同数据集的方差时，需要注意它们的单位是否一致。
均值定理
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
(精品)三个正数的算数-几何平均不等式
(2) a b ab (a,b R ) 2
( 3 ) a b 2 ( a b 0 ) x 1 （2 x 0 ）
ba
x
(4)ab (a b )2 a2 b2 (a,b R )
2
2
(5)a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (a,b,c R )
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正 数，会有怎样的不等式成立呢？
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以 aba1babbba1b3，
当且仅当(a-b)=b= b
1 a
b
时等号成立.
答案:3
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x (0＜ x＜ 1 ) 的最大值.
(1)abc≤ ( a b c )3 . 3
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
3 3abcabc
111
3
a2b2c2 .
3
上式a中ab,bc,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
人教B版高中数学必修五第3章3《均值定理》说课稿
人教B版高中数学必修五第3章3《均值定理》说课稿一、教材分析均值不等式”是必修五第三章第二节的内容，它是在学完“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最大（小）值过程中有着广泛的应用。
求最大（小）又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
二、学情分析从学生知识层面看，学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题从学生的能力层面看，高二学生已经具备了应用固有知识探求新知的能力，从较长时间的训练中具备合作交流探究学习的学习模式。
三、教学目标1、知识目标:探索均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决最大（小）值问题。
2、能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
3、情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
四、教学重点与难点1、重点:理解均值不等式2、难点:均值不等式的应用五、教学策略与教学方法先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出重要不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可调动学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案。
充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用“启发—探究—讨论”式教学模式.六、教学过程中国古代有很多发明推动了世界的发展，如图是2002年在北京举行的国际数学家大会的会标，它是我国古代三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理而绘制的。
颜色的明暗可以使人联想到了风车，代表了中国人民的热情好客。
把这一会标抽象出如图所示的几何图形，在下方形ABCD中，有4个全等的直角三角形，设每一个直角三角形的直角分别为a、b。
我将向学生提出以下问题：正方形ABCD的面积是多少？四个直角三角形面积之和是多少？它们的大小关系如何？可时取等号？通过传统文化知识创设情境引入新知可以激发学生学习兴趣，培养他们的爱国情怀，充分体现了数学学科中的数学建模这一核心素养。
不等式第二章 均值不等式
主题三 不等式第二章 均值不等式一、均值定理1、几个常用的平均值对任意两个正实数b a ,，数2b a +叫做b a ,的算术平均数，数ab 叫做b a ,的几何平均数，b a 2+叫做b a ,的调和平均数，222b a +叫做b a ,的平方平均数。
2、均值定理如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2。
当且仅当b a =时，等号成立。
上面的结论通常称为均值不等式。
均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它的几何平均数。
常用的变形形式有：4)(2b a ab +≤，即两个正实数的和为定值常数时，则它们的积有最大值； ab b a 2≥+，即两个正实数的积为定值常数时，则它们的和有最小值。
例1：①已知0>ab ，求证2≥+b a a b ；②求函数)0(1>+=x x x y 的值域；③已知20πθ<<，求函数θθθcot tan )(+=f 的最小值以及相应的θ值；④已知1>x ，求证：210log lg ≥+x x ，并说明式中等号成立的条件。
例2：①求函数)0(42>--=x x x y 的最大值以及相应的x 的值；②求函数)2(23>-+=x x x y 的最小值以及相应的x 的值；③求函数242+=x x y 的最大值以及相应的x 的值；④求函数)1(142>-+-=x x x x y 的最小值以及相应的x 的值；⑤已知20π<<x ，求函数θθθ2sin )22(sin )(2+=f 的最小值及相应的θ值。
例3：①求函数12)(22++=x x x f 的最小值以及相应的x 的值；②求函数23)(22++=x x x f 的最小值以及相应的x 的值。
例4：①已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求b a 11+的最小值；②已知+∈R b a ,，且223=+b a ，求ab 的最大值以及相应的b a ,的值；③已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值；④若+∈R y x ,，且082=-+xy y x ，求y x +的最小值。
2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
三维均值定理
三维均值定理
均值定理，又称基本不等式。
主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。
均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。
三个数均值定理：（a+b+c）/3大于等于三次根号abc，条件abc 均是正数。
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.就是
1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2]
(a>0,b>0)
证明:
1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)=<(a+b)/2.......(*)
a>0,b>0--->√a-√b是任意实数
--->(√a-√b)^2>=0
--->a+b-2√(ab)>=0
--->a+b>=2√(ab)
--->√(ab)=<(a+b)/2。
均值定理的推广和应用
所以函数值域为 9， 。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式
子分开再利用不等式求最值。即化为
y
mg
x
A
gx
BA
0，B
0，gx
恒
正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
问题六：在使用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数
f x x a 的单调性。
x
例 5：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
t
数，故 y 5 。 2
所以，所求函数的值域为
5 2
，
。
问题七：整体代换
例 6：已知 x 0，y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值。 xy
错．解．：
x
0，y
0
，且
1 x
9 y
1x
y
1 x
9 y
x
y
2
9 2 xy
xy 12
故 x y min 12 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ，在
均值定理 a2 b2 2ab 的推广及应用
小金县中学校 刘世洪
内容摘要：均值定理在求最值、比较数的大小、函数的值域、求变量的取值范围、
证明不等式、解决实际问题的最优问题方面有广泛的应用。在各年各地的高考试
题中经常见到均值定理的使用，本文就对均值定理的各种变式进行梳理，以问题
的形式对各种变式的应用加以说明和阐述。
例 10.正数 a，b，c 满足 a b c 1，求证： 1 1 1 1 1 1 8 a b c
分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个
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表述:三个正数的算术平1 , a2 , a3 ,an， 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值，
a1 a2 a3 an ≥ n a1a2 a3 an 即 n
(当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
三个正数的均值不等式
【学习目标】 1．了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小． 2．会用三个正数的均值不等式解决一些简单的问题． 【学法指导】 1．要善于通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个 正数的均值不等式． 2．利用均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条 件．
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b “＝”号)． a＋b ≥ 正 数， 2． a， 都为 若 b 那么 2 等号成立)，称上述不等式为 为 a，b 的算术平均数，
注：一正、二定、三等。
理论迁移
例1：已知 、b、c都是正数，求证： b c)3 27abc a (a
1 例2 求函数 y x (1 3 x)在 [0, ]上的最大值. 3
2
例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四 个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容 积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积 是多少? a a 2xx
ab
时取
ab(当且仅当 a ＝ b 时， 称
a＋b 基本 不等式，其中 2
称为 a，b 的几何平均数．
a＋b ≤ 3．当 a>0，b>0 时， 1 1≤ ab≤ 2 ＋ a b
2
a2＋b2 2
调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值
4．设 x，y 为正实数
s2 (1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)， 则当 x＝y 时， xy 有最 大 值为 4 . 积
探究一 三个正数的均值不等式
等号成立的条件是什么 ？
问题1：由a 2 b 2 2ab推广到三个数又如何？ 怎样证明？
和的立方公式： x ( 立方和公式： x 3
y ) x 3 x y 3 xy y
3 3 2 2
3
y ( x y )( x xy y )
4 2
A.0
B.1
16 C. 27
32 D. 27
归纳延伸
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定 理的适用条件。
课后作业
1．教材 10 页 10、11、12、13 提示：11 题条件两边平方解决 2．预习绝对值不等式
变式 (1)当0 x 1 , 求函数y x 2 (1 x)的最大值 时 .
(2)当0 x 1时, 求函数y x(1 x 2 )的最大值 .
思考：下列解法正确吗？
3 求函数y 2 x , ( x 0)的最小值. x
2
解:
3 2 2 1 2 1 2 y 2 x 2 x 33 2 x 33 4 x x x x x
2
ymin 3 4
3
达标检测
12 1.函数 y 3x 2 ( x 0) 的最小值是 ( C ) x
A.6
2
B.
6 6
C.9
D.12
16 8 2.函数 y 4 x 2 2 的最小值是____________ ( x 1)
3.函数
y x (2 x )(0 x 2 ) 的最大值是（ D ）
探究二 三个正数的均值不等式的应用
设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xyz S （定值） ， 3 小 3 S 则当 x y z 时， x y z 有最_____值_____. 3 p ⑵若 x y z p （定值） ， 大 27 则当 x y z 时， xyz 有最_____值_______.
3 2 2
问 题2： 三 个 正 数 的 算 术 平 数 与 几 何 平 均 数 的 大 关 均 小 系 如 何 ？ 怎 样 证 明 ？号 成 立 的 条 件 是 什 么 ？ 等
问题3：由两个正数、三个正 数推广到多个正数又如 何？
三个正数的算术-几何平均不等式 定理
abc 3 若a, b.c R , 那么 abc , 3 当且仅当a b c时，等号成立。
热身训练
1 1 1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值； x y
3 2 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2.已 知x 1, y 2, 且x y 15, 求D ( x 1)( y 2) 的最大值 .
36
自主学习教材- -9页的内容， 8 解决下列问题
(2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最 小 值 为2 p. 5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是 正数 ； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值 ． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一 定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、 三相等”．